Các bài Toán BDHSG Tiểu học

Đó là nên chọn bài toán như thế nào để bồi dưỡng học sinh giỏi, để thực hiện điều đó được tốt, chúng ta cần thống nhất một số quan điểm :... b Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học không phải

- Bồi dưỡng học sinh giỏi nhằm mục đích gì?

- Học sinh như thế nào là học sinh giỏi?

- Bằng cách nào để có thể phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi

v.v

Dưới đây chỉ trình bày một vấn đề mà thầy cô giáo quan tâm khi bồi dưỡng học sinh giỏi Đó là nên chọn bài toán như thế nào để bồi dưỡng học sinh giỏi, để thực hiện điều đó được tốt, chúng ta cần thống nhất một số quan điểm :

b) Bồi dưỡng học sinh giỏi tiểu học không phải là dạy trước cho học sinh những kiến thức của bậc học trên.

c) Bồi dưỡng học sinh giỏi trước hết là để các em phát triển những phương pháp tư duy đặc trưng của toán học, chứ không phải để các em tích lũy được một kho kiến thức toán hay những người thợ giải toán

Với nguyên tắc trên, bài toán được lựa chọn để bồi dưỡng học sinh giỏi phải là những bài toán thuộc nội dung kiến thức cơ bản trong chương trình, có khả năng góp phần nâng cao năng lực tư duy toán của học sinh

…Chính vì vậy giáo viên cần thường xuyên tích lũy và phân loại các bài toán trong SGK để phát triển thành các bài toán bồi dường học sinh giỏi.

Có thể phát triển bài toán này thành các bài toán khó dần :

Bài toán 1 : Đếm số hình tam giác trong hình sau :

Bài toán 2: Vẽ n đường thẳng đi qua 1 đỉnh và cắt cạnh đối diện của

một tam giác Đếm số hình tam giác tạo thành.

Bài 3 : Phải vẽ bao nhiêu đường thẳng đi qua một đỉnh và cắt cạnh đối

diện của một hình tam giác để được 66 hình tam giác ?

I MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC

Phần số học ở chương trình tiểu học, xét

3 tập hợp số : Tự nhiên, phân số và số thập phân Nội dung kiến thức trọng tâm về mỗi tập hợp số gồm có :

- Khái niệm ban đầu về số : Giới thiệu số; đọc số; viết số

- Các phép tính : Khái niệm ban đầu về 4 phép tính; kĩ thuật tính; tính chất của phép tính.

- Quan hệ thứ tự : Khái niệm ban đầu về các quan hệ so sánh; kĩ thuật

Các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi phải

thể hiện nội dung này với yêu cầu cao hơn học sinh trung bình.

Sau đây là một số bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi theo 3 loại : các bài toán về kĩ

thuật tính; tính chất của phép tính; dãy số.

Ví dụ 1 : Tìm một số, biết rằng nếu

viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì được số mới lớn hơn số phải tìm là 752 đơn vị

Hướng dẫn : - Số mới bằng 10 lần số

phải tìm cộng thêm 5 đơn vị

- Hiệu của số mới và số phải tìm

là 752, nên 9 lần số phải tìm là 752 - 5 = 747

- Đưa bài toán về dạng tìm 2 số biết hiệu là 747 và tỉ của chúng 10:1

- Từ đó ta có số phải tìm là : 747 : 9

= 83

Ví dụ 2 : Cho 2 số có hiệu bằng 1757

Tìm 2 số đó, biết rằng có thể viết thêm một chữ số thích hợp vào bên phải số bé để được số lớn

Hướng dẫn : - Số lớn bằng 10 lần số

bé cộng thêm một số đơn vị

- Hiệu bằng 9 lần số bé cộng thêm số đơn vị nói trên

- Thực hiện phép chia 1757 cho 9 ta được 195 dư 2

- Từ đó suy ra số bé là 195 số lớn là 1952

Nhận xét : Các ví dụ trên nêu các bài toán trong đó có viết

thêm chữ số vào bên phải hoặc bên trái số đã cho Cũng

có thể thay đổi từ ngữ để các bài toán đó trở thành các bài toán, trong đó ta xóa bớt chữ số ở bên trái hoặc bên phải Mặt khác để sáng tác ra các bài toán người ta thường phối hợp việc thêm, bớt chữ số với những điều kiện khác như : Hiệu 2 số bằng 134 Nếu viết thêm một chữ số vào bên phải số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì được hiệu mới bằng 2297 Tìm hai số đã cho?

Ví dụ 3 : Tìm số gồm 4 chữ số, trong

đó chữ số hàng đơn vị là 5 Nếu chuyển chữ số 5 đó lên vị trí hàng cao nhất (mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số khác) thì được số mới kém số phải tìm là 531 đơn vị

Hướng dẫn : - Dùng chữ để biểu thị

số phải tìm, số mới và quan hệ giữa chúng:

Số phải tìm : abc5

Số mới : 5abc

Mối quan hệ : abc5 - 5abc = 531

abc = 614 , vậy số phải tìm 6145.

Ví dụ 4 : Tích của 2 số bằng 870

Thừa số thứ nhất có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm là 1 Nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau rồi nhân với thừa số thứ hai thì được tích mới bằng 1068 Tìm hai số ban đầu

- Đôíi chổ chữ số hàng trăm và hàng đơn

vị ta có số mới : (a+1)ba

Thông qua bài toán này ta có nhận xét

sau : Khi thừa số thứ nhất tăng thêm bao

nhiêu đơn vị mà thừa số thứ hai không đổi thì tích sẽ tăng thêm bấy nhiêu lần thừa số thứ hai

Ví dụ 5 : Tìm số có 3 chữ số, biết

rằng số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương đúng bằng 11

Hướng dẫn : Gọi số có 3 chữ số cần

tìm là abc :

abc = (a + b + c) x 11 ⇒ a x 89 = cb

Vì cb < 100 nên a = 1 và cb = 89 ⇒ abc = 198

Ví dụ 7 : (học sinh tự giải)

Tìm số chia và thương của một phép chia có dư mà số bị chia là 6784, các số dư lần lượt 21, 11 và cuối cùng là 22

Ví dụ 3 : Hiệu của 2 số là 1,4 Nếu

gấp một số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì hiệu của 2 số này sẽ là 145,4 Tìm 2 số ban đầu

Hướng dẫn : Cách phát biểu của đề

bài khiến ta phải xét 2 trường hợp : gấp số lớn lên 5 lần và giữ nguyên số bé, hoặc gấp số bé lên 5 lần và giữ nguyên số lớn

Số lớn = 38,1; số bé = 36,7

1,4

145,4

Ví dụ 4: Khi nhân một số với 305, một

học sinh đã quên viết chữ số 0 ở số

305, nên tích đúng bị giảm đi 112.590 đơn vị Tìm thừa số chưa biết

Hướng dẫn : - Thừa số đê biết là 305

nhưng đã viết sai thành 35 Thừa số này bị giảm đi : 305 - 35 = 270 (đơn vị)

Thừa số chưa biết được giữ nguyên, thừa số đã biết giảm đi 270 đơn vị thì tích bị giảm đi 270 lần thừa số chưa biết

Thừa số chưa biết : 112.590 : 270 = 417

Ví dụ 5 : Một phép chia có số bị chia là

1484, thương là 10 và số dư là số lớn nhất có thể có trong phép chia này Tìm số chia

+ Thêm 1 đơn vị số mới sẽ là : 1484 + 1

= 1485

3 Các bài toán về dãy số

Ngoài các loại toán trên, các bài toán về dãy số cũng có nhiều ưu điểm nếu xét về mục đích nâng cao năng lực tư duy của học sinh Chẳng hạn khi cố gắng đi tìm quy luật biến đổi các số trong một dãy số, học sinh phải tưởng tượng ra các số trong dãy số mà không thể viết hết ra được.

d) Chữ số thứ 789 là chữ số nào ?

2070 (chữ số)

d) Ta xét xem chữ số thứ 789 thuộc số thứ bao nhiêu trong dãy Các số trong dãy đều có 3 chữ số Ta lại có : 789 :

3 = 263

1 4

1 2

1

+ +

+ +

512

1

8

1 4

1 2

1

+ +

+ +

S

112

16

12

1

++

++

+

142

130

120

112

16

12

1

++

++

++

++

)10

19

1(

)4

13

1(

)3

12

1(

)2

11

(

109

1

43

13

2

12

11

=

−

=

−+

+

−+

−+

×

Tất cả có 800 số, mỗi dòng có 10 số,

vậy số dòng là :

800 : 10 = 80 (dòng)Tổng các chữ số hàng đơn vị mỗi dòng là :

0 + 1 + 2 + + 9 = 45Tổng các chữ số hàng đơn vị là : 45 x 80

= 3600

1x10 + 2x10 + + 9x10 =

(1+2+3+ +9)x10 = 45 x 10 = 450Tổng các chữ số hàng chục là : 450 x 8

= 3600

Vậy tổng có số các số hạng là :

(20,75 - 1,25) : 1,5 + 1 = 14Tổng là : (20,75 + 1,25) x 14 : 2 = 154

2 Một số có 4 chữ số xếp theo thứ tự tăng dần là 4 số tự nhiên liên tiếp Số này tăng thêm bao nhiêu đơn vị nếu viết theo thứ tự ngược lại.

3 Tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 100 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?

đã cho Hãy tìm số đã cho.

5 Cho 1, 3, 5, 7 là một dãy số lẻ liên tiếp đầu

tiên Hỏi 1981 là số hạng thứ bao nhiêu trong dãy

số này? Giải thích cách tìm

II.Câc băi toân về hình học:

Nội dung các yếu tố hình học ở Tiểu học gồm: Nhận dạng hình; tính chu vi và diện tích các hình theo công thức; tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích các hình theo công thức

Các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi chủ yếu là các bài toán phát triển óc tưởng tượng hình học

(hçnh)

Cách 2 : Kí hiệu các đường năm

ngang vă dọc như hình vẽ :

2 cạnh trên dưới và 2 cạnh phải trái; tức là 2 đường

ngang và 2 đường dọc

- Nếu cạnh trên là đường ngang a, thì cạnh dưới

có thể là b, c, d → có 3 cách chọn

- Nếu cạnh trên là b, thì cạnh dưới có thể là c, d

→ có 2 cách chọn

- Nếu cạnh trên là c, thì cạnh dưới là d

→ có 1

cách chọn

và cạnh dưới là : 3 + 2 + 1 = 6 (cách)

Tương tự, số cách chọn 2 đường dọc làm cạnh trái

và cạnh phải bằng :

4 + 3 + 2 + 1 = 10 (cách)

3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 =

204 (hçnh vuäng)

Lưu ý : Một bài toán đếm hình thường kết hợp cả 2 kỹ

năng “đếm” và kỹ năng nhận dạng hình Kỹ năng đếm

có thể dựa trên cơ sở liệt kê tất cả các hình, cũng có thể dựa trên lập luận kiểu tổ hợp Cách giải 2 trong bài này chính là ví dụ về lập luận tổ hợp

Ví dụ 3 : Một thửa ruộng hình chử nhật có chiều dài 324m

và chiều rộng 141m Người ta chia

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có diện

tích là 100cm2 Các điểm M, N, P lần lượt là điểm chính giữa của các cạnh AB, BC, CA Nối MN, NP, PM Tính diện tích của 4 phần được chia ra từ tam giác ABC

- Có chung chiều cao hạ từ đỉnh C

- Có hai đáy AM = BM

A

M

C P

Tương tự hai tam giác AMP và CMP có diện tích bằng nhau.

Từ đó suy ra diện tích AMP bằng 1/4 diện tích tam giác ABC

Kết luận : Các phần AMP, BMN, CNP, MNP có diện tích bằng nhau và bằng

25 cm2

Ví dụ 2 : Trên hình vẽ ABCD là hình

thang Hãy tìm các hình tam giác có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn : Các tam giác ACD

và BCD có cùng diện tích vì

có chung đáy CD, đường cao hạ

từ A đến CD bằng đường cao hạ từ Bđến CD

A

I B

C D

2 tam giác bằng nhau, nên phần còn lại bằng nhau.

Ví dụ 3 : Cho hình tứ giác ABCD như

hình vẽ M là điểm chính giữa cạnh

BC, E là điểm chính giữa cạnh AD Nối điểm A với M, B với E, hai đoạn thẳng này cắt nhau ở K

Nối D với M, C với E hai đoạn này cắt nhau ở N.Cho biết diện tích tam giác ABK bằng 3cm2, diện tích tam giác CDN bằng 5cm2 Tính diện tích hình tứ giác EKMN

7 8 5 6

S1 + S2 + S7 + S8 = S2 + S3 + S5 + S8Hay S1 + S7 = S3 + S5 = 8(cm2)

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC có điểm D ở

chính giữa cạnh AC và điểm E ở chính giữa cạnh AB Hai đoạn thẳng BD vă CE gặp nhau ở G

a) So sánh diện tích hai tam giác GBE và GCD

b) So sánh diện tích ba tam giác GAB, GBC, GCA

c) Kéo dài AG cắt BC ở M So sánh hai đoạn thẳng MB và MC

Ví dụ 5 : An đố Bình: “ Một cái sân hình chữ nhật, diện

tích từ 160m2 đến 170m2, biết chiều dài gấp đôi chiều rộng Bạn hãy tìm diện tích đúng của cái sân, biết số đo chiều dài, chiều rộng là số tự nhiên với đơn vị đo là m” Bạn hãy giúp

An và Bình trả lời câu đố trên

Hướng dẫn : - Vì chiều dài gấp đôi chiều rộng nên có thể

chia nó thành 2 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng chiều rộng hình chữ nhật Vậy diện tích hình chữ nhật gấp đôi diện tích hình vuông nên diện tích hình chữ nhật có thể là:

a) Hãy so sánh diện tích phần bị che BCEM với phần không bị che của hình chữ nhật ABCD.

b) Tính diện tích của phần giới hạn bởi đường gấp khúc

khép kín ABPNEDA Biết rằng AB=2MD=2NC=8cm, diện tích hình tam giác AMB bằng 24cm2 và diện tích hình tam giác ENC bằng 6cm2

C D

N E

III.Các bài toán về chuyển động đều:

Khi giải các bài toán về chuyển động đều chúng ta sử dụng công thức sau :

nhau tính theo công thức sau : t = S : (v1 + v2)

Hai vật chuyển động cùng chiều: Khoảng cách giữa 2 vật

là S Hai vật cùng khởi hành cùng chiều thì thời gian từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau (tức đuổi kịp nhau) tính như sau :

t = S : (v1 - v2) với vận tốc chuyển động đi sau lớn hơn vận tốc đi trước

+ Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng – vận tốc ngược dòng): 2

Ví dụ 1 :Một người đi từ A đến B với vận tốc 4km/g và

dự tính đến B vào lúc 11giờ 45phút Đi được 4/5 quãng đường AB thì người đó đi tiếp đến B với vận tốc 3km/g nên đến B vào lúc 12 giờ cùng ngày Tính quãng đường AB

Hướng dẫn : Cách 1

Thời gian thực đi nhiều hơn thời gian dự định :

12 giờ - 11 giờ 45 phút = 15 phút = 1/4 giờ

Với vận tốc 3km/g thì mỗi km đi hết thời gian :

Vì 5/5 – 4/5 (quãng đường AB) biểu thị 3km nên

quãng đường AB dài :

3 : 1/5 = 15(km)

12 giờ - 11 giờ 45 phút = 15 phút

Tỷ số vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai :

3 : 4 = 3/4

Ví dụ 2 : Một ôtô đi từ A đến B Sau khi đi được một nữa

quãng đường AB, ôtô đã tăng vận tốc thêm 0,25 vận tốc

cũ nên đã đến B sớm hơn thời gian dự định là 0,5 giờ Tính thời gian ôtô đi quãng đường AB

Hướng dẫn : Ta có 0,25 = 1/4 Nếu biểu thị vận tốc cũ

(vận tốc trên nữa đầu quãng đường AB) là 4 phần bằng nhau thì vận tốc mới trên nữa sau quãng đường AB là 5 phần đó

Vì đi với vận tốc mới nên thời gian bớt được 0,5 giờ

Do đó thời gian đi hết nữa đầu quãng đường là :

0,5 : (5 – 4) x 5 = 2,5 (giờ)

Thời gian đi nữa sau quãng đường là :

2) Ba bạn Minh, Nam, Phú thực hiện một chuyến đi từ A

đến B Vì Minh có xe máy chỉ kèm được một bạn nên họ

đã giải quyết như sau : mỗi bạn Nam, Phú phải đi bộ một đoạn đường và đi xe với Minh một đoạn đường khác Cả

3 khởi hành cùng một lúc từ A, trong đó Nam đi bộ, còn Minh kèm Phú đi xe máy Sau 2 giờ đến một địa điểm C nào đó thì Minh dừng xe

Tính AB, biết rằng vận tốc xe máy là 20km/g, Nam đi

bộ với vận tốc 5km/g, Phú đi bộ với vận tốc 4km/g