Một số bộ mã cyclic tốt xây dựng trên vành đa thức

Bài viết này trình bày phương pháp tìm mã cyclic cục bộ tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức và đề xuất một số mã cyclic cụ thể.

Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Bình MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC Nguyễn Trung Hiếu*, Nguyễn Bình Khoa Kỹ thuật điện tử 1, Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tóm tắt: Mã cyclic lớp mã tuyến tính có khả ứng dụng điện tử dân dụng, hệ thống lưu trữ liệu hệ thống truyền thông Phương pháp xây dựng mã cyclic dựa phân hoạch vành đa thức (gồm nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic) có nhiều ưu điểm bật, quan tâm nghiên cứu có kết bước đầu Bài báo trình bày phương pháp tìm mã cyclic cục tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức đề xuất số mã cyclic cụ thể Đồng thời, báo trình bày mơ phỏng, đánh giá chất lượng số mã tìm khả ứng dụng vào việc truyền thơng tin Từ khóa: Mã cyclic, Nhóm nhân cyclic (CMG- Cyclic Multiplicative Group), Cấp số nhân cyclic (CGP- Cyclic Geometric Progressions), tổng kiểm tra (CS- Check-sum), vành đa thức số mã cyclic tốt mô đánh giá hiệu số mã thơng qua mơ hình truyền thơng I MỞ ĐẦU thức Nghiên cứu lý thuyết mã hóa chia thành ba hướng chính: mã nguồn, mã kênh (có khả phát sửa lỗi) mật mã [1], [2] Hầu hết mã sửa lỗi cấu trúc theo lý thuyết mã hóa thứ hai Shannon [2], với phương pháp xây dựng cấu trúc mã điển phương pháp tổ hợp, hình học cấu trúc đại số Mã cyclic mã khối tuyến tính loại mã kênh nghiên cứu thời gian dài ứng dụng nhiều lĩnh vực sống, đặc biệt lĩnh vực thông tin truyền thông [3], [4] Mã cyclic cục (LCC- Local Cyclic Code) bắt đầu nghiên cứu vào năm 1980 [3] Mã LCC có đầy đủ ưu điểm mã cyclic thông thường (xây dựng từ Ideal), ngồi có thêm ưu điểm khác như: số lượng mã tạo nhiều vành đa thức, mức độ tính tốn dễ so với mã cyclic thông thường tương đương [5], [6].1 Theo phương pháp cấu trúc đại số, mã cyclic mã cyclic cục xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức [3], [5] Trong mã cyclic xây dựng dựa nhóm nhân cyclic, mã LCC xây dựng từ lớp kề phân hoạch vành đa thức (hay cấp số nhân cyclic) [5] Bài báo đề xuất phương pháp xây dựng mã cyclic tốt từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic vành đa thức, từ liệt kê Nội dung báo chia làm bốn phần Phần 2, trình bày sở lý thuyết nhóm nhân cấp số nhân cyclic, mã cyclic vành đa thức, số tiêu chí đánh giá mã tốt Trong phần 3, đề xuất phương pháp tìm kiếm mã cyclic cyclic cục tốt Trong đó, phần mơ phỏng, đánh giá số mã tốt tìm kiếm Cuối cùng, phần kết luận báo II CƠ SỞ LÝ THUYẾT Phần trình bày nhóm nhân, cấp số nhân, mã cyclic, mã cyclic cục bộ, tiêu chí đánh giá mã tốt A Nhóm nhân cấp số nhân cyclic Nhóm nhân cyclic A với phần tử sinh a ( x ) vành đa  x / ( xn  1) thiết lập sau [5]:  A   x  mod( x n  1), i  1, k  (1) Trong đó, k cấp a ( x ) Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) vành đa thức tập hợp có dạng sau [5]: A( a, q )  a( x), a( x)q( x), , a( x)q m1 ( x) (2) Trong đó: m số số hạng khác CGP a ( x ) số hạng đầu CGP q ( x ) công bội a( x)q m ( x)  a( x) mod x n  B Mã cyclic cyclic cục vành đa thức Mã cyclic ( n, k ) Ideal I  g ( x) vành đa thức [x]/(x 1) n Mã cyclic cục mã tuyến tính có dấu mã tập không trống tuỳ ý lớp kề phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân cyclic Nhận xét: + Nếu chọn lớp kề, mã LCC trở thành mã cyclic Tác giả liên hệ: Nguyễn Trung Hiếu, email: hieunt@ptit.edu.vn Đến tòa soạn: 6/2017, chỉnh sửa: 8/2017, chấp nhận đăng: 9/2017 Số 01 (CS.01) 2017 TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG 20 MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC + Nếu lớp kề chọn có chứa nhóm nhân cyclic đơn vị I  xi , i  1, 2,3  ta có mã LCC hệ thống Tập trưởng lớp kề tạo mã mô tả đầy đủ mã LCC Dựa vào tính chất phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân cyclic đơn vị, ta có đa thức có trọng số lẻ đa thức có trọng số chẵn Khi thiết lập tổng kiểm tra trực giao ứng với dấu mã bất kỳ, ta cần dấu mã [10]: C Một số tiêu chí đánh giá mã tuyến tính tốt (6) Khả lựa chọn mã tuyến tính  n, k , d0  làm mã sửa lỗi phong phú, để thực việc lựa chọn mã tốt thỏa mãn định lý mã hóa thứ hai Shanon, nhà nghiên cứu mã sửa lỗi xây dựng tiêu chuẩn giới hạn để xác định lựa chọn mã tốt, đưa số giới hạn làm tiêu chí lựa chọn mã tốt sau [2], [3]: Giới hạn Griesmer Đối với mã tuyến tính nhị phân, giới hạn Griesmer xây dựng theo công thức: k 1 d  n   i  i 0   Nếu cố định dấu cho biến đổi phương trình (6) ln tồn nghiệm với , có nghĩa ứng với , ta xác định Vậy ta có tổng kiểm tra trực giao với dấu phương trình (7): (7) Theo định lý, số dấu từ mã (loại bỏ đa ∑ thức lớp kề có đa thức), để thiết lập số tổng kiểm tra trực giao giải mã cho dấu mã đạt tối đa là: ⌊ (3) Trong độ dài từ mã, số dấu thông tin từ mã khoảng cực tiểu từ mã ⌋ (8) (9) Kiểm tra theo giới hạn Griesmer: , ta được: Giới hạn Plotkin ∑ ⌈ ⌉ thay Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân, có: Giới hạn Plotkin xây dựng theo công thức: n.2k 1 2k  ⌊ Theo phương pháp giải mã ngưỡng, khoảng cách mã xác định: Giới hạn Griesmer sử dụng trường hợp cố định khoảng cách cực tiểu , số dấu thông tin , với yêu cầu tìm độ dài từ mã nhỏ d ⌋ Theo định lý, số dấu mã là: đạt giới hạn Griesmer (4) Giới hạn Plotkin xây dựng trường hợp cố định độ dài từ mã dấu thông tin, yêu cầu xác định khoảng cách cực tiểu Vậy mã Kiểm tra giới hạn Plotkin: Thay vào vế phải, kết vế phải: Giới hạn Hamming Giới hạn Hamming xây dựng theo công thức: t n  k   Cni (5) i 0 Với Giới hạn Hamming xây dựng trường hợp cố định độ dài từ mã giá trị sai sửa cho trước, xác định độ thừa từ mã r  n  k nhỏ III PHƯƠNG PHÁP TÌM MÃ CYCLIC TỐT A Mã cyclic tối ưu xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic Định lý 3.1: Mã cyclic vành đa thức [ ] sử ∑ dụng tất đa thức khác không (trừ đa thức ) làm dấu mã mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer thỏa mãn giới hạn Plotkin, có khoảng cách mã Chứng minh: Số 01 (CS.01) 2017 ( ) nên mã thỏa mãn giới hạn Plotkin Định lý 3.2: Mã cyclic vành đa thức [ ] lẻ sử dụng tất đa thức trọng số lẻ (trừ đa thức ∑ ) làm dấu mã mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer thỏa mãn giới hạn Plotkin, có khoảng cách với Chứng minh: vị Phân hoạch vành [ ] theo nhóm nhân đơn cấp k ln tồn đa thức có trọng số chẵn đa thức có trọng số lẻ (theo tính chất vành đa thức) TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG 21 Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Bình Trọng số đa thức (∑ ) Khi lẻ, đa thức có trọng số lẻ, thuộc lớp kề trọng số lẻ phần tử lũy đẳng Khi chẵn, đa thức có trọng số chẵn không chọn làm dấu mã không tồn lớp kề trọng số lẻ có phần tử Nếu số dấu mã bớt dấu đa thức mã mã , số dấu Theo phương pháp giải mã ngưỡng để thiết lập tổng kiểm tra có khả trực giao cho hai dấu mã đó, ta cần dấu mã phương trình (10) [11]: (10) Theo phương trình (10), vế phải tổng dấu mã từ mã dấu mã đa thức có trọng số lẻ, kết vế phải đa thức có trọng số lẻ Vậy phương trình (10) ln cón nghiệm với Nếu ta cố định cặp hai dấu , , ứng với ta ln xác định Phương trình (10) có dạng: [ ] (11) Như số tổng Số dấu lại từ mã kiểm tra thiết lập để giải mã là: ⌊ ⌋ Khoảng cách mã Hamming ⌊ ⌋ (12) xác định là: Đối với mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic xây dựng mã sau: + Nếu cấp cực đại đa thức thuộc vành chọn đa thức có cấp cực đại làm phần tử sinh mã [7] + Nếu cấp cực đại đa thức thuộc vành khơng nhỏ chọn đa thức thuộc vành lớn (vành , với ) có cấp với sau hạ bậc đa thức theo [8] đa thức chọn làm phần tử sinh mã Việc thực hạ bậc đa thức theo gọi thực phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức [8] Xét vành với vành ta tìm đa thức thỏa mãn điều kiện: tích vài đa thức bất khả quy ta thực phân hoạch hỗn hợp hai vành Để dễ dàng tìm đa thức ta nên chọn vành vành lẻ Xét phân tích số vành đa thức sau: x3   (1  x)(1  x  x2 ) x5   (1  x)(1  x  x2  x3  x4 ) (13) ∑ Kiểm tra theo giới hạn Griesmer: , ta được: lớp kề có trọng số lẻ vành đa thức trừ phần tử ∑ ⌈ ⌉ thay x7   (1  x)(1  x2  x3 )(1  x  x3 ) x9   (1  x)(1  x  x2 )(1  x3  x6 ) 10 x11   (1  x) xi i 0 Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân, có: 12 mã Theo định lý 3.2, số dấu mã: đạt giới hạn Griesmer Vậy Kiểm tra giới hạn Plotkin: Thay x13   (1  x) xi i 0 x   (1  x)(1  x  x )(1  x3  x ) 15 (1  x  x )(1  x  x  x3  x ) vào vế phải, kết vế phải: x17   (1  x)(1  x3  x  x5  x8 ) (1  x  x2  x4  x6  x7  x8 ) 18 ( Với ) nên mã thỏa mãn giới hạn Plotkin Như vậy, theo định lý 3.1 3.2 mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic có dạng mã tối ưu đặt giới hạn Griesmer Plotkin Đối với mã cyclic xây dựng từ cấp số nhân cyclic, xây dựng mã việc lấy tất lớp kề vành đa thức trừ phần tử phần tử ∑ ; xây dựng mã việc lấy tất Số 01 (CS.01) 2017 x19   (1  x) xi i 0 x21   (1  x)(1  x  x )(1  x  x3 )(1  x  x3 ) (1  x  x  x  x6 )(1  x  x  x5  x6 ) x 23   (1  x)(1  x  x  x5  x6  x10  x11 ) (1  x  x5  x6  x7  x9  x11 ) x 25   (1  x)(1  x  x  x3  x ) (1  x5  x10  x15  x 20 ) TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG 22 MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC Theo phân tích ta tìm giá trị , đa thức thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp bảng I phù hợp Các đa thức thỏa mãn h2 ( x)  (1  x3  x )(1  x  x ) Bảng I Một số cặp vành phân hoạch hỗn hợp h3 ( x)  (1  x3  x ) phù hợp 6, 9, 15, 21 Các đa thức thỏa mãn h1 ( x)   x3 ; (1  x  x  x3  x ) h2 ( x)   x  x3 ; h3 ( x)   x  x3 5, 15, 25 h1 ( x)   x  x  x  x 15 21 15, 25 15 h2 ( x)  (1  x)(1  x  x3 ) ; 21 h3 ( x)  (1  x)(1  x  x3 ) 17 h6 ( x)   x  x ; h1 ( x)   x5 ; (1  x  x  x  x6 ) h4 ( x)  (1  x)(1  x  x ) h2 ( x)  (1  x)(1  x3  x ) ; (1  x2  x  x5  x6 ) h3 ( x)  (1  x)(1  x  x ) 21 h4 ( x)  (1  x  x )(1  x  x ) ; (1  x  x  x  x6 ) h5 ( x)  (1  x  x ) h8 ( x)  (1  x2  x3 ) (1  x2  x  x5  x6 ) Dựa kết hai định lý 3.1, 3.2 với phân tích bảng I nhận thấy ln xây dựng cyclic mã tối ưu vành đa thức từ cấp số nhân (hay lớp kề) cyclic h7 ( x)   x  x  x  x6 ; h1 ( x)  (1  x)(1  x3  x ) h2 ( x)  (1  x)(1  x  x )(1  x3  x ) h3 ( x)  (1  x)(1  x  x )(1  x  x ) h4 ( x)  (1  x)(1  x  x ) h5 ( x)   x7 h6 ( x)  (1  x)(1  x  x  x  x6 ) h7 ( x)  (1  x)(1  x  x  x  x ) Khi xây dựng mã cyclic từ nhóm nhân với phần tử sinh đa thức có cấp cực đại vành thỏa mãn cấp đa thức mã đạt giới hạn tối ưu Trường hợp cấp cực đại đa thức vành khơng đạt hạ bậc đa thức có cấp thuộc vành lớn theo bảng I tìm mã tối ưu (1  x  x  x  x ) Số 01 (CS.01) 2017 h6 ( x)  (1  x  x3 ) h7 ( x)  (1  x  x3 ) h8 ( x)   x  x  x5  x6 (1  x  x  x  x6 ) (1  x2  x  x5  x6 ) h6 ( x)  (1  x  x3 )(1  x  x3 ) ; h5 ( x)  (1  x  x3 ) (1  x  x  x3  x ) 21 h2 ( x)  (1  x) h3 ( x)  (1  x)(1  x  x ) h3 ( x)  (1  x  x )(1  x  x ) ; h8 ( x)  (1  x  x2 ) (1  x  x  x  x  x  x8 ) h7 ( x)   x  x  x 15 (1  x  x  x  x6 ) h1 ( x)  (1  x)(1  x3  x  x5  x8 ) h4 ( x)   x3  x ; h5 ( x)   x  x h2 ( x)  (1  x3  x6 ) h6 ( x)  (1  x  x  x  x6  x7  x8 ) (1  x2  x  x5  x6 ) h1 ( x)   x  x  x3  x 21 h5 ( x)  (1  x3  x  x5  x8 ) h7 ( x)  (1  x  x ) h1 ( x)  (1  x  x3 )(1  x  x3 ) ; 17 15 (1  x  x  x3  x ) h4 ( x)  (1  x  x ) 7, 21 15 h1 ( x)  (1  x  x )(1  x3  x6 ) Xét vành , cấp cực đại đa thức 63 (theo phụ lục 1) nên không xây dựng mã cyclic tối ưu từ nhóm nhân cyclic với phần tử sinh đa thức thuộc vành, nhiên theo bảng I ta thấy hạ bậc đa thức có cấp 255 vành theo để xây dựng mã Ví dụ chọn đa thức TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG 23 Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Bình có cấp 255 (theo phụ lục 1) phần tử sinh nhóm nhân cyclic xây dựng vành , chọn để hạ bậc phần tử nhóm nhân cyclic ta nhóm nhân có cấp 255 vành vành , từ xây dựng mã cyclic mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer Plotkin B Mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân cyclic vành đa thức Các mã cyclic tối ưu nghiên cứu đề xuất có ưu điểm sửa sai tốt ( lớn), xây dựng mã dễ dàng, nhiên tồn nhược điểm lớn hiệu suất mã ( ) thường nhỏ, tác giả tiến hành nghiên cứu đề xuất phương pháp tìm mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân/ lớp kề cyclic với giá trị phù hợp, đặc biệt đề xuất mã tốt xây dựng từ lớp kề cyclic vành (hướng tới mục tiêu đạt hiệu suất mã với khả sửa lỗi hợp lý) Bắt đầu Cho giá trị k Lập phân hoạch cho vành đa thức Cho i = j = i + 1; Lập mã gồm lớp kề {1, i, j} Xác định n Lập hệ tổng kiểm tra mã Bước 1: + Cho giá trị vành đa thức + Lập phân hoạch cho vành đa thức, xác định số lớp kề (số lượng lớp kề vành) + Cho Bước 2: + Gán Bước 3: + Lập mã gồm lớp kề + Xác định giá trị mã , tổng số phần tử lớp kề chọn (cũng độ dài từ mã) + Tính tổng kiểm tra mã theo trường hợp CS trực giao, CS có khả trực giao, CS  liên hệ, sau lưu lại số CS mã ứng với trường hợp Từ số CS tính khoảng cách Hamming + Nếu chuyển sang bước 4, lặp lại bước tăng Bước 4: + Nếu chuyển sang bước 5, tăng lặp lại bước Bước 5: Tính tốn tham số ứng với mã, so sánh với giới hạn tối ưu Liệt kê mã tốt thu Từ bước xây dựng lưu đồ thuật tìm mã cyclic tốt theo lưu đồ thuật toán hình danh sách số mã cyclic tốt tìm bảng II Thực tìm mã cyclic tốt với nhiều lớp kề cho mã tốt, nhiên lại phải trả giá hiệu suất mã (tỉ số thấp) Hướng nghiên cứu tiếp theo, tác giả tiếp tục tìm mã cyclic tốt với nhiều lớp kề mã cyclic ứng với phương pháp giải mã khác Bảng II Đề xuất số mã cyclic tốt j=j+1 Sai j=m Đúng i=i+1 Sai i=m-1 Đúng Liệt kê mã (n, k, d) tốt Kết thúc Hình Lưu đồ thuật tốn tìm mã cyclic tốt từ cấp số nhân cyclic Để tìm mã cyclic tốt xây dựng lớp kề cyclic sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng [3], [9], [10], [11], ta thực theo bước sau đây: Số 01 (CS.01) 2017 Vành CGPs/CMG TTG {(1), (7), (11)} {(1), (11), (21)} TTGLH (15,5,7) (14,6,5)  = 2, CS = (14,6,5)  = 2, CS = {(1), (13), (21)} {(1), (23), (29)} {(1), (11), (87)} {(1), (13), (87)} {(1), (31), (91)} {(1), (47), (61)} {(1), (13), (19)} CKNTG (21,7,7) (24,8,7) (24,8,7) (24,8,7) (24,8,7) (24,8,7)  = 2, CS = TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG 24 MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC Vành CGPs/CMG TTG CKNTG 12 (24,8,7)  = 2, CS = 12 (24,8,7)  = 2, CS = 12 (24,8,7)  = 2, CS = 12 {(1), (13), (25)} {(1), (37), (47)} {(1), (37), (61)} {(1), (11), (61)} {(1), (13), (47)} {(1), (19), (59)} {(1), (25), (55)} {(1), (41), (87)} {(1), (41), (117)} TTGLH (27,9,9) Là bước ngược bên phát, bao gồm: giải điều chế, giải mã hóa khơi phục thơng tin từ phía phát Phần giải điều chế, giải mã hóa thực tương ứng với phương pháp điều chế mã hóa xây dựng phía phát Hoạt động hệ thống Trong chu kỳ mô cần thực hiện: - Tạo nhiễu Gause trắng cộng - Cố định mã cyclic, phương pháp điều chế (27,9,9) - Tạo ngẫu nhiên dãy liệu phát (27,9,9) - Lần lượt tăng tỉ số hợp (27,9,9) - Đo tỉ số lỗi bit (27,9,9) Phương pháp đánh giá: Điều chế Bên phát Giải mã hóa Giải điều chế Kênh truyền Mã hóa phía phát theo bước nhảy phù chuỗi bit nhận - Vẽ đồ thị biểu thị mối quan hệ từ nguồn liệu mô thu A Đề xuất kịch mô phỏng, đánh giá Sơ đồ tổng quát hệ thống truyền đề xuất để thực mô phỏng, đánh giá mã cyclic hình 2, sử dụng phương pháp điều chế/giải điều chế khác kênh truyền sử dụng nhiễu Gause trắng cộng, mã cyclic cần mô phỏng, đánh giá đưa vào khối mã hóa giải mã hóa Dữ liệu thu Bên thu: (27,9,9) IV MÔ PHỎNG ĐÁNH GIÁ MỘT SỐ BỘ MÃ Dữ liệu phát - Nhiễu: tạo kênh truyền, mô phần sử dụng tạo nhiễu Gause Nhiễu mã - Thực đánh giá hiệu của mã, so sánh mã với mã khác (nếu có) B Kết mô phỏng, đánh giá số mã cyclic Trong phần này, tác giả thực mô phỏng, đánh giá số mã cyclic tốt liệt kê bảng II 1) Bộ mã cyclic Chọn đa thức có cấp 255 [7] phần tử sinh CMG xây dựng vành , chọn để hạ bậc ta xây dựng CMG tương ứng có cấp 255 vành , tiến hành xây dựng mã hóa giải mã ứng với CMG ta thu mã cyclic đạt giới hạn Griesmer Plotkin Kết mô mã cyclic thể hình Bên thu Hình Sơ đồ hệ thống thông tin sử dụng mô đánh giá mã cyclic Phân tích sơ đồ hệ thống Bên phát gồm: - Dữ liệu phát: phần thông tin gốc truyền - Mã hóa: bước sử dụng mã cyclic để mã hóa tín hiệu gốc Các mã thay đổi ảnh hưởng đến dãy bit đưa tới khối điều chế - Điều chế: phương pháp điều chế, chương trình mơ sử dụng kiểu điều chế khác để hỗ trợ đánh giá mã Kênh truyền gồm: Số 01 (CS.01) 2017 Hình Kết mơ mã cyclic (255,9,127) Trong mô ứng với mã này, tác giả sử dụng nhiễu Gause trắng cộng kênh truyền Thử nghiệm với phương pháp điều chế khác (QPSK, 16QAM,…), cho TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG 25 Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Bình chất lượng tốt Trên hình biểu thị kết mô mã ứng với điều chế 64QAM, 128QAM so sánh với trường hợp truyền dẫn điều chế 64QAM khơng mã hóa trường hợp truyền dẫn khơng điều chế, khơng mã hóa Kết cho thấy mã đạt với (trường hợp điều chế 64QAM), chế 128QAM) với (trường hợp điều 2) Bộ mã cyclic Chọn mã cyclic cục xây dựng từ ba lớp kề cyclic {(1), (7), (11)} vành tạo mã (15,5) (các phần tử ma trận sinh mã tương đương CMG tạo phần tử sinh đa thức trọng số lẻ đạt cấp cực đại vành ), tiến hành xây dựng mã hóa giải mã ta thu mã cyclic đạt giới hạn Griesmer Plotkin Kết mô mã cyclic thể hình hình hóa giải mã ta thu mã cyclic Kết mô mã cyclic thể hình Tương tự, tác giả sử dụng nhiễu Gause trắng cộng kênh truyền Thử nghiệm với phương pháp điều chế QPSK, 4QAM, 16QAM cho chất lượng tốt Trên hình biểu thị kết mô mã ứng với điều chế QPSK, 16QAM, so sánh với trường hợp truyền dẫn sử dụng mã cyclic (15,5,7) trườn hợp truyền dẫn tín hiệu điều chế (QPSK, 16QAM) khơng mã hóa Kết cho thấy với phương pháp điều chế QPSK , khơng mã hóa kênh truyền đạt kênh truyền đạt (15,5,7) đạt 16QAM truyền đạt đạt , sử dụng mã cyclic (27,9,9) , sử dụng mã cyclic ; với phương pháp điều chế , khơng mã hóa kênh truyền đạt , sử dụng mã cyclic (27,9,9) kênh , sử dụng mã cyclic (15,5,7) Hình Kết mơ mã cyclic (15,5,7) Tương tự mô mã (255,9,127), ta sử dụng nhiễu Gause trắng cộng kênh truyền Thử nghiệm với phương pháp điều chế QPSK, 4QAM, 16QAM cho chất lượng tốt Trên hình biểu thị kết mô mã ứng với điều chế QPSK, 16QAM so sánh với trường hợp truyền dẫn tín hiệu điều chế (QPSK, 16QAM) khơng mã hóa Kết cho thấy với điều chế QPSK , khơng mã hóa kênh truyền đạt , sử dụng mã cyclic (15,5,7) kênh truyền đạt (tốt trường hợp khơng mã hóa khoảng lần); với điều chế 16QAM , không mã hóa kênh truyền đạt , sử dụng mã cyclic (15,5,7) kênh truyền đạt (tốt trường hợp khơng mã hóa lần) Kết mơ cho thấy đường truyền sử dụng mã, điều chế QPSK cho tốt 16QAM (ví dụ, , điều chế QPSK cho , điều chế 16QAM cho thuyết ) phù hợp với lý 3) Bộ mã cyclic Chọn mã cyclic cục xây dựng từ ba lớp kề cyclic {(1), (11), (61)} vành , tiến hành xây dựng mã Số 01 (CS.01) 2017 Hình Kết mơ mã cyclic (27,9,9) Kết mơ hình cho thấy dù sử dụng phương pháp điều chế mã cyclic (15,5,7) đạt giới hạn tối ưu Griesmer Plotkin (có khả sửa bit lỗi, ) cho khả sửa lỗi tốt (hay tỉ số thấp hơn) mã cyclic (27,9,9) mã cyclic tốt (có khả sửa bit lỗi, ) Tác giả mô đánh giá mã với điều chế 64QAM, 128QAM cho tỉ lệ lỗi lớn khả sửa lỗi không tốt mã (255,9,127) V KẾT LUẬN Mã cyclic có hạn chế lớn độ dự thừa từ mã lớn (hay hiệu suất mã hóa thơng tin khơng cao), nhiên ưu điểm bật dễ thực mặt kỹ thuật số lượng mã nhiều Các nghiên cứu trước thường tập trung vào việc kiến trúc mã quan tâm đến việc tìm kiếm đánh giá mã tốt lực sửa lỗi Bài báo tập trung nghiên cứu để tìm kiếm mã cyclic tốt tiến tới giới hạn tối ưu Griesmer Plotkin Nội dung báo trình bày phương pháp tìm mã cyclic tốt thơng qua đề xuất chứng minh hai định lý mã cyclic tối ưu, xây dựng thuật tốn tìm mã cyclic tốt bước đầu lập bảng số mã cyclic tốt, TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG 26 MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC thông qua kết mô phỏng, đánh giá hiệu mã nhận xét kết nghiên cứu góp phần cách xác định mã cyclic tốt ứng dụng vào thực tế Ngồi ra, mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trình bày có khả thay đổi độ dài từ mã tùy theo nhu cầu sử dụng ưu điểm ứng dụng mã mạng phục vụ hệ thống truyền thông không dây hợp tác [12] LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cám ơn Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng tạo điều kiện giúp đỡ, hỗ trợ thực hướng nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Menezes A J, Van Oorchot P C., Handbook of Applied Cryptography, CRC Press, (1998) [2] Todd K Moon, Error Correction Coding: Mathematical Methods and Algorithm John Wiley & Sons, Inc, (2005) [3] Nguyễn Bình, Giáo trình Lý thuyết thơng tin, Nhà xuất Bưu điện, (2008) [4] C Ding, “Cyclic codes from the two-prime sequences”, IEEE Transactions on Information Theory, ISSN 0018-9448, 58(6), 2012, pp 357–363 [5] Nguyễn Bình, Các mã xyclic xyclic cục vành đa thức, Tạp chí Khoa học Công nghệ, ISSN 0866 708X, Tập 50, Số 6, 2012, trang 735-749 [6] Nguyen Trung Hieu, Nguyen Van Trung, Nguyen Binh, A Classification of Linear Codes Based on Algebraic Structures and Local Cyclic Codes, Proceedings of The 2014 International Conference on Advanced Technologies for Communications, Hanoi, Vietnam, October 15 - 17, 2014, Pages 349-354 [7] Nguyễn Trung Hiếu, Ngô Đức Thiện, Một phương pháp tìm kiếm đa thức có cấp cực đại vành đa thức, Tạp chí Khoa học Công nghệ trường Đại học Kỹ thuật, ISSN 23541083, số 110, 2016, trang 75-80 [8] Ngo Duc Thien, Nguyen Binh, Some Local Cyclic Codes Based on Compound Decomposition of Two Polynomial Rings, International Conference on Advanced Technologies for Communications (ATC 2008 - REV’11), Hanoi, Vietnam, October 2008 [9] Nguyễn Bình, Nguyễn Xuân Quỳnh, Giải mã ngưỡng dựa hệ tổng kiểm tra liên kết chặt, Hội nghị tự động hóa tồn quốc lần (VICA-2), 1996 [10] Nguyễn Bình, Nguyễn Thế Truyện, Các mã xyclic cục tự trực giao, Hội nghị Vơ tuyến Điện tử tồn quốc lần thứ (REV’96), 1996 [11] Nguyễn Bình, Nguyễn Thế Truyện, Các mã xyclic cục có khả trực giao, Hội nghị Vơ tuyến Điện tử tồn quốc lần thứ (REV’96), 1996 [12] Suwen Wu; Jinkang Zhu; Ling Qiu; Ming Zhao, Networkcoding-based coded cooperation, Journal of Communications and Networks, Vol 12 (4), 2010, pp 366 - 374 advantages, is of interest for research and has initial results This paper presents the method of code generation and proposes some good local cyclic code from cyclic multiplicative group, cyclic geometric progressions on polynomial ring At the same time, the article also presents simulations, evaluates the quality of some of the code found and its applicability to the transmission of information Keywords: cyclic code, Cyclic Multiplicative Group (CMG), Cyclic Geometric Progressions (CGP), Check-sum (CS), polynomial ring Nguyễn Trung Hiếu, Nhận học vị Thạc sỹ năm 2010 Hiện công tác làm nghiên cứu sinh tiến sĩ Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Lĩnh vực nghiên cứu: Lý thuyết thơng tin, mã hóa, mật mã, hệ thống số, hệ thống nhúng Nguyễn Bình, Nhận học vị Tiến sỹ năm 1984 Hiện Giáo sư Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Lĩnh vực nghiên cứu: Lý thuyết thơng tin, mã hóa, mật mã GOOD LOCAL CYCLIC CODERS ARE CONSTRUCTED ON POLYNOMIAL RING Abstract: The cyclic code is a linear code layer and is applicable in civil electronics, data storage systems, and communication systems Cyclic code generation based on polynomial ring decomposition (cyclic multiplicative groups, cyclic geometric progressions) has many outstanding Số 01 (CS.01) 2017 TẠP CHÍ KHOA HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG 27 ... PHÁP TÌM MÃ CYCLIC TỐT A Mã cyclic tối ưu xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic Định lý 3.1: Mã cyclic vành đa thức [ ] sử ∑ dụng tất đa thức khác không (trừ đa thức ) làm dấu mã mã tối ưu... TRUYỀN THÔNG 22 MỘT SỐ BỘ MÃ CYCLIC TỐT XÂY DỰNG TRÊN VÀNH ĐA THỨC Theo phân tích ta tìm giá trị , đa thức thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp bảng I phù hợp Các đa thức thỏa mãn h2 ( x)  (1... giá số mã cyclic tốt liệt kê bảng II 1) Bộ mã cyclic Chọn đa thức có cấp 255 [7] phần tử sinh CMG xây dựng vành , chọn để hạ bậc ta xây dựng CMG tương ứng có cấp 255 vành , tiến hành xây dựng mã