NHÓM ĐỐI XỨNG BIỂU DIỄN, THUẬT TOÁN TỔ HỢP VÀ HÀM ĐỐI XỨNG

NHÓM ĐỐI XỨNG BIỂU DIỄN, THUẬT TOÁN TỔ HỢP VÀ HÀM ĐỐI XỨNG Bruce E Sagan Department of Mathematics Michigan State University East Lansing, MI 48824-1027 ii Người dịch: TS Lê Minh Hà Khoa Toán-Cơ-Tin học Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Đại học Quốc Gia Hà nội 334 Nguyễn Trãi, Thanh xuân, Hà nội Email: minhha@vnu.vn.edu leminhha.vnu@gmail.com Mục lục Biểu diễn nhóm 1.1 Các khái niệm 1.2 Biểu diễn ma trận 1.3 G-môđun đại số nhóm 1.4 Tính khả qui 1.5 Tính Khả Qui Hoàn Toàn Định lí Maschke 1.6 G-đồng cấu Bổ đề Schur 1.7 Giao hoán tử Đại số tự đồng cấu 1.8 Các đặc trưng nhóm 1.9 Các tích đặc trưng 1.10 Sự Phân Tích Đại số Nhóm 1.11 Tích Tenxơ 1.12 Biểu diễn Hạn chế Biểu diễn Cảm sinh 1.13 Bài tập Biểu Diễn Của Nhóm Đối Xứng 2.1 Nhóm Young, bảng bảng 2.2 Tính trội thứ tự từ điển 2.3 Môđun Specht 2.4 Định Lý Môđun Con 2.5 Bảng Chuẩn Cơ Sở Cho S λ 2.6 Phần tử Garnir 2.7 Biểu diễn Tự nhiên Young 2.8 Luật Rẽ Nhánh 2.9 Phân tích M µ 2.10 Cơ sở nửa chuẩn cho Hom(S λ , M µ ) 2.11 Các số Kostka Luật Young 2.12 Bài tập chương hai iii 1 10 13 18 23 30 33 39 42 44 48 51 51 56 59 63 66 69 73 75 78 81 85 86 Lời nói đầu Chú ý: Bản dịch cần phải chỉnh sửa nhiều Độc giả muốn có tay tiếng Anh đến chụp thư viện Viện Toán học iv Chương Biểu diễn nhóm Chúng ta bắt đầu việc nghiên cứu nhóm đối xứng việc xét biểu diễn Tuy nhiên, cần phải trình bày số kết tổng quát biểu diễn nhóm sử dụng Lý thuyết biểu diễn trình bày thông qua ma trận, theo ngôn ngữ mô đun Chúng ta tìm hiểu hai cách tiếp cận sau chuyển sang tìm hiểu lý thuyết liên hệ lý thuyết đặc trưng Để giảm bớt gánh nặng việc trình bày, làm việc trường số phức Chúng ta trình bày nội dung chương cho sách có nội dung tương đối đầy đủ hoàn chỉnh, nội dụng tìm thấy sách giáo khoa thông dụng Đặc biệt, trình bày tổ chức dựa theo Ledermann [?] 1.1 Các khái niệm Trong tiết giới thiệu vài thuật ngữ ký hiệu Trọng tâm nghiên cứu nhóm đối xứng Giả sử G nhóm với luật hợp thành viết theo kiểu phép nhân phần tử đơn vị Chúng ta luôn giả thiết G nhóm hữu hạn, trừ nói khác Ta giả sử người đọc có kiến thức lý thuyết nhóm (lớp kề, định lý Lagrange, v.v.) mà tìm thấy sách giáo khoa thông dụng, chằng hạn Herstein [?] Đối tượng nghiên cứu nhóm đối xứng Sn , gồm tất song ánh từ {1, 2, , n} vào với luật nhóm phép hợp thành ánh xạ Các phần tử π ∈ Sn gọi hoán vị Ta nhân hoán vị từ phải sang trái (Thực ra, ta làm phép hợp hàm theo cách này.) Chẳng hạn πσ song ánh nhận cách áp dụng σ sau π Đối với hoán vị π bất kỳ, ta thường sử dụng ba cách ký hiệu khác Ký hiệu hai dòng dãy n π= π(1) π(2) π(n) Chẳng hạn, π ∈ S3 cho π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = π(4) = 4, π(5) = 5, Chương 1.Biểu diễn nhóm dạng hai dòng π= Vì dòng luôn cố định, ta loại bỏ chúng để có dạng dòng Cuối cùng, ta mô tả π thông qua ký hiệu xích Với i ∈ {1, 2, , n} cho trước, phần tử dãy i, π(i), π (i), hoàn toàn phân biệt Chọn lũy thừa cho π p (i) = i, ta có xích (i, π(i), , π p−1 (i)) Một cách tương đương, ta định nghĩa xích (i, j, k, , ) có nghĩa π chuyển i tới j, j tới k, , quay trở i Bây chọn phần tử không nằm xích chứa i lặp lại trình tất số {1, 2, , n} sử dụng Ví dụ đoạn trước trở thành π = (1, 2, 3)(4)(5) theo ký hiệu xích Chú ý hoán vị vòng tròn phần tử nằm xích, hay thay đổi thứ tự xích với không làm ảnh hưởng đến hoán vị Chẳng hạn, (1, 2, 3)(4)(5) = (2, 3, 1)(4)(5) = (4)(2, 3, 1)(5) = (4)(5)(3, 1, 2) Một k-xích hay xích với độ dài k, xích gồm k phần tử Hoán vị vừa ta gồm 3-xích hai 1-xích Kiểu xích, hay đơn giản kiểu π biểu thức có dạng (1m1 , 2m2 , nmn ), mk số xích có độ dài k π Hoán vị ví dụ ta có kiểu xích (12 , 20 , 31 , 40 , 50 ) Một 1-xích π gọi điểm bất động Các số 4, điểm bất động ví dụ ta Các điểm bất động thường bỏ ký hiệu xích hiểu lầm xảy Một đối hợp hoán vị cho π = Dễ thấy π đối hợp tất xích π có độ dài Một cách khác để xây dựng kiểu xích phân hoạch Một phân hoạch n dãy λ = (λ1 , λ2 , , λ ) ccác λi giảm yếu i=1 λi = n Như k lặp lại mk lần dạng phân hoạch kiểu xích π Ví dụ tương ứng với phân hoạch (3, 1, 1) Đối với nhóm G, phần tử g h liên hợp với g = khk −1 1.1 Các khái niệm với k ∈ G Tập tất phần tử liên hợp với phần tử g cho trước gọi lớp liên hợp g ký hiệu bới Kg Sự liên hợp quan hệ tương đương, lớp liên hợp khác làm thành phân hoạch G (Đây phân hoạch theo nghĩa tập hợp, khác với phân hoạch số nguyên trình bày đoạn trước.) Quay trở lại với Sn , dễ thấy π = (i1 , i2 , , i ) (im , im+1 , , in ) ký hiệu xích với σ ∈ Sn σπσ −1 = (σ(i1 ), σ(i2 ), , σ(i )) (σ(im ), σ(im+1 ), , σ(in )) Do hai hoán vị nằm lớp liên hợp chúng có kiểu xích Vậy ta có tương ứng tự nhiên 1-1 giưa phân hoạch n lớp liên hợp Sn Chúng ta tính độ lớn lớp liên hợp cách sau Giả sử G nhóm xét tâm hóa g ∈ G định nghĩa Zg = {h ∈ G : hgh−1 = g}, tức tập tất phần tử giao hoán với g Có song ánh lớp kề Zg phần tử Kg , dẫn đến đẳng thức |Kg | = |G| , |Zg | (1.1) |.| ký hiệu lực lượng tập hợp Bây đặt G = Sn sử dụng Kλ thay cho Kg g có kiểu λ Mệnh đề 1.1.1 Nếu λ = (1m1 , 2m2 , nmn ) g ∈ Sn có kiểu λ |Zg | phụ thuộc vào λ zg := |Zg | = 1m1 m1 !2m2 m2 ! nmn mn ! Chứng minh Mọi phần tử h ∈ Zg giao hoán xích có độ dài i với nhau, quay vòng xích (hoặc hai) Vì có tất mi ! cách làm với trình trước imi cách làm với trình sau, ta có điều phải chứng minh Áp dụng phương trình (1.1) cho nhóm đối xứng, ta nhận kλ = n! n! = m1 , m zλ m1 !2 m2 ! nmn mn ! (1.2) kλ = |Kλ | Các lớp liên hợp phép chuyển vị, tức hoán vị có dạng r = (i, j) có vai trò quan trọng Các phép chuyển vị sinh nhóm đối xứng Sn , thực ra, nhóm đối xứng sinh phép chuyển vị kề (1,2), (2,3), , (n-1,n) Nếu π = τ1 τk , với τi phép chuyển vị ta định nghĩa dấu π sgn(π) = (−1)k Có thể chứng minh sgn định nghĩa tốt, tức độc lập với phân tích π thành phép chuyển vị Một điều thực hiện, dễ dàng suy sgn(πσ) = sgn(π) sgn(σ) Như thấy, ví dụ biểu diễn (1.3) Chương 1.Biểu diễn nhóm 1.2 Biểu diễn ma trận Một biểu diễn ma trận xem cách để mô hình hóa nhóm trừu tượng nhóm ma trận cụ thể Sau đưa định nghĩa xác, xem xét số ví dụ Ký hiệu C tập số phức Kí hiệu Matd tập ma trận vuông cấp d với hệ số C Tập hợp gọi Đại số đầy đủ ma trận phức bậc d Ta nhắc lại đại số không gian véctơ với tích kết hợp véctơ (do tạo nên cấu trúc vành không gian đó) Nhóm tuyến tính tổng quát phức bậc d, ký hiệu GLd , nhóm tất ma trận khả nghịch X = (xi,j )d×d ∈ Matd Định nghĩa 1.2.1 Một biểu diễn ma trận nhóm G đồng cấu nhóm X : G → GLd Hay cách tương đương, với phần tử g ∈ G, ta có tương ứng ma trận X(g) ∈ Matd cho X( ) = I, ma trận đơn vị, X(gh) = X(g)X(h) với g, h ∈ G d gọi bậc, hay chiều, biểu diễn kí hiệu deg X Chú ý điều kiện kéo theo X(g −1 ) = X(g)−1 , ma trận phải thuộc vào GLd theo yêu cầu Biểu diễn đơn giản rõ ràng biểu diễn có bậc Hai ví dụ có dạng Ví dụ 1.2.2 Mọi nhóm có biểu diễn tầm thường, tức biểu diễn mà ảnh g ∈ G ma trận đơn vị Ta thường kí hiệu 1G số cho biểu diễn tầm thường nhóm G Ví dụ 1.2.3 Bây ta tìm tất biểu diễn có chiều nhóm xyclíc có bậc n, Cn Giả sử g phần tử sinh Cn , i.e., Cn = {g, g , g , , g n = } Nếu X(g) = (c), c ∈ C, ma trận phần tử Cn xác định X(g k ) = (ck ) theo tính chất định nghĩa Mặt khác, theo tính chất 1, (cn ) = X(g n ) = X( ) = (1), c phải thứ n đơn vị Mặt khác, rõ ràng ta định nghĩa biểu diễn ứng với đơn vị trên, có tất n biểu diễn khác Cn , biểu diễn có bậc Cụ thể hơn, xét n = C4 = { , g, g , g } Bốn bậc 1, i, -1, -i Nếu ta kí hiệu bốn biểu diễn tương ứng X (1) , , X (4) xây dựng bảng sau: 1.2 Biểu diễn ma trận X (1) X (2) X (3) X (4) 1 1 g i -1 -i g2 -1 -1 g3 -i -1 i với vị trí hàng i cột j X (i) (g j ) (dấu ngoặc ma trận bị bỏ để đơn giản hóa kí hiệu) Dãy ví dụ bảng đặc trưng, khái niệm mà ta bàn tới mục 1.8 (Đối với biểu diễn bậc biểu diễn bảng đặc trưng trùng nhau) Chú ý biểu diễn tầm thường đặt hàng bảng Tồn biểu diễn khác C4 bậc cao Chẳng hạn, ta lấy X(g) = i Nhưng biểu diễn thực chất tổ hợp X (1) X (2) Theo ngôn ngữ mục 1.5 X hoàn toàn khả qui với thành phần bất khả qui X (1) X (2) Ta thấy sau tất biểu diễn Cn xây dựng phương pháp này, sử dụng n biểu diễn bậc làm sở Ví dụ 1.2.4 Chúng ta làm quen biểu diễn bậc không tầm thường Sn Phương trình (1.3) thực chất nói ánh xạ X(π) = (sgn(π)) biểu diễn, gọi biểu diễn dấu Một ví dụ quan trọng biểu diễn định nghĩa Sn , có bậc n Nếu π ∈ Sn ta lấy X(π) = (xi,j ) với π(j) = i, xi,j = trường hợp khác Ma trận X(π) gọi ma trận hoán vị gồm số 1, với số hàng cột Bạn đọc nên tự kiểm chứng biểu diễn Ta xét trường hợp nhóm đối xứng S3 , với hoán vị viết dạng xích Khi ma trận biểu diễn định nghĩa sau:     0 X( ) = 0 0 , X((1, 2)) = 1 0 , 0 0     0 1 0 X((1, 3)) = 0 0 , X((2, 3)) = 0 1 , 0     0 1 X((1, 2, 3)) = 1 0 , X((1, 3, 2)) = 0 1 1 0 Chương 1.Biểu diễn nhóm 1.3 G-môđun đại số nhóm Chúng ta biết ma trận tương ứng với phép biến đổi tuyến tính, tìm hiểu biểu diễn theo cách Điều dẫn đến khái niệm G-môđun Giả sử V không gian véctơ Chúng ta xem xét không gian véctơ trường số phức có số chiều hữu hạn Ký hiệu GL(V ) tập tất tự đẳng cấu tuyến tính V, gọi nhóm tuyến tính tổng quát V Nếu dim(V ) = d, GL(V ) GLd đẳng cấu nhóm với Định nghĩa 1.3.1 Giả sử V không gian véctơ G nhóm Khi ta nói V G-môđun tồn đồng cấu nhóm ρ : G → GL(V ) Một cách tương đương, ta nói V G-môđun tồn phép nhân gv phần tử V phần tử G cho gv ∈ V , g(cv + dw) = c(gv) + d(gw), (gh)v = g(hv), v = v với g, h ∈ G, v, w ∈ V ; vô hướng c, d ∈ C Từ sau, ta viết môđun thay cho G-môđun nhóm sử dụng xác định rõ khả nhầm lẫn Các khái niệm khác có dạng G- rút gọn lại theo cách tương tự Ta nói không gian véc tơ V tải biểu diễn G Chúng ta kiểm tra hai định nghĩa thực tương đương với Chúng ta sử dụng kí hiệu gv để viết tắt cho tác động biến đổi ρ(g) véc tơ v Điều kiện nói biến đổi từ V vào nó; điều kiện cho thấy ánh xạ tuyến tính, điều kiện tính chất định nghĩa ma trận; điều kiện 4, phối hợp với điều kiện nói g g −1 ánh xạ ngược nhau, tất biến đổi khả nghịch Mặc dù trừu tượng so với định nghĩa ban đầu biểu diễn, khái niệm G-môđun cho ta chứng minh gọn gàng Thật ta đổi qua lại hai quan niệm biểu diễn cách dễ dàng Giả sử cho trước ma trận X với bậc d, giả sử V không gian véctơ Cd véctơ cột với độ dài d Khi ta nhân v ∈ V g ∈ G sử dụng định nghĩa def gv = X(g)v, phép toán bên phải phép nhân ma trận Ngược lại, V G-môđun, chọn sở B V Khi X(g) ma trận phép biến đổi tuyến tính g ∈ G sở B, tính theo phương pháp thông thường Chúng ta sử dụng sử tương ứng hai định nghĩa nhiều lần sách Chương 1.Biểu diễn nhóm 36 Vậy yi,i = c = d1 tr X, mà viết thành 1 ai,k (g)xk, a ,i (g −1 ) = (x1,1 + x2,2 + + xd,d ) |G| g∈G d Cân hệ số đơn thức giống phương trình này, ta nhận < ai,k , a ,i > = 1 ai,k (g)a ,i (g −1 ) = δk, |G| g∈G d (1.23) Từ suy d < χ, χ >= < ai,i , aj,j > i,j=1 d = < ai,i , ai,i > i,j=1 d = d i,j=1 =1, định lí chứng minh Chú ý phương trình (1.22) (1.23) dẫn đến quan hệ trực giao hệ số ma trận biểu diễn Các quan hệ đặc trưng loại co nhiều hệ thú vị Hệ 1.9.4 Cho X biểu diễn ma trận G với đặc trưng χ Giả sử X∼ = m1 X (1) ⊕ m2 X (2) ⊕ ⊕ mk X (k) , với X (i) bất khả qui đôi không tương đương với đặc trưng χ(i) χ = m1 χ(1) + m2 χ(2) + + mk χ(k) < χ, χ(j) >= mj với j < χ, χ >= m21 + m22 + + m2k X bất khả qui < χ, χ >= Cho Y biểu diễn ma trận G với đặc trưng ψ Khi X∼ =Y với g ∈ G X(g) = ψ(g) 1.9 Các tích đặc trưng 37 Chứng minh Sử dụng điều biết vết tổng trực tiếp tổng vết, ta thấy k χ = trX = tr ⊕ki=1 mi X (i) mi χ(i) = i=1 Theo định lí trước, ta có, k < χ, χ(j) >=< k mi χ(i) , χ(j) >= mi < χ(i) , χ(j) >= mj i=1 i=1 Đây ứng dụng khác Định lí 1.9.3: k k (i) < χ, χ >=< mi χ , i=1 k mi χ (i) >= i=1 k (i) mi mj < χ , χ i,j (j) m2i >= i Khẳng định χ bất khả qui dẫn đến < χ, χ >= thực phần quan hệ trực chuẩn chứng minh Đảo lại, giả sử k m2i = < χ, χ >= i Khi phải có sô j cho mj = tất mi khác không Nhưng X = X (j) bất khả qui theo giả thiết Chiều kết luận chứng minh phần Mệnh đề 1.8.5 Với chiều lại, giả sử Y = ⊕ki=1 ni X (i) Ta giả sử khai triển X Y chứa bất khả qui nhau: Mỗi bất khả qui có mặt trong co thể coi có mặt với số bội Bây χ = ψ nên < χ, χ(i) >=< ψ, ψ (i) > với i Nhưng theo phần hệ này, ta có mi = ni với i Do hai tổng trực tiếp tương đương - tức X ∼ = Y Để ví dụ minh họa cho việc sử dụng kết thực tế, ta quay trở lại với biểu diễn định nghĩa Sn Để cho đơn giản, ý π ∈ Sn π −1 có kiểu xích, chúng nằm lớp liên hợp Do χ đặc trưng Sn χ(π) = χ(π −1 ), đặc trưng số lớp liên hợp Từ ta thấy công thức tích cho Sn viết lại thành < χ, ψ >= χ(π)ψ(π) n! pi∈S (1.24) n Ví dụ 1.9.5 Cho G = S3 xét χ = χdef Gọi χ(1) , χ(2) , χ(3) ba đặc trưng bất khả qui S3 , hai đầu tương ứng đặc trưng tầm thường đặc trưng dấu Theo định lí Maschke, ta biết χ = m1 χ(1) + m2 χ(2) + m3 χ(3) Hơn nữa, ta sử dụng phương trình (1.24) phần Hệ 1.9.4 để tính m1 m2 (các giá trị đặc trưng cho χ = χdef tính Ví dụ 1.8.3): m1 =< χ, χ(1) >= 1 χ(π)χ(1) (π) = (3 · + · + · + · + · + · 1) = 3! π∈S Chương 1.Biểu diễn nhóm 38 m2 =< χ, χ(2) >= 1 χ(π)χ(2) (π) = (3 · − · − · − · + · + · 1) = 3! π∈S Do χ = χ(1) + m3 χ(3) Thực ta biết biểu diễn định nghĩa chứa phiên biểu diễn tầm thường Điều ghi ta phân tích ma trận tương ứng thành X = A ⊕ B, A ma trận biểu diễn tầm thường (xem trang ??) Cái thú vị ma trận B tương ứng với nhiều phiên đặc trưng bí ẩn χ(3) Các ma trận B( ) = B((1, 3)) = B((1, 2, 3)) = , B((1, 2)) = −1 −1 , 1 , B((2, 3)) = −1 −1 −1 −1 , B((1, 3, 2)) = 0 , 0 −1 −1 Nếu ta đặt ψ đặc trưng tương ứng ψ( ) =2, ψ((1, 2)) =ψ((1, 3)) = ψ((2, 3)) = 0, ψ((1, 2, 3)) =ψ((1, 3, 2)) = −1 Nếu ψ bất khả qui, m3 = ta tìm χ(3) (Nếu không, ψ có bậc phải chứa hai phiên χ(3) ) Nhưng phần Hệ 1.9.4 cho phép ta kiểm tra tính bất khả qui cách dễ dàng, cần tính: < ψ, ψ >= (22 + 02 + 02 + 02 + (−1)2 + (−1)2 ) = Ta tìm bất khả qui lại Bảng đặc trưng đầy đủ cho S3 (1) χ χ(2) χ(3) K1 1 K2 -1 K3 1 -1 Trong trường hợp tổng quát, môđun định nghĩa cho Sn , V = C{1, 2, , n}, luôn có W = C{1 + + + n} làm môđun Nếu χ(1) χ⊥ đặc trưng tương ứng với W W ⊥ cách tương ứng V = W ⊕ W ⊥ Điều diễn dịch thành χdef = χ(1) + χ⊥ đặc trưng Ta biết χdef đếm điểm bất động χ(1) đặc trưng tầm thường Do χ⊥ (π) = số điểm bất động π − đặc trưng Sn Thực χ⊥ bất khả qui, điều hiển nhiên từ thảo luận 1.10 Sự Phân Tích Đại số Nhóm 39 1.10 Sự Phân Tích Đại số Nhóm Bây áp dụng công cụ mà ta xây dựng vào vấn đề phân tích đại số nhóm thành bất khả qui Trong trình này, ta xác định số biểu diễn bất khả qui nhóm Giả sử G nhóm với đại số nhóm C[G] đặc trưng χ = χreg Theo định lí Maschke (Định lí 1.5.3) ta viết C[G] = ⊕i mi V (i) , (1.25) V (i) chạy tập tất bất khả qui đôi không tương đương (và có số hữu hạn mi khác không) Các số bội mi bao nhiêu? Nếu V (i) có đặc trưng χ(i) , theo phần Hệ 1.9.4, mi =< chi, χ(i) >= χ(g)χ(i) (g −1 ) |G| g∈G Nhưng ta tính đặc trưng biểu diễn qui Ví dụ 1.8.4, biết triệt tiêu với g = χ( ) = |G| Thay giá trị vào, ta nhận mi = χ( )χ(i) ( ) = dim V (i) |G| g∈G (1.26) theo Mệnh đề 1.8.5, phần Do G-môđun bất khả qui xuất C[G] với số bội chiều Đặc biệt chúng xuất lần, danh sách biểu diễn bất khả qui phải hữu hạn (vì đại số nhóm có hữu hạn chiều) Ta ghi lại kết này, với kết khác C[G] sau Mệnh đề 1.10.1 Giả sử G nhóm hữu hạn giả sử C[G] = ⊕mi V (i) , V (i) lập thành danh sách đầy đủ môđun bất khả qui đôi không tương đương Khi mi = dim V (i) , i (dim V ) = |G|, (i) Số V (i) số lớp liên hợp G Chứng minh Phần chứng minh trên, từ suy phần cách lấy chiều phương trình (1.25) Đối với phần 3, nhắc lại từ Định lí 1.7.9 ta có số V (i) = dim ZEndC[G] Các phần tử EndC[G] có dạng nào? Với v ∈ C[G] cho, ta định nghĩa ánh xạ φv : C[G] → C[G] phép nhân bên phải v, tức φv (w) = wv với w ∈ C[G] Dễ thấy φv ∈ EndC[G] Thực phần tử EndC[G] ta khẳng định C[G] ∼ = EndC[G] xem không gian véctơ Để thấy điều này, xét φ : C[G] → EndC[G] cho φ v −→ φv Chương 1.Biểu diễn nhóm 40 Việc chứng minh φ tuyến tính không khó Để chứng minh tính đơn ánh, ta tính nhân Nếu φv ánh xạ không, = φv ( ) = v = v Đối với tính toàn ánh, giả sử θ ∈ EndC[G] xét θ( ) véctơ v Từ suy θ = φv với g ∈ G, θ(g) = θ(g ) = gθ( ) = gv = gv = φv (g), hai biến đổi tuyến tính trùng sở phải trùng nơi mức độ đại số, ánh xạ φ phản đẳng cấu, đảo ngược thứ tự phép nhân: φv φw = φwv với v, w ∈ C[G] Vậy φ cảm sinh phản đẳng cấu tâm C[G] EndC[G], số V (i) dim ZEndC[G] = Để tìm hiểu xem tâm đại số nhóm có dạng nào, xét phần tử z = c1 g1 + c2 g2 + + cn gn ∈ ZC[G] , gi nằm G Bây với h ∈ G, ta có zh = hz, hay z = hzh−1 , mà viết thành c1 g1 + c2 g2 + + cn gn = c1 hg1 h−1 + c2 hg2 h−1 + + cn hgn h−1 Nhưng h chạy tất giá trị có G, hg1 h−1 chạy lớp liên hợp g1 Do z cố định, tất phần tử lớp phải có hệ số vô hướng c1 Do G có l lớp liên hợp K1 , , Kk đặt zi = g g∈Ki với i = 1, , k ta z ∈ ZC[G] viết dạng k z= di zi i=1 Lập luận tương tự chứng tỏ điều ngược lại đúng: Mọi tổ hợp tuyến tính zi nằm tâm C[G] Cuối cùng, ta ý tập {z1 , , zk } lập thành sở cho ZC[G] Ta chứng minh chúng căng tâm Chúng phải độc lập tuyến tính vi chúng la tổng tập đôi rời sở {g : g ∈ G} C[G] Do số lớp liên hợp = dim ZC[G] = số V (i) theo yêu cầu Như ứng dụng mệnh đề này, ta rút quan hệ sâu đặc trưng hàm lớp Mệnh đề 1.10.2 Các đặc trưng bất khả qui nhóm G lập thành sở trực chuẩn cho không gian hàm lớp R(G) 1.10 Sự Phân Tích Đại số Nhóm 41 Chứng minh VÌ đặc trưng bất khả qui trực chuẩn tương ứng với dạng song tuyến tính R(G) (Định lí 1.9.3), chúng độc lập tuyến tính Nhưng theo phần Mệnh đề 1.10.1 phương trình (1.18), ta có dim R(G) đặc trưng Vậy chúng lập thành sở Việc bảng đặc trưng lập thành hình vuông cho phép rút quan hệ trực chuẩn cho cột hàng Định lý 1.10.3 (Các quan hệ đặc trưng kiểu hai) Giả sử K, L lớp liên hợp G Khi |G| χK χL = δK,L , |K| χ tổng lấy tất đặc trưng bất khả qui G Chứng minh Nếu χ ψ đặc trưng bất khả qui quan hệ đặc trưng loại cho ta |K|χK ψK = δχ,ψ , < χ, ψ >= |G| K với tổng lấy tất lớp liên hợp G Nhưng điều nói bảng đặc trưng sửa đổi U = ( ||K|/|G|χK ) có hàng trực chuẩn Do U, hình vuông, ma trận unita có cột trực chuẩn Từ suy Định lí Như ứng dụng thứ ba ý tưởng trên, đưa cách khác để tìm dòng thứ ba bảng đặc trưng S3 mà không cần phải viết tường minh biểu diễn tương ứng Giả sử ba đặc trưng bất khả qui χ(1) , χ(2) χ(3) , hai đầu tương ứng đặc trưng tầm thường đặc trưng dấu Nếu kí hiệu d chiều môđun tương ứng cho χ(3) , theo Mệnh đề 1.10.1, phần 2, 12 + 12 + d2 = |S3 | = Do χ(3) = d = Để tìm giá trị χ(3) hoán vị bất kì, ta sử dụng quan hệ đặc trưng kiểu hai Chẳng hạn để tính x = χ(3) ((1, 2)), χ(i) ( )χ(i) ((1, 2)) = · + · (−1) + 2¯ x, 0= i=1 Vậy x = Chương 1.Biểu diễn nhóm 42 1.11 Tích Tenxơ Giả sử ta có biểu diễn nhóm G H ta muốn xây dựng biểu diễn cho nhóm nhân G × H Chúng ta thấy ta sử dụng tích tenxơ giới thiệu Tiết 1.7 cho mục tiêu Thực ra, tất biểu diễn bất khả qui G × H viết thành tích tenxơ biểu diễn bất khả qui nhóm Việc chứng minh điều ứng dụng lý thuyết đặc trưng Định nghĩa 1.11.1 Giả sử G H có biểu diễn ma trận X Y tương ứng Biểu diễn tích tenxơ, X ⊗ Y , gắn với cặp (g, h) ∈ G × H ma trận (X ⊗ Y )(g, h) = X(g) ⊗ Y (h) Ta cần phải kiểm tra thực biểu diễn Trong chứng minh điều này, ta tính đặc trưng Định lý 1.11.2 Giả sử X Y biểu diễn ma trận, tương ứng cho G H Khi X ⊗ Y biểu diễn G × H Nếu X, Y X ⊗ Y có đặc trưng kí hiệu tương ứng χ, ψ χ ⊗ ψ (χ ⊗ ψ)(g, h) = χ(g)ψ(h) với (g, h) ∈ G × H Chứng minh Ta kiểm tra hai điều kiện tạo nên biểu diễn Đầu tiên (X ⊗ Y )( , ) = X( ) ⊗ Y ( )I ⊗ I = I Thứ hai (g, h), (g , h ) ∈ G × H sử dụng Bổ đề 1.7.7 phần 2, (X ⊗ Y )((g, h), (g , h )) =(X ⊗ Y )(gg , hh ) =X(gg ) ⊗ Y (hh ) = X(g)X(g ) ⊗ Y (h)Y (h ) =(X(g) ⊗ Y (h)) · (X(g ) ⊗ Y (h )) =(X ⊗ Y )(g, h) · (X ⊗ Y )(g , h ) Chú ý với ma trận A N, tr A ⊗ B = tr(ai,j B) = ai,i trB = trAtrB i Do (χ ⊗ ψ)(g, h) = tr(X(g) ⊗ Y (h)) = trX(g)trY (h) = χ(g)ψ(h) Cũng định nghĩa tích tenxơ biểu diễn theo quan điểm lý thuyết môđun Giả sử V G-môđun W H-môđun Khi ta trang bị cho không gian véctơ V ⊗ W cấu trúc G × H-môđun cách định nghĩa (g, h)(v ⊗ w) = (gv) ⊗ (hw) 1.11 Tích Tenxơ 43 mở rộng tuyến tính tác động v w chạy sở tương ứng V W Dễ thấy định nghĩa thỏa mãn tiên đề môđun độc lập với cách chọn sở Hơn nữa, V W tương ứng với biểu diễn ma trận X Y qua sở véctơ gồm v w V ⊗ W môđun cho X ⊗ Y sở tạo v ⊗ w Bây ta biểu diễn bất khả qui G H hoàn toàn xác định biểu diễn bất khả qui G × H Định lý 1.11.3 Giả sử G H nhóm Nếu X Y biểu diễn bất khả qui tương ứng G H X ⊗ Y biểu diễn bất khả qui G × H Nếu X (i) Y (j) , tương ứng danh sách đầy đủ biểu diễn bất khả qui G H X (i) ⊗ Y (j) danh sách đầy đủ G × H-môđun bất khả qui không tương đương Chứng minh Nếu φ đặc trưng ta biết (Hệ 1.9.4, phần 4) biểu diễn tương ứng bất khả qui < φ, φ >= Giả sử X Y có đặc trưng tương ứng χ ψ, ta có < χ ⊗ ψ, χ ⊗ ψ >= |G × H| =[ (χ ⊗ ψ)(g, h)(χ ⊗ ψ)(g −1 , h−1 ) (g,h)∈G×H 1 ψ(h)ψ(h−1 )] χ(g)χ(g −1 )][ |G| g∈G |H| h∈H = < χ, χ >< ψ, ψ > =1 · =1 Giả sử X (i) Y (j) có đặc trưng tương ứng χ(i) ψ (j) Khi chứng minh phần 1, ta < χ(i) ⊗ ψ (j) , χ(k) ⊗ ψ ( ) >=< χ(i) , χ(k) >< ψ (j) , ψ ( ) >= δi,k δj, Do từ Hệ 1.9.4, phần 3, ta suy χ(i) ⊗ ψ (j) đôi không tương đương Để danh sách đầy đủ, ta cần chứng minh số biểu diễn băng số lớp liên hợp G × H (Mệnh đề 1.10.1, phần 3) Nhưng số lớp liên hợp G nhân với số lớp liên hợp H, tức số X (i) ⊗ Y (j) Chương 1.Biểu diễn nhóm 44 1.12 Biểu diễn Hạn chế Biểu diễn Cảm sinh Cho trước nhóm G với nhóm H, liệu có cách để xây dựng biểu diễn G từ biểu diễn H, ngược lại hay không? Câu trả lời cho phép xây dựng hạn chế cảm sinh Thực trước tìm hiểu ví dụ biểu diễn hạn chế - biểu diễn lớp kề Ví dụ 1.3.5 Định nghĩa 1.12.1 Cho H ≤ G biểu diễn ma trận X G Cái hạn chế X xuống H, kí hiệu X ↓G H , cho X ↓G H (h) = X(h) G với h ∈ H Nếu X có đặc trưng χ kí hiệu đặc trưng X ↓G H χ ↓H Có thể dễ dàng kiểm chứng X ↓G H thực biểu diễn H Nếu nhóm G cố định coi biết ta bỏ ký hiệu viết X ↓H Chú ý X biểu diễn bất khả qui G, X ↓H không thiết phải bất khả qui H Quá trình xây dựng biểu diễn G từ biểu diễn H tương đối phức tạp Phép xây dựng mà gọi phép cảm sinh Frobenius Giả sử Y biểu diễn ma trận H Ta thử tạo biểu diễn G cách định nghĩa Y không H Nhưng cách tạo ma trận không khả nghịch Có phương thức khác để đáp ứng yêu cầu sau Định nghĩa 1.12.2 Giả sử H ≤ G cố định lớp ngang t1 , , t cho lớp kề trái H, tức là, G = t1 H t H, kí hiệu hợp rời Nếu Y biểu diễn H, biểu diễn cảm sinh tương ứng Y ↑G H gán với g ∈ G ma trận khối   −1 −1 Y (t−1 gt1 ) Y (t1 gt2 ) Y (t1 gt ) Y (t−1 gt1 ) Y (t−1 gt2 ) Y (t−1 gt ) 2   −1 Y ↑G (g) = (Y (t gt )) =  , j H i   −1 −1 −1 Y (t1 gt1 ) Y (t1 gt2 ) Y (t gt ) Y (g) ma trận không g ∈ / H G Ta viết tắt Y ↑G H thành Y ↑ nhóm H ngầm hiểu Kí hiệu áp dụng cho đặc trưng Việc Y ↑G H biểu diễn G điều hiển nhiên, lùi việc kiểm tra điều sau tìm hiểu ví dụ Như thường lệ, giả sử G = S3 xét H = { , (2, 3)} với lớp ngang G = H (1, 2)H (1, 3)H Ví dụ 1.6.3 Giả sử Y = biểu diễn tầm thường H xét X = ↑G Tính toán dòng ma trận cho phép chuyển vị (1,2) nhận Y ( −1 (1, 2) ) = Y ((1, 2)) = (1, 2) = H Y ( −1 (1, 2)(1, 2)) = Y ( ) = ∈ H Y ( −1 (1, 2)(1, 3)) = Y ((1, 3, 2)) = (1, 3, 2) = H 1.12 Biểu diễn Hạn chế Biểu diễn Cảm sinh 45 Tiếp tục này, ta nhận   X((1, 2)) = 1 0 0 Các ma trận cho biểu diễn lớp kề lại bắt đầu xuất Điều tượng ngẫu nhiên, Mệnh đề sau Mệnh đề 1.12.3 Giả sử H ≤ G có lớp ngang {t1 , , t } với lớp kề H = {t1 H, , t H} Khi ma trận ↑G H trùng với ma trận G tác động lên sở H cho môđun lớp kề CH Chứng minh Giả sử ma trận cho ↑G CH tương ứng X = (xi,j ) Z = (zi,j ) Cả hai gồm số không Cuối cùng, với g ∈ G, xi,j (g) = ⇐⇒ t−1 i gtj ∈ H ⇐⇒ gtj H = ti H ⇐⇒ zi,j (g) = Vậy CH môđun cho ↑G H Bây đến lúc ta cần phải kiểm chứng biểu diễn cảm sinh định nghĩa tốt Định lý 1.12.4 Giả sử H ≤ G có lớp ngang {t1 , , t } giả sử Y biểu diễn ma trận H Khi X = Y ↑G H biểu diễn G Chứng minh Giống trường hợp Y biểu diễn tầm thường, ta chứng minh X(g) luôn ma trận giao hoán khối, tức dòng cột chứa khối khác không Y (t−1 i gtj ) Ta xét cột (các trường hợp khác tương tự) Chỉ cần −1 −1 tồn phần tử H danh sách t−1 gt1 , t2 gt1 , , t gt1 Nhưng gt1 ∈ ti H với ti lớp ngang ta, t−1 i gt1 ∈ H phần tử mà ta cần tìm Ta cần phải kiểm tra tiếp X(g)X(h) = X(gh) với g, h ∈ G Xét khối (i,j) hai vế, ta cần chứng minh −1 −1 Y (t−1 i gtk )(tk htj ) = Y (ti ghtj ) k −1 −1 Để đơn giản kí hiệu, đặt ak = t−1 i gtk , bk = tk htj , c = ti ghtj Chú ý ak bk = c với k tổng viết lại thành Y (ak )Y (bk ) ? = Y (c) k Bây chứng minh chia làm hai trường hợp Nếu Y (c) = 0, c ∈ / H, ak ∈ / H ak ∈ / H với k Vậy Y (ak ) Y (bk ) không với k, tổng phải không Chương 1.Biểu diễn nhóm 46 Nếu Y (c) = c ∈ H Gọi m số cho am ∈ H Khi bm = a−1 m c ∈ H Y (ak )Y (bk ) = Y (am )Y (bm ) = Y (am bm ) = Y (c), k chứng minh hoàn thành Cần ý phép cảm sinh, phép hạn chế, không bảo toàn tính bất khả qui Mặt khác, biểu diễn cảm sinh không phụ thuộc vào nhóm chọn mà phụ thuộc vào lớp ngang Nhưng thực điều không Mệnh đề 1.12.5 Xét H ≤ G biểu diễn ma trận Y H Giả sử {t1 , , t } {s1 , , s } hai lớp ngang cho H, dẫn đến ma trận biểu diễn X Z tương ứng cho Y ↑G Khi X Z tương đương Chứng minh Giả sử χ, ψ φ tương ứng đặc trưng X, Y Z Khi ta cần chứng minh χ = φ (Hệ 1.9.4, phần 5) Bây trY (t−1 i gti ) = χ(g) = i ψ(t−1 i gti ), (1.27) i ψ(g) = g ∈ / H Tương tự thế, ψ(s−1 i gsi ) φ(g) = i Vì ti si lớp ngang, ta giao hoán số cần thiết để nhận ti H = si H với i Bây ti = si hi hi ∈ H với i, −1 −1 t−1 i gti = hi si gsi hi −1 Vậy t−1 i gti ∈ H si gsi ∈ H hai nằm H, chúng −1 lớp liên hợp Từ suy ψ(t−1 i gti ) = ψ(si gsi ), ψ số lớp liên hợp H không H Do tổng cho χ ψ Bây ta rút công thức hữu ích cho đặc trưng biểu diễn cảm −1 −1 sinh Giả sử H, ψ ti mệnh đề trước Khi ψ(t−1 i gti ) = ψ(hi si gsi hi ) với h ∈ H, phương trình (1.27) viết lại thành ψ ↑G (g) = |H| −1 ψ(h−1 i si gsi hi ) i h∈H Nhưng h chạy H ti chạy lớp ngang, tích ti h chạy tất phần tử G lần Vì ta dẫn đến đẳng thức ψ ↑G (g) = ψ(x−1 gx) |H| x∈G (1.28) Công thức cho phép ta chứng minh luật trao đổi (reciprocity law) tiếng Frobenius, cho phép ta liên hệ tích đặc trưng cảm sinh đặc trưng hạn chế 1.12 Biểu diễn Hạn chế Biểu diễn Cảm sinh 47 Định lý 1.12.6 (Trao đổi Frobenius) Cho H ≤ G giả sử ψ χ tương ứng đặc trưng H G Khi < ψ ↑G , χ >=< ψ, χ ↓H >, tích bên trái tính G, bên phải H Chứng minh Ta có dãy đẳng thức sau: < ψ ↑G , χ >= ψ ↑G (g)χ(g −1 ) |G| g∈G = ψ(x−1 gx)χ(g −1 ) (phương trình (1.28)) |G||H| x∈G g∈G = ψ(y)χ(xy −1 x−1 ) |G||H| x∈G y∈G = ψ(y)χ(y −1 ) (χ số lớp G) |G||H| x∈G y∈G = ψ(y)χ(y −1 ) |H| y∈G = ψ(y)χ(y −1 ) (ψ không H) |G||H| y∈G = < ψ, χ ↓H > (đặt y = x−1 gx) (x số tổng) Chương 1.Biểu diễn nhóm 48 1.13 Bài tập Một nghịch π = x1 , x2 , , xn ∈ Sn (kí hiệu dòng) cặp xi , xj cho i < j xi > xj Gọi inv (π) số nghịch π (a) Chứng minh π viết thành tích k chuyển vị k ≡ invπ ( mod 2) (b) Sử dụng phần (a) để chứng minh dấu π định nghĩa tốt Nếu nhóm G tác động lên tập hợp S s ∈ S ổn định hóa s Gs = {g ∈ G : gs = s} Quĩ đạo s Os = {gs : g ∈ G} (a) Chứng minh Gs nhóm G (b) Tìm song ánh lớp kề G/Gs phần tử Os (c) Chứng minh |Os | = |G|/|Gs | sử dụng điều để rút công thức (1.1) cho Kg Giả sử G tác động lên S với biểu diễn hoán vị tương ứng CS Chứng minh điều sau (a) Các ma trận cho tác động G sở chuẩn ma trận hoán vị (b) Nếu đặc trưng biểu diễn χ g ∈ G, χ(g) = số điểm bất động g tác động lên S Cho G nhóm abel Tìm tất biểu diễn bất khả qui không tương đương G Gợi ý: Sử dụng định lí nhóm abel Nếu X biểu diễn ma trận nhóm G, nhân tập hợp N = {g ∈ G : X(g) = I} Một biểu diễn trung thành một-một (a) Chứng minh N nhóm chuẩn tắc G tìm điều kiện N tương đương với việc biểu diễn trung thành (b) Giả sử X có đặc trưng χ bậc d Chứng minh g ∈ N χ(g) = d Gợi ý: Chứng minh χ(g) tổng đơn vị (c) Chứng minh biểu diễn lớp kề, N = ∩i gi N gi−1 gi lớp ngang (d) Với biểu diễn sau đây, điều kiện chúng trung thành: tầm thường, qui, lớp kề, dấu cho Sn , định nghĩa cho Sn , bậc cho Cn (e) Định nghĩa hàm Y nhóm G/N Y (gN ) = X(g) với gN ∈ G/N (i) Chứng minh Y biểu diễn trung thành G/N (ii) Chứng minh Y bất khả qui X (iii) Nếu X biểu diễn lớp kề nhóm chuẩn tắc H G biểu diễn Y tương ứng có dạng nào? 1.13 Bài tập 49 Ta đảo ngược lại cách làm phần (e) tập trước Giả sử N nhóm chuẩn tắc G Y biểu diễn G/N Định nghĩa hàm G cách đặt X(g) = Y (gN ) (a) Chứng minh X biểu diễn G Ta nói X nâng lên từ biểu diễn Y G/N (b) Chứng minh Y trung thành X có nhân N (c) Chứng minh X bất khả qui Y Giả sử X biểu diễn ma trận khả qui với dạng khối cho phương trình (1.4) Giả sử V môđun cho X với môđun W tương ứng với A Xét không gian véctơ thương V /W = {v + W : v ∈ V } Chứng minh V /W G-môđun với ma trận tương ứng C(g) Hơn nữa, chứng minh ta có V ∼ = W ⊕ (V /W ) Cho V không gian véctơ Chứng minh tính chất sau V tính chất tương tự sở V (a) V G-môđun (b) Ánh xạ θ : V → W G-đồng cấu (c) Tích V G-bất biến Vì chứng minh định lí Maschke, việc thay tích dạng song tuyến tính không đưa đến chứng minh trường bất kì? Cho chứng minh trường sau Giả sử X biểu diễn ma trận khả qui có dạng (1.4) (a) Viết chi tiết phương trình nhận cách cân khối X(gh) = X(g)X(h) Có thể bình luận phương trình nhận cách cân khối góc bên trái góc bên phải? (b) Sử dụng phần (a) để chứng minh rằng: T X(g)T −1 = T = ( I0 DI ) D = |G| g∈G A(g) , C(g) A(g −1 )B(g) 10 Hãy kiểm tra ánh xạ X : R+ → GL2 cho ví dụ cuối Tiết ?? biểu diễn không gian W bất biến 11 Tìm H ≤ Sn tập tựa bảng S cho CH ∼ = CS ∼ = C{1, 2, , n} 12 Giả sử X biểu diễn ma trận bất khả qui G Chứng minh g ∈ ZG (tâm G) X(g) = cI với vô hướng c Chương 1.Biểu diễn nhóm 50 13 Cho {X1 , X2 , , Xn } ⊆ GLd nhóm ma trận giao hoán với Chứng minh ma trận đồng thời chéo hóa sử dụng lí thuyết biểu diễn 14 Chứng minh mệnh đề đảo sau bổ đề Schur Giả sử X biểu diễn G C với tính chất có bội vô hướng cI giao hoán với X(g) với g ∈ G Chứng minh X bất khả qui ˆ , gán g ∈ G ma trận 15 Cho X Y biểu diễn G Tích tenxơ trong, X ⊗Y ˆ )(g) = X(g) ⊗ Y (g) (X ⊗Y ˆ biểu diễn G (a) Kiểm tra X ⊗Y ˆ có đặc trưng tương ứng kí hiệu χ, ψ (b) Chứng minh X, Y, X ⊗Y ˆ (χ⊗ψ)(g) ˆ χ⊗ψ = χ(g)ψ(g) ˆ (c) Tìm nhóm với biểu diễn bất khả qui X Y cho X ⊗Y bất khả qui ˆ (d) Mặt khác, chứng minh X có bậc Y bất khả qui X ⊗Y 16 Xây dựng bảng đặc trưng S4 Độc giả sử dụng trình nâng Bài tập số tích tensơ tập số 15 17 Cho Dn nhóm đối xứng (bằng phép quay hay phép lật) đa giác n cạnh Nhóm gọi nhóm dihedral (a) Chứng minh nhóm trừu tượng với phần tử sinh ρ, τ quan hệ ρn = τ = ρτ = τ ρ−1 đẳng cấu với Dn (b) Kết luận phần tử Dn viết cách dạng τ i ρj , ≤ i ≤ ≤ j ≤ n − (c) Tìm lớp liên hợp Dn (d) Tìm tất biểu diễn bất khả qui không tương đương Dn Gợi ý: Sử dụng tính chất Dn chứa nhóm chuẩn tắc Cn 18 Chứng minh phép cảm sinh có tính chất bắc cầu sau Giả sử ta có nhóm G ≥ H ≥ K biểu diễn ma trận X K Khi G H ∼ X ↑G K = (X ↑K ) ↑H [...]... niệm về biểu diễn cho các đại số: Một biểu diễn của một đại số A là một đồng cấu đại số từ A vào GL(V ) Theo cách này, mọi biểu diễn của một nhóm G tạo nên một biểu diễn của đại số nhóm C[G] của nó Để tìm hiểu sâu hơn về biểu diễn của các đại số, xem cuốn sách của Curtis và Reiner [?] 1.3 G-môđun và đại số nhóm 9 Ví dụ 1.3.5 Giả sử nhóm G có một nhóm con H, kí hiệu là HleqG Một tổng quat hóa của biểu. .. hợp Các hàm như vậy có tên gọi đặc biệt Định nghĩa 1.8.6 Một hàm lớp trên một nhóm G là một ánh xạ f : G → C sao cho f (g) = f (h) mỗi khi g và h nằm trong cùng một lớp liên hợp Tập tất cả các hàm lớp trên G được ký hiệu là R(G)1 1 chú thích của người dịch: Trong hầu hết các tài liệu khác về biểu diễn nhóm thì vành các hàm lớp thường được ký hiệu là Cl(G), còn R(G) dùng để chỉ vành biểu diễn của nhóm. .. vành biểu diễn của nhóm G Chương 1 .Biểu diễn nhóm 32 Rõ ràng là tổng và nhân vô hướng của các hàm lớp cũng là các hàm lớp, do đó R(G) là một không gian véc tơ trên C Hơn nữa, R(G) có một cơ sở tự nhiên gồm các hàm mà lấy giá trị bằng 1 trên một lớp liên hợp đã cho và bằng 0 với các lớp khác Do đó dim R(G) = số các lớp liên hợp của G (1.18) Nếu K là một lớp liên hợp và χ là một đặc trưng thì ta có thể... môđun đối với biểu diễn định nghĩa Chương 1 .Biểu diễn nhóm 8 Ví dụ 1.3.4 Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một trong những biểu diễn quan trọng nhất đối với một nhóm bất kì, biểu diễn chính qui (bên trái) Giả sử G là một nhóm Khi đó G tác động lên chính nó qua phép nhân bên trái: nếu g ∈ G và h ∈ S = G, khi đó tác động của g lên h, gh, được định nghĩa là phép nhân thông thường trong định nghĩa của nhóm Các... ta đã được chuẩn bị đầy đủ để có thể giải thích vì sao biểu diễn các lớp kề của S3 ở cuối Ví dụ 1.3.5 trùng với biểu diễn định nghĩa Nhớ lại rằng ta đã lấy nhóm con H = { , (2, 3)} ⊂ S3 tạo nêu môđun biểu diễn lớp kề CH, ở đó H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H} Đối với mọi tập hợp A, đặt SA nhóm đối xứng trên A, tức là tập tất cả các hoán vị của A Bây giờ nhóm con H có thể được viết như là tích trực tiếp (trong)... đều là các ma trận hoán vị và đều khác nhau Nói chung, biểu diễn chính qui của nhóm G cho một phép nhúng của G vào nhóm đối xứng gồm |G| phần tử Độc giả có lẽ đã gặp biểu diễn này trong một giáo trình về lý thuyết nhóm, tuy dưới dạng khác, là Định lý Cayley [?, trang 60-61] Chú ý rằng nếu G tác động trên một V nào đó thì C[G] cũng vậy Cụ thể là nếu c1 g1 + cn gn ∈ C[G] và v ∈ V , thì ta có thể định... (ggk H) Chú ý rằng nếu H = G thì ta có biểu diễn tầm thường Ở cực kia, khi H = { }, thì H = G và ta lại nhận được biểu diễn chính qui Trong trường hợp tổng quát, biểu diễn bằng các lớp kề là một ví dụ của một biểu diễn cảm sinh, một vấn đề mà ta sẽ nghiên cứu sâu hơn ở Tiết 1.12 Ta hãy xét trường hợp G = S3 và H = { , (2, 3)} Ta có thể chọn H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H} và CH = {c1 H + c2 (1, 2)H + c3 (1,... lên V = C{v} bằng cách sử dụng biểu diễn dấu: πu = sgn(π)u 1.6 G-đồng cấu và Bổ đề Schur 19 với mọi π ∈ Sn và u ∈ V Với tác động bình thường trên đại số nhóm, độc giả có thể kiểm tra được rằng ν(v) = sgn(π)π π∈Sn mở rộng tới một G-đồng cấu từ V vào W Rõ ràng là việc hiểu được khi nào hai biểu diễn của một nhóm là khác nhau và khi nào chúng giống (mặc dầu có thể có một vài khác biệt bề ngoài) là rất... cách đặt gi gj = gk trong C[g] nếu gi gj = gk trong G, và phép mở rộng tuyến tính Khi đó tác động của G lên đại số nhóm có thể được viết dưới dạng g(c1 g1 + · · · + cn gn ) = c1 (gg1 ) + c2 (gg2 ) + cn (ggn ) với mọi g ∈ G Đại số nhóm sẽ cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin tổ hợp về các biểu diễn nhóm Ta hãy xem xét biểu diễn chính qui của nhóm xyclic C4 có dạng như thế nào Đầu tiên, ta có C[C4... trong trường hợp trường đang xét là C Mệnh đề 1.7.10 Giả sử V và W là các G-môđun với V bất khả qui Khi đó dim Hom(V, W ) là bội của V trong W Chương 1 .Biểu diễn nhóm 30 1.8 Các đặc trưng nhóm Thực ra hầu hết các thông tin chứa trong một biểu diễn có thể được ghi nhận trong một đại lượng tương đối đơn giản: các vết của các ma trận tương ứng Đây chính là lý thuyết rất đẹp về các đặc trưng nhóm mà chúng