Các mã cyclic và cyclic cục bộ trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic

1 TẬP ĐỒN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG ĐẶNG HỒI BẮC Các mã cyclic cyclic cục vành đa thức có hai lớp kề cyclic Tóm tắt Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật: Kỹ thuật Viễn thông Mã chuyên ngành: 62 52 70 05 Người hướng dẫn: GS TSKH Nguyễn Xuân Quỳnh Hà Nội - 2010 MỞ ĐẦU Lý nghiên cứu Việc nghiên cứu truyền thống mã cyclic hoàn chỉnh, nhiên chưa có cơng trình khảo sát tổng qt phương diện lý luận đề xuất phương pháp chung xây dựng mã vành đa thức có hai lớp kề cyclic Đây vành đa thức đặc biệt phân tích xn+1 vành gồm hai đa thức bất khả quy, dẫn đến mã tốt tạo vành Việc khảo sát tường minh vành đa thức có hai lớp kề cyclic vấn đề mở Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận án khảo sát đặc điểm vành đa thức có hai lớp kề cyclic đề xuất số cấu trúc đại số xây dựng mã vành đa thức Dựa kết nghiên cứu, luận án đưa số ứng dụng toán viễn thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án vành đa thức có hai lớp kề cyclic cấu trúc đại số để xây dựng mã vành đa thức Phạm vi nghiên cứu luận án giới hạn việc nghiên cứu đặc điểm cấu trúc vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tập trung nghiên cứu cấu trúc đại số để khắc phục hạn chế việc tạo mã vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tìm cấu trúc để xây dựng mã vành đa thức chẵn Phương pháp công cụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tổng hợp phân tích để tìm cấu trúc đại số để xây dựng mã cyclic ứng dụng vành đa thức có hai lớp kề cyclic, qua góp phần hồn thiện cấu trúc đại số mã cyclic đưa điểm ưu việt cấu trúc Luận án sử dụng cơng cụ tốn học cơng cụ lý thuyết mã, cơng nghệ tích hợp số FPGA số công cụ mô để giải quyết, minh chứng cho tính khả thi nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận án cơng trình nghiên cứu tương đối hồn chỉnh vành đa thức có hai lớp kề cyclic Những đóng góp luận án xây dựng thuật toán xác định điều kiện để vành đa thức vành đa thức có hai lớp kề cylic Xây dựng mã vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo cấu trúc nhóm nhân, cấp số nhân Với vành chẵn, vành mở rộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tác giả đưa phương pháp phân hoạch theo lớp phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt để tạo mã Dựa cấu trúc đại số mới, tác giả đề xuất phương án giải số vấn đề viễn thơng giảm PAPR, tìm kiếm cell, tạo dãy m xây dựng hệ mật luân hoàn Cấu trúc Luận án Luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận 04 chương nội dung Chương trình bày tổng quan mã cyclic số xu hướng nghiên cứu liên quan đến luận án, điểm hạn chế vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương đề cập đến đặc điểm cách nhận biết vành đa thức có hai lớp kề cyclic, khảo sát phân hoạch vành đa thức Chương đề xuất số phương pháp xây dựng mã cyclic vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo cấu trúc đại số mới; xây dựng mã vành mở rộng, vành đa thức chẵn Chương 4, dựa cấu trúc đại số vành đa thức có hai lớp kề cyclic, đề xuất số ứng dụng bảo mật, giải tốn giảm tỷ số cơng suất cực đại cơng suất trung bình PAPR hệ thống OFDM, đưa thuật tốn xây dựng dãy m, tìm kiếm cell hướng xuống hệ thống WCDMA CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 MỞ ĐẦU Nhìn chung, cấu trúc đại số truyền thống việc xây dựng mã khối tuyến tính kỹ thuật mã hóa giải mã hoàn thiện vào thập kỷ 70 kỷ 20 Tuy nhiên nghiên cứu việc tìm cấu trúc đại số tiếp tục tiến hành góp phần hoàn thiện thêm lý thuyết mã mở ứng dụng hiệu toán viễn thơng 1.2 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Mã cyclic Eugene Prange nghiên cứu năm 1957 Sau q trình nghiên cứu mã cyclic tập trung theo hai hướng sửa lỗi ngẫu nhiên sửa lỗi cụm Rất nhiều lớp mã cyclic xây dựng năm này, bao gồm mã BCH, mã Reed-Solomon, mã hình học Euclidean Một hướng nghiên cứu giới đánh giá số giới hạn mã cyclic đề xuất phương án giải mã tối ưu cho mã cyclic Một số nghiên cứu đề cập đến mã tuyến tính đặc tính đa thức sinh cấu trúc trellis Tại Việt Nam, mở đầu hướng nghiên cứu mã sửa sai mã cyclic cục LCC (Local Cyclic Code) Các mã LCC xây dựng theo nhóm nhân cấp số nhân vành đa thức Bên cạnh nghiên cứu tường minh phương pháp giải mã ngưỡng theo hệ tổng kiểm tra trực giao Các cơng trình có ý nghĩa mặt lý thuyết, đề xuất cấu trúc đại số vành đa thức phân hoạch, nhóm nhân, cấp số nhân 1.3 HẠN CHẾ CỦA VIỆC XÂY DỰNG MÃ CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC Như ta thấy, theo lý thuyết mã cổ điển, Ideal tương ứng vành đa thức xây dựng mã cyclic Trong vành đa thức, Ideal I gồm đa thức bội đa thức g(x), g(x) ước đa thức xn+ 1: (g(x)) | xn+ hay x n + 1M g ( x ) Vành Z2[x]/ xn + Đa thức sinh Ideal Hình 1.1: Phân hoạch vành theo Ideal Theo phương pháp cổ điển rõ ràng số mã bị hạn chế (do số đa thức sinh ít) Đặc biệt với vành đa thức có hai lớp kề cyclic hạn chế thể rõ hơn, phân tích xn + vành đa thức có hai thành phần: xn + = (x + 1) n -1 åx i i =0 Số đa thức sinh g(x) thiết lập từ t đa thức bất khả quy phân tích nhị thức xn + t -1 xác định: I = å Cti = i =1 Như vậy, số đa thức sinh g(x) có vành đa thức có hai lớp kề cyclic Ta xây dựng hai mã cyclic tầm thường mã kiểm tra chẵn (n, n-1) có đa thức sinh g(x) = 1+x với khoảng cách mã d0=2 mã lặp (n,1) có đa thức sinh n -1 g(x) = eo(x)= å x i với d0 = n i =0 Với hạn chế trên, cơng trình nghiên cứu mã cyclic trường GF(2), việc xây dựng mã vành đa thức có hai lớp kề cyclic chưa đề cập 1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Vì hạn chế việc tạo đa thức sinh, việc xây dựng mã vành đa thức có hai lớp kề cyclic chưa xuất tài liệu từ trước đến Đây lý nghiên cứu luận án, với mục đích nhằm góp phần phong phú, hồn thiện mặt cấu trúc đại số lý thuyết mã Những ứng dụng cụ thể mã xây dựng vành đa thức có hai lớp kề cyclic đề cập luận án minh chứng cho ưu điểm cấu trúc đại số sử dụng việc xây dựng mã vành đa thức CHƯƠNG XÁC ĐỊNH CÁC ĐẶC ĐIỂM CỦA VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC 2.1 MỞ ĐẦU Trong chương này, đưa định nghĩa vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tìm điều kiện, xây dựng thuật tốn tìm điều kiện để vành đa thức có hai lớp kề cyclic khảo sát phân hoạch vành đa thức có hai lớp kề cyclic 2.2 VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC Định nghĩa 2.1: Vành đa thức theo modulo xn+1 gọi vành đa thức có hai lớp kề cyclic phân tích xn+1 thành tích đa thức bất khả quy trường GF(2) có dạng sau: xn + = (x + 1) n -1 åx i i =0 (2.1) Trong (x+1) eo(x) = n -1 åx i đa thức i =0 bất khả quy Vành đa thức có hai lớp kề cyclic có chu trình: C0 ={0}, C1 = {1, 2, 22 , , 2n - } 2n-1 º mod n (2.2) Bổ đề 2.1: Vành đa thức theo modulo x +1 vành đa thức có hai lớp kề cyclic n thoả mãn: n · n phải số nguyên tố; · phần tử thứ hai phải thoả mãn điều kiện 2j(n)/p ¹ mod n với ước nguyên tố p j(n) (j(n) hàm phi Euler) Từ định nghĩa trên, ta thấy ordn2 = m1 £ n1 Để phần tử có cấp n-1, phần tử thứ hai phải thoả mãn điều kiện 2j(n)/p ¹ mod n, với p ước nguyên tố j(n) Với j(n) = n-1 n số nguyên tố Căn đặc điểm ta xây dựng thuật toán sau Thuật toán xác định giá trị n vành đa thức hai lớp kề cyclic Vào: số ngun tố n Bước 1: tìm phân tích (n-1); xác định ước nguyên tố pi Bước 2: với pi tính 2n -1/ p - Nếu tồn pi cho 2n -1/ p º 1(mod n) n không thoả mãn i i - n thoả mãn trường hợp lại Ra: Giá trị n thoả mãn 2.3 CÁC KIỂU PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC CĨ HAI LỚP KỀ CYCLIC Trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic, dạng phân hoạch tương tự vành đa thức khác, nhiên đặc điểm nên phân hoạch vành phụ thuộc vào cấp cực đại phần tử vành, ta có phân hoạch sau: Lưu đồ thuật toán Bắt đầu i:=i+1 Nhập vào số ngun M Có i> q A:=2; i:=0 Khơng n:=a[i]-1 Khơng A:=A+1 A số nguyên tố? Tìm ước nguyên tố n lưu vào mảng p[j]; k:= số phần tử mảng p[j] Có Khơng A=M Có i:=i+1 a[i]:=A A:=A+1 j:=1 Khơng A=M Có 2n/p[j]%a[i]=1 q:=i Có j:=j+1 i:=0 Khơng j> k Có In a[i] Tính C1 cho a[i] i= q Có Kết thúc 10 · Phân hoạch chuẩn, phân hoạch cực đại, phân hoạch cực tiểu · Phân hoạch vành thành cấp số nhân có trọng số · Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân với phần tử có tính chẵn lẻ trọng số · Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân với phần tử có tính chẵn lẻ trọng số · Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân theo modulo h(x) 2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương xây dựng thuật tốn lập chương trình tính tốn giá trị n để vành đa thức thỏa mãn điều kiện có hai lớp kề cyclic với n