Các thuật toán tạo m dãy lồng ghép trên vành đa thức có hai lớp kề CYCLIC

Hiện nay trong nhiều ứng dụng như hệ thống thông tin như WCDMA, đồng bộ đo lường từ xa…các dãy m được sử dụng rất nhiều vì chúng có các tính chất thỏa mãn các tiêu chuẩn của dãy giả ngẫu nhiên. Các m dãy về bản chất là các mã cyclic có chiều dài cực đại với tham số (2n 1, n, 2n1) và thường được xây dựng trên các vành đa thức lẻ. Tuy nhiên, đối với vành đa thức có hai lớp kề cyclic thì việc xây dựng mã rất hạn chế. Số mã xây dựng trên vành không nhiều và chỉ có thể xây dựng được các mã tầm thường. Do đó trong luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc xây dựng các m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Luận văn này được chia thành 4 chương và phần phụ lục. Chương 1: Cơ sở đại số Chương này trình bày những vấn đề chung về lý thuyết số, cấu trúc đại số để xây dựng mã cyclic, m dãy trên vành đa thức. Chương 2: Vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương này trình bày các khái niệm vành đa thức có 2 lớp kề cyclic. Các vấn đề cơ bản của phân hoạch vành đa thức. Chương 3: Một số phương pháp tạo m dãy Chương này giới thiệu một số phương pháp tạo m dãy đã được sử dụng rộng rãi trong thực tế. Chương 4: Xây dựng m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương này trình bày một số phương pháp tạo m dãy trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Lý thuyết xây dựng mã và các bộ mã hóa, giải mã cho một số m dãy cụ thể. Phần phụ lục: Phụ lục: Phương pháp giải mã ngưỡng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐỒN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG - NGUYỄN THỊ HƯƠNG THẢO CÁC THUẬT TOÁN TẠO M DÃY LỒNG GHÉP TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC CHUYÊN NGÀNH : KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ MÃ SỐ:260.51.70 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học : GS.TS NGUYỄN BÌNH HÀ NỘI – 2010 MỞ ĐẦU Hiện nhiều ứng dụng hệ thống thông tin WCDMA, đồng đo lường từ xa…các dãy m sử dụng nhiều chúng có tính chất thỏa mãn tiêu chuẩn dãy giả ngẫu nhiên Các m dãy chất mã cyclic có chiều dài cực đại với tham số (2 n - 1, n, n-1) thường xây dựng vành đa thức lẻ Tuy nhiên, vành đa thức có hai lớp kề cyclic việc xây dựng mã hạn chế Số mã xây dựng vành không nhiều xây dựng mã tầm thường Do luận văn này, tác giả tập trung vào nghiên cứu việc xây dựng m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Luận văn chia thành chương phần phụ lục Chương 1: Cơ sở đại số Chương trình bày vấn đề chung lý thuyết số, cấu trúc đại số để xây dựng mã cyclic, m dãy vành đa thức Chương 2: Vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương trình bày khái niệm vành đa thức có lớp kề cyclic Các vấn đề phân hoạch vành đa thức Chương 3: Một số phương pháp tạo m dãy Chương giới thiệu số phương pháp tạo m dãy sử dụng rộng rãi thực tế Chương 4: Xây dựng m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương trình bày số phương pháp tạo m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Lý thuyết xây dựng mã mã hóa, giải mã cho số m dãy cụ thể Phần phụ lục: Phụ lục: Phương pháp giải mã ngưỡng CHƯƠNG CƠ SỞ ĐẠI SỐ Chương trình bày vấn đề lý thuyết số, cấu trúc đại số để xây dựng mã cyclic vành đa thức Khái niệm m dãy số tính chất quan trọng m dãy 1.1 Cơ sở đại số để xây dựng mã cyclic vành đa thức 1.1.1 Những vấn đề lý thuyết số 1.1.2 Những vấn đề cấu trúc đại số 1.2 Vành đa thức mã cyclic 1.2.1 Vành đa thức 1.2.2 Ideal vành đa thức 1.2.3 Định nghĩa mã cyclic 1.2.4 Mã cyclic có chiều dài cực đại (m dãy hay dãy m) - Định nghĩa m dãy - Thuộc tính m dãy: thuộc tính cân bằng, thuộc tính chạy thuộc tính tương quan - Sơ đồ tạo m dãy CHƯƠNG - VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC Chương giới thiệu khái niệm vành đa thức có hai lớp kề cyclic, điều kiện để vành đa thức có hai lớp kề cyclic Bên cạnh thực khảo sát phân hoạch vành đa thức nói chung vành đa thức có hai lớp kề cyclic nói riêng Đáng ý chương phân hoạch vành mở rộng vành đa thức Z2[x]/xn + theo lớp phần tử liên hợp Đây tiền đề để xây dựng mã cyclic m dãy chương 2.1 Định nghĩa vành đa thức có hai lớp kề cyclic Vành đa thức theo modulo x n  gọi vành đa thức có hai lớp kề cyclic phân tích xn  thành tích đa thức bất khả quy trường GF(2) có dạng sau: n1 xn   ( x  1) xi i 0 n 1 Trong (x + 1) e0 ( x )   x i đa thức bất khả quy i 0 2.2 Phân hoạch vành đa thức có hai lớp kề cyclic 2.2.1 Nhóm nhân cyclic vành đa thức - Nhóm nhân cyclic vành đa thức tập hợp phần tử lũy thừa phần tử gọi phần tử sinh A = {, 2, 3,…} - Lũy đẳng “nuốt”: Trong vành đa thức Z2[x]/ xn + tồn lũy đẳng n 1 e0(x) =  x i , lũy đẳng gọi lũy đẳng “nuốt” (Swallowing Idempotent) i 0 2.2.3 Phân hoạch suy biến không suy biến 2.2.4 Các kiểu phân hoạch vành đa thức - Phân hoạch chuẩn Phân hoạch chuẩn hay phân hoạch theo I – nhóm nhân xyclic đơn vị Hạt nhân phân hoạch x, có cấp ord(x) = n - Phân hoạch cực đại Phân hoạch gọi cực đại nhóm nhân cyclic sinh có phần tử sinh với cấp lớn nhất, ord(a(x)) = max ord(b(x)), b(x)  Zn - Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch cực tiểu (hay phân hoạch tầm thường) phân hoạch có phần tử sinh nhóm nhân xyclic a(x) = - Phân hoạch vành thành cấp số nhân có trọng số Trong trường hợp q(x) = xi ord xi = n cấp số nhân A(a,q) bao gồm đa thức có trọng số Vành đa thức phân hoạch thành cấp số nhân với phần tử cấp số nhân có trọng số - Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân với phần tử có tính chẵn lẻ trọng số Nếu cơng bội q(x) (hạt nhân phân hoạch) đa thức có trọng số lẻ phần tử cấp số nhân phân hoạch tính chẵn lẻ trọng số - Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân theo modulo h(x) Vành đa thức Z2[x]/ xn + phân hoạch thành cấp số nhân theo modulo h(x) với h(x) | xn + Từ phân tích nhị thức xn+ = m  fi ( x)  f1 ( x) f ( x ) f t ( x ) i 1 Trong đó, fi(x) đa thức bất khả quy Như vậy, h(x) tổ hợp fi(x) cho deg h(x) = k < n, vành đa thức Z2[x]/ xn +1 Tuỳ theo giá trị n mà có số đa thức bất khả quy khác nhau, nên có số h(x) khác Khi đó, vành có nhiều phân hoạch ứng với h(x) khác - Phân hoạch vành mở rộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo lớp phần tử liên hợp + Đa thức f(x) gọi thặng dư bậc (quadratic residue - QR) Z 2n tồn đa thức g(x) sau: 2n g ( x )  f ( x ) mod( x  1) Như g ( x)  Z n gọi bậc f(x) Khi g ( x )  f ( x) gọi bậc f(x) + Các bậc thặng dư bậc xác định theo công thức sau:   sqr[ f ( x )]=g(x)=(1+x n )   x t    tU  f ( x) Trong U tập gồm tổ hợp tùy ý giá trị tập 0, 1, 2, , n  1 Do lực lượng U U  n  Như thặng dư bậc vành Z 2n có tất n bậc (kể bậc chính) Nhận xét:  Trong vành Z 2n có n thặng dư bậc 2, thặng dư bậc có 2n bậc 2, có tất 2n bậc vành  Mặt khác, ta thấy rằng, vành Z 2n có 22 n đa thức (lực lượng phần tử vành tính Z n  2 n ) bậc thặng dư bậc tạo nên toàn vành Z n  Trong trường số đầy đủ, bậc (-1)  j , chúng gọi phần tử liên hợp Tương tự vậy, ta gọi bậc thặng dư bậc phần tử liên hợp (Conjugate Elements) tương ứng với thặng dư ký kiệu CEs + Tính chất phần tử liên hợp:  Nếu a(x) bậc phần tử đối xứng bậc  Tổng CEs bậc zero  Tổng quát hơn, tổng số chẵn CEs bậc zero  Tổng CEs CE + Phân hoạch vành đa thức theo lớp phần tử liên hợp Trong vành đa thức Z2n, thặng dư bậc khác có bậc khác Số bậc tồn thặng dư bậc tính sau: Q2n n  n.2 n  2 n Do vậy, tập bậc thặng dư bậc toàn vành đa thức Z2n Vành chia thành lớp bao gồm phần tử liên hợp Tập phần tử liên hợp gọi vành phần tử liên hợp 2.3 Kết luận Chương trình bày khái niệm vành đa thức có lớp kề cyclic kiểu phân hoạch vành đa thức, đặc biệt phân hoạch vành đa thức mở rộng Z  x  / x n  vành đa thức có lớp kề cyclic Z  x  / x n  theo lớp phần tử liên hợp Đây sở lý thuyết quan trọng để xây dựng m dãy chương CHƯƠNG - CÁC PHƯƠNG PHÁP TẠO DÃY M Dãy m nghiên cứu nhiều có nhiều phương pháp tạo m dãy Chương trình bày số phương pháp để tạo chuỗi PN bao gồm: Phương pháp Blum Blum Shub, Phương pháp congruential đảo (Inversive congruential), Phương pháp Cipher (ISAAC), Phương pháp Fibonaci trễ (Lagged Fibonaci), Phương pháp congruential tuyến tính (Linear congruential), Phương pháp ghi dịch có hồi tiếp tuyến tính (Linear feedback shift register), Phương pháp nhân có nhớ (Multiply with carry), Phương pháp xoay Mersenne (Mersenne twister), Phương pháp số nguyên tố Sophie Germain Ngoài ra, thuật toán Cipher hàm băm mật mã sử dụng để tạo chuỗi PN Tuy nhiên, chương tập trung vào phương pháp tạo chuỗi PN CHƯƠNG - XÂY DỰNG DÃY M TRÊN VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC 4.1 Xây dựng dãy m lồng ghép vành đa thức có hai lớp kề cyclic Dãy m lồng ghép vành đa thức có hai lớp kề cyclic tạo từ phương trình đồng dư sau: b( x)  c( x) a i ( x) mod h ( x) i  1,2, ,2 m  Trong bậc a(x), orda( x)  m   n1  Số lượng a(x) N a   (2 m  1) với  hàm Phi-Euler W (a( x))  wa số chẵn W ( h( x))  wh số lẻ với deg h ( x)  n  ( n 1) / Số lượng hàm h(x) là: N h   C n2i  n i 0 c(x) đa thức sinh với deg c( x)  m  Số lượng dãy M lồng ghép N  N a N h Ví dụ: Dãy m lồng ghép Z 2[ x]/ x5  1, N h  2n 2  , đa thức h(x) là: (4), (014), (024), (034), (124), (234), (134), (01234) Giả sử a( x)  x  x  (12) (orda( x)  15) h(x) = (01234) Ta có: A7  {(12)i mod(01234); i  1, 2, } A7  {(12), (013), (2), (012), (023), (0123), (01), (13), (1), (23), (03), (3), (123), (02), (0)}  Sơ đồ mã hóa: (0) (1) (2) (3) (4)  Sơ đồ giải mã theo phương pháp giải mã ngưỡng Hệ tổng kiểm tra trực giao: S1  (013)  (13) S  (2)  (02) S3  (012)  (12) S  (03)  (3) S5  (023)  (23) S6  (0123)  (123) S7  (01)  (1) a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 4.2 Xây dựng dãy m vành mở rộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic theo phần tử liên hợp Tập tất phần tử liên hợp với lũy đẳng nuốt e0(x2) tạo mã cyclic cục với giá trị sau: ( n, k , d )  (2n  1, n, 2n 1 ) 4.2.1 Xây dựng dãy m phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt theo phân hoạch chuẩn Thực phân hoạch chuẩn khơng phải tồn phần tử vành Z2n mà phân hoạch chuẩn phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt e0 ( x ) Có nghĩa là, xây dựng cấp số nhân với số hạng đầu a(x) phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt e0 ( x ) vành đa thức Z2n, nhóm nhân cyclic đơn vị với phần tử sinh q(x) = x Ví dụ với n = Ta có bảng phân hoạch chuẩn lũy đẳng nuốt e0 ( x )  (02468) theo phần tử liên hợp: No C1 C2 C3 C4 (01234) (02346) (03467) (02468) (12345) (13457) (14578) (13579) (23456) (24568) (25689) (34567) (35679) (36790) (45678) (46780) (47801) (56789) (57891) (58912) (67890) (68902) (69023) (78901) (79013) (70134) (89012) (80124) (81245) 10 (90123) (91235) (92356)  Sơ đồ mã hóa cho mã (31,5,16) theo phân hoạch chuẩn x0 x1 x2 x3 x4 0 0 C1 C2 C3 C4  Sơ đồ giải mã C41 C C31 C32 C33 C34 C35 C36 C37 C38 C39 C310 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29 C210 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18 C19 C110 4.2.2 Xây dựng dãy m phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt theo phân hoạch cực đại Phân hoạch cực đại mã cyclic cục với n lẻ mã cyclic cục xây dựng nhóm nhân cyclic với cơng bội a(x) Ở ta có: ord a(x)=max ord f(x), f(x)  Z2 [x]/x n  Tương tự vậy, vành đa thức Z [x]/x 2n  , ta tiến hành xây dựng mã cyclic cục phân hoạch cực đại vành theo phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt Trên vành đa thức Z 2[x]/x 2n  , cấp nhóm nhân sinh cyclic a(x) bẳng 2.ord a(x) Z [x]/x n  Ta xem xét nhóm nhân vành Z2n qua ví dụ n = Xét vành Z10 với phần tử sinh a(x)=1+x+x2  (012) Ta có phân hoạch cực đại gồm lớp kề: 10 B1  {e0 ( x) a i ( x), i  0, 29}={b1i , i = 1,30} = {(01234), (02346), (01478), (34567), (35679), (01347), (06789), (02689), (03467), (01239), (12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789), (23569), (01289), (01248), (25689), (12345), (13457), (12589), (45678), (04678), (12458), (01789), (01374), (14578)} B2 = {(02468), (13579)} = { b21 , b22 }  Sơ đồ mã hóa (0) (1) (2) (3) (4) (0) (0) (0) (0) (0)  Sơ đồ giải mã 11 b22 b21 b130 b129 b128 b127 b126 b125 b124 b123 b122 b121 b120 b119 b118 b117 b116 b115 b114 b113 b112 b111 b110 b19 b18 b17 b16 b15 b14 b13 b12 b11 4.3 Kết luận Trong chương trình bày số phương pháp tạo giải mã cho m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Ngoài phương pháp tạo m dãy cách vành lẻ, trình bày phương pháp tạo m dãy vành chẵn Z2n, vành mở rộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic Việc xây dựng m dãy vành chẵn dựa vào phân hoạch vành chẵn theo phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt Điều làm đa dạng hóa phương pháp tạo m dãy lý thuyết mã, cung cấp nhiều lựa chọn cho m dãy 12 KẾT LUẬN Vành đa thức có hai lớp kề cyclic vành đa thức có tính chất đặc biệt, phân tích nhị thức vành đa thức bao gồm hai đa thức Do vành xây dựng mã tầm thường mã chẵn, lẻ Việc tìm hiểu vành đa thức chưa quan tâm nhiều có ứng dụng vành đa thức có hai lớp kề cyclic Luận văn tập trung vào việc tìm hiểu vành đa thức có hai lớp kề cylic, cấu trúc nhóm nhân kiểu phân hoạch vành đa thức có hai lớp kề cyclic nhằm tận dụng tối đa đặc điểm khắc phục hạn chế vành Trong chương trình bày số phương pháp xây dựng m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Đó việc xây dựng m dãy dựa nhịp đa thức a(x) modulo h(x) không thiết phải đa thức ngun thủy Ngồi m dãy cịn xây dựng vành chẵn vành mở rộng Z  x  / x n  vành đa thức Z  x  / x n  theo lớp phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt Chương giới thiệu số mã hóa giải mã tương ứng xây dựng m dãy theo phương pháp Hướng nghiên cứu luận văn đánh giá đặc tính m dãy biện pháp để áp dụng cách khả thi ứng dụng thực tế Do thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong thầy giáo, đồng nghiệp bạn bè đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn tốt 13 ... pháp tạo giải m? ? cho m dãy vành đa thức có hai lớp kề cyclic Ngồi phương pháp tạo m dãy cách vành lẻ, trình bày phương pháp tạo m dãy vành chẵn Z2n, vành m? ?? rộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic. .. tương quan - Sơ đồ tạo m dãy CHƯƠNG - VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC Chương giới thiệu khái ni? ?m vành đa thức có hai lớp kề cyclic, điều kiện để vành đa thức có hai lớp kề cyclic Bên cạnh thực... dãy vành đa thức Chương 2: Vành đa thức có hai lớp kề cyclic Chương trình bày khái ni? ?m vành đa thức có lớp kề cyclic Các vấn đề phân hoạch vành đa thức Chương 3: M? ??t số phương pháp tạo m dãy