46277 Ƒ912 4-0 ——
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ CÔNG NGHIỆP VIỆN NGHIÊN CỨU ĐIỆN TỬ TIN HỌC VÀ TỰ ĐỘNG HOÁ
ae,
TRẦN ĐỨC SỰ
MÃ XYCLIC CỤC BỘ TỰ ĐỐI XỨNG
ĐẶC TÍNH, THUẬT TỐN, CHƯƠNG TRÌNH LẬP VÀ GIẢI MÃ
Chuyên ngành: Ứng dụng điện tử trong kinh tế quốc
Trang 2Cóng trình được hoàn thành tại: Viện Điện tử - Tin học - Tự động hoá Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Xuân Quỳnh PGS.TS Nguyễn Bình
Phân biện]: PES LS heii bedi ey
Phản biện2: 2Ä ih beeen Mane Lhe
~ -“
Phản biện 3: Phi LS Lee Mijn L Aloe
Luan án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước
họp tại: Viện Điện tử - Tin học - Tự động hoá vào hồi ,Z giờ Z.@ ngày ¿2 tháng 7 nam2dDes
af 2 - `
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: ⁄z⁄6x«.(24.4466./ZZ%
Trang 3LỜI MỞ ĐẦU
Mã khống chế sai (KCS) là thành phần quan trọng trong truyền tin
nhằm nâng cao độ tin cậy Xuất phát từ những nghiên cứu ban đầu
của Shannon năm 1948 đưa ra lý thuyết về KCS Sau đó nhiều nhà
nghiên cứu quan tâm phát triển theo nhiều hướng khác nhau Ngày
nay mã KCS đã trở nên đa dạng trong nhiều loại hình thông tin liên
lạc khác nhau
Một trong các loại mã KCS được ứng dụng nhiều nhất là mã
xyclic Nhưng mã xyclic truyền thống có những nhược điểm của nó:
khả năng lựa chọn số bệ mã hạn chế, tốc độ mã hóa/giải mã chưa cao,
có ít phương pháp lập mã tổng quát
Cũng theo hướng nghiên cứu trên quan điểm về cấu trúc đại số thì
mã Xyclic cục bộ (XCB) ra đời Đây là một loại mã không những bao
hàm mọi tính chất của mã xyclic truyền thống, mà còn có nhiều ưu
điểm nổi trội và thiết thực như: khả năng lựa chọn mã đa dạng, tốc độ
lập mã, giải mã nhanh hơn
Quan điểm về mã XCB không dừng lại ở đó Đã có một số công trình tiếp tục nghiên cứu theo hướng này Các công trình nghiên cứu ấy đã có những thành công khi đưa ra bộ mã tối ưu cho mỗi tình
huống lựa chọn, tuy nhiên tính hiệu quả ở khía cạnh tốc độ truyền tin thì chưa có công trình nào để cập đến Tăng hiệu suất truyền là nhu cầu thực tế và ngày càng cấp thiết: nố làm giảm chi phí truyền thông và đối với các thông tin nhạy cảm cần bảo mật thì thời gian truyền càng rút ngắn càng góp phần chống tấn công chặn thu thám mã của đối phương
Vậy bài toán đặt ra cho để tài là, với các thông số đặc trưng của mã khống chế sai gồm độ đài từ mã ø, số dấu thông tin &, khoảng
Trang 4tốt (nghĩa là tốc độ truyền tin càng cao) Tuy nhiên với các bộ mã XCPB hiện nay giảm n sẽ làm giảm khả năng phát hiện sai và sửa sai
của mã Vậy làm sao để giảm được œ mà vẫn bảo toàn khả năng sửa
sai của mã Đây chính là mục tiêu của luận án cần giải quyết CHƯƠNG I
TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐNG CHẾ SAI
Chương này trình bảy tổng quan về tình hình phát triển lý thuyết mã khống chế sai trong và ngoài nước Phân tích kết quả nghiên cứa về mã xyclic và mã XCB đã được công bố Qua đó khẳng định các mục tiêu chính của để tài
1.1 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI
Nâng cao độ tin cậy của hệ thống truyền tin là một yêu cầu thực tiễn Một trong các giải pháp nhằm nâng cao độ tin cậy đó là áp dụng
các mã KCS trong truyền tin Sự xuất hiện ngày càng nhiều loại hình
thông tin đòi hỏi thêm nhiều hơn nữa bộ mã có khả năng KCS cao
phù hợp với từng loại hình cụ thể
Tuy nhiên áp dụng mã KCS sẽ làm tăng dung lượng truyền, dẫn
đến giảm hiệu suất sử dụng kênh Nghiên cứu về mã KCS làm sao tạo
ra được các bộ mã cho phép giảm độ dài từ mã n mà khả năng sửa sai
tương đương với những bộ mã có chiều dài n lớn hơn là một mục tiêu
của truyền tin Vậy nghiên cứu về mã KCS nhằm tìm ra nhiều bộ mã
tối ưu mới đáp ứng đòi hỏi không ngừng của thực tế luôn là vấn đề
thời sự và cấp thiết
1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU VỀ MÃ KCS TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC
1.2.1 Các quan điểm nghiên cứu mã khống chế sai
Trang 5- _ Trên quan điểm lý thuyết tổ hợp [93], [108], [125]
- _ Trên quan điểm về cấu trúc đại số [45], [95]
- Ding lý thuyết đàn để xây dựng mã [146], [147], [12], [122]
-_ Dùng phép biến đổi Fourier trường hữu hạn [49]
- Trong số các quan điểm trên thì quan điểm thông dụng và được phát triển mạnh mẽ nhất đồng thời cũng là phương pháp có nhiều
kết quả phong phú với nhiều ứng dụng hữu hiệu là quan điểm xây
dựng mã đựa trên các cấu trúc đại số
1.2.2 Các vấn đề nghiên cứu
~_ Nghiên cứu để tạo ra được các bộ mã mới [47], [148], [69], [S9]
~_ Nghiên cứu các loại mã chỉ phát hiện sai [85] [87], [88]
-_ Nghiên cứu đưa ra một số lớp mã đặc biệt trong các loại mã đã
biết [54], [55], [57], [7H, [721, [75], đây cũng chính là hướng
nghiên cứu của tác giả
-_ Đưa ra thuật toán mã hoá, giải mã mới nhằm nâng cao hiệu quả
của các bộ mã đã biết, ví dụ như [39].[41], [79], [83] [84], [117]
Tóm lại các công trình nghiên cứu về mã KCS đều nhằm mục tiêu
tìm ra được các bộ mã tối ưu có khả năng ứng dụng cao
1.2.4 Các loại mã KCS điển hình
* Ma xyclic
Một số đặc điểm của mã xyclic như sau:
-_ Mã xyclic được xây dựng trên các [deal trong vành đa thức nên số
các mã xyclic bằng số các Ideal có trong vành Số các Ideal phụ thuộc vào phân tích đa thức của nhị thức x"+1 thành tích của các
đa thức bất khả qui Khi biểu diễn một bộ mã xyclic thì thường dưới dạng đa thức sinh g(x) của bộ mã, từ ø(x) ta có thể tạo ra ma
trận sinh G,„„ để tạo ra mã xyclic hệ thống và không hệ thống
Trang 6Có nhiều phương pháp khác nhau để giải mã cho các bộ mã xyclic như: Dùng thuật toán Megrit để giải mã theo thuật toán dịch vòng
{98], giải mã theo thuật toán Berlekamp [149], giải mã dựa vào biến
đổi Fourier trên trường hữu hạn [49], dùng hệ các TKT theo phương
pháp giải mã ngưỡng [96]
Uu điểm mã xyclic:
Đây là loại mã có cấu trúc tường minh nên dễ thực hiện về mặt kỹ
thuật Thiết bị mã hoá và giải mã đơn giản nhờ sử dụng tính chất dịch
vòng của mã Có thể xây dựng bộ mã có khả năng phát hiện sai và
sửa sai với số lượng tuỳ ý Nhược điểm mã xyclic:
Do tính hạn chế về cấu trúc nên số các bộ mã xây dựng được trên
một phân hoạch vành bị hạn chế bởi với một số giá trị của m có rất ít
các Ideal Mặt khác với mỗi bộ mã xyclic (cùng một đa thức sinh) thì
chỉ có duy nhất một phương án thiết kế mạch lập và giải mã Tốc độ lập mã/giải mã chậm, phải cần đúng ø nhịp để tạo ra được bộ mã (z, &) Còn khi giải mã cần 2r xung nhịp Dựa vào một số có tính chất
đặc biệt, mã xyclic đã tạo được một số loại mã riêng như mã xyclic
Hamming, ma BCH va ma RS
* Ma Xyclic cuc bộ
Ma XCB là mã hệ thống tuyến tính (n, k) với các đấu mã là một
tập con của 2„ được chọn theo quy tắc sau:
-_ k dấu thông tin được chọn là # phần tử của nhóm nhân xyclic cấp k
của Z„
- (n-k)=r dau kiém tra này là một tập hợp khác trống nào đó các
Trang 7Một nhược điểm của cách xây dựng mã này là cấu trúc cộng trong vành chưa được tường minh và mới chỉ xác định được một dạng phân hoạch vành
Phương pháp giải mã cho XCB: Dùng phương pháp giải mã ngưỡng theo đa số (GNNTĐS) [11], và giải mã ngưỡng một cấp, hoặc hai cấp ngưỡng
Các kết quả nghiên cứu về mã XCB trong [28], [28-1], [28-2] bao
gồm: Bộ mã XCPB tự trực giao (TTG) (2*1,k) có dạ=2*1!-1 là mã tối ưu đạt được giới hạn Griesmer Mã XCB CKNTG (2*'!, K), có dụ=21-2
Với k lẻ còn tạo được bộ mã (2*!-1,k), đụ=2*!-1,
1.3 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CỦA LUẬN ÁN
Ma XCB còn có những ưu điểm nổi bật so với mã xyclic truyền
thống là: Khả năng lựa chọn mã phong phú: với cùng một giá trị & có thể tạo ra nhiều bộ mã; có nhiều phương án xây dựng mạch giải mã
khác nhau cho một bộ mã Có được các mã tối ưu với mọi giá trị n
Mã XCB có thể tạo ra các khối dấu kiểm tra một cách song song Do
vậy, để mã hoá một bộ mã xyclic (n, k) tương ứng chỉ cần dùng (n+k)
nhịp Điều này đặc biệt có ý nghĩa khi k << n Mạch mã hoá và giải
mã đơn giản nhờ phương pháp giải mã ngưỡng Đặc biệt trên quan
điểm của vành đa thức để xây dựng mã khống chế sai thì lúc này mã
tuyến tính ngẫu nhiên, mã xyclic truyền thống được xem là các trường hợp riêng của mã XCB Bởi vậy, phương pháp xây dựng mã
XCB tổng quát hơn Để thấy rõ ta xem sơ đồ hình 1.1
Trang 8thông tin tương đương (e, k) làm sao có thể giảm độ dài từ mã để tăng
tốc độ truyền Nghiên cứu về mã XCB tự đối xứng và tính chất tự
đối xứng của lớp kẻ của nó sẽ giải quyết được bài toán này
Mục đích của luận án
Tạo ra một lớp mã mới - mã XCB đối xứng (ĐX) và tự đổi xứng (THX), cho phép giảm độ dài từ mã ø mà khả năng phát hiện sai và sửa sai tương đương mã XCB có độ đài lớn hơn Đề xuất một phương pháp phân hoạch vành mới cho phép xây dựng bộ mã XCB TĐX nhanh
Phân hoạch vành đa thức theo nhóm
nhan xyclic A = {ai(x
_ _ Mm
Phân hoạch cực tiểu || Phân hoạch chuẩn Phân hoạch cực đại
a(x)= 1 a(x) =X ord a(x) = max ord b(x Ma XCB TTG Mã XCB đối xứng và CKNTG và tự đối xứng Mã TTNN Mã xyclic Ma xyclic truyén thong Vanh da thitc Ideal (g(x))
Hình 1.1 Sơ đổ mô tả mối quan hệ giữa các lớp mã KCS
Đối tượng nghiên cứu
Lý thuyết về mã khống chế sai, mã xyclic, XCB và mã XCB DX
Trang 9Pham vi nghién citu
Nghién ctu xay dung ly thuyét ma XCB DX va TDX cho mục
đích khống chế sai trong truyén tin
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Về khoa học, nghiên cứu của luận án góp phần làm phong phú thêm về lý thuyết mã xyclic cục bộ; xây dựng được một lớp mã KCS
mới Đây là một hướng nghiên cứu mới trước đây chưa có
Về thực tiển, kết quả nghiên cứu sẽ mang lại hiệu suất truyền tin cao khi giảm được một nửa độ dài các dấu kiểm tra mà vẫn đảm bảo
nội dung thông tin và khả năng phát hiện sai và sửa sai Nói cách
khác tăng hiệu quả kinh tế và góp phần an tồn thơng tin trong truyền
tin mật
Phương pháp tiếp cận là cơ sở toán học về lý thuyết đại số, số học, đặc biệt đại số đa thức: nhóm, vành, trường, toán xác suất và lĩnh vực
điện tử - viễn thông, công nghệ thông tin máy tính v.v để giải quyết
bài toán đặt ra
Phương pháp nghiên cứu là dựa trên lý thuyết mã xyclic cục bộ,
tìm một phương pháp tổng quát để xay dung m4 XCB DX va TDX
Nội dung của luận án
- Nghiên cứu về mã khống chế sai nói chung Phân tích va chon
hướng nghiên cứu mã xyclic là loại mã có ưu điểm tường minh
về cấu trúc, đễ dàng trong thiết kế mạch, tốc độ nhanh
- — Trên cơ sở mã XCB, nghiên cứu xây dựng một lớp mã mới dựa
trên tính chất của phần tử ĐX của các lớp kể đặc biệt ĐX và
TDX trên các vành tổng quát
- Để xuất và chứng minh các bộ mã lặp TĐX(m.(2* - 1), k, m.2-1)
và (m.(2*-1), k+1, m.2*'!+2) đạt được giới hạn tối ưu Griesmer và
Trang 10tất cả các phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt là mã tối ưu thỏa mã
giới hạn Griesmer
Đề xuất một phương pháp mới phân hoạch vành đa thức chẩn theo lớp các phần tử liên hợp, làm cơ sở cho việc xây dựng các bộ mã XCB TĐX trong phân hoạch này với các công bội khác nhau
Kết quả nghiên cứu của luận án sẽ góp phần giải quyết thêm một số vấn để còn tồn tại của mã XCB và góp một phần vào việc hoàn
thiện thêm cho lý thuyết mã KCS XCB là:
Xây dựng tiêu chí lựa chọn mã dựa trên khái niệm phần tử ÐX để
xây dựng một lớp mã đặc biệt mới là mã XCB ĐX và TĐX, đóng góp vào danh sách các bộ mã có khả năng ứng dụng
Tìm ra các phương pháp phân hoạch mới dựa trên tính chất đặc
biệt và khái niệm phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt Nội dung của luận án được chia làm các chương sau: Chương Ï Tổng quan về mã khống chế sai
Chương 2 Mã XCB ĐX, TĐX trên các phân hoạch vành
Chương 3 Các mã Xyclic và XCB TĐX trên lớp các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt
Chương 4 Mô phòng kiểm chứng lý thuyết và để xuất ứng dụng ma XCB DX, TDX
Kết luận
Phụ lục Phụ lục A: chương trình nguồn tính tổng kiểm tra
Phụ lục B: chương trình nguồn mô phỏng khả năng sửa
sai bộ mã (29, 5, 14)
KẾT LUẬN CHƯƠNG I:
Chương này là tổng quan các hướng nghiên cứu về mã KCS hiện
Trang 119
hình, một số kết quả nghiên cứu về mã XCB, tinh hinh thuc té& ting dụng và tính cấp thiết của đề tài Qua phân tích về các mã KCS xác định được các mục tiêu để tai md la XCB TDX
CHƯƠNG II
MÃ XCB ÐX VÀ TĐX TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH VÀNH
Chương này nêu ra các định nghĩa và các phương pháp xây dựng
mã dựa trên khái niệm phần tử ĐX, các lớp kê ĐX và TĐX: chứng mình các bổ để về sự tốn tại của các nhôm nhân ĐX, đa thức ĐX Đề
xuất và chứng mình được hai bộ mã lặp quan trọng là mã XCB ĐX và mã XCB TĐX đạt được giới hạn tối tại Khảo sắt, đánh giá một số
mã cụ thể trên vành số và vành đa thức Đưa ra thuật toắn chương
trình tự động tính tổng kiểm tra phục vụ thiết kế các thiết bị mã hoá và giải mã
2.1 MÃ XCB ĐX VÀ TĐX TRÊN VÀNH SỐ Z„ 2.1.1 Khái niệm về các lớp kề ÐĐX
- Định nghĩa 2.1: Hai phần tử a và b thuộc Z„ được gọi là hai phần tử ĐX với nhau nếu: a + b =0 mod p (2.1)
Bổ đề 1: Gọi j là số phân tử của một lớp kêTĐX, khi đó ta có thể
tim được một trưởng lớp kê của lớp này theo công thức sau: a„+a„.2U)=0 (mod 2* - 1) (2.2)
Trong đó j=k hoặc j là một ước chẵn của k
b„=(L+1Öa, voi2t+1<2" +1 hay 1< 20241 (2.3)
a„: trưởng lớp kê cZ(p); b„: trưởng lớp kê khác cũng e Z(p)
2.1.2 Các mã XCB xây dựng trên các lớp kể TĐX
Trang 12Mã (7.3): các lớp kể tạo mã tương ứng là {I,3,5}, là một mã XCB
TTG tối ưu có khoảng cách Hamming dạ=4 Mã (6,3): các lớp kề tạo
mã tương ứng là {I,3}, là mã XCB TTG tối ưu có dụ=3 * Trường hợp k=6: Mã (10,5): các lớp kể tạo mã tương ứng là {1,7,21}, là một mã tốt có dụ=4 , [4] Mã (9,5): Các lớp kế tạo mã gồm {1,7}, cũng là một mã tốt có dạ=3 (tác giả đã nêu [4]) * Trường hợp k=12 (có vành Z4, [1]
2.2 CAC NHOM NHAN XYCLIC DX TREN VANH DA THUC VA CAC MA XYCLIC
2.2.1 Vành đa thức theo modulo x°"+1 và các nhóm nhân xyclic
Khi n lẻ (n=2*+l) Nhận xét:
Số các nhóm nhân trong vành bằng số các luỹ đẳng và bằng 2!-1
Với t là số các đa thức bất khả qui có được trong phân tích đa thức
Không kể phần tử không vành sẽ được phân hoạch thành các nhóm
nhân với các luỹ đẳng tương ứng
Nhóm nhân của vành sẽ chứa các nhóm nhân xyclic có cap 2"-1
và ước của 2"-1 làm các nhóm con của nó
2.2.2 Da thức ĐX và các nhóm nhân xyclic ĐX
Định nghĩa 2.5: Cho a(x) là một đa thức có trọng số lẻ nào đó
trong vành Đa thức a (x) được gọi là đa thức ÐX của a(x) nếu
a(x) =) x" va a(x) = >x/
Với An A=0;AU Ẩ=s ;5={0,1,2 ,n-1} (2.7)
Xét a(x) 1A mét da thitc cé trong 86 lé, khi dé da thite DX của nó a’(x) sé 14 mot da thifc cé trong sé chan
Bổ đề 4: Ký hiệu phan nit DX ctia a(x) la (x) Tdc gid [6]
Trang 1311
Theo (2.1) từ A ta có thể dễ dàng xây dựng được A
Bổ đề 5: Nếu ord (a(x)) =i thi ord (A(x))=i Tite la néu A la mot
nhóm nhân xyclic cấp ¡ có phần tử sinh a(x) thì Ã là một nhóm nhân
xyclic cấp i có phần tứ sinh ã(x) Ta cô:
A= fatx), @(x), 0(x) }, A= fle), P(x), a'(x)}
Céc nhém Ava A được gọi là các nhóm nhan xyclic DX 2.2.3 Các mã xyclic ĐX xây dựng từ các nhóm nhân xyclïc
Định nghĩa 2.5: Mã xyclic không hệ thống độ dài ¡ là một nhóm nhân xyclic cấp ¡ trong vành 2;Jx]JÙC+1 Các dấu mã trong từ mã bất kỳ của bộ mã là các luỹ thừa khác nhau của phần tứ sinh của nhóm
Bổ đề 6: Nếu nhóm nhân xyclic A sinh bởi a(x) tương đương với
mã xyclic (n,k) có khoảng cách mã tối thiểu d„, thì nhóm nhân xyclic
ĐX Ã sinh bởi ầ (x) sẽ tương đương với mã (n,k-1) có khoảng cách
mã tối thiểu d>d, +1 Xét a(x), W(a(x))-lẻ=> A =fal(x); i=0,1.2 n-
Ih
Bổ đề 7: Nếu lớp kế a(x) trong phân hoạch của vành theo nhóm
nhân xyclic là: A =Ýa{x); i=0,1,2 n-1 Ỷ trương đương với một mã xyclie (n,k) có khoảng cách tối thiểu d, thì lớp kẻ ĐX b{x) của nó sẽ
tương đương với một mã xyclic (n,k-1) có khoảng cách tối thiểu dụ+1 Nhận xét: Trong vành sẽ luôn tổn tại các phần tử của lớp ké trọng
số w(a(x)) lẻ đối xứng nhau sao cho W(a(x))+ w(4(x))=k Đồng
Trang 142.3 LOP KETDXVA XAY DUNG MA XYCLIC TDX
2.3.1 Khái niệm lớp kề TĐX
Hai đa thức a(x), aÁx) thuộc vành 22[x] /#* +1 được gọi là hai đa thức ĐX khi thoả mãn (2.7) và cùng nằm trong một lớp kẻ thì lớp kể này được gọi là lớp kẻ TĐX Các lớp kể TĐÐX chỉ tổn tại trên vành với k chan cé tinh chat sau: Số đa thức a, (x) là phần tử của lớp kể đó là k
chắn, hoặc là ước của k Mỗi đa thức a(x) phải là tổ hợp tuyến tính nào đó = k/2 phần tử nhóm nhân Xyclic Nói một cách khác, đa thức
a(x) phải có trọng số w (a(x)) là số k/2 Ta có:
a, (x) +ax™ =e, (x) = >x =0 (2.9)
Trong đó j là ước của k (ước chiA cha k) Từ đó ta có thể xác định phần tử TDX trong lớp kể TĐX
a; (x) [14x] = ey (x) & a (x) = ca (2.10)
Nếu sử dụng tính chất ĐX của cát isp kẻ, từ mã (15,5) ở vi du trên ta đi xây dựng mã (15,4) thì cho phép trực giao hoá các tổng kiểm tra có khả năng trực giao
Mã (15,4){1,1+x+x?,1+x+x?,1+1+x}} có đ° = 8 với 7 hệ kiểm tra trực giao với dấu 1: [x°] ©>[1
Như vậy, bằng phương pháp sử dụng tính chất ĐX của lớp kể ta có
một bộ mã mới độ dài từ mã n bằng nhau (15), số đấu thông tin ít hơn
1 nhưng khoảng cách Hamming lớn hơn nhiều (8 — 5 = 3) và là mã tối
ưu ¬
2.3.2 Xây dựng các mã XCB TĐX
Định nghĩa: Mã XCB TĐX là mã XCB được xây dựng trên lớp kê
TĐX
Nhận xét: Như vậy, do tính chất TĐX, các bộ mã này có khả năng KCS cao hơn, tương đương với mã có độ dài gấp 2 lần có dấu kiểm
Trang 1513
* Xét vanh da thitc voi k = 4
Ma (7,3){x°,1+x,1+x7?} là một mã XCB TTG tối ưu có khoảng cach ma Hamming dy = 4 Mã (6,3){x),I+x|là mã TTG tối ưu có
khoảng céch ma Hamming dy = 3
* Xét vanh da thitc voi k=6
Mã (10,5) {1, l+x+x?, 1+x?+x?} Đây là mã tốt có dạ=4
Mã (9,5) {1, 1+x+x?} Đây là mã tốt có dạ=3
2.3.3 Lớp các mã XCB TĐX sửa sai đơn
Đây là một lớp mã TT 5o sánh lớp mã này với lớp mã Hamming mã sat đơn được nêu ở bảng sau:
Bảng 2.1 Các mã Hamming và XCB TTG sửa sai đơn m | Mã Hamming (n,k,d) Mã XCB TIG(.k,d) 1 ~ (3,1,3) 2 @,13) (6.3.3) _| 3 (7,4,3) (9,5,3) 4 (11,15,3) (12,7,3) 5 (31.26,3) (15.9,3) 6 (63,57,3) {18,11,3) 1 (127,120,3) (1.13.3)
Với mã XCB TTG sửa sai đơn là các mã TTG nên giải mã đơn
Trang 162.5 UNG DUNG NGON NGU LAP TRINH MAY TINH XAY DUNG MA XCB DX VÀ TĐX 2.5.2 Các thuật toán và lưu đồ thuật toán 1 In kết quả vành Z2[x]/x*+
— Hình 2.2 Lưu đỏ thuật toán xây đựng vành Z7„[x}/x*+1
2.5.3 Chương trình tính tổng kiểm tra
Nhận xét: Với lưu đơ thuật tốn và chương trình tính chạy trên máy tính có cấu hình Pentium IV 1.8 GB cho phép thiết lập song song cả vành số và vành đa thức thì tính được với k < 15 Để chương
trình chạy nhanh hơn và k được lớn hơn thì thiết lập riêng với vành
Trang 1715
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Các kết quả quan trọng của chương này bao gồm :
-_ Xác định được điêu kiện để có lớp kế TDX khi k phải là số chẩn Khảo sắt vành thì đơn giần hơn, xây dựng được các bộ mã ĐX và TĐX nhanh hơn
-_ Xây dựng được một lớp mã XCB TĐX sửa sai đơn Lớp mã này có
thuật toán mã hóa và giải mã đơn giản hơn só với các mã
Hamming
-_ Chứng mình được các mã lặp (m, 2'-1), va md [m(2'-1), k+1] dat được các tiêu chuẩn Griesmer, Plotkin
-_ Đã đề xuất một số bộ mã XCB TDX cụ thể, lập chương trình tự
động để thiết lập nhanh các bộ mã ĐX và TDX khác nhau, qua đó đã khẳng định được tu thế đặc biệt của các bộ mã này là: với
cùng một khả năng sửa sai mà giảm được một nửa dấu kiểm tra r tức giảm dé dai từ mã n, tăng tốc độ truyền tin trong khi vẫn đạt duoc gidi han Griesmer, Plotkin
CHUGNG Hil
CAC MA XYCLIC VA XCB TDX TREN LOP
CAC PHAN TU LIEN HOP CUA LUY DANG NUOT
Chương này để xuất một phương pháp phản hoạch vành
2;|xIIx”"+1 thành lớp các phần tử liên hợp và cách sử dụng các phân
tử liên hợp của một phần tử đặc biệt là luỹ đẳng nuốt để xây dựng các
Trang 183.1 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC Z2|xIX?*+I THÀNH LỚP CÁC PHÂN TỬ LIÊN HỢP
3.1.1 Các thặng dư bậc 2 và các căn bậc hai của chúng
Định nghĩa 3.1: Đa thức f(x) được gọi là một thặng dư bậc 2
(quadratic resdue ~ QR) trong Z,, néu tén tai da thite g(x) sao cho 2°(x) = f(x) mod (x*+1)
Trong dé: g(x) €Z.,, g(x) được gọi là căn bậc 2 của f(x)
Nếu ký hiệu Q,„ là tập các thặng dư bậc 2 trong Z„„ ta có bổ để sau:
Bổ đề 1: Đa thức x)eQ.„ khi va chi khi f(x) chứa các đơn thức có mũ chan Số các thăng dư bậc 2 trong Z„ được xác định như sau
10,,| =>, Cin =2" (3.1)
Bổ để”2: Các căn bậc 2 của một thặng dư bậc 2 x) e Q„ được
xác định theo công thức sau
Sqelftx)} = glx) = aol x! ): Vf@) (3.2)
Trong đó u là một tập hợp Sôm tnột tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong
tập S={0, 1,2, ., n-1}
Trang 19%47 —~ 1 c- Tổng của một số chẵn các phần tử liên hợp cũng là một căn bậc 2 nào đó của 0 d- Tổng của một số lẻ các phần tử liên hợp là một phần tử liên hợp
* Đặc tinh của các căn bậc 2 của các luỹ đẳng
Bổ đề 4:Các căn bậc 2 của một luỹ đẳng trong Q„„ là một nhóm
nhân có phần tử đơn vị là e(3°)
Nhận xét: Không kế e(x}, các căn bậc 2 còn lại đều là các phần
tử có cấp bằng 2
3.2 TINH CHAT CUA CAC PHAN TU LIEN HOP
3.2.1 Tính chất của các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt „¡Định nghĩa 3.2: Trong 2, với m lẻ, tồn tại luỹ đẳng ej(x) = > x’ luy đẳng này được gọi là luỹ đẳng nuối
=e (x)? => x” duoc goi 1a luỹ đẳng nudt trong Or
Nhan xét:'Trong Z, ta c6: x.e9(x) = eg(x) thì trong Z„„ ta có x”es(X)? = ca(x}
Bổ để 5: Dịch vàng của một căn bậc 2 của e(x)) cũng là một căn bậc 2 cua e,(x’)
3.2.2 Tính chất của các phần tử liên hợp của 0
Bổ đề 6: Các căn bac 2 của 0 là một nhóm cộng với phần tử đơn
vị 0
Nhận xét: Tất cả các căn bậc 2 của 0 đều là ước của 0; dịch vòng của một căn bậc 2 của Ö cũng là một căn bậc 2 của 0
Trang 203.3 CAC MA XYCLIC VA XCB TRONG CAC PHAN TU LIEN HOP VOI LUY DANG
NUOT
3.3.1 Ma XCB xay dumg trén phan hoach chuan
Bổ đề 7: Môỗi cấp số nhân xyclic với công bội x trong các phần nt liên hợp của eg(x)” là một lớp kếTĐX
Bổ đề 8: Các phần tử liên hợp với luỹ đẳng nuốt là các đa thức có
cùng trọng số n
Bổ đề 9: Số các tổng kiểm tra trực giao với (2+1) có thể thiết lập
được trong tập 2" phần từ liên hợp với luỹ đẳng nuốt bằng 2",
Nhận xét: Đề trực giao hoá (3.7) ta có thể cho trước giá trị của n
dấu thông tin (ví dụ ta chọn x” = x”?!= = x?"! = 0)
Bổ đề 10: Tập rất cả các phần tử liên hợp với các luỹ đẳng nuốt
e(x?) sẽ tạo nên một mã XCB với các tham số sau (n,k,dạ) = (2"-1,n,
2"!) Đây là một mã tối tai thoả mãn giới hạn Griesmer
3.3.2 Mã Xyclic xây dựng trên phân hoạch cực đại
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Trong chương này tác giả đã trình bày một phương pháp mới xây
dựng mã XCB ĐX và TĐX đựa trên phân tích khái niệm các thăng dư
bậc hai, các căn bậc hai của chúng và các căn bậc hai của các phần
tử đặc biệt (lãy đẳng nuốt phần tử zero) Từ phát hiện tính chất của các cấp số nhân trong các phần tử liên hợp với luỹ đẳng nuốt, tim ra
những lớp KETDX để xây dựng các mã XCB TĐX tương ứng
Chương này đã chứng mình được bộ mã XCBTĐX (2"-1,n, 2") là
mã tối năt thôa mãn giới hạn Griesmer, và số TKTTG với (x"+1) thiết
Trang 2119
CHƯƠNG IV
MO PHONG KIEM CHUNG LY THUYET VÀ ĐỀ XUẤT ỨNG DỤNG MÃ XCB BX, TDX
Chương này trình bày kết quả mô phỏng hoạt động của mã XCB
TĐX trên kênh giả lập nhằm kiển tra những vấn đề lý thuyết đã
nghiên cứu Kết quả mô phỏng được biểu diễn khi so sánh tính hiệu quả của mã XCB TĐX với mã XCB trên cùng một kênh với cùng tắc động của nhiễu Đông thời chương này cũng để xuất một ứng dụng thực tế của mã
4.1 MO PHONG KIEM CHUNG LY THUYET
4.1.1 Mô hình mô phỏng mã XCB TĐX
Để mô phỏng các sơ đồ mã hóa và giải mã cho loại mã XCB TĐX (29, 5,14) theo phân hoạch chuẩn như biểu diễn ở Hình 4.1 Giả định hệ thống như sau: B Nhiễu
Nguồn Mã hóa Giải mã Tin sau
tin XCBTDX| Wi xceroxy > giải mã Ó Kênh Bên phát Bên thu Hình 4.1 Hệ thống truyền tin
Với bộ mã (29, 5,14), khi có 5 bits nguồn tin đầu vào (5 dấu thông
tin &) bộ mã hóa, thì đầu ra của nó là 29 bits (độ đài từ mã )
Mục tiêu của mô phông
-_ Thực hiện mô phỏng mạch mã hóa và giải mã dưới sự tác động
Trang 22- Thực hiện đánh giá kết quả mô phòng với lý thuyết theo khả nang stra sai
Các tổ hợp bit truyền trên kênh thực tế sẽ bị tác động của nhiễu
Để mô phỏng chúng ta cho nhiễu tác động một cách ngẫu nhiên với số lượng nhiễu có thể chọn trước nhằm xác định mã XCB TĐX có thể phát hiện và sửa sai bao nhiêu phần trăm
4.1.2 Thuật toán và lưu đồ chương trình
So sánh kết quả mô phỏng với tính toán lý thuyết -_ Hiệu suất sửa sai theo lý thuyết là:
Theo điều kiện sửa sai: đạ > 2e + 1
trong đó dạ là khoảng cách Hamming; ở đây dạ = 14 Do đó số lỗi có thể sửa được nhiều nhất e = 6
-_ Hiệu suất sửa sai theo mô phỏng:
Hiệu suất sửa sai theo mô phỏng được tính theo thống kê như sau
với số lượng lỗi kênh giả thiết từ 1 đến 8:
Kết quả mô phỏng được biểu diễn bằng biểu đồ Hình 4.2 dưới đây 108 [HHiệu suất sửa sai (%} :RSố lỗi kênh 50 it ea 0 leer - = 12345678 Hình 4.2 Hiệu suất sửa sai với số lỗi kênh tăng dần Nhận xét
Ta nhận thấy với số nhiễu tác động lên tín hiệu truyền trên kênh từ
1 đến 6 thì bộ mã (29 5, 14) có khả năng sửa sai hoàn toàn Điều đó
Trang 2321
4.2 KHA NANG UNG DUNG CUA MA XCB DX VATDX
4.2.1 Dac diém ma XCB DX va TDX
4.2.2 Các ứng dụng cha ma XCB DX va TDX
Ung dung trong truyén tin
Nhằm nâng cao hiệu quả và độ tin cậy của thông tin truyền, ta sử dụng mã KCS Cũng như việc sử dụng các bộ mã KCS của các loại
mã khác, tuỳ vào đặc điểm và yêu cầu cụ thể của hệ thống truyền tin mà sử dụng các bộ mã có khả năng KCS khác nhau Ứng dụng trong ngành mật mã Ứng dụng cho công tác đào tạo, nghiên cứu trong phòng thí nghiệm KẾT LUẬN CHƯƠNG IV
Chương IV trình bày kết quả mô phẳng hoạt động của mã XCB TĐX trên kênh giả lập nhằm kiểm tra những vấn để lý thuyết đã nghiên cứu So sánh tính hiệu quả của mã XCB TĐX với mã XCB trên cùng một kênh với cùng tác động của nhiễu Kết quả mô phông đã chứng mình tính đúng đắn của lý thuyết mã XCB TDX đề tài nghiên cứu Đồng thời chương này cũng đề xuất một vài ứng dụng thực tế của
mad,
KET LUAN
Tóm tắt các kết quả chính của luận án
Luận án đã nghiên cứu về mã XCB ÐX và TĐX Kết quả chính của luận án đạt được tóm tắt như sau:
Trang 24này cho khả năng giảm được một nửa số dấu kiểm tra mà vẫn đảm
bảo nội dụng thông tin và khả năng phát hiện sai và sửa sai Có thể hiểu ý nghĩa của kết quả này theo cách khác: khi giữ nguyên tốc độ truyền ta có thể sử dụng được các bộ mã có khả năng phát hiện sai và sửa sai lớn hơn nhiều so với khi dùng bộ mã XCB thông thường
Đề xuất một phương pháp mới phân hoạch vành đa thức chấn theo lớp các phần tử liên hợp, làm cơ sở cho việc xây dựng các bộ mã XCB TĐX trong phân hoạch này với các công bội khác nhau Đã đẻ xuất và chứng minh các bộ mã lặp TĐX(m.(2* - 1), k, m.2Ð và (m.(2* — 1), k + 1, m.2*ˆU + 2) đạt được giới hạn tối ưu Griesmer và Plotkin Đã xây dựng được lớp các mã XCB TĐX sửa sai đơn TTG có mật độ lớn hơn các ma Hamming Đã xây dựng được mã XCB TÐ X(2" — 1, r, 2") là tập hợp tất cả
các phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt eg(x) là mã tối ưu thỏa mãn
giới hạn Griesmer; chứng minh được số TKTTTG với (" + 7) thiết
lập được trong tập 2" phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt bằng 2”,
Ngoài ra luận án còn khảo sát các bộ mã XCB TĐX với các giá trị
k chấn khác nhau 4, 6, 8, 10, 12
Những bộ mã này bổ sung thêm vào danh sách các bộ mã tối ưu
hiện có, cho nhiều khả năng lựa chọn để phù hợp với các yêu cầu thực tế khác nhau
Đóng góp của luận án
Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án như sau:
Về khoa học:
Trang 2523
ra tiêu chí xây dựng mã dựa trên cơ sở lựa chọn lớp kể có tính chất đặc biệt, mở ra một hướng xây dựng mã dựa trên những tính chất đặc
biệt của lớp kể hoặc các vấn để tương tự trong vành Đây là một
hướng nghiên cứu mới trước đây chưa có Về thực tiễn:
Kết quả nghiên cứu làm cơ sở cho việc thiết kế các bộ mã hóa, giải mã đơn giản nhưng tốc độ giải mã nhanh hơn so với các bộ mã có cùng khả nãng khống chế sai áp dụng trong thực tế sẽ mang lại hiệu
quả kinh tế cao vì độ dài từ mã giảm, rút ngắn thời gian chiếm kênh, mà vẫn đảm bảo nội dung thông tin và khả năng phát hiện sai và sửa
sai
Với các đặc điểm đặc biệt đó của lớp mã do luận án đề xuất, cho
phép sử dụng các bộ mã có khả năng sửa sai lớn, sẽ rất hiệu quả trong các kênh truyền tin cổ dung lượng, tốc độ giới hạn và nhiều nhiễu tác động như thông tin vô tuyến
Trong truyền tin mật, thời gian chiếm kênh ít có giá trị chống kha năng chặn thu thám mã của đối phương Thêm nữa làm chủ lý thuyết
về mã XCB sẽ cho chúng ta khả năng chủ động chế tạo các modul
truyền tin an toàn an ninh Đây cũng chính là định hướng của ngành
mật mã nhằm thay thế các modul nhập ngoại vốn tiềm ẩn nguy cơ có
“rep”
Những ưu điểm và hạn chế của công trình nghiên cứu
Ưu điểm
Đã xây dựng một lớp mã mới là mã XCB ĐX và TĐX
Đã kiến thiết một phương pháp phân hoạch vành mới đơn giản
Cho phép thiết kế các bộ mã hóa/giải mã đơn giản và tốc độ giải mã nhanh
Trang 26Mang lại hiệu quả kinh tế nhờ rút ngắn thời gian chiếm kênh Mở ra khả năng chủ động chế tạo modul truyền tin
Nạn chế
Cũng như các mã khác, mã XCB ĐX và TĐX không phải vạn năng trong mọi tình huống Việc nhận định các hạn chế của nó để xác định phạm vi ứng dụng vào thực tế một cách thích hợp là điều cần thiết
Mã này không thích hợp với các kênh thông tin chất lượng cao
Các kênh này vốn có khả năng đảm bảo thông tin ở mức lý tưởng, việc đưa mã XCB ÐX và TĐX vào là không cần thiết và làm chậm tốc độ truyền tin
Với bộ mã chọn thông số k lớn, yêu cầu phải có các bộ vi xử lý tốc độ tính toán cao dẫn đến tăng giá thành Tuy nhiên với tốc độ phát triển của công nghệ điện tử hiện nay thì điều này không thực sự đáng
ngại
Kiến nghị về các hướng phát triển tiếp
Kết quả nghiên cứu của luận án có thể được tiếp tục phát triển
theo các hướng sau:
Theo hướng lựa chọn tiêu chí xây dựng mã theo các lớp kể TĐX ta
có thể tiếp tục xây dựng các mã xyclic và các mã XCB trên các phần tử liên hợp của zero, tương tự như đã thực hiện trên các phần tử liên
hợp của luỹ đẳng nuốt
Xây dựng các mã XCB trên các phân hoạch hỗn hợp Việc sử dụng
nhiều hạt nhân phân hoạch khác nhau cho phép ta có thể phân hoạch
Trang 27CAC TAI LIEU THAM KHAO CHINH
[11] Nguyễn Xuân Quỳnh, Nguyễn Bình Giải mã ngưỡng dựa trên hệ tổng kiểm tra 2 liên hệ chặt Hội nghị tự động hố tồn quốc lần thứ 2 - 1994
[19] Nguyễn Xuan Quỳnh, Nguyễn Bình Sử dụng các dấu thông tin giả để tạo các mã XCB Hội nghị tự động hố tồn quốc lần thứ
3- 4/1998
[24] Nguyễn Xuân Quỳnh, Nguyễn Thế Truyện Một phương pháp
đánh giá tối ưu của bộ mã Hội nghị tự động hố tồn quốc lần thứ 3 - 4/1998 CƠNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIÁ [H] PGS TS Nguyễn Bình, Ks Trần Đức Sự, “Mã Xyclic cục bộ tự đối xứng trên Z4s; 7 Tạp chí KHKT Học viện KTQS số 83 - 2/1998
[2]PGS_TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đức Sự “Các mã lặp tối ưu”, Hội nghị toàn quốc lần thứ 3 về tự động hoá VICA3 —11/1998
[3] PGS_TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đức Sự, “Các nhóm nhân xycHc đối xứng trên vành đa thức và các mã xycle”, Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về tự động hoá VICA4, - 04/ 2000
[4] PGS_TS Nguyễn Bình, Ks Trần Đức Sự, Ks Trương Như Tuyên “ Polynommal rings with two cyclotomic cosets in coding thery” Hội nghị AIC -Thượng Hải - 04/ 2001
[5] PGS_TS Nguyên Bình- Ks Trần Đức Sự, Phạm Việt Trung “
Decomposition of polynomial ring accoding to the classes of
cojugate elements ”, Hội nghị AIC -Hà Nội —10/ 2001
[6] PGS_TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đức Sự, “Xây dựng mã xyclic cục bộ đối xứng và tự đối xứng trên vành đa thức”, Hội nghị toàn quốc lần thứ 5 về tự động hoá VICA5- 10/2002
[71 PGS TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đức Sự, “Self symmetric cosers and local cyclic codess”, November —2002, Hanoi vietnam — REV'02 -10/2002
[8] PGS_TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đúc Sự, “Local cycHc codes
constructed on conjugate elements of swallowing indempotent”, November —2002 Hanoi vietnam ~REV’02 -10/2002
[9] PGS_TS Nguyễn Bình- Ks Trần Đức Sự, Vũ Việt, “ Condition for