THIẾT KẾ CHƯƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP CHO CẤP PHỔ THÔNG CƠ SỞ

THIẾT KẾ CHƢƠNG TRÌNH GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP CHO CẤP PHỔ THÔNG CƠ SỞ (Với đối tƣợng dành cho học sinh lớp 8, 9) PGS TSKH Bùi Tá Long Đại học Quốc gia Tp.HCM Tóm tắt Trong viết trình bày số suy nghĩ tác giả dạy học toán tổ hợp Đối tượng hướng tới thầy cô giảng dạy toán trường phổ thông trung học sở Phần lý thuyết không sâu vào chứng minh công thức, nội dung minh chứng ví dụ dạng tập Các thầy cô tham khảo để thêm tập tương tự Trong trình biên soạn, tác giả tham khảo số tài liệu nước, đặc biệt đề thi học sinh giỏi dành cho phổ thông trung học sở Nga Mọi góp ý, chia sẻ gửi trực tiếp cho tác giả theo địa e-mail: longbt62@gmail.com Lịch sử đời lý thuyết tổ hợp Những công trình liên quan tới tổ hợp lý thuyết xác suất nhà toán học như: Cardano, Pascal, Ferma số người khác đưa từ kỷ 16, 17, dựa thực tiễn từ trò chơi Giai đoạn phát triển thuộc Iakov Bernulli (1654—1705) Định lý Bernulli chứng minh mang tên ―qui luật số lớn‖, định lý mang tính lý thuyết, khái quát thực tiễn Những nhà toán học có công xây dựng ngành khoa học Moivre, Laplace, Gauss, Poisson,… Giai đoạn thịnh vượng phát triển gắn với công trình nghiên cứu Chebusev (1982 – 1894) học trò ông Makarov (1856 – 1922), Lyapunov (1857 – 1918) Vào giai đoạn này, lý thuyết xác suất trở thành ngành khoa học độc lập Giai đoạn lý thuyết xác suất phát triển nhà toán học Nga Liên Xô: Kolmogorov, Gnedenko,… Vị trí tổ hợp chƣơng trình giáo dục Hiện nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác suất thống kê chương trình toán học phổ thông Theo chương trình Bộ Giáo dục đào tạo thông qua, toán tổ hợp, lý thuyết xác suất thống kê đưa vào chương trình cấp phổ thông sở (đại số lớp 9, 10) Trước hết, cần khẳng định định hướng Bộ đòi hỏi phát triển kiểu tư chuyên biệt – xác suất thống kê, vốn cần thiết hệ Trong lĩnh vực văn hóa xã hội lĩnh vực chuyên môn khoa học tự nhiên đề cần tới tư tổ hợp Xã hội đại đặt cho thành viên yêu cầu cao : phải biết phân tích yếu tố ngẫu nhiên, đánh giá khả năng, đưa giả thiết, dự báo phát triển tình cuối đưa định tình có tính chất xác suất, tình không xác định Không thể bỏ qua thực tế từ hàng chục năm trước nhiều nước phát triển, nghiên cứu toán học tổ hợp, thống kê, xác suất đưa vào chương trình toán học phổ thông Thật khó chấp thuận việc nghiên cứu lý thuyết xác suất (dự kiến ?) bắt đầu vào học kỳ hai lớp 9, lẽ học sinh lớp động để nghiên cứu nội dung không nằm chương trình thi Tuy cần lưu ý, năm gần xuất dấu hiệu tích cực đưa nội dung vào chương trình giáo dục phổ thông sở Nhiều nội dung thích hợp đưa vào quy chuẩn phê duyệt chương trình giáo dục trung học sở trung học phổ thông Các phần mục đưa vào chương trình, sách giáo khoa; làm tăng đáng kể ý đến chúng trang sách, không giáo viên biểu lộ quan tâm đến việc giảng dạy đề tài mới; phương pháp giảng dạy toán học tổ hợp, xác suất, thống kê ý trình đào tạo giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn họ Nhưng không nên lạc quan ngay, nghĩ khó khăn đằng sau Các thăm dò ý kiến học sinh hàng năm cho thấy số lượng học sinh nghiên cứu phần mục tăng lên từ năm sang năm khác số chiếm khoảng 30 – 40% Tiêu chuẩn Quốc gia giáo dục phổ thông ban đầu không dự tính việc rèn luyện tư toán tổ hợp xác suất thống kê lứa học sinh nhỏ tuổi Các sách giáo khoa toán lớp có hoàn toàn không đề cập đến tư liệu liên quan đến xác suất, thống kê, toán học tổ hợp, ngoại trừ số lớp chọn Các sách giáo khoa đại số lớp đến lớp chưa đưa nội dung tổ hợp nội dung đưa vào chương trình cuối năm lớp 9, giáo viên học sinh quan tâm Điều có nghĩa vấn đề quan tâm mảng toán tổ hợp cho giáo dục bậc phổ thông sở Trong toán học ứng dụng , thường gặp phải dạng khác tập hợp tập con, thiết lập mối liên kết phần tử tập hợp tập con, xác định số tập hợp tập chúng có tính chất cho trước Những toán xem xét xác định tuyến giao thông theo cách thuận tiện bên thành phố, bố trí mạng điện thoại tự động, hoạt động cảng biển, biểu thị liên kết bên phân tử phức tạp, mã di truyền, ngôn ngữ học, hệ thống điều khiển tự động, tất đến từ ứng dụng rộng lới lý thuyết xác suất, toán thống kê toán Toán tổ hợp - ngành toán học nghiên cứu tổ hợp, hoán vị phần tử Trong thời gian dài, mảng khoa học nằm hướng phát triển toán học ứng dụng Trong thời gian khoảng hai kỷ rưỡi, ngành giải tích đóng vai trò chủ yếu việc nghiên cứu chất tự nhiên Hiện trạng thay đổi sau máy tính máy tính cá nhân đời Nhờ chúng người ta thực việc xếp, phân loại mà trước cần hàng trăm đến hàng ngàn năm Ở thời buổi sơ khai toán học rời rạc, vai trò lĩnh vực cổ xưa toán học rời rạc toán học tổ hợp thay đổi Từ lĩnh vực mà phần lớn người biên soạn toán thú vị quan tâm đến phát ứng dụng việc mã hóa giải mã văn tự cổ, chuyển thành lĩnh vực nằm trục đường phát triển khoa học Các tạp chí toán tổ hợp bắt đầu xuất bản, sách in ấn cho ngành khoa học Các hướng tổ hợp phản ánh chương trình toán học phổ thông Theo nguyện vọng giáo viên học sinh vào năm 80 – 90, vấn đề xem xét học tự chọn lớp bậc trung học Ngày nay, tiêu chuẩn giáo dục toán học bao gồm sở toán tổ hợp, phương pháp giải toán tổ hợp (vét cạn, phương án, quy tắc nhân) Quan trọng hình thành nên tư logic trừu tượng học sinh, thành thạo toán học học sinh tốt nghiệp Người ta ghi nhận thấy rằng, trực giác phát triển học sinh học toán tổ hợp có ích làm việc lĩnh vực khác Chương trình nghiên cứu dạy tổ hợp lôi ý không học sinh lớp 9, mà lôi học sinh khác, quan tâm nhiều đến tổ hợp ứng dụng nó, muốn tìm hiểu sâu phương pháp khái niệm (hoặc tự học, với hướng dẫn giáo viên) Trong viết tác giả mong muốn chia sẻ số ý tưởng chương trình nội dung tổ hợp toán học trung học phổ thông sở Tài liệu hướng tới thầy cô giáo giảng dạy môn toán trường trung học phổ thông sở Các mục tiêu nhiệm vụ Các mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu tổ hợp trường phổ thông sở: - Hình thành kiểu tư chuyên biệt – kiểu toán học tổ hợp; - Hình thành học sinh dạng hoạt động liên quan đến việc phân loại tính toán số cấu hình phần tử thỏa mãn điều kiện cho trước; - Nâng cao trí tuệ học sinh; - Làm quen ngành khoa học nhánh toán học Nội dung khóa học (30t) Chƣơng I Lịch sử phát triển toán tổ hợp (15t) Tổ hợp thời cổ xưa (3t) Lý thuyết trò chơi (6t) Đồ thị đơn giản (3t) Các vấn đề tổ hợp (3t) Chƣơng II Tổ hợp điển hình (15t) Hoán vị (3t) Chỉnh hợp (3t) Tổ hợp (3t) Phương pháp giải (6t) Kiểm tra (1t) Các kiến thức, kỹ kinh nghiệm cần thiết  Học sinh cần hiểu: - Tổ hợp chuyên nghiên cứu vấn đề ? Điều dẫn tới xuất tổ hợp ? Các giai đoạn phát triển tổ hợp; Các vấn đề tổ hợp ? Hiểu giải thuật; Đưa định nghĩa phép hoán vị; Rút công thức tính toán số : chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp ;  Học sinh phải biết : - Phân biệt tập hợp tập con; - Rút công thức tổ hợp điển hình ; - Giải toán đơn giản cách sử dụng công thức  Khả thành thạo nghiên cứu khóa học Về mặt nhận thức: - Biết cách tổ chức hoạt động tìm hiểu cách độc lập hợp lý (từ đặt mục tiêu đến thu nhận đánh giá kết quả) - Tham gia vào việc tổ chức thực công trình nghiên cứu học tập Tự thiết lập thuật toán hoạt động tìm hiểu để giải toán có tính chất tìm tòi sáng tạo - Soạn thảo văn riêng cách sử dụng phương tiện khác Về mặt thông tin : - Tìm tòi thông tin cần thiết chủ đề cho trước nguồn thông tin đa dạng - Trích thông tin cần thiết từ văn bản, bảng biểu, đồ thị - Tách thông tin khỏi thông tin thứ yếu - Diễn đạt nội dung thông tin phù hợp với mục tiêu định (ngắn gọn, đầy đủ chọn lọc) - Biện giải chi tiết kết luận, dẫn giải luận chứng (chứng cứ), ví dụ Về mặt giao tiếp : - Thành thạo kỹ tổ chức tham gia vào hoạt động tập thể ; tiếp nhận ý kiến khác biệt, xác định cách khách quan phần đóng góp kết chung - Đánh giá hành vi nhóm, thực yêu cầu hoạt động thực tế chung - Biết bảo vệ quan điểm - Phát huy tính sẵn sàng hoạt động hợp tác Các khái niệm đƣợc hình thành trình nghiên cứu: - Lý thuyết đồ thị - Toán học tổ hợp - Chỉnh hợp - Chỉnh hợp có lặp - Chỉnh hợp không lặp - Hoán vị - Hoán vị không lặp - Hoán vị có lặp - Tổ hợp - Tổ hợp có lặp - Tổ hợp không lặp Các hình thức phƣơng pháp học tập Sử dụng giảng giáo viên (nếu học sinh tài liệu) kèm với ghi chép học sinh luận điểm Ghi chép trước kế hoạch gặp gỡ giáo viên Khi làm quen với tài liệu, biết, phải lập ghi tóm tắt, biết thu thập tài liệu theo chủ đề từ nguồn tài liệu ấn hành (theo dẫn giáo viên) Bài làm độc lập, biết tóm tắt điểm nghiên cứu tài liệu Để củng cố kiến thức phải sử dụng hình thức học tập sau : - Làm tập nhà với nhiều dạng khác - Bàn luận thuật ngữ (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) Khi ôn lại tài liệu cần áp dụng cách học nhóm có mối quan tâm Kiểm tra (bài tập kiểm tra khác nhau) Khóa học triển khai sau Quan vài học, học sinh làm quen với khái niệm tổ hợp mức diễn đạt minh họa, khái niệm củng cố học giải toán Vào cuối buổi học, giáo viên giao vài tập nhà, phần số có cách giải giống với toán lớp, hai đòi hỏi hiểu biết tài liệu viện dẫn Tóm lại có khác biệt học sinh Sau trình bày tất tư liệu, giáo viên dành từ hai tới sáu tiết để giải toán theo toàn đề tài, sau tập nhà khác (theo nhóm) Tiết kiểm tra kết thúc đề tài, học sinh nhóm có mức lĩnh hội tài liệu với nhận tập riêng Nhất định phải kiểm soát việc giải tập nhà Trọng tâm diễn giải tài liệu lý thuyết (chúng dành cho phần lớn học sinh tham gia khóa học tự chọn, khó để hiểu thấu nắm vững), mà hình thành kỹ giải toán tổ hợp mức đơn giản phát triển tư logic Trong khóa học không cần thiết trình bày cách chứng minh chặt chẽ công thức viện dẫn Ở đây, « lập luận y thật » tương tự đủ thuyết phục dễ tiếp thu Các chứng minh nghiêm ngặt (nếu chúng cần thiết) tốt để dành làm tập riêng học sinh giỏi Cách tiếp nhận phương pháp luận sử dụng toán để làm rõ chất toán học tình xét Việc sử dụng toán với tình tiết khác cho phép thu hút ý học sinh vào điểm chung quan điểm toán học toán Các hình thức phƣơng pháp kiểm tra Các tập kiểm tra dùng để làm rõ : - Kiến thức định nghĩa công thức học sinh ; Kỹ rút kết luận, tìm kiếm phương pháp giải cần thiết ; Kỹ làm việc với sách tra cứu ; Kỹ giải toán khác lạ ; Do dạng kiểm tra kiến thức sau áp dụng : - Tìm tư liệu cần nghiên cứu văn cho trước ; Chọn lựa ví dụ theo trí nhớ ; Xác định tổ hợp điển hình (hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp) ; Giải toán có dạng khác ; Phân tích mức độ phức tạp khác ; Các kiểm tra Các phƣơng pháp ghi chép công việc - Soạn thảo đề cương - Làm tóm tắt ; - Lập bảng biểu ; - Phân loại toán tổ hợp Kết cần phải đạt đƣợc Sau tham gia khóa học học sinh cần phải đạt kết sau: - Tìm số phương án chọn lựa số lượng phần tử từ tập hợp cho trước; - Xác định số phương pháp phân chia tập hợp có số phần tử giống khác thành số nhóm cho trước ; - Sử dụng sơ đồ kết hợp đơn giản để tính toán xác suất kiện mô hình điển hình; - Vận dụng ý tưởng kết hợp để mô hình hóa trình tượng thực tế; Tiếp theo phần lý thuyết tập mẫu theo số dạng sau : 10 Tóm tắt lý thuyết tổ hợp 10.1 Quy tắc nhân: Nếu có m cách chọn đối tượng a sau đó, với cách chọn a vậy, có n cách chọn đối tượng b có tất m.n cách chọn đối tượng (a, b) Tổng quát hóa: Nếu có m1 cách chọn đối tượng a1 sau với cách chọn đối tượng a1 thế, có m2 cách chọn đối tượng a2, sau với cách chọn đối tượng a1 a2 thế, có m3 cách chọn đối tượng a3, … cuối cùng, với cách chọn a1, a2, a3, …an-1 vậy, có mn cách chọn đối tượng an có tất cả: m1.m2.m3… mn cách chọn đối tượng : (a1, a2, a3, …, an) Ta nói có n cách chọn có quan hệ phụ thuộc Có thể diễn đạt quy tắc nhân sau: Nếu phép chọn thực qua n bước liên tiếp: bước có m1 cách, bước có m2 cách , …, bước n có mn cách phép chọn thực theo: m1.m2.m3… mn cách khác 10.2 Hoán vị không lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử thành dãy (không kín gồm n phần tử đó) gọi hoán vị tập hợp A Trong hoán vị có nêu rõ phần tử vị trí thứ nhất, phần tử vị trí thứ hai, …, phần tử vị trí thứ n dãy Đối với tập hợp hữu hạn có nhiều cách xếp phần tử thành dãy, dãy sai khác vị trí, có nhiều hoán vị tập hợp A Cách tính số hoán vị: Số hoán vị tập hợp gồm n phần tử n!; kí hiệu : P n số hoán vị tập hợp A gồm n phần tử Ta có Pn = 1.2.3… (n-1)n = n! 10.3 Hoán vị lặp: Định nghĩa: Cho s phần tử khác nhau: a1; a2; a3; …; as Một chỉnh hợp có lặp chập m s phần tử cho, có k1 phần tử a1, k2 phần tử a2, …, ks phần tử as; gọi hoán vị có lặp cấp m (bằng k1 + k2 + … + ks) kiểu (k1; k2; …; ks) s phần tử a1; a2; a3; …as Cách tính số hoán vị lặp: Số hoán vị có lặp cấp m; kiểu (k1; k2; …; ks) s phần tử bằng: Cm (k1; k2; …; ks) = 10.4 Chỉnh hợp không lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Giả sử k số tự nhiên thỏa mãn: Ta k phần tử tập hợp A thành dãy hở Một cách xếp k phần tử tập hợp A có n phần tử thành dãy gọi chỉnh hợp chập k tập A Cách tính số chỉnh hợp chập k n phần tử: Số chỉnh hợp chập k n phần tử là: = n.(n - 1)(n - 2)… (n - k + 1) = 10.5 Chỉnh hợp lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử Lấy từ A phần tử bất kì, kí hiệu a1 trả phần tử A Lại rút từ A phần tử bất kì, kí hiệu a2 (a2 a1) trả phần tử A Tiếp tục trình k lần (k bất kì), ta dãy gồm k phần tử (a1; a2; a3; …ak); (các phần tử trùng nhau) Một dãy gọi chỉnh hợp có lập chập k n phần tử Tập hợp tất chỉnh hợp có lặp chập k n phần tử tập hợp A tập hợp k (a 1; a2; a3; …; ak) với Є A; (i = 1; 2; …; k) Đó tập tích DESCARTES : Ak = A.A.A… A (k lần) 10.6 Tổ hợp không lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử, k số tự nhiên thỏa mãn: ≤ k ≤ n Mỗi tập hợp gồm k phần tử tập hợp A gọi tổ hợp chập k tập hợp A gồm n phần tử Cách tính số tổ hợp chập k n phần tử: Số tổ hợp chập k tập hợp gồm n phần tử là: = 10.7 Tổ hợp lặp: Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm m phần tử khác nhau, A = {a1; a2; …; am}, n số tự nhiên Một tổ hợp có lặp chập n m phần tử cho tập hợp chứa n phần tử, phần tử m phần tử cho a 1; a2; …; am Cách tính tổ hợp có lặp: Số tổ hợp có lặp chập n m phần tử, kí hiệu: = = 11 Ví dụ tập 11.1 Đồ thị đơn giản Bài Một học sinh nói với bạn rằng: ‖Trong lớp có 35 người người chơi với 11 người khác‖ Người bạn trả lời:‖Không thể được‖ Vì sao? Gợi ý Giả sử hai người bạn ta nối sợi dây Vậy mõi số 35 người cầm 11 đầu dây Từ suy có tất 11.35 = 385 đầu dây, mà dây có đầu nên vô lý Bài Một lớp có 30 người, liệu có xảy trường hợp cho người có bạn, 11 người có bạn 10 người lại có bạn? Gợi ý Cứ hai người bạn ta nối sợi dây Như có bạn cầm đầu dây, 11 bạn cầm đầu dây 10 bạn cầm đầu dây, điều vô lý Số đầu giây :  + 11  + 10  = 27 + 44 + 50 = 121 - số lẻ - vô lý số đầu giây phải số chẵn 11.2 Qui tắc nhân Bài Trong đội bóng có 11 người cần chọn đội trưởng, đội phó Hỏi có cách chọn? Gợi ý Đáp án: 1011 = 110 (cách) Bài Xét hình chữ nhật với cạnh nguyên gồm loại: chu vi 1996 chu vi 1998 Hỏi loại có số lượng hình chữ nhật lớn hơn? Gợi ý Nếu hình chữ nhật co chu vi 1996 tổng độ dài cạnh 998, tức cạnh nhỏ thuộc khoảng từ đến 499 nên có tất 499 hình chữ nhật loại Tương tự, hình chữ nhật có chu vi 1998 có tổng độ dài cạnh 999 cạnh nhỏ thuộc khoảng từ đến 499 nên loại có 499 hình chữ nhật 11.3 Hoán vị Bài Trên sàn nhảy có n nam n nữ Hỏi có cách chia cặp nhảy? Gợi ý n! Bài Hỏi có số có chữ số mà cách viết có chữ số (1,2,3)? Gợi ý 3! = Bài Một đoàn tàu có 17 toa, hỏi có cách xếp 17 người phục vụ theo toa? Gợi ý Đây toán hoán vị: 17! 11.4 Hoán vị lặp Bài Hỏi có số có chữ số, số chữ số lặp lại lần chữ số lặp lại lần ? Gợi ý Gọi số lượng số có chữ số thỏa yêu cầu đề C7(3 ;4) Ta có : C7(3 ;4)  ! ! = ! Vậy C7(3 ;4) = !/3 ! ! = 35 số 11.5 Chỉnh hợp Bài Cho chữ số ; ; ; Hỏi có số gồm chữ số khác lấy từ số cho ? Gợi ý Giả sử abc số thỏa yêu cầu toán ; ta có : cách chọn a, cách chọn b (sau chọn a lại chữ số), cách chọn c (sau chọn a b lại chữ số) Vậy có tổng cộng 4.3.2 = 24 số Bài 10 Hỏi có phương pháp chọn người cho chức vụ khác tổng cộng có người? Gợi ý : A49 =   7 = 3024 11.6 Chỉnh hợp lặp Bài 11 Một số gọi dễ thương cách viết gồm chữ số lẻ Hỏi có số dễ thương có chữ số? Gợi ý : 54 = 625 Bài 12 Một số điện thoại gồm chữ số, mà số đầu bên trái luôn số Hỏi có số điện thoại gồm toàn chữ số lẻ ? Gợi ý : Giả sử 3abcdxyz số điện thoại thỏa yêu cầu toán Ta thấy chữ số a, b, c, d, x, y, z ta có lựa chọn (1, 3, 5, 7, 9) Vậy có 5.5.5.5.5 = 55 số điện thoại thỏa yêu cầu toán 11.7 Tổ hợp Bài 13 Giải vô địch gồm 18 đội thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt (2 đội khác gặp lần) Hỏi có trận? Gợi ý C18  18  17  153 Bài 14 Trên mặt phẳng cho 10 điểm cho điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác tạo thành từ điểm bất kỳ? Gợi ý C10  10    120 1  10 Bài 15 Hỏi có số có chữ số mà số nhỏ số đứng trước ? Gợi ý Đây toán tổ hợp: số tương ứng với việc chọn số từ Đáp số C610 11.8 Tổ hợp lặp Ví dụ : Cho A = {a ; b ; c}, (a, b, c đôi khác nhau) tổ hợp chập có lặp phần tử a, b, c {a ; a}, {a ; b}, {a ; c}, {b ; b}, {b, c} ; {c, c} 11.9 Toán tổng hợp (nâng cao) Bài 16 Mỗi biển số ô tô gồm chữ số xếp theo thứ tự chữ số - chữ Hỏi có biển số ô tô khác nhau? Gợi ý : Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm chỉnh hợp lặp : 103.303 Bài 17 Biết nhóm chọn người có người quen chung Chứng minh số cặp quen chia hết cho Gợi ý Gọi p số cặp quen nhau, t số đôi quen Theo giả thiết, cặp quen có người quen chung, nghĩa p cặp quen tham gia vào đôi quen Mặt khác, từ t có cặp quen Từ suy 5p = 3t, mặt khác (3,5) = nên p chia hết cho Bài 18 Hỏi có cách xếp nam nữ vào bàn 10 chỗ cho nam nữ xen kẽ ? Gợi ý Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm chỉnh hợp lặp (5!)2= 28800 Bài 19 A có kẹo sôcôla, B có kẹo chanh Hỏi có phương pháp trao đổi với kẹo? Gợi ý Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm tổ hợp : C57.C59 11 [...]... số tiếp theo luôn nhỏ hơn số đứng trước ? Gợi ý Đây là bài toán tổ hợp: mỗi số như vậy thì tương ứng với việc chọn 6 số từ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Đáp số là C610 11.8 Tổ hợp lặp Ví dụ : Cho A = {a ; b ; c}, (a, b, c đôi một khác nhau) thì tổ hợp chập 2 có lặp của 3 phần tử a, b, c là {a ; a}, {a ; b}, {a ; c}, {b ; b}, {b, c} ; {c, c} 11.9 Toán tổng hợp (nâng cao) Bài 16 Mỗi biển số ô tô gồm 3 chữ cái và... = 3t, mặt khác (3,5) = 1 nên p chia hết cho 3 Bài 18 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 5 nam và 5 nữ vào một bàn 10 chỗ sao cho nam nữ xen kẽ ? Gợi ý Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và chỉnh hợp lặp 2 (5!)2= 28800 Bài 19 A có 7 cây kẹo sôcôla, B có 9 cây kẹo chanh Hỏi có bao nhiêu phương pháp trao đổi với nhau 5 cây kẹo? Gợi ý Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và tổ hợp : C57.C59 11 ... 3 con số - 2 chữ cái Hỏi có bao nhiêu biển số ô tô khác nhau? Gợi ý : Bài toán thuộc dạng qui tắc đếm và chỉnh hợp lặp : 103.303 Bài 17 Biết rằng trong một nhóm cứ chọn 2 người thì có đúng 5 người quen chung Chứng minh rằng số cặp quen nhau chia hết cho 3 Gợi ý Gọi p là số cặp quen nhau, t là số bộ 3 đôi một quen nhau Theo giả thiết, mỗi cặp quen nhau có đúng 5 người quen chung, nghĩa là mỗi trong p