Bài toán tìm cực trị hàm số

BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4) và đường thẳng 2 z 1 2y 1 1x :)d( = + = − − . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. (Tương tự đề thi Đại Học Khối A năm 2008) Lời giải tham khảo Cách1:Phương pháp hình học (Đáp án của Bộ) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (P) và K là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Ta có theo tính chất đoạn vuông góc và đoạn xiên : MKMH ≤ , nên MH lớn nhất khi KH ≡ . Vậy mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng vuông góc với AK tại K. Giải: Ta có )2t2;6t;t(AK)d()t2;t2;t1(K −−−=⇒∈+−− → (d) có véctơ chỉ phương )2;1;1(a −= → . 3 5 taAK =⇔⊥ →→ . Do đó ) 3 4 ; 3 13 ; 3 5 (AK −−= → . Chọn véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là )4;13;5(n −= → . Chọn điểm )P(M)d()0;2;1(M 00 ∈⇒∈− . Phương trình mặt phẳng (P): 5(x-1)+13(y+2)-4(z-0)=0 5x+13y-4z+21 = 0. Cách 2: Phương pháp giải tích. Đặt (P): Ax+By+Cz +D = 0 ( )0CBA 222 ≠++ . Chọn M(1;-2;0) và N(0;-1;2) thuộc (d) suy ra M,N thuộc (P). Ta được :      − = +−= ⇔    =++− =+− 2 BA C B2AD 0DC2B 0DB2A Do đó (P): .0B2Az. 2 BA ByAx =+− − ++ Ta có d= AB2B5A5 B5A2 )P;A(d 22 −+ + = . Ta xét các trường hợp: Trường hợp 1: A=0. Ta được : 52 B5 B52 d 2 == Trường hợp 2: 0A ≠ . Ta được : ) A B x( x2x55 x512 A B 2 A B 55 A B5 12 d 22 = −+ + =       −       + + = Ta có 5x2x5 )1x10x25(4 d 2 2 2 +− ++ = Hàm số 5x2x5 1x10x25 )x(f 2 2 +− ++ = đạt GTLN là : 5 13 xkhi 6 35 = Vậy 5 13 A B xkhi 3 70 dmad) 6 35 (4dmax 2 ===⇒= . ( Chọn trường hợp 2 vì 52 3 70 > ) Chọn A=5; B=13 thì C=-4 ; D= 21 Phương trình mặt phẳng (P): 5x+13y-4z+21=0. Hết Vình Long, ngày 8 tháng 6 năm 2009. GV Nguyễn Ngọc Ấn, Trường PTTH Bán Công Vónh Long, TP Vónh Long. Ghi chú: 1/ Có thể xét B=0 , 0B ≠ (Tương tự như xét A). 2/ Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất. . BÀI TOÁN 3 (CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN TOẠ ĐỘ) Bài tập minh hoạ: Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;4). =       −       + + = Ta có 5x2x5 )1x10x25(4 d 2 2 2 +− ++ = Hàm số 5x2x5 1x10x25 )x(f 2 2 +− ++ = đạt GTLN là : 5 13 xkhi 6 35 = Vậy 5 13