Báo Cáo BTL Phương pháp tính: Giải hệ bằng phương pháp Gauss-Seidel

Báo Cáo BTL Phương pháp tính trình bày giải hệ bằng phương pháp Gauss-Seidel dưới sự hướng dẫn của cô ThS. Hoàng Hải Hà. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung báo cáo.

Đ I H C QU C GIA TP. H  CHÍ MINH Ạ Ọ Ố Ồ

………… o0o…………

 

BÁO CÁO BTL

Giáo viên h ướ ng d n: Hoàng H i Hà ẫ ả

      L p L06, Nhóm 15 ớ

L i nói đ u ờ ầ

Thân chào Th y cô và các b n sinh viên! ầ ạ

Đây là quy n báo cáo Bài t p l n do Nhóm 15 th c hi n ể ậ ớ ự ệ

N i dung là gi i h   ộ ả ệ Ax b =  b ng ph ằ ươ ng pháp Gauss­Seidel d ướ ự ướ i s  h ng 

d n c a cô ThS. Hoàng H i Hà ẫ ủ ả

             2   BÀI BÁO CÁO G M CÁC PH NỒ Ầ

               1  

Đ  TÀI Ề

              3  

PH N 1. C  S  LÝ THUY T Ầ Ơ Ở Ế

               3  

PH N 2. HI N TH CẦ Ệ Ự

              5  

PH N 3. TÍNH NĂNG VÀ VÍ DẦ Ụ

               9  

Danh sách thành viên

0

4

5

5

2

2

Các tính năng c a chủ ương trình:

               9  

M t s  tính năng khác: ộ ố

               9  

Ví dụ

               10    TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

              14   

Nhóm chúng em đã c  g ng trình bày n i b t các ý chính, c  th  các hàm và  ố ắ ổ ậ ụ ể cung c p TestCase đ  b n đ c có th  d  dàng hi u rõ và đánh giá.  ấ ể ạ ọ ể ễ ể

Thay m t c  l p, Chúng em g i l i c m  n chân thành nh t cô ThS. Hoàng  ặ ả ớ ử ờ ả ơ ấ

H i Hà đã t n tình h ả ậ ướ ng d n và d y b o chúng em trong h c kì 1 năm h c  ẫ ạ ả ọ ọ

2018 này.

Đ  TÀI  Ề

Đ  TÀI 6: Gi i h   Ề ả ệ Ax b =  b ng ph ằ ươ ng pháp Gauss­Seidel

Ki m tra s  h i t  c a nghi m ể ự ộ ụ ủ ệ

Ch n vect   ọ ơ x( ) 0 tùy ý.

Tính vect  nghi m  ơ ệ x( )n .

Đánh giá sai s  tiên nghi m và h u nghi m theo c  hai chu n ố ệ ậ ệ ả ẩ

Đánh giá tính  n đ nh c a h ổ ị ủ ệ

Tìm ch  s   ỉ ố n  nh  nh t đ  nghi m  ỏ ấ ể ệ x( )n  có sai s  nh  h n  ố ỏ ơ ε  cho tr ướ c.

PH N 1. C  S  LÝ THUY T  Ầ Ơ Ở Ế

­ Trong  gi i tích s ả ố , ph ươ ng pháp Gauss­Seidel  hay còn g i là ọ  ph ươ ng pháp 

l p Gauss­Seidel, ặ  ph ươ ng pháp Liebmann  hay ph ươ ng pháp t  s a sai ự ử  là 

tính  t ươ ng t  nh ự ư  ph ươ ng pháp Jacobi  Nó đ ượ c đ t tên theo hai ặ   nhà toán 

ph ươ ng pháp này có th  áp d ng cho b t k ể ụ ấ ỳ  ma tr n ậ  nào không ch a ph n  ứ ầ

tử 0 (không) trên các đ ườ ng chéo, nh ng tính h i t  ch  x y ra n u ma tr n  ư ộ ụ ỉ ả ế ậ

ho c là ặ   ma tr n đ ậ ườ ng chéo tr i ộ , ho c là ặ   ma tr n đ i x ng ậ ố ứ  đ ng th i ồ ờ   xác 

­ Đ  gi i h   ể ả ệ Ax b =  ta phân tích 

11 12 1 11

21 22 2 22

1 2

               0          0             0              0

              

              

0     0         

           

n n

nn

n n nn

A

a

12 1

1 2

0   ­        ­

0       0          0

  0          0 0     0         ­

                               

 ­        0 0     0          0

n n

n n

V i đi u kiên gi  s   ớ ề ả ử A là ma tr n đ ậ ườ ng chéo tr i nghiêm ng t t c ộ ặ ứ  

det A 0 và  aii 0, ∀ = i 1,2, , n

Do  aii 0, ∀ = i 1,2, , n  nên  det D 0 nh  v y t n t i  ư ậ ồ ạ D− 1 và cũng t n t i ồ ạ  

1

( D L − )−

Khi đó ta có:

1 1

Ax b

D L U x b

D L x Ux b

=

− − =

− = +

= − + −

Đ t ặ

1

1

( ) *

g

g

−

−

= −

= −

Khi đó thành l p công th c có d ng ậ ứ ạ

( )m (m 1)

g g

­ Ki m tra tính h i t : ể ộ ụ

N u  ế Tg < 1 thì nghi m c a h  h i t  v   ệ ủ ệ ộ ụ ề x_

­ Công th c đánh giá sai s : ứ ố

Đánh giá sai s  tiên nghi m ố ệ

( ) _ ( )1 ( )0

1

m

m T

T

−

Đánh giá sai s  h u nghi m ố ậ ệ

( ) _ ( ) ( 1)

1

m T m m

T

−

−

PH N 2. HI N TH C Ầ Ệ Ự

 

Công c  s  d ng: Matlab 2016a ụ ử ụ

M t s  hàm đ ộ ố ượ c dùng:

       … end

     …

end

Source Code

%

-% De tai 6: Giai he Ax = b bang phuong phap lap GaussSeidel

%

-****** -% INPUT:

% N la cap cua ma tran he so

% Cac ma tran A,b la ma tran he so cua he Ax = b

% X0 là vectơ lap ban dau (nhap 0 de chon vecto 0, nhap 1 de chon random)

% eps là sai so (gia tri mac dinh là 1.0E-6)

% maxlap là so lan lap toi da cho phep (gia tri mac dinh la 100)

% OUTPUT:

% Xn la vecto nghiem

% TienNgChuan1 la sai so tien nghiem chuan 1

% TienNgChuanVoCung la sai so tien nghiem chuan vo cung

% HauNgChuan1 la sai so hau nghiem chuan 1

% HauNgChuanVoCung la sai so hau nghiem chuan vo cung

% n la so lan lap thoa man yeu cau

% TEST:

% Test 1

% GaussSeidel(4,[10,-1,2,0; -1,11,-1,3;2,-1,10,-1; 0,3,-1,8],[6;25;-11;15],0)

% N = 4

% A = [10,-1,2,0; -1,11,-1,3;2,-1,10,-1; 0,3,-1,8]

% b = [6;25;-11;15]

% X0 = 0 (auto X0 = [0;0;0;0])

% so lan lap: 5

% Ket qua: Xn =

% 1.0001

% 2.0000

% -1.0000

% 1.0000

% Test 2

% GaussSeidel(2,[9,-7;-3,7],[2;5],[0.7;0.4])

% N = 2

% A = [9,-7;-3,7]

% b = [2;5]

% X0 = [0.7;0.4]

% esp = 0.06 ( chuan 1)

% Ket qua: n = 5

% Test 3

% GaussSeidel(2,[11,5;-3,11],[2;4],[0.9;0.2])

% N = 2

% A = [11,5;-3,11]

% b = [2;4]

% X0 = [0.9;0.2]

% so lan n: 3

% Ket qua: Xn =

% 0.0159

% 0.3680

% Test 4

% GaussSeidel(2,[15,3;6,13],[6;2],[0.2;0.2])

% N = 2

% A = [15,3;6,13]

% b = [6;2]

% X0 = [0.2;0.2]

% esp = 0.007 ( chuan 1)

% Ket qua: n = 3

%

-function GaussSeidel(N,A,b,X0)

clc;

disp(' -');

disp('Giai he Ax = b bang phuong phap lap GaussSeidel');

disp(' -****** -');

if nargin == 0

N = input('Nhap N: '); if N == 0 return; end;

A = input('Nhap ma tran A: '); if A == 0 return; end;

b = input('Nhap ma tran b: '); if b == 0 return; end;

X0 = input('Nhap X0: ');

end;

if nargin == 1

A = input('Nhap ma tran A: '); if A == 0 return; end;

b = input('Nhap ma tran b: '); if b == 0 return; end;

X0 = input('Nhap X0: ');

end;

if nargin == 2

b = input('Nhap ma tran b: '); if b == 0 return; end;

X0 = input('Nhap X0: ');

end;

if nargin == 3

X0 = input('Nhap X0: ');

end;

maxlap = 100;

eps = 1.0E-6;

% xu li X0

if X0 == 0

X0 = zeros(N,1);

end;

if X0 == 1

X0 = rand(N,1);

end;

code = 3;

while code ~= 0

clc;

disp(' -');

disp('Giai he Ax = b bang phuong phap lap GaussSeidel');

disp(' -****** -');

N

A

b

X0

% Xet ma tran co phai ma tran duong cheo nghiem ngat hay khong?

if det(A) == 0, disp('Ma tran da nhap khong phai ma tran duong cheo nghiem

for i=1:N

if A(i,i) == 0, disp('Ma tran da nhap khong phai ma tran duong cheo

end;

D = zeros(N,N);

for i=1:N D(i,i)= A(i,i); end;

L = zeros(N,N);

for i=2:N

for j=1:i-1

L(i,j) = -A(i,j);

end;

end;

U = zeros(N,N);

for i=N-1:-1:1

for j=N:-1:i+1

U(i,j) = - A(i,j);

end;

end;

Tg = inv(D-L)*U;

cg = inv(D-L)*b;

% Xet tinh hoi tu

if norm(Tg,'inf') < 1

disp('Nghiem cua he hoi tu ');

else

disp('Nghiem cua he khong hoi tu ');

end;

k1 = norm(A,1)*norm(inv(A),1);

fprintf('So dieu kien: %f\n',k1);

if k1<15 disp('He on dinh'); else disp('He khong on dinh'); end;

code = input('Ban muon chuong trinh thuc hien dieu gi? \n 1: Tim Xn, danh gia sai so \n 2: Tim chi so n nho nhat de nghiem Xn co sai so nho

if code == 1

maxlap = input('Nhap so lan lap: ');

while maxlap < 1

maxlap = input('So lan lap phai lon hon 0, moi ban nhap lai: '); end;

end;

n = 0;

X1 = Tg*X0+cg;

codec = 0;

if code == 2

eps = input('Moi ban nhap eps: ');

codec = input('Ban muon su dung dieu kien gi??\n 1: Xn - Xn-1, chuan

Xn=X0;

for j = 1:maxlap

Xn2 = Xn;

Xn = Tg*Xn2 + cg;

n = n + 1;

%sai so tien nghiem chuan 1

TienNgChuan1 = abs((norm(Tg,1)^n)*norm(X1-X0,1)/(1-norm(Tg,1)));

%sai so tien nghiem chuan vo cung

TienNgChuanVoCung = abs((norm(Tg,'inf')^n)*norm(X1-X0,'inf'

)/(1-norm(Tg,'inf')));

%sai so hau nghiem chuan 1

HauNgChuan1 = abs(norm(Tg,1)*norm(Xn-Xn2,1)/(1-norm(Tg,1)));

%sai so hau nghiem chuan vo cung

HauNgChuanVoCung = abs(norm(Tg,'inf')*norm(Xn-Xn2,'inf'

)/(1-norm(Tg,'inf')));

if codec == 0

saiso = HauNgChuan1;

end;

if codec == 1

saiso = norm(Xn-Xn2,1);

end;

if codec == 2

saiso = norm(Xn-Xn2,'inf');

end;

if saiso < eps

break;

end;

end;

% Output

if code == 1

Xn

codes = input('Ban co muon xuat sai so khong? \n 1: Co\n 2:

if codes == 1

TienNgChuan1

TienNgChuanVoCung

HauNgChuan1

HauNgChuanVoCung

end;

code = input('Ban muon tiep tuc?\n So bat ky: Tiep tuc\n 0:

end;

if code == 2

n

code = input('Ban muon tiep tuc?\n So bat ky: Tiep tuc\n 0:

end;

end;

disp('****************CHUONG TRINH KET THUC*********************');

return;

 

M t s  đánh giá: ộ ố

Tích c c: ự

­ Code đã gi i quy t h u h t các v n đ  v  ph ả ế ầ ế ấ ề ề ươ ng pháp Gauss ­ Seidel

­ Giao di n trình bày d  s  d ng ệ ễ ử ụ

­ Đ  chính xác cao ộ

Tiêu c c: ự

­ Vi c nh p li u d  sai sót ệ ậ ệ ễ

­ Code ch a th t s  t i  u ư ậ ự ố ư

PH N 3. TÍNH NĂNG VÀ VÍ D Ầ Ụ

Ki m tra s  h i t  c a nghi m ể ự ộ ụ ủ ệ

Ch n vect   ọ ơ x( )0 tùy ý.

Tính vect  nghi m  ơ ệ x( )n .

Đánh giá sai s  tiên nghi m và h u nghi m theo c  hai chu n ố ệ ậ ệ ả ẩ

Tìm ch  s   ỉ ố n  nh  nh t đ  nghi m  ỏ ấ ể ệ x( )n  có sai s  nh  h n  ố ỏ ơ ε  cho tr ướ c.

Ki m tra ma tr n nh p vào có ph i ma tr n đ ể ậ ậ ả ậ ườ ng chéo nghiêm ng t hay không ặ

N u nh p vào s  l n l p l p < 1 thì ch ế ậ ố ầ ậ ặ ươ ng trình s  yêu c u nh p l i ẽ ầ ậ ạ

Ch ươ ng trình thi t k  có th  t  nh p ho c nh p d ế ế ể ự ậ ặ ậ ướ ạ i d ng g i hàm ọ

Cho phép ng ườ i dùng nh p nhanh vect  X0 v i: Nh p 0 đ  ch n vect  0 ho c 1 đ   ậ ơ ớ ậ ể ọ ơ ặ ể

t o vect  ng u nhiên  ạ ơ ẫ

STT N A b X0 l nSố  ầ  

l pặ

Sai 

s  ố Yêu c uầ K tế 

quả

1 4

[10,­1,2,0; 

­1,11,­1,3;2,­

1,10,­1; 0,3,­

1,8]

[6;25;­11;15] [0;0;0;0] 5   Tínhx( ) 5

1.0001 2.0000

­1.0000 1.0000

1 2 [9,­7;­3,7] [2;5] [0.7;0.4] 0.06 Tính ch  s  n nh  nh t đỉ ố ỏ ấ ể

   ( ) ( 1)

1 0.06

x −x − < n = 5

3 2 [11,5;­3,11] [2;4] [0.9;0.2] 3   Tính  x( ) 3  0.0159 0.3680

4 2 [15,3;6,13] [6;2] [0.2;0.2] 0.007 Tính ch  s  n nh  nh t đ   ( )ỉ ố( 1 ) ỏ ấ ể

1 0.007

n n

x −x − < n = 3

a Ví dụ 1:

Trong Giáo trình Ph ươ ng Pháp Tính – Lê Thái Thanh trang 59 có bài: 

Gi i h  sau b ng ph ả ệ ằ ươ ng pháp l p Gauss­Seidel ặ

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

10 2           6

       3 8 15

− + =

− + − + =

− + − =

− + =

T  h  ta có: ừ ệ

10    1   2     0

1    11  1     3

2   11    0   1

0     3    1     8

6

25

11

15

0

0

0

0

0

A

b

X

−

=

� �

� �

� �

=

� � −

� �

� �

��

��

��

=

��

��

��

Đ  gi i h  này, ta nh p vào Matlab   ô Comman Window  ể ả ệ ậ ở (Set Path t i th  m c ch a  ạ ư ụ ứ file GaussSeidel.m):

>>GaussSeidel(4,[10,-1,2,0; -1,11,-1,3;2,-1,10,-1;

0,3,-1,8],[6;25;-11;15],0)

Ho c ch y ch ặ ạ ươ ng trình(f5) và nh p t ng b ậ ừ ướ c:

N = 4

A = [10,-1,2,0; -1,11,-1,3;2,-1,10,-1; 0,3,-1,8]

b = [6;25;-11;15]

X0 = 0 (auto X0 = [0;0;0;0])

S  l n l p: ố ầ ặ 5

Ta đ ượ c k t qu :  ế ả

Xn =

1.0001

2.0000

-1.0000

1.0000

Sau đây là màn hình khi ch y ch ạ ươ ng trình: 

-Giai he Ax = b bang phuong phap lap GaussSeidel

-****** -N =

4

A =

10 -1 2 0

-1 11 -1 3

2 -1 10 -1

0 3 -1 8

b =

6

25

-11

15

X0 =

0

0

0

0

Nghiem cua he hoi tu

So dieu kien: 3.137255

He on dinh

Ban muon chuong trinh thuc hien dieu gi?

1: Tim Xn, danh gia sai so

2: Tim chi so n nho nhat de nghiem Xn co sai so nho hon eps cho truoc 0: Thoat

Nhap: 1

Nhap so lan lap: 5

Xn =

1.0001

2.0000

-1.0000

1.0000

Ban co muon xuat sai so khong?

1: Co

2: Khong

Nhap: 1

TienNgChuan1 =

0.1756

TienNgChuanVoCung =

0.0202

HauNgChuan1 =

0.0012

HauNgChuanVoCung =

4.2279e-04

Ban muon tiep tuc?

So bat ky: Tiep tuc

0: Thoat

Nhap: 0

****************CHUONG TRINH KET THUC*********************

>>

K t qu :ế ả

Xn =

    1.0001

    2.0000

   ­1.0000

    1.0000

b Ví d  2  ụ

Trong đ  thi gi a kì PPT c a Tr ề ữ ủ ườ ng Đ i H c Bách Khoa năm 2017 có câu ạ ọ

V i ví d  này, ta xác đ nh đ ớ ụ ị ượ c:

9    7

3    7

2

5

0.7

0

0.4

A

b

X

−

= � �

−

��

= ��

��

� �

= � �

� �

Sai s : ố 0.06

Đ  gi i h  này, ta nh p vào Matlab   ô Comman Window ể ả ệ ậ ở (Set Path t i th  m c ch a  ạ ư ụ ứ file GaussSeidel.m):

>>GaussSeidel(2,[9,-7;-3,7],[2;5],[0.7;0.4])

Ho c ch y ch ặ ạ ươ ng trình (f5) và nh p t ng b ậ ừ ướ c:

N = 2

A = [9,-7;-3,7]

b = [2;5

X0 = [0.7;0.4]

Khi h i sai s , ta nh p ỏ ố ậ  0.06

K t qu : ế ả  n = 5

Đây là màn hình khi ta ch y ch ạ ươ ng trình

-Giai he Ax = b bang phuong phap lap GaussSeidel

-****** -N =

2

A =

9 -7

-3 7

b =

2

5

X0 =

0.7000

0.4000

Nghiem cua he hoi tu

So dieu kien: 5.333333

He on dinh

Ban muon chuong trinh thuc hien dieu gi?

1: Tim Xn, danh gia sai so

2: Tim chi so n nho nhat de nghiem Xn co sai so nho hon eps cho truoc 0: Thoat

Nhap: 2

Moi ban nhap eps: 0.06

Ban muon su dung dieu kien gi??

1: Xn - Xn-1, chuan 1

2: Xn - Xn-1, chuan vo cuc

Nhap: 1

n =

5

Ban muon tiep tuc?

So bat ky: Tiep tuc

0: Thoat

Nhap: 0

****************CHUONG TRINH KET THUC*********************

>>

K t qu ế ả :

n =

     5

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả

Giáo trình Ph ươ ng Pháp Tính – Lê Thái Thanh – Nhà xu t b n ĐHQG TP.HCM ấ ả