Giáo ân 12. Ôn tập chương 1. Các dạng toán về tiếp tuyến

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II TIẾT 45 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TIẾÙP TUYẾN CÂU HỎI 1) Viết (không chứng minh ) phương trình đường thẳng qua M(x0; y0) có hệ số góc k? Trả lời: y – y0 = k( x – x0 ) hay: y = k(x – x0) + y0 2) Cho biết ý nghóa hình học đạo hàm? Trả lời: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm x0, có đồ thị ( C) M(x0; y0) điểm thuộc (C), hệ số góc tiếp tuyến (C) M(x0; y0) laø: k = f’(x0) y (C) y0 M O x0 x 3) Nêu (không chứng minh) phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M(x0; y0) thuộc đồ thị Trả lời: y – y0 = f’(x0)(x – x0 ), hay y= f’(x0)(x – x0) + y0 CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ? Hãy nêu dạng toán phương trình tiếp tuyến học? Trả lời: Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 biết tung độ y0 tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến điểm M(x0; y0) ) Biết hệ số góc k tiếp tuyến Biết tiếp tuyến qua điểm M(x0; y0) cho trước Hai đường tiếp xúc 1)Trường hợp1: Biết tọa độ (x0;y0) tiếp điểm Phương trình cần tìm là: y = f’(x0).(x – x0) + y0 ∗Nếu biết x0, ta thay x0 vào công thức hàm số để tính y0 ∗Nếu biết y0, ta thay y0 vào công thức hàm số để tính x0 (1) (C) : y = f(x) y M  y0 O x0 x ∗Tính f′(x) tính f′(x0) ∗Thay giá trị x0, y0, f′(x0) vào phương trình (1) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y = f( x) = x − x−1 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = Giải: Phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x0 là: y = f′(x0).(x – x0) + y0 Theo đầu x0 = Suy y0 = vaø f′(x0) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k tiếp tuyến • Gọi (x0 , y0) tọa độ tiếp điểm • Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – x0) + y0 (2) ; [với: k = f’(x0) ] • Tính f′(x) giải phương trình f′(x0) = k để tính x0 • Thay x0 vào hàm số để tính y0 • Áp dụng vào (2) ta có phương trình tiếp tuyến x −2 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)= x +2 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) Biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ Giải: Vì tiếp tuyến song song với y = x, nên k =1 Gọi (x0; y0) tọa độ tiếp điểm Phương trình có dạng: y = (x – x0) + y0 Theo giả thiết: f′(x0) = (1) (1) ⇔ = ⇔ x0 = hoaëc x0 = – ( x0 + 2) Với x0 = y0 = – Với x0 = – y0 = Vậy ta có hai tiếp tuyến : y = x – y = x + 3)Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến (C) qua điểm M Chú ý: M thuộc (C) không thuộc (C), cách giải Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua M(xM, yM) tiếp xúc với (C) Phương trình đường thẳng (d) là: y = k(x − xM) +yM hay: y = kx – kxM + yM (a) (d) Tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm y yM • M O xM x y yM M x O f(x) = kx - kxM + yM xM  f' (x) =k Giải hệ tính k, thay k vào phương trình (a), ta tìm phương trình tiếp tuyến (C) qua M Ví duï 3: Cho (C): y = f(x) = 2x3+ 3x2 -1.Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua M(0; -1) Giải: Phương trình đường thẳng d qua M(0; −1) laø: y = k(x − xM) + yM ⇔ y = kx − d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:  2x3 + 3x − = kx −  =k  6x + 6x (1) (2 ) Thay giá trị k (2) vào (1), ta phương trình: 2x3 + 3x2 − 1= (6x2 + 6x)x − ⇔ 4x3 + 3x2 = ⇔ x = x = − 3/4 Với x = ta có k = 0, với x = − 3/4, ta có k = − 9/8 Vậy có hai tiếp tuyến với (C) qua M, phương trình là: y = − vaø y = − x −1 10 4) Trường hợp : Hai đường cong tiếp xúc Hai đường cong gọi tiếp xúc điểm M chúng có chung điểm M tiếp tuyến M hai đường cong truøng nhau.(SGK ; tr 101) y y = f(x)  M y = g(x) O x Đồ thị hàm số y = f(x) đồ thị hàm số y = g(x) tiếp xúc hệ sau có nghiệm : f  (x) = g(x) (Hệ cho ta hoành độ tiếp điểm)  f  ' (x) =g' (x) 11 Ví dụ 4: Xác định a để đồ thị (C) hàm số : x3 y = f (x) = − x + 4x tiếp xúc với đồ thị Parabol (P): y = g(x) = x2 + a Giải : Hoành độ tiếp điểm (C) (P) nghiệm heä : f(x) = g(x)  f' (x) = g' (x) x 2  − x + 4x = x + a (1) ⇔3 x − 2x + = x ( 2)  (2) ⇔ x2 − 4x + = ⇔ x = Thay x = vào (1), ta : a = ÑS : Khi a = (C) tiếp xúc (P) 12 CÁC BÀI TOÁN ĐỂ RÈN LUYỆN 13 (2m −1)x −m2 Cho hàm số : y = x −1 Bài số 1: (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: y = x Gợi ý: Như ví dụ Điều kiện tiếp xúc (2m − 1)x − m2 =x (1) x −1 − (2m −1) + m2 ( 2) =1 (x −1) { Đi đến: (x − m)2 = ý tập xác định  2 (x − 1) = (m − 1) ĐS: Mọi m khác 14 Bài số 2: x Cho hàm số: y = f(x) = 1+ x Gọi (C) đồ thị Tìm phương trình tiếp đồ thị qua tâm đối xứng (nếu có) Gợi ý: Tâm đối xứng I(– 1; 1) Giống ví dụ Phương trình tiếp tuyến qua điểm I ĐS: Không có tiếp tuyến qua tâm đối xứng x + 3x + Bài số 3: Cho hàm số y = f(x) = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số Biết vuông góc với đường thẳng (a): x – 3y + = Gợi ý: Gọi (d) tiếp tuyến Vì (a) có hệ số góc 1/3 nên (d) có hệ số góc – 15 ĐS: y = – 3x – vaø y = – 3x – 11 Bài số 4: Cho (C): y = f(x) = x3 − 3x2 + Tìm đường thẳng y = − điểm từ kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc Gợi ý: Gọi A(a; – 2) điểm cần tìm Phương trình tiếp tuyến qua A là: y = k(x – a) – Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ: x3 − 3x + = k(x − a) − (1)  (2)  3x(x − 2) = k Thế (2) vào (1) ta được: (x – 2)[2x2 – (3a – 1)x+2] = + Với x = 2: Ta có tiếp tuyến y = – (loại) + Với 2x2 – (3a –1)x+ = (*) Để toán thỏa (*) phải có nghiệm x1,x2 thỏa f’(x1).f’(x2) = – ∆ = (3a – 1)2 – 16 > Giải hệ ta ⇔ (3x12 – 6x1)(3x22 – 6x2) = – 16 a = 55/27 { Cho hàm số y = f(x) = x4 – 12x2 + Bài số 5: Tìm trục tung điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số Gợi ý: Gọi A(0; m) điểm cần tìm Phương trình tiếp tuyến: y = kx + m Điều kiện tiếp xúc: { x4 – 12x2 + = kx + m 4x3 – 24x = k Đi đến: 3x4 – 12x2 + m – = (1) (2) (3) Do có tiếp tuyến nên (3) phương trình trùng phương có nghiệm cần thử lại ĐS: Điểm A(0;4) 17 CHÚC SỨC KHỎE CÁC THẦY , CÔ GIÁO CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG TRONG CÁC KỲ THI SẮP TỚI ... + y0 CÁC BÀI TOÁN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ? Hãy nêu dạng toán phương trình tiếp tuyến học? Trả lời: Biết tọa độ tiếp điểm (hoặc biết hoành độ x0 biết tung độ y0 tiếp điểm Ta nói tiếp tuyến. .. ta có phương trình tiếp tuyến x −2 Ví dụ 2: Cho đường cong (C): y= f(x)= x +2 Tìm phương trình tiếp tuyến (C) Biết tiếp tuyến song song với đường phân giác thứ Giải: Vì tiếp tuyến song song với... Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 2(x – 2) + 1, hay y = 2x – 2)Trường hợp2: Biết hệ số góc k tiếp tuyến • Gọi (x0 , y0) tọa độ tiếp điểm • Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x –