Các mã xyclic và xyclic cục bộ trên vành đa thức

Các mã xyclic truyền thống được xây dựng trên các Ideal của vành đa thức. Do việc thực hiện đơn giản, các mã xyclic này được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Bài báo này trình bày một lớp mã tuyến tính mới được gọi là các mã xyclic cục bộ (XCB). Các mã này được xây dựng trên các phân hoạch của vành đa thức theo các nhóm nhân xyclic. Các mã xyclic truyền thống được xem là một lớp con của các mã xyclic cục bộ.

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 50 (6) (2012) 735-749 CÁC MÃ XYCLIC VÀ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC Nguyễn Bình Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 122 Hồng Quốc Việt, Cầu Giấy, Hà Nội Email: nguyenbinh@ptit.edu.vn Đến Tòa soạn: 14/12/2012; Chấp nhận đăng: 24/12/2012 TÓM TẮT Các mã xyclic truyền thống xây dựng Ideal vành đa thức Do việc thực đơn giản, mã xyclic sử dụng rộng rãi thực tế Bài báo trình bày lớp mã tuyến tính gọi mã xyclic cục (XCB) Các mã xây dựng phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic Các mã xyclic truyền thống xem lớp mã xyclic cục Từ khóa: mã XCB (xyclic cục bộ), mã xyclic, vành đa thức, lũy đẳng, nhóm nhân xyclic, giải mã ngưỡng MỞ ĐẦU Các mã khống chế sai (mã kênh) hướng kiến thiết cho định lý mã hóa thứ hai Shannon Trong hướng chủ đạo xây dựng mã cấu trúc đại số với quan điểm mã xem tập có cấu trúc cấu trúc đại số Thành tựu bật hướng mã xyclic truyền thống xây dựng Ideal vành đa thức với Ideal phần tử không vành lớp đồng dư [1] Do đặc tính bất biến phép dịch vòng, mã xyclic dễ thực mặt kĩ thuật áp dụng rộng rãi thực tế cho dù chúng thường không mã tốt khả hạn chế việc lựa chọn Ideal Bài báo đưa quan điểm xây dựng lớp mã tuyến tính mã xyclic cục Các mã có khả lựa chọn lớn nhiều so với mã xyclic Ideal giữ đặc tính xyclic (bất biến phép dịch vòng) thuận tiện cho việc thực kĩ thuật Hơn nữa, theo quan điểm xây dựng mã xyclic cục bộ, mã xyclic truyền thống xem lớp đặc biệt chúng PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ 2.1 Nhóm nhân xyclic vành đa thức Xét vành đa thức  Z  x  / x n  1  Z n Cho a  x   Z n 735 Nguyễn Bình Định nghĩa: Nhóm nhân xyclic A Zn tập luỹ thừa khác a(x) A  a i  x  , i  1, 2,  Cấp phần tử sinh a(x) nhóm ord a  x  = A Định lí [2]: Với n lẻ, cấp cực đại đa thức vành xác định sau: max ord a  x  = 2m -1 Với phân tích X n  : X n    fi  x  i f i  x  : đa thức bất khả quy m  max deg f i  x  i Với n chẵn: n  2l  2t  1 X n    fi  x  i m  max deg f i  x  i max ord a(x) = 2l (2m -1) Định nghĩa: Đa thức đối xứng (đa thức bù) Đa thức đối xứng a  x  đa thức a(x) xác định sau: n 1 a  x   e0  x   a  x  với e0  x    x i i0 Như a  x    x i a  x    a j x j iI Bổ đề: Định nghĩa: Đa thức luỹ đẳng 736 jI I  J  S n  0,1, 2, , n  1 I  J  ord a  x   ord a  x  a i  x    x  Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Đa thức e(x) gọi luỹ đẳng nếu: e  x   e  x  Định nghĩa: Luỹ đẳng nuốt n 1 Với n lẻ, đa thức e0  x   x i luỹ đẳng nuốt e0  x  có tính chất sau: i0  e02  x   e0  x  w  a ( x)   chan  w  a ( x)   le e0  x   a  x  e0  x    2.2 Các lớp kề xyclic luỹ đẳng nguyên thuỷ Định nghĩa: Các lớp kề xyclic theo modulo n tập sau: Ci  i.2 j ; j  0,1,  Ta có: S n   Ci i Ví dụ: n7 C0  0 ; C1  1, 2, 4 ; C3  3,6,5 S7  C0  C1  C3 n9: C0  0 ; C1  1, 2, 4,8,7,5 ; C3  3,6 S9  C0  C1  C3 n  11: C0  0 ; C1  1, 2, 4,8,5,10,9,7,3,6 S11  C0  C11 n  15 : C0  0 ; C1  1, 2, 4,8 ; C3  3,6,12,9 ; C5  5,10 ; C7  7,14,13,11 S15  C0  C1  C3  C5  C7 Nhận xét: Với phân tích x n    f i  x  i deg fi  x   Ci Ví dụ: n  : x   1  x  1  x  x3 1  x  x  Ta có: C0  , C1  , C3  737 Nguyễn Bình  Các lũy đẳng nguyên thuỷ đa thức có chứa đơn thức với số mũ thuộc Ci Ví dụ: n = 7, luỹ đẳng nguyên thuỷ C0  0 : e1  x   x  C0  1, 2, 4 : e2  x   x  x  x C3  3,6,5 : e3  x   x  x  x  Tính chất luỹ đẳng nguyên thuỷ:  Tổng hai luỹ đẳng nguyên thuỷ luỹ đẳng  Tích hai luỹ đẳng nguyên thuỷ luỹ đẳng  Số luỹ đẳng vành: N e  2u  với u – số luỹ đẳng nguyên thuỷ Ví dụ: n = 7, u = 3, Ne = Các luỹ đẳng đa thức e1  x   , e2  x   x  x  x , e3  x   x  x  x e1  x   e2  x    x  x  x , e1  x   e3  x    x  x  x e2  x   e3  x   x  x  x  x  x 6 e1  x   e2  x   e3  x    x i i0 Mỗi luỹ đẳng phần tử đơn vị nhóm nhân xyclic 2.3 Phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic [3] Xét tập phần tử khác không vành Z n*  Z n \ {0} Ta thực phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic A thành lớp kề theo thuật toán sau: VÀO: - Z n* - a ( x )  Z n* (a(x) gọi hạt nhân phân hoạch) RA: Phân hoạch vành Z n* Bước 1:    Xây dựng nhóm nhân xyclic sinh a(x): A  a i  x  , i  1, 2,  Z n*  Z n* \ A Bước 2: 738 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức  Lấy b  x   Z n*  Xây dựng cấp số nhân xyclic B  b( x ) A  b( x ).a i ( x ), i  1, 2,   Z n*  Z n* \ B Bước 3: Lặp lại bước Z n*   Các kiểu phân hoạch khác phụ thuộc vào cấp a(x) Định nghĩa: Một phân hoạch gọi không suy biến chứa phần tử Z n* Bổ đề: Phân hoạch vành không suy biến w  a ( x )  lẻ Với giá trị n tồn kiểu phân hoạch sau:  Phân hoạch cực tiểu: ord a(x) = 1, w(a(x))- lẻ n * n Z bao gồm  lớp kề, lớp kề phần tử Z n*  Phân hoạch chuẩn: ord a(x) = n, w(a(x))- lẻ kiểu phân hoạch chuẩn, lớp kề có lực lượng n ước n  Phân hoạch cực đại: ord a(x) = max, Ví dụ: n=5 Phân hoạch chuẩn: w(a(x))- lẻ a(x) = x 16 12 24 17 10 20 18 14 28 25 19 11 22 13 26 21 15 30 29 27 23 31 Ghi chú: Biểu diễn nhị phân số mô tả đa thức tương ứng Ví dụ: 21  20  22  24   x  x Phân hoạch cực đại: a ( x)   x  x  (024)  024  ,  034  , 1 ,  013 ,  014  ,   , 124  ,  012  ,  3 ,  A   023 , 123 ,   , 134  ,  234  ,    739 Nguyễn Bình 13 , 12  ,  0234  ,  24  ,  23 ,  0134  ,  03 ,  34  ,  3 ,  0124  ,  A  14  ,  04  ,  0123 ,  02  ,  01 , 1234   Phân hoạch cực đại gồm lớp kề A A (01234) 2.4 Định nghĩa mã XCB Định nghĩa: Mã XCB mã tuyến tính có dấu mã tập không trống tuý ý lớp kề phân hoạch vành đa thức Zk theo nhóm nhân xyclic Nhận xét:    Nếu tập chứa nhóm nhân xyclic đơn vị I  x i , i  0, k  mã XCB mã hệ thống,  Nếu chọn lớp kề để tạo mã ta có mã xyclic,  Nếu lớp kề chọn nằm phân hoạch vành theo nhóm nhân xyclic ta có mã XCB đơn nhịp Nếu lớp kề chọn nằm phân hoạch khác vành ta có mã XCB đa nhịp Nếu lớp kề chọn nằm phân hoạch vành khác ta có mã XCB phân hoạch hỗn hợp [4]  Các mã XCB mô tả qua trưởng lớp kề (phần tử lớp kề ) tạo mã VD: Mã XCB (15,5,7) xây dựng từ lớp kề {1,7,11} phân hoạch chuẩn Ma trận sinh: G5.15 1  0  0  0 0  0 0 0 1 1 1  0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1  0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1  Mã xyclic (15, 5, 7) xây dựng từ nhóm nhân xyclic A  Đây mã xyclic hệ thống có ma trận sinh: 740  024  , i  1, 2 i Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức G5.15 1 0   1  0 1  1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0  0 0 1 1 0 0  1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1  2.5 Nhóm nhân xyclic theo modulo [5] Định lý: Nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo h( x) , h( x) x n  A   x i mod h( x), i  0,1, 2,   x n  1   h( x )  * Là mã xyclic ideal có đa thức sinh g ( x )   Với f * ( x ) đa thức đối ngẫu f(x): f * ( x )  x deg f ( x ) f  x 1  Ví dụ: n  , h( x)   x  x3 A  1, x, x ,1  x, x  x ,1  x  x ,1  x  Ta có: x7   1 x  x2  x4 x  x 1 Như A mã xyclic (7,3,4) có đa thức sinh g ( x)   x  x3  x 2.6 Mã hố cho mã XCB Q trình mã hố cho mã XCB trình xây dựng lớp kề tạo mã Ví dụ 1: Mã hố cho mã (15,5,7) phân hoạch chuẩn từ lớp kề {1,7,11} (hình 2.1) Hình 2.1 Bộ mã hóa cho mã (15,5,7) 741 Nguyễn Bình Ví dụ 2: Mã hố cho mã (15,5,7) phân hoạch cực đại từ nhóm nhân xyclic (hình 2.2) A  024  , i  1, 2,  i i  1,15 Hình 2.2 Bộ mã hóa cho mã (15,5,7) Bộ tạo xung nhịp tương ứng mơ tả hình 2.3 3i-2 3i-1 3i i  1,15 i   0,15 Hình 2.3 Bộ tạo xung nhịp Ví dụ 3: Mã hố cho mã xyclic (7,3,4) xây dựng nhóm nhân xyclic (hình 2.4)   A  xi mod 1  x  x3  , i  1, Hình 2.4 Bộ mã hóa cho mã (7,3,4) 742 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Ví dụ 4: Mã hoá cho mã xyclic (15,5,7) xây dựng nhóm nhân xyclic (hình 2.5)   A  x i mod x  x  x  1, i  0,14 Hình 2.5 Bộ mã hóa cho mã (15,5,7) 4 4 1, x, x , x , x ,1  x  x ,1  x  x  x  x ,1  x  x , x  x  x ,  A 2 3 3 4 1  x  x ,1  x  x , x  x  x , x  x  x ,1  x  x , x  x  x  = 1, 2, 4,8,16, 21, 31,11, 22, 25, 7,14, 28,13, 26 2.7 Giải mã ngưỡng cho mã XCB Các mã XCB ví dụ 1,2 & mã có khả trực giao Các mã giải mã sơ đồ ngưỡng với cấp Ví du 5: Giải mã ngưỡng cho mã (15,5,7) = {1,7,11} (hình 2.6) 16 16.1 8.16 14 28 25 19 11 22 13 26 21 M=5 2.4 1.2 M=5 4.8 Hình 2.6 Bộ giải mã ngưỡng cấp cho mã (15,5,7) Hoạt động: 743 Nguyễn Bình  15 nhịp đầu: Đưa dấu mã nhận vào ô nhớ tương ứng  nhịp tiếp: Giải mã cho cặp dấu mã  nhịp cuối: Giãi mã cho dấu thơng tin Ví dụ 6: Giải mã ngưỡng cho mã (15,5,7) xây dựng nhóm nhân xyclic (hình 2.7) A  024  , i  1,15 i A  21, 25, 2,11,19, 4, 22, 7,8,13,14,16, 26, 28,1 Hoạt động:  15 nhịp đầu: Ghi dấu mã nhận vào ô nhớ tương ứng ghi A  Nhịp 16 th: giải mã cho cặp dấu 1.2  Nhịp 19 th: giải mã cho cặp dấu 2.4  Nhịp 22 th: giải mã cho cặp dấu 4.8  Nhịp 25 th: giải mã cho cặp dấu 8.16  Nhịp 28 th: giải mã cho cặp dấu 16.1  Nhịp 31 th: giải mã cho dấu thông tin  Nhịp 34 th: giải mã cho dấu thông tin  Nhịp 37 th: giải mã cho dấu thông tin  Nhịp 40 th: giải mã cho dấu thông tin  Nhịp 43 th: giải mã cho dấu thông tin 16 21 25 11 19 22 8.16 4.8 13 14 16 26 28 M=5 M=5 A 16.1 2.4 1.2 B Hình 2.7 Bộ giải mã ngưỡng cấp cho mã (15,5,7) 744 RA Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Ví dụ 7: Giải mã cho mã xyclic (15,5,7) xây dựng nhóm nhân modulo (hình 2.8) h( x)  x  x  x    A  xi mod h( x), i  0,14 A  1, 2, 4,8,16, 21,31,11, 22, 25, 7,14, 28,13, 26 Hoạt động:  15 nhịp đầu: Đưa dấu mã nhận vào ô nhớ;  15 nhịp tiếp: Giải mã cho cặp dấu mã;  nhịp cuối: Giải mã cho dấu thông tin 16 21 31 25 22 25 11 22 11 22 25 14 28 13 26 M=5 A 26 13 26 28 13 14 28 14 31 11 21 11 31 16 21 16 B M=5 RA Hình 2.8 Bộ giải mã ngưỡng cấp cho mã (15,5,7) PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC THEO LỚP CÁC PHẦN TỬ LIÊN HỢP 3.1 Các thặng dư bậc phần tử liên hợp [6] Định nghĩa 3.1: Đa thức f  x   Z2  x  /x n +1 gọi thặng dư bậc vành f  x   tồn g(x) cho: g  x   f  x  mod x n +1 745 Nguyễn Bình Gọi Qn tập hợp chứa thặng dư bậc Bổ đề 3.1: Với n lẻ f  x   thặng dư bậc Mỗi f(x) có bậc Ta có: Qn = 2n -1 Bổ đề 3.2: Với n chẵn, f  x   Qn f(x) tổng đơn thức có mũ chẵn Ta n có: Q n = 2 -1 Bổ đề 3.3: Với n chẵn, bậc thặng dư bậc hai xác định theo công thức sau: n    g  x  = 1+ x    x t  + f  x     tU  n n   U tập tùy ý tập S = 0,1, , -1 Ta có U = 2 Nếu   f  x  =  f i x 2i f  x  =  f i x i ( f  x  gọi bậc f  x  ) Các g(x) gọi phần tử liên hợp Ví dụ: n = Các bậc hai x 2i cho bảng sau: x 2i x2 x4 x6 x8 (1) (2) (3) (4) (014) (024) (034) (015) (126) (125) (135) (016) (137) (237) (236) (037) (5) (6) (7) (4) (045) (046) (047) (145) (256) (156) (157) (246) (257) (367) (267) (347) (01246) (01245) (01345) (01256) 10 (01347) (02347) (02346) (01357) 11 (12367) (12357) (12356) (02367) 12 (02456) (01456) (01457) (12456) 13 (03457) (03467) (02467) (13457) 14 (23567) (13567) (12567) (23467) 15 (0123467) (0123457) (0123456) (0123567) 16 (0234567) (0134567) (0124567) (1234567) TT 746 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Chú ý: Trong bảng ta kí hiệu đa thức sau: (01246)   x  x  x  x Ví dụ:  a1  a2   as  pn  a1pn  a2pn   aspn Lớp chứa phần tử liên hợp thặng dư bậc xem phần tử vành chứa lớp Vành gọi vành phần tử liên hợp Bằng cách sử dụng phân hoạch phần tử đơn vị phần tử không vành ta xây dựng mã XCB [6, 8, 9]) Ngồi ta xây dựng hệ mật cấp số nhân xyclic [7] KẾT LUẬN Các mã XCB xây dựng có khả lựa chọn lớn nhiều so với mã xyclic truyền thống giữ tính đơn giản việc thể kĩ thuật mã xyclic Ta thấy rõ bảng so sánh sau: Khả lựa chọn Khả thể kỹ thuật Mã xyclic Ít Đơn giản Mã xyclic cục Nhiều Đơn giản Mã tuyến tính ngẫu nhiên Rất nhiều Phức tạp Ta phân loại mã tuyến tính xây dựng vành đa thức hình 4.1 Hình 4.1 Phân loại mã tuyến tính vành đa thức 747 Nguyễn Bình Các lớp mã XCB mơ tả Hình 4.2 Hình 4.2 Các lớp mã XCB TÀI LIỆU THAM KHẢO Todd K Moon – Error Correction Coding: Mathematical Methods and Algorithm John Wiley & Sons, Inc, 2005 Nguyen Binh, Le Dinh Thich – The Orders of Polynomials and Algorithms for Defining Order of Polynomial over Polynomial Ring, 5th Vietnam Conference on Automation (5th VICA), Hanoi, Vietnam, Oct 2002 Nguyen Binh, Vu Viet, Pham Viet Trung – Decomposition of Polynomial Ring and Coding with Random Clock, CAFEO, 2000 Ngo Duc Thien, Nguyen Binh – Some Local Cyclic Codes Based on Compound Decomposition of Two Polynomial Rings, International Conference on Advanced Technologies for Communications (ATC 2008 - REV’11), Hanoi, Vietnam, October, 2008 Dang Hoai Bac, Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh – Novel algebraic structure for cyclic codes, Applied Algebra, Algebraic Algorithms, and Error Correcting Codes –Conf AAECC 17, LNCS 4851, pp 301-310, 2007, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Nguyen Binh, Tran Duc Su, Pham Viet Trung - Decomposition of polynomial ring according to the classes of conjugate elements, AIC-26, Hanoi, Vietnam, 2001 Nguyen Binh – Crypto-System Based on Cyclic Geometric Progressions over Polynomial Ring (Part I&II), REV’02, Vietnam, 2002 Ngô Đức Thiện – Các mã xyclic cục xây dựng phân hoạch hỗn hợp, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thông, 2010 748 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Đặng Hoài Bắc – Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức có lớp kề xyclic, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 2010 ABSTRACT CYCLIC AND LOCAL CYCLIC CODES OVER POLYNOMIAL RING Nguyen Binh Posts and Telecommunications Institue of Technology, 122 Hoang Quoc Viet, Hanoi, Vietnam Email: nguyenbinh@ptit.edu.vn Traditional cyclic codes are constructed on Ideals of Polynomial ring Depending on simple technical implementation, these codes are used widely in practice In this paper, a new class of linear codes is presented They are called local cyclic codes (LCC) These codes are constructed on decompositions of polynomial ring according to the cyclic multiplicative groups Traditional cyclic codes are considered as a subclass of Local Cyclic Codes Keywords: Local cyclic codes, cyclic codes, polynomial ring, idempotent, cyclic multiplicative group, threshold decoding 749 ... Thiện – Các mã xyclic cục xây dựng phân hoạch hỗn hợp, Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng, 2010 748 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Đặng Hoài Bắc – Các mã xyclic xyclic... mod 1  x  x3  , i  1, Hình 2.4 Bộ mã hóa cho mã (7,3,4) 742 Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Ví dụ 4: Mã hố cho mã xyclic (15,5,7) xây dựng nhóm nhân xyclic (hình 2.5)   A  x i mod... 16 26 28 M=5 M=5 A 16.1 2.4 1.2 B Hình 2.7 Bộ giải mã ngưỡng cấp cho mã (15,5,7) 744 RA Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức Ví dụ 7: Giải mã cho mã xyclic (15,5,7) xây dựng nhóm nhân modulo