Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo MUDULO

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG TÊN HỌC VIÊN: TRẦN ĐỨC QUYỀN TÊN LUẬN VĂN: CÁC MÃ XYXLIC XÂY DỰNG TRÊN CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC THEO MODULO CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ MÃ SỐ: 60.52.70 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bình ĐÀ LẠT - Năm 2009 2 Luận văn được hoàn thành tại: Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Tập đoàn Bưu chính Viễn thông Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Bình Phản biện 1: …………………………………………………… …………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………… …………………………………………………… Phản biện 3: …………………………………………………… …………………………………………………… Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Vào lúc: giờ ngày tháng năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn tại: Thư viện Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông 1 LỜI NÓI ĐẦU Theo nghĩa khái quát mã hóa là một ánh xạ 1-1 từ tập tin rời rạc lên tập các từ mã thuộc một tập hợp nào đó, tập hợp này không nhất thiết là một tập các phần tử có cấu trúc. Tuy nhiên để thuận tiện cho việc mã hóa và đặc biệt là việc giải mã người ta thường chọn tập hợp này là một cấu trúc đại số nào đó. ( nhóm, vành, trường, không gian tuyến tính… ). Thành tựu lớn nhất trong lý thuyết mã hóa là việc xây dựng các mã xyclic truyền thống là các ideal trong vành đa thức. Về bản chất mã xyclic chính là phần tử đơn vị của phép cộng ( phần tử zero ) trên vành đồng dư được xây dựng trên vành đa thức. Tuy nhiên bằng cách lựa chọn các nhóm nhân xyclic ( hoặc các cấp số nhân xyclic trong phân họach của vành đa thức theo các nhóm nhân xyclic ) ta cũng có thể xay dựng được các mã xyclic khác với các mã truyền thống chỉ là một trường hợp lựa chọn đặc biệt khi chọn các nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo. Hiển nhiên là cách mã hóa này cho ta khả năng lựa chọn phong phú khi xây dựng các mã trên vành đa thức cụ thể. Cho dù khả năng lựa chọn này còn kém xa so với khả năng lựa chọn theo quan điểm mã hóa tuyến tính ngẫu nhiên của Shanmon nhưng bù lại nó lại có được đặc tính xyclic rất thuận lới cho việc mã hóa và 2 giải mã. Đây là đặc tíh ứng dụng đơn giản nổi trội của các mã xyclic truyền thống. Trên cơ sở các nghiêm cứu gần đây về các mã xyclic cục bộ xây dựng trên cán phân họach mã vành, theo quan điểm mới này luận văn mới chỉ chú trọng tới việc xây dựng mã từ các nhóm nhân xyclic có so sánh với các mã xyclic truyền thống. Bảng luận văn được chia làm 3 chương với các nội dung chủ yếu sau: - Chương I: Vành đa thức và các nhóm nhân xyclic. Chương này trình bày tổng quan lý thuyết nhóm nhân xyclic trên vành đa thức. - Chương II: Phân họach vành đa thức. Chương này trình bày các phương pháp phân họach vành đa thức theo các nhóm nhân xyclic khác nhau. Đây là cơ sở để xây dựng các mã xyclic cục bộ. - Chương III: Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic. Chương này mô tả cách xây dựng các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic bao gồm thuật tóan mã hóa và thiết bị mã hóa, thuật tóan giải mã ngưỡng và thiết bị giải mã ngưỡng. Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây dựng trên các ideal và các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo modulo cũng được xem xét. 3 Được sự giúp đỡ tận tình của thầy GS.TS Nguyễn Bình và sự nổ lực của bản thân luận văn đã được hòan thành. Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp và trình độ hạn chế việc hiểu và trình bày các vấn đề được nêu không thể tránh khỏi còn nhiều thiếu sót. Rất mong được sự góp ý của các thầy và các bạn có quan tâm. CHƯƠNG I CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC 1.1. Mã cyclic truyền thống và mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon Mã cyclic gồm các từ mã là bội của đa thức sinh g(x) với g(x) là một ước nào đó của n x 1  . Từ mã hay đa thức mã a(x) của mã cyclic là một phần tử của ideal ( ) g x thoả mãn điều kiện ( ): ( ) a x g x [5, 6]. Một tính chất quan trọng rất thuận lợi cho việc mã hoá và giải mã cho các mã cyclic là dịch vòng của một đa thức mã cũng là một đa thức mã. Ký hiệu _( , ) V n k là mã cyclic (tuyến tính) có 4 độ dài từ mã n và số dấu thông tin k được sinh bởi đa thức sinh g(x) với deg ( ) g x r n k    . Khi đó ta có: Nếu ( ) _( , ) a x V n k  thì ( ): ( ) a x g x , Ta có: + Dịch vòng trái: ( ): ( ) xa x g x , + Dịch vòng phải: ( ) : ( ) a x g x x . Các mã cyclic được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế. Rất nhiều đa thức sinh cụ thể đã được sử dụng trong các chuẩn truyền tin [5]. 1.2. Các mã cyclic cục bộ (LCC: Local cyclic codes) Để khắc phục những hạn chế trên của mã cyclic vào năm 1987, GS Nguyễn Bình và giáo sư Nguyễn Xuân Quỳnh đã cùng nhau thảo luận đưa ra một quan điểm mã hoá mới dựa trên việc phân hoạch vành số 2 1 k Z  thành các lớp kề của nhóm nhân cyclic đơn vị   2 , 0, 1 k I i k    (1-1) Mã được xây dựng trên phân hoạch (1-1) được gọi là mã cyclic cục bộ và được định nghĩa như sau : 5 Định nghĩa 1.1: Mã cyclic cục bộ hệ thống (n, k) là mã hệ thống tuyến tính trong đó: - k dấu thông tin là k phần tử của nhóm nhân cyclic đơn vị - n-k = r dấu kiểm tra là một tập con không trống tuỳ ý nào đó các lớp kề của nhóm nhân này + Mã cyclic truyền thống được xem là một lớp kề đặc biệt trong phân hoạch. + Mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon được xem là mã LCC xây dựng trên phân hoạch của vành đa thức có hạt nhân phân hoạch là phần tử đơn vị ( ) 1 e x  . Để xây dựng được mã tốt vấn đề quan trọng là phải có các tiêu chí để lựa chọn các lớp kề tạo mã. Các nghiên cứu tiếp theo là tìm các tiêu chí lựa chọn các lớp kề khác nhau để tạo mã. Quan hệ giữa các mã LCC với các mã cyclic truyền thống và các mã tuyến tính ngẫu nhiên được mô tả ở hình 1.1. 6 Với các vành chẵn, tác giả cũng đưa ra một phương pháp phân hoạch mới để tạo mã. Trong trường hợp này vành sẽ được phân hoạch thành các lớp chứa các phần tử liên hợp là các căn bậc 2 của các thặng dư bậc hai trong vành [8]. Phần tử sinh a(x)      o r d a x m a x o r d b x  Phần tử sinh x Phần tử sinh n x 1  Phân hoạch của vành đa thức theo nhóm nhân xyclic Phân hoạch không suy bi ến Phân hoạch suy biến Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch cực đại Phân hoạch chuẩn Mã tuyến tính ngẫu nhiên của Shannon Mã cyclic cục bộ Mã xyclic Hình 1. 1: Quan h ệ giữa các lớp m ã khác nhau 7 Ta có thể xây dựng được các mã LCC trên các lớp đặc biệt là các căn bậc 2 của lũy đẳng nuốt và các căn bậc 2 của Zero.(Hình 1.2). n = 2k n = 2k + 1 n tùy ý Các phân hoạch của vành đa thức Theo nhóm nhân xyclic Theo lớp các phần tử liên hợp Theo Ideal Các mã xyclic Các mã cyclic cục bộ Hình 1.2: Các dạng phân hoạch khác nhau của vành đa thức 8 1.3. Các nhóm nhân cyclic trong vành đa thức 1.3.1. Nhóm nhân của vành đa thức theo modulo x n + 1 Theo lý thuyết mã cổ điển, mỗi Ideal tương ứng của một vành đa thức sẽ xây dựng được một bộ mã xyclic. Trong một vành đa thức, Ideal I gồm các đa thức là bội của một đa thức g(x), trong đó g(x) là ước của đa thức x n + 1: (g(x)) | x n +1 hay   1: n x g x  . Hình 1.3: Phân hoạch vành theo Ideal. Theo phương pháp cổ điển này thì rõ ràng là số bộ mã bị hạn chế (do số đa thức sinh ít). Theo quan điểm xây dựng các mã cyclic mới là đi nghiên cứu các nhóm nhân trên vành đa thức. Dựa trên các nhóm nhân để đi xây dựng các bộ mã có đặc tính khác nhau. Vành Z 2 [x]/ x n + 1 Ideal g(x) Đa thức sinh [...]... trên nhóm nhân xyclic theo modulo 3.4.1 Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo modulo h(x): Xét nhóm nhân xyclic đơn vị: I = {xi, i = 1, 2, … , n = 1} Ta có bổ đề sau: Bổ đề 8: 23 Nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo h(x) với h(x) /xn+1 là 1 mã xyclic truyền thống có đa thức sinh g(x) thỏa  X n  1 g  x     h  x  mãn: * 3.4.2 Mã tạo xyclic Xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo. .. thức Đây là cơ sở quan trọng để xây dựng các mã xyclic cục bộ mà các mã xyclic là một trường hợp riêng - Trình bày một số kết quả xây dựng mã xyclic trên các nhóm nhân xyclic và các nhóm nhân xyclic theo modulo - Mô tả phương pháp giải mã cho các mã này - So sánh các mã này với các mã xyclic truyền thống Do thời gian có hạn và mục tiêu hạn hẹp của một luận văn thạc sĩ, các vấn đề được lựa chọn trình... Mã xyclic cục bộ xây dựng trên phân hoạch cực đại của vành Z2[x]/x10+1 Đối với phân hoạch cực đại mã XCB được xây dựng trên cấp số nhân CGP với công bội a(x) Ở đây, ta có: ord (a ( x))  max ord ( f ( x)) (3-3) f ( x )  Z 2 [ x ] / x n  1 Trong vành đa thức Z 2 [ x ]/ x 2 n  1 , ta nhớ rằng bậc của nhóm nhân cyclic được tạo ra bởi đa thức a( x ) sẽ là 2.ord (a( x)) 3.4 Các mã xyclic xây dựng trên. .. trong hệ đều chứa uj - Dấu mã uj (j≠ i) chỉ nằm tối đa trong một tổng kiểm tra Định nghĩa 3.2: Hệ tổng kiểm tra được gọi là có khả năng trực giao nếu nó là hệ tổng kiểm tra trực giao với một tổ hợp tuyến tính nào đó các dấu mã 3.2 18 Các mã Xyclic xây dựng trên nhóm nhân xyclic 3.2.1 Mô tả mã: Cho vành đa thức: Z2[x]/xn + 1 Xét a(x)  Z2[x]/xn + 1 Ta xây dựng nhóm nhân xyclic A = {ai(x), i = 1, 2,... các mã này đựơc xác định theo công thức sau: N = N1(N2 - 1) (n-1) 2 24 N1 = (2n-1-1), N2 =  C2i , trong đó  (p) là hàm n-1 i o PhiEuler KẾT LUẬN: Với mục đích tìm hiểu việc xây dựng các mã cyclic trên các nhóm nhân xyclic, các nội dung chính được trình bày trong luận văn bao gồm các vấn đề sau: - Tóm lược về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức - Tổng hợp các kết quả về các phương pháp phân họach...   x i trên vành đa i 0 n thức có 2 lớp kề cyclic Z2[x]/x +1, trong đó e0(x) được gọi là lũy đẳng nuốt Do vậy, trên vành Z2[x]/x2n + 1, tương ứng có 2 lũy n 1 đẳng là 1 và e0 ( x 2 )   x 2 i i0 Ta đã chứng minh rằng các phần tử liên hợp của e0(x2) là các nhóm nhân và chúng ta có thể xây dựng các mã XCB và mã xyclic dựa trên các phần tử này 22 3.3.2 Các mã cyclic gần tối ưu dựa trên các phần... 1 Nhóm nhân Nhóm nhân Hình 1 4: Phân hoạch vành theo nhóm nhân Định nghĩa 1.2: Nhóm nhân Tập các đa thức f(x) trong vành đa thức Z2[x]/xn+1 với một phép toán nhân đa thức tạo nên một nhóm nhân G = G Nếu g(x), f(x)  G thì g(x).f(x) = d(x)  G Trong nhóm nhân tồn tại phần tử đơn vị e(x) với f(x).e(x) = f(x) Trọng số của đa thức: Trọng số của đa thức a(x) được ký hiệu là W(a(x)) là tổng các. .. W(a(x)) = 2 1.3.2 Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức Z2[x] /xn +1 10 1.3.2.1 Nhóm nhân cyclic (CMG – Cyclic Multiplicative Groups) Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử đều bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh Trong vành đa thức có nhiều nhóm nhân xyclic, số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành A = {, 2, 3,…} (1-2) Trong đó: A là nhóm nhân xyclic  là... mỗi phần tử a(x) của nhóm nhân cyclic A ta có tương ứng một phần tử a ( x) của nhóm nhân cyclic A Từ nhóm nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập được nhóm nhân cyclic A Hai nhóm nhân A và A được gọi là hai nhóm nhân cyclic đối xứng trong vành đa thức 14 2.1.2 Cấp số nhân cyclic trên vành đa thức Xét vành đa thức Z2[x]/ xn + 1 với n lẻ, giả sử a(x) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân cyclic và q(x) là... có dạng sau: xn + 1 = (x + 1) n 1 x i i 0 (2-9) n 1 Trong đó (1+x) và o(x) = x i 0 i là các đa thức bất khả quy 17 CHƯƠNG III CÁC MÃ XYCLIC XÂY DỰNG TRÊN NHÓM NHÂN XYCLIC 3.1 Hai thủ tục giải mã: 3.1.1 Hai thủ tuc giải mã: Mọi phương pháp giải mã đều có thể tiến hành theo một trong hai thủ tục giải mã sau: - Phương pháp ( thủ tục) 1: Dẫn ra bản tin từ dấu nhận được - Thủ tục 2: Dẫn ra vec tơ . thiết bị giải mã ngưỡng. Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây dựng trên các ideal và các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic theo modulo. theo các nhóm nhân xyclic khác nhau. Đây là cơ sở để xây dựng các mã xyclic cục bộ. - Chương III: Các mã xyclic xây dựng trên các nhóm nhân xyclic. Chương