Bài giảng Phương pháp tính 1: Phương trình và hàm số - Vũ Đỗ Huy Cường

Bài giảng Phương pháp tính 1: Phương trình và hàm số cung cấp cho người học các kiến thức: Sai số trong tính toán, giải gần đúng phương trình, giải hệ phương trình, xấp xỉ và nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

hanCong.com Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy PHƯƠNG PHÁP TÍNH 1: PHƯƠNG TRÌNH HÀM SỐ Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Khoa Toán-Tin học Đại học Khoa học Tự nhiên vdhuycuong@gmail.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Giới thiệu mơn học Phương pháp tính mơn tốn học có nhiệm vụ giải đến kết số cho tốn, cung cấp phương pháp giải cho toán thực tế mà khơng có lời giải xác Mơn học cầu nối toán học lý thuyết ứng dụng thực tế Nội dung mơn học - Sai số tính tốn - Giải gần phương trình đại số - Giải hệ phương trình đại số tuyến tính - Xấp xỉ nội suy Tài liệu mơn học - Giáo trình Phương pháp tính - Giáo trình Giải tích số hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Mục lục Sai số tính tốn Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số Giải hệ phương trình Phương pháp khử Gauss Phương pháp phân tích Phương pháp lặp Phương pháp Seidel Giải gần phương trình Phương pháp chia đơi Phương pháp lặp Phương pháp tiếp tuyến Phương pháp dây cung Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 hanCong.com Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số Chương Sai số tính tốn https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số Sai số đo lường tinh toán hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số Sai số đo lường tinh toán hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số Sai số giá trị chênh lệch giá trị đo (hoặc tính được) giá trị thực (hay giá trị xác) đại lượng Khi đo đạc nhiều lần đại lượng đó, thơng thường dù cẩn thận đến mấy, thấy kết lần đo khác Điều chứng tỏ kết đo ln ln có sai số kết nhận giá trị gần mà thơi Có hai loại sai số thường gặp sai số ngẫu nhiên sai số hệ thống Sai số ngẫu nhiên sai số yếu tố ngẫu nhiên có tính gây (Sai số lần đo khác nhau) Sai số hệ thống sai số yếu tố thường xuyên hay yếu tố có quy luật tác động (Sai số lần đo nhau) hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính toán sai số 1.1 Khái niệm sai số Định nghĩa 1.1 Giả sử a∗ số đúng, a số gần a∗ Ta gọi hiệu số a∗ − a sai số xấp xỉ số gần a Khi ∆a = |a∗ − a| gọi sai số tuyệt đối a∗ − a gọi sai số tương đối δa = a∗ Khi a biểu diễn sau a − ∆a ≤ a ≤ a + ∆a hay a = a ± ∆a Ví dụ 1.1 Cho a∗ = 9.8 a = 10 Tìm sai số tuyệt đối sai số tương đối Sai số tuyệt đối ∆a = |a∗ − a| = |9.8 − 10| = 0.2, a∗ − a 0.2 Sai số tương đối δa = = = 0.020408 ∗ a 9.8 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số 1.1 Khái niệm sai số Bài tập: Kiểm tra xem giá trị sau có thỏa u cầu sai số hay khơng (nếu có)? Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối 1.1 Gói mì có khối lượng tiêu chuẩn 100 ± g Một gói mì có khối lượng 105 g 1.2 Hộp sữa tích tiêu chuẩn 180 ± ml Một hộp sữa tích 178 ml 1.3 Một cầu dự tính dài 24.5 m Trong thực tế dài 25.2 m 1.4 Lượng kem bánh theo quảng cáo chiếm 25% khối lượng bánh (120 g) Trong thực tế chiếm 10% 1.5 Thể tích lon nước tiêu chuẩn 330 ml Một lon nước bơm đến 333 ml 1.6 Một tiết học tiêu chuẩn 50 p Tuy nhiên giáo viên dạy 45 p hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Khái niệm sai số Phân loại sai số Làm tròn số Tính tốn sai số 1.2 Phân loại sai số Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có loại sau: - Sai số giả thiết: xuất việc giả thiết toán đạt số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp toán - Sai số số liệu ban đầu: xuất việc đo đạc cung cấp giá trị đầu vào khơng xác - Sai số phương pháp: xuất việc giải toán phương pháp gần - Sai số tính tốn: xuất làm tròn số q trình tính tốn, q trình tính nhiều sai số tích luỹ lớn hanCong.com Ví dụ 1.2 a) Cho π 10 b) Cho nam = 365 ngày c) Cho sin x x d) Tính e3 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 10 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé n (yi − axi − b)2 Trường hợp f (x) = f1 (x) = ax + b Khi S = i=1 Các tham sốa b nghiệm hệ n  ∂S   (yi − axi − b)xi = 0,   ∂a = −2 i=1 ⇔ n  ∂S   = −2 (yi − axi − b) = 0,   ∂b i=1  n n n    xi a + xi b = xi yi ,   i=1 n      i=1 xi a + nb i=1 i=1 n yi , = i=1 Người ta chứng minh hệ ln có nghiệm hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 82 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé Ví dụ 4.5 Cho bảng số liệu thực nghiệm sau biết y = ax + b Hãy tính a, b phương pháp bình phương bé tìm y(10) Ta lập bảng hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 83 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 84 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé Từ hệ bảng ta hệ phương trình sau: 300a + 36b = 396, 36a + 6b = 45 Giải hệ ta a = 1.5, b = −1.5 Vậy hàm số y = f (x) có dạng y = 1.5x − 1.5 Khi ta nhận y(10) = 1.5 · 10 − 1.5 = 1.35 Bài tập: Tìm đường thẳng xấp xỉ bảng liệu sau hanCong.com x y 2.2 4.2 6.8 8.5 8.1 9.5 9.7 11 10.5 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 85 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé Trường hợp y = f2 (x) = aebx Lây logarit hai vế ta thu ln y = ln(aebx ) = ln a + ln ebx = ln a + bx = bx + ln a (2) Đặt Y = ln y, A = b B = ln a tốn y = aebx trở thành Y = Ax + B Sử dụng phương pháp để tìm A B sau xác định a = eB b = A Nghĩa Cho x, y có quan hệ y = aebx với bảng số liệu: hanCong.com Ta lập bảng với quan hệ Y = Ax + B https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 86 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé Ví dụ 4.6 Cho bảng số liệu thực nghiệm sau biết y = aebx Hãy tính a, b phương pháp bình phương bé tìm y(10.2) Ta lập bảng hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 87 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 88 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.3 Bình phương bé Từ hệ bảng ta hệ phương trình sau: 337.75A + 38.9B = 189.2099, 38.9A + 6B = 24.3052 Giải hệ ta A = 0.3697, b = 0.3697, ⇒ B = 1.6538 a = 5.2268 Vậy hàm số y = f (x) có dạng y = 5.2268e0.3697x Khi ta nhận y(10.2) = 5.2268e0.3697·10.2 = 226.6569 Bài tập: Tìm đường cong y = aebx xấp xỉ bảng liệu sau hanCong.com x y 2.2 2.5 2.7 8.5 3.1 9.5 3.2 11 3.5 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 89 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Việc xây dựng đa thức qua điểm nội suy trường hợp liệu lớn cơng việc khó khuan khó ứng dụng Một cách khắc phục đoạn liên tiếp cặp điểm nút nội suy ta nối chúng đường cong đơn giản đơn giản đường thẳng Tuy nhiên điểm nút hàm tính khả vi Do người ta cố gắng xây dựng đường cong cách nối đường cong nhỏ lại với cho bảo tồn tính khả vi hàm số hàm Đường cong gọi đường spline (đường ghép trơn) Các đoạn cong nhỏ thông thường đa thức Chúng ta xét hai loại đường spline phổ biến đường spline bậc hai spline bậc ba hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 90 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Nội suy Spline bậc ba: Cho hàm số (x) xác định đoạn [a, b] phép phân hoạch a = x0 < x1 < < xn = b Một Spline bậc ba f (x) nội suy hàm f (x) [a, b] hàm thỏa điều kiện sau: Hàm số f (x) có đạo hàm đến cấp hai liên tục đoạn [a, b] Trên đoạn [xi , xi−1 ], hàm số f (x) đa thức bậc ba f (xi ) = f (xi ), ∀0 ≤ i ≤ n Một hai điều kiện sau thỏa (i) f (a) = f (b) = (điều kiện biên tự nhiên) (ii) f (a) = f (a), f (b) = f (b) (điều kiện biên ràng buộc) Một spline bậc ba thỏa điều kiện biên tự nhiên gọi Spline tự nhiên Còn thỏa điều kiện biên ràng buộc gọi spline ràng buộc hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 91 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Thuật tốn Tìm Spline tự nhiên bậc ba: Tính độ dài khoảng phân hoạch hi = xi+1 − xi , ≤ i ≤ n − Giải  hệ phương trình sau để tìm mi , ≤ i ≤ n h + hi+1 h y − yi+1 yi+1 − yi h  + mi+2 i+1 = i+2 − mi i + mi+1 i 6 hi+1 hi  m0 = mn = Tính Mi , Ni theo cơng thức  h2   Mi = yi − mi i , ≤ i ≤ n − hi2   N =y ,0 ≤ i ≤ n − − m i i+1 i+1 Xây dựng f (x) theo công thức (x − xi )3 (x − x)3 x −x x − xi f (x) = mi+1 + mi i+1 + Mi i+1 + Ni 6hi 6hi hi hi với x ∈ [xi , xi+1 ], ≤ i ≤ n − hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 92 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Ví dụ 4.7 Tìm spline bậc ba tự nhiên nội suy hàm số y = 3x đoạn [0, 4] với mốc nội suy 0, 1, 3, hanCong.com Dễ thấy h0 = 1, h1 = 2, h2 = y0 = 1, y1 = 3, y2 = 27, y3 = 81 Ta  lập hệ phương trình m0 = 0, m3 =     1+2 27 − 3 − m0 + m1 + m2 = − = 10, 6     m1 + + m2 + m3 = 81 − 27 − 27 − = 42 6  m = 0,       m1 = 108 , 35 ⇒ 1452   m2 = ,   35   m3 = https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 93 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline h02 h2 87 = 1,N0 = y1 − m1 = 6 35 3 (x − x) x −x x − x0 (x − x0 ) + m0 + M0 + N0 ⇒ f (x) = m1 6h0 6h0 h0 h0 18 87 18 52 = x + (1 − x) + x= x + x + 35 35 35 35 h2 h2 33 23 Với i = ta có M1 = y1 − m1 = ,N1 = y2 − m2 = − 35 35 (x − x1 )3 (x2 − x)3 x2 − x x − x1 ⇒ f (x) = m2 + m2 + M1 + N1 6h1 6h1 h1 h1 121 33 23 = (x − 1)3 + (3 − x)3 + (3 − x) − (x − 1) 35 35 70 70 2 h h 703 Với i = ta có M2 = y2 − m2 = ,N2 = y3 − m3 = 81 35 242 703 ⇒ f (x) = (4 − x) + (4 − x) + 81(x − 3) 35 35 Với i = ta có M0 = y0 − m0 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 94 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Như  spline bậc ba cần tìm có dạng 18 52   x + x + 1, 0≤x ≤1   35  35 33 23 121 f (x) = (x − 1)3 + (3 − x)3 + (3 − x) − (x − 1) ≤ x ≤  35 35 70 70     242 (4 − x)3 + 703 (4 − x) + 81(x − 3) 3≤x ≤4 35 35 hanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 95 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Đa thức tổng quát Đa thức Lagrange Newton Bình phương bé Đa thức Spline 4.4 Đa thức Spline Bài tập: Tìm Spline tự nhiên bậc ba liệu sau 4.25 hanCong.com x y 2.2 1.8 2.7 3.1 4.26 x y 3 5 4.27 x y 1.5 1.9 2.5 10 -0.5 0.8 0.5 1.0 1.9 4.28 x y -2 1.5 https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 96 / 96 ... https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 16 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương. .. https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 18 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương. .. https://fb.com/tailieudientucntt Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Phương pháp tính 1: Phương trình Hàm số 20 / 96 Sai số tính tốn Giải gần phương trình Giải hệ phương trình Xấp xỉ nội suy Phương pháp chia đôi Phương pháp lặp Phương