Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LA tiến sĩ)

Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC TRÊN

VÀNH ĐA THỨC

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2017

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

NGUYỄN TRUNG HIẾU

NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC TRÊN

VÀNH ĐA THỨC

CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ

MÃ SỐ: 9520203

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN LUẬN ÁN:

HÀ NỘI – 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa được công bố ở bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Trung Hiếu

LỜI CẢM ƠN

Luận án Tiến sĩ kỹ thuật này được thực hiện tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bình và TS Nguyễn Ngọc Minh Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bình, thầy trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ, cung cấp những kiến thức quý báu và có rất nhiều ý kiến gợi mở về hướng nghiên cứu để nghiên cứu sinh thực hiện thành công đề tài Nghiên cứu sinh cũng xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Ngọc Minh, người lãnh đạo trực tiếp đã luôn ủng hộ, giúp đỡ nghiên cứu sinh trong quá trình nghiên cứu Nghiên cứu sinh xin dành lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, nhà khoa học trong Hội đồng bảo vệ Luận án các cấp, các buổi hội thảo luận án đã nhiệt tình chỉ bảo, giúp đỡ và có nhiều góp ý quý báu giúp nghiên cứu sinh hoàn thiện luận án

Tôi cũng xin cảm ơn Ban giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, Khoa Quốc tế và Đào tạo Sau đại học, Khoa Kỹ thuật Điện tử 1 (nơi tôi đang công tác), cũng như các đồng nghiệp đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi hoàn thành được đề tài nghiên cứu của mình

Cuối cùng là sự biết ơn tới gia đình, bạn bè đã thông cảm, động viên giúp đỡ cho tôi có đủ nghị lực để hoàn thành luận án

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN I LỜI CẢM ƠN II DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT V DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VII DANH MỤC CÁC BẢNG IX DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ X

MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO NGHIÊN CỨU 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

4 PHƯƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU 2

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI 2

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 3

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 5

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG 5

1.2 VÀNH ĐA THỨC 7

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản 7

1.2.2 Chu trình và lũy đẳng 10

1.3 MÃ TUYẾN TÍNH 13

1.3.1 Mã cyclic truyền thống 13

1.3.2 Một số mã tuyến tính khác 16

1.3.3 Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính 18

1.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ 19

1.4.1 Nhóm nhân cyclic 19

1.4.2 Cấp số nhân cyclic 24

1.4.3 Phân hoạch vành đa thức 24

1.4.4 Mã cyclic cục bộ trên vành đa thức 31

1.5 HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 34

1.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 37

CHƯƠNG 2: CẤP CỦA ĐA THỨC VÀ QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG 39

2.1 GIỚI THIỆU 39

2.2 XÁC ĐỊNH CẤP CỦA ĐA THỨC 40

2.2.1 Đề xuất phương pháp xác định cấp của tích các đa thức 40

2.2.2 Đề xuất phương pháp xác định cấp của nhị thức 45

2.2.3 Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành 51

2.2.4 Xác suất chọn đa thức có cấp cực đại 56

2.3 QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG 58

2.3.1 Cơ sở toán học 58

2.3.2 Sự tương đương của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống 60

2.3.3 Thuật toán xác định nhóm nhân cyclic tương đương mã cyclic truyền thống 63

2.4 MỘT CÁCH PHÂN LOẠI MÃ TUYẾN TÍNH MỚI 69

2.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG 73

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC 75

3.1 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MÃ CYCLIC 75

3.1.1 Phương pháp xây dựng mạch mã hóa 75

3.1.2 Phương pháp xây dựng mạch giải mã 77

3.2 ĐỀ XUẤT MỘT SỐ MÃ CYCLIC TỐT TRÊN VÀNH ĐA THỨC 79

3.2.1 Phương pháp tìm mã cyclic tốt 79

3.2.2 Mô phỏng, đánh giá một số bộ mã cyclic tốt 90

3.2.3 Đề xuất thực hiện các bộ mã trên FPGA 95

3.3 ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP TẠO KHÓA CHO MỘT SỐ HỆ MẬT 97

3.3.1 Quan hệ giữa vành đa thức có hai lớp kề cyclic và trường số 97

3.3.2 Hệ mật Omura-Massey trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic 100

3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 105

KẾT LUẬN 107

CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 108

TÀI LIỆU THAM KHẢO 110

PHỤ LỤC 119

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Hocquenghem

(Tên ba tác giả nghiên cứu ra

mã BCH)

CGP Cyclic Geometic Progressions Cấp số nhân cyclic

CMG Cyclic Multiplicate Group Nhóm nhân cyclic

CRC Cyclic Redundancy Check Kiểm tra dư thừa vòng

FPGA Field Programable Gate Array Mảng cổng logic khả trình

Decode

Giải mã ngưỡng theo đa số

OALCC Orthogonalable Local Cyclic

Code

Mã cyclic cục bộ có khả năng trực giao

OLCC Orthogonal Local Cyclic Code Mã cyclic cục bộ tự trực giao

LDPC Low-Density Parity Check Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ

thấp

RSMA Repeated Square and Multiply

OACS Orthogonalable check-sum Tổng kiểm tra có khả năng trực

giao

VHDL VHSIC Hardware Discription

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

S

0

lcm Least common multiple Bội chung nhỏ nhất

# hoặc Cardinality Lực lượng hay số phần tử

Non-redundant division Phép chia hết

Not divisor or not divides Không là ước

hoặc bằng giá trị trong ngoặc

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1 Bảng giá trị của n nhỏ hơn 1000 thỏa mãn 2[ ] / (x x n 1) là một vành

đa thức có 2 lớp kề cyclic 10

Bảng 1.2 Số kiểu phân hoạch không suy biến M của một số vành 27

Bảng 1.3 Tổng số các kiểu phân hoạch của vành 2[ ] / (x x n 1) 28

Bảng 2.1 Bảng khảo sát cấp của đa thức 1 x trên một số vành đa thức 48

Bảng 2.2 So sánh thời gian tính toán của hai thuật toán 54

Bảng 2.3 Kết quả khảo sát 35 giá trị n 57

Bảng 3.1 Một số cặp vành có thể phân hoạch hỗn hợp 84

Bảng 3.2 Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt 89

Bảng 3.3 Phép toán cộng và nhân trên hai cấu trúc vành đa thức và vành số…98 Bảng 3.4 Các phần tử nghịch đảo tương quan trên trường số và vành đa thức 99

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Biểu đồ so sánh thời gian tính toán của hai thuật toán 55

Hình 2.2 So sánh các mã cyclic và mã cyclic cục bộ 70

Hình 2.3 Sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã LCC 72

Hình 3.1 Phân hoạch vành đa thức có nhóm nhân sinh là nhóm nhân đơn vị 76

Hình 3.2 Phân hoạch vành có nhóm nhân sinh là nhóm nhân cyclic bất kỳ 77

Hình 3.3 Lưu đồ thuật toán tìm bộ mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân cyclic 88

Hình 3.4 Sơ đồ hệ thống thông tin sử dụng mô phỏng, đánh giá mã cyclic 90

Hình 3.5 Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (255,9,127) 92

Hình 3.6 Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (15,5,7) 93

Hình 3.7 Kết quả mô phỏng bộ mã cyclic (27,9,9) 94

Hình 3.8 Giao thức truyền thông sử dụng hệ mật O-M 101

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO NGHIÊN CỨU

Lý thuyết mã hóa đã được nghiên cứu từ những năm 1940 và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong lĩnh vực truyền thông góp phần nâng cao hiệu quả của hệ thống truyền tin Một trong các lớp mã quan trọng của mã khối tuyến tính đó là các mã cyclic Mã cyclic có nhiều ứng dụng trong điện tử dân dụng, các hệ thống lưu trữ dữ liệu, các hệ thống truyền thông vì có nhiều phương pháp mã hóa và giải mã hiệu quả

Việc nghiên cứu truyền thống về mã cyclic đã khá hoàn chỉnh, tuy nhiên loại

mã này có nhược điểm là số lượng từ mã được tạo ra hạn chế, độ dài của mã chỉ cố định ở một số giá trị cụ thể Trong những năm trở lại đây một phương pháp khác để xây dựng mã cyclic được nghiên cứu đó là sử dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức, và mã được gọi là mã cyclic cục bộ (LCC- Local Cyclic Code) Các nghiên cứu gần đây đã đưa ra một số phương pháp phân hoạch vành đa thức, xây dựng mã cyclic cục bộ, cùng các phương pháp giải mã tương đối hiệu quả Nghiên cứu sinh nhận thấy rằng có thể tồn tại mối quan hệ giữa mã cyclic và cyclic cục bộ, điều đó thôi thúc nghiên cứu sinh nghiên cứu sâu hơn lý thuyết về mã cyclic cục bộ (mã cyclic được xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic), tìm hiểu, chứng minh mối quan hệ có thể tồn tại giữa mã cyclic và mã cyclic cục

bộ Chính vì lẽ đó, nghiên cứu sinh đã chọn đề tài “Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức” để định hướng nghiên cứu luận án tiến sĩ của mình Trên cơ sở kết quả nghiên cứu lý thuyết đạt được sẽ đề xuất một số ứng dụng có thể về mã sửa lỗi và mật mã trong các hệ thống truyền thông

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Mục đích chính của luận án là góp phần hoàn thiện lý thuyết và thực nghiệm

về nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên các vành đa thức, trong đó các kết quả nghiên cứu đạt được của luận án nhằm giải quyết các vấn đề cụ thể sau:

- Quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức với

mã cyclic truyền thống

- Phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức

- Đề xuất ứng dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic để tìm một số

bộ mã cyclic tốt, hay ứng dụng trong các hệ mật

3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức

Phạm vi nghiên cứu của luận án này được giới hạn trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, cấp của đa thức và phương pháp xây dựng nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành

đa thức, trên cơ sở đó có thể đề xuất một số mã cyclic tốt và phương pháp hiện thực hóa các mã cyclic trên FPGA (Field Programable Gate Array)

4 PHƯƠNG PHÁP VÀ CÔNG CỤ NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp dựa vào các công

cụ toán học, đặc biệt là đại số, lý thuyết mã hóa, lý thuyết xác suất

Luận án sử dụng các công cụ toán học, kết hợp với việc tính toán, mô phỏng trên máy tính và các chương trình phần mềm xử lý (C++, Matlab, VHDL (VHSIC Hardware Discription Language), Excel)

5 Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Những kết quả trong luận án này góp phần phát triển hoàn thiện lý thuyết mã cyclic, mã cyclic cục bộ nói riêng và lý thuyết mã sửa lỗi nói chung Các đóng góp chính của Luận án:

- Kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức thông qua việc đề xuất phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại

- Chứng minh sự tương đương giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với

mã cyclic truyền thống

- Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt xây dựng trên vành đa thức, đề xuất khả năng thực hiện các bộ mã cyclic cục bộ trên cấu kiện phần cứng

6 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN

Nội dung luận án bao gồm các phần: Mở đầu, ba chương và kết luận Trong

đó, chương 1 trình bày tổng quan và lý thuyết cơ bản về vấn đề nghiên cứu, các kết quả nghiên cứu chính của Luận án được trình bày trong hai chương còn lại, cụ thể như sau:

Chương 1 trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu, lý thuyết cơ bản về vành đa thức, mã cyclic làm cơ sở cho các nội dung nghiên cứu của luận án Các nội dung

về vành đa thức bao gồm các khái niệm vành đa thức, các tính chất đa thức, chu trình, luỹ đẳng, vành đa thức có hai lớp kề cyclic, trong đó Luận án đề cập việc chứng minh bổ đề về một tính chất luỹ đẳng nuốt, chính xác hoá các vành đa thức

có hai lớp kề cyclic Z x2[ ] /x n1 với n1000 Tiếp theo, luận án trình bày lý thuyết về nhóm nhân cyclic và cấp số nhân cyclic cùng các bổ đề liên quan Lý thuyết về mã cyclic truyền thống và các mã tuyến tính khác cũng được đề cập trong chương, kèm theo đó là trình bày về một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính tốt Tiếp đến, Luận án trình bày về phân hoạch vành đa thức và các mã cyclic cục bộ với các nội dung liên quan đến nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức và mã cyclic cục bộ Nội dung cuối cùng, luận án nhận xét về công trình nghiên cứu của các tác giả khác và hướng nghiên cứu của luận án

Trong Chương 2, luận án tập trung trình bày các kết quả nghiên cứu mới và

hai đóng góp quan trọng của Luận án: Nội dung thứ nhất là đề xuất phương pháp

kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại thông qua việc xác định cấp của đa thức với nhiều hướng tiếp cận cùng các đề xuất quan trọng như: phương pháp xác định cấp của đa thức là tích các đa thức, phương pháp xác định cấp của nhị thức, thuật toán tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành, đánh giá xác xuất tìm phần tử có cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic đã góp phần giải quyết khá hoàn

chỉnh bài toán đặt ra Nội dung thứ hai là nghiên cứu, đánh giá mối quan hệ giữa

các nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, đã góp phần chỉ ra có một mối quan hệ tương đương giữa mã cyclic truyền thống với mã cyclic xây dựng trên nhóm nhân, cấp số nhân trên vành đa thức Từ hai kết quả nghiên cứu trên, luận án đề xuất sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã cyclic cục bộ Đóng góp của chương này được công bố trong các công trình khoa học [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C4], [C5]

Ở Chương 3, Luận án trình bày phương pháp xây dựng mã cyclic với các nội dung liên quan đến việc xây dựng khối mã hoá và giải mã, tiếp đến luận án đề xuất một số mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic gồm phương pháp tìm mã cyclic tốt, danh sách một số mã cyclic tốt được đề xuất, mô phỏng đánh giá bộ mã; đề xuất phương pháp xây dựng bộ mã trên cấu kiện phần cứng FPGA, đưa ra một phương pháp cải tiến việc xây dựng bộ mã hoá và giải mã cho phù hợp với đặc điểm phần cứng logic khả trình và góp phần minh chứng cho khả năng hiện thực hoá các bộ mã cyclic, cyclic cục bộ trên cấu kiện logic khả trình Nội dung cuối, luận án trình bày ứng dụng của nhóm nhân cyclic và cấp số nhân cyclic trong việc làm khóa một số hệ mật Đóng góp của chương này được công bố trong các công trình khoa học [J1], [J6], [C1], [C2]

Phần kết luận sẽ đưa ra những kết luận của Luận án đối với những đóng góp

kể trên và đưa ra những vấn đề mở trong tương lai

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Nội dung của chương trình bày lý thuyết tổng quan về vành đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic Các tiêu chuẩn đánh giá mã sửa lỗi cũng được giới thiệu trong chương này Chương này cũng sẽ tập trung khảo sát các nghiên cứu liên quan đến mã cyclic để từ đó tìm ra các hạn chế của các nghiên cứu trước đây và đề xuất hướng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và phương thức tiếp cận của luận án

1.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Lý thuyết mã hoá được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 và được phát triển theo ba hướng lớn đó là: mã nguồn [7], [17], mã kênh (có khả năng sửa lỗi [35], [74]) và mật mã [8], [63]

Đặt nền móng cho lý thuyết mã hoá là các nghiên cứu của Shannon trong hai năm 1948-1949 về độ tin cậy của truyền tin trên các kênh truyền có nhiễu [59] Khởi đầu cho việc thiết kế các bộ mã tốt và các phương pháp giải mã hiệu quả đó là mã Hamming, mã Golay [59] và các mã khác vào cuối những năm 1940 Các nghiên cứu về mã hóa những năm 1950, 1960 tập trung vào việc phát triển lý thuyết về các mạch mã hóa và giải mã hiệu quả Trên thực tế, các sơ đồ mã hoá và giải mã hiện nay đều không thoả mãn giới hạn của Shannon, nhưng bộ giải mã có độ phức tạp (giá thành) thấp hơn Vì lý do này, các hướng nghiên cứu tập trung vào việc thiết

kế các sơ đồ mã hoá và giải mã với mục tiêu dễ dàng thực hiện về mặt kỹ thuật Các nghiên cứu của Reed và Solomon (1960), Hocquenghem (1959), Bose và Chaudhuri (1960), Gorenstein và Zierler (1961) và Peterson (1961) đều tập trung theo hướng này [45], [59], [74] Bằng cách kết hợp mỗi con số của mã với một phần tử trong trường Galois, có thể tìm được phương trình đại số mà các nghiệm của nó mô tả vị trí của các lỗi Do đó, độ phức tạp tính toán khi giải mã cũng giảm đi bằng cách thiết lập các phương trình đại số và tìm nghiệm của chúng

Trong những năm gần đây các nghiên cứu về lý thuyết mã tập trung vào việc xây dựng các phương pháp mã hóa đạt được giới hạn của Shannon bao gồm các hướng: điều chế mã lưới - TCM (Trellis Coded Modulation), mã Turbo [61], mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp - LDPC (Low-Density Parity Check) [32], mã khối không gian-thời gian – STBC (Space-Time Block Code) [47]

Các quan điểm xây dựng mã cũng rất phong phú: dựa trên các cấu trúc đại số, dựa trên lý thuyết dàn, dựa trên hình học – đại số, dựa trên hình học chiếu, dựa trên

lý thuyết tổ hợp, dựa trên Graph

Các phương pháp giải mã chính được nghiên cứu bao gồm: giải mã ngưỡng của Messey [51], giải mã liên tiếp của Zigalgirov, giải mã Viterbi [7], giải mã hợp

lý tối đa [54], giải mã lặp và giải mã có liên hệ ngược, giải mã đại số [7]

Các công trình nghiên cứu cho thấy, các mã sửa lỗi (ECC - Error Correcting Code) là hướng kiến thiết cho định lý tồn tại là định lý mã hoá thứ hai của CE Shannon [59], [70] Hướng nghiên cứu chủ đạo ở đây là xây dựng các mã trên các cấu trúc đại số khác nhau như nhóm, vành, trường, module, không gian tuyến tính [69], [74] Mã (hay bộ mã) được xem là một tập con có cấu trúc trong một cấu trúc đại số nào đó [35] Một trong các lớp mã quan trọng của mã khối tuyến tính đó là các mã cylic, trong đó thành tựu nổi bật nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tế là các mã cyclic trên vành đa thức [17], [59]

Mã cyclic được Eugene Prange nghiên cứu đầu tiên năm 1957 [65] Sau đó quá trình nghiên cứu về mã cyclic tập trung theo cả hai hướng sửa lỗi ngẫu nhiên

và sửa lỗi cụm Nhiều lớp mã cyclic đã được xây dựng trong những năm này, bao gồm các mã BCH (Bose, Chaudhuri, and Hocquenghem), các mã Reed-Solomon, các mã hình học Euclid [74], [77]

Mã cyclic gồm các từ mã là bội của đa thức sinh g x( ), với g x( ) | (x n1) [74]

Từ mã hay đa thức mã a x( ) của mã cyclic là một phần tử của ideal g x( ) thoả mãn điều kiện a x g x( ) ( ) [59] Một tính chất quan trọng rất thuận lợi cho việc mã hoá và giải mã cho các mã cyclic là dịch vòng của một đa thức mã cũng là một đa thức mã

[59], [7] Các mã cyclic được ứng dụng rất rộng rãi trong thực tế Rất nhiều đa thức sinh cụ thể đã được sử dụng trong các chuẩn truyền tin [74] Các thiết bị mã hoá và giải mã trong thực tế được thực hiện rất đơn giản bằng các bộ ghi dịch tuyến tính

có liên hệ ngược [51] Có thể đánh giá rằng các nghiên cứu về mã cyclic đã được hoàn thiện vào những năm 70 của thế kỷ 20 [77]

Mặc dù có nhiều ưu điểm nhưng có thể nhận thấy một số hạn chế của mã cyclic như sau: Mã cyclic ( , )n k chủ yếu được xây dựng cho các giá trị n lẻ, số các đa thức sinh có thể được lựa chọn để tạo các mã tốt không nhiều và phụ thuộc vào số ideal có thể xây dựng Nếu phân tích nhị thức x n1 thành tích của các đa thức bất khả qui thì khả năng lựa chọn rất thấp khi không có nhiều đa thức bất khả qui Điều này đặc biệt thấy rõ đối với các vành đa thức có hai lớp kề cyclic (với n = 3, 5, 11,

13, 17, 19,…), các vành này không thể xây dựng được các mã cyclic tốt ngoài hai

mã tầm thường duy nhất là mã ( ,n n1) (mã kiểm tra chẵn) và mã ( ,1)n (mã lặp) [1] Các hạn chế này có thể xem là do tính chặt chẽ về cấu trúc của mã cyclic

Ngược lại, với mã ngẫu nhiên tuyến tính của Shannon ta thấy không có những hạn chế này Shannon đã chứng minh rằng luôn tồn tại các mã tốt thỏa mãn định lý

mã hóa thứ hai Tuy nhiên do tính lỏng lẻo về mặt cấu trúc nên rất khó khăn cho việc thực hiện mã hóa và giải mã có hiệu quả cho các mã này Cần chú ý thêm là việc nghiên cứu các ideal trên vành số đã xây dựng được các mã AN-cyclic [74] được sử dụng có hiệu quả trong kỹ thuật máy tính

Phần tiếp theo luận án sẽ trình bày một số nội dung lý thuyết về mã tuyến tính,

cơ sở lý thuyết về mã cyclic xây dựng trên vành đa thức

1.2 VÀNH ĐA THỨC

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1: R là một vành giao hoán, một đa thức của biến x trên vành

R là một biểu thức có dạng [7]:

1 0

( )

n i i i





Trong đó: f i – là hệ số, f iR Trong trường GF(2), f i nhận giá trị 0 hoặc 1

Nếu f i 0 với i   0 n 1, thì f x( ) được gọi là đa thức 0

Định nghĩa 1.2: Cho R là một vành giao hoán, vành đa thức R x[ ] là một vành được tạo bởi tập tất cả các đa thức của biến x có các hệ số trong R Hai phép toán là phép cộng và phép nhân đa thức theo modulo (x n 1) [7], [63]

Khi các hệ số của đa thức nằm trong trường nhị phân GF(2), phép cộng và phép trừ là tương đương, vành đa thức được ký hiệu 2[ ] / ( n 1)

x x  Trong trường nhị phân, vành đa thức ký hiệu: ( ( ); , ) 2[ ] / ( n 1)

( ) 0

e x  gọi là phần tử đơn vị, deg ( )e x 0

( ( ), )f x  là một nhóm đối với phép cộng, thỏa mãn tiên đề của nhóm

( ( ), )f x  là nửa nhóm đối với phép nhân, tồn tại f x( ), g x( ) thỏa mãn

( ) ( ) 0

f x g x 

* Phép cộng hai đa thức: Xét hai đa thức

1 0

( )

n i i i

( )

n i i i

( )

n i i i

c x c x





 và c i  a i b i (1.2) Phép cộng các hệ số a i và b i được thực hiện trên trường (cộng theo modulo) Bậc của c x( ): deg ( )c x  max deg ( ), deg ( ) a x b x 

* Phép nhân hai đa thức:

Xét 2 đa thứca x( ), b x( ); c x( ) là tích của hai đa thức và được tính như sau:

Định nghĩa 1.3: Đa thức f x( ) với deg ( ) 1f x  được gọi là đa thức bất khả

quy nếu nó chỉ chia hết cho 1 và chính nó [7]

Như vậy đa thức bất khả quy là đa thức không thể phân tích được thành tích của các đa thức có bậc nhỏ hơn

Định lý 1.1: Bất kỳ đa thức bất khả quy nào trên trường GF(2 )m đều là ước của 2 1

* Vành đa thức có hai lớp kề cyclic:

Định nghĩa 1.6: Vành đa thức theo modulo x n1 được gọi là vành đa thức

có hai lớp kề cyclic nếu phân tích của x n1 dưới dạng tích các đa thức bất khả quy trên trường GF(2) có dạng [1]:

1 0

trong đó, (x1) và

1 0

( )

n i n

- Vì e x n( ) là một đa thức bất khả quy nên n phải là một số lẻ

Bổ đề 1.1: Vành đa thức theo modulo x n1 là một vành đa thức có hai lớp kề

cyclic nếu n thoả mãn [1]:

 n phải là một số nguyên tố;

 phần tử 2 phải thoả mãn điều kiện ( )/

2n p 1modn với mỗi ước nguyên tố

p của ( )n , với ( )n là hàm phi Euler

Căn cứ vào đặc điểm trên của vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tác giả của [1] đề xuất một thuật toán xác định giá trị n thỏa mãn vành đa thức có hai lớp kề cyclic Ví dụ, các số n nhỏ hơn 1000 thoả mãn điều kiện 2[ ] / (x x n 1) là một vành

đa thức có 2 lớp kề cyclic được liệt kê trong Bảng 1.1

Bảng 1.1 Bảng giá trị của n nhỏ hơn 1000 thỏa mãn 2[ ] / (x x n 1) là một vành

Tập các số nguyên theo modulo n được phân hoạch thành các chu trình

0, 1, 2, 3, , 

i

Số phần tử của chu trình C i được gọi là lực lượng của chu trình, ký hiệu C i

* Một số ý nghĩa của việc phân tích chu trình:

+ Số lượng chu trình cho biết số đa thức bất khả quy trong vành 2[ ] / ( n 1)

x x  + Lực lượng của các chu trình cho biết bậc của đa thức bất khả quy tương ứng trong phân tích của nhị thức x n 1

+ Các số trong một chu trình cho biết số mũ tương ứng của lũy đẳng e x( )

1.2.2.2 Lũy đẳng

Định nghĩa 1.7: Trong vành đa thức 2[ ] / ( n 1)

x x  , đa thức có giá trị bình phương bằng chính nó thì được gọi là đa thức lũy đẳng, ký hiệu e x( ) [6]

0

( )

n i n

Bổ đề 1.2: Cho f x( )  2[ ] / (x x n 1),

1 0

( )

n i n

Định nghĩa 1.9: Lũy đẳng nguyên thủy là các đa thức chứa các đơn thức với

số mũ thuộc C i Tập các lũy đẳng nguyên thủy với phần tử 0 tạo nên vành lũy đẳng [7]

1.3.1 Mã cyclic truyền thống

1.3.1.1 Ideal của vành đa thức

Định nghĩa 1.10: Ideal I của vành đa thức gồm tập các đa thức a x( ) là bội của một đa thức g x( ) thỏa mãn [7]:

+ g x ( ) | ( xn 1) (g x( ) là ước của ( xn 1))

+ deg ( )g x  r min deg ( )a x với a x( )  I, ( )a x  0

Ký hiệu Ideal trong vành đa thức là I g x( ) Với mọi

0

( )

r i i i

Mã cyclic được định nghĩa theo một trong hai cách dưới đây:

Định nghĩa 1.11: Mã cyclic ( , )n k là Ideal I g x( ) của vành đa thức

2 [ ]/( n 1)

x x  [7]

Trong đó, n là bậc của đa thức x n 1 (cũng là độ dài từ mã), r là bậc của đa thức sinh g x( ) và k n r (cũng là số bit thông tin của từ mã)

Định nghĩa 1.12: Mã cyclic là một bộ mã tuyến tính có tính chất sau: Nếu

( )

a x là một từ mã thì dịch vòng của a x( ) cũng là một từ mã thuộc bộ mã này [7]

Đa thức g x( )được gọi là đa thức sinh của mã cyclic Vì Ideal ( )g x chứa tất

cả các bội của g x( ) nên nếu a x( )g x( ) thì a x g x ( ) ( ) và hiển nhiên: x g x g x ( ) ( )

1.3.1.3 Ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã cyclic

Vì mã cyclic ( , )n k là một mã tuyến tính nên có thể mô tả nó thông qua ma trận sinh G chứa k véc tơ hàng độc lập tuyến tính Ma trận G được viết như sau:

1

( ) ( )

( )

k

g x

x g x G

( )

n x

h x

g x



Đa thức h x( ) được gọi là đa thức kiểm tra

Vì g x h x ( ) ( ) 0 mod (  xn 1) nên các đa thức g x( ) và h x( ) được gọi là các đa thức trực giao

Ta có

0

( )

k j j j

* ( )

r

h x

x h x H

Đặc điểm của mã cyclic:

- Mã cyclic được xây dựng trên các Ideal của vành đa thức nên số các mã cyclic bằng số các Ideal trên vành đa thức

- Số các Ideal phụ thuộc vào phân tích của nhị thức x n 1 thành tích của các

đa thức bất khả quy

- Khi biểu diễn một bộ mã cyclic thì thường dưới dạng đa thức sinh g x  

của bộ mã, từ g x có thể tạo ra ma trận sinh   k hàng n cột Gk n để tạo ra

mã cyclic hệ thống và không hệ thống

Các phương pháp giải mã cho mã cyclic [7]: dùng thuật toán Megrit để giải

mã theo thuật toán dịch vòng; giải mã theo thuật toán Berlekamp; giải mã dựa vào biến đổi Fourier trên trường hữu hạn; dùng các hệ tổng kiểm tra theo phương pháp giải mã ngưỡng

Các mạch lập mã và giải mã cho mã cyclic thường là các mạch nhân hoặc mạch chia bằng các bộ ghi kết hợp với mạch cộng nhị phân

Ưu điểm của mã cyclic [7]:

- Có cấu trúc tường minh nên dễ thực hiện về mặt kĩ thuật Thiết bị mã hóa và giải

mã đơn giản nhờ sử dụng tính chất dịch vòng của từ mã

- Có nhiều phương pháp giải mã hiệu quả

- Có thể xây dựng bộ mã có khả năng sửa lỗi với số lượng tùy ý

Do có những ưu điểm nổi bật như trên mà mã cyclic được sử dụng trong nhiều thủ tục truyền tin thực tế [7] Một trong các loại mã hay được sử dụng trong các kênh thông thường hiện nay là mã cyclic-RC với các đa thức sinh có bậc khác nhau

từ RC-4 đến RC-32 [74]

Nhược điểm của mã cyclic [1], [7]: Do tính hạn chế về cấu trúc nên số các bộ

mã xây dựng được trên một phân hoạch vành bị hạn chế bởi với một số giá trị của

n có rất ít các Ideal Đặc biệt, với vành đa thức có hai chu trình (n 5,11,13,19, ) chỉ

có thể xây dựng được hai bộ mã cyclic tầm thường là mã ( ,n n 1) và ( ,1)n Với mỗi bộ mã cyclic thì chỉ có duy nhất một phương án thiết kế mạch mã hoá và giải

mã, hơn nữa tốc độ mã hoá và giải mã chậm, cụ thể là cần phải có đúng n nhịp để tạo ra được bộ mã  n k và giải mã thì cần , 2n xung nhịp

Dựa vào một số giá trị n có tính chất đặc biệt, mã cyclic đã tạo được một số loại mã riêng như mã cyclic Hamming, mã BCH, mã tựa cyclic,… [7]

1.3.2 Một số mã tuyến tính khác

Mã cyclic Hamming

Mã Hamming biểu diễn dưới dạng đa thức được gọi là mã cyclic Hamming [7] Các bộ mã này có các đa thức sinh là các đa thức nguyên thủy, một phần tử nguyên thủy bất kì có thể là nghiệm của đa thức mã Trong thực tế, nếu mã cyclic Hamming biểu diễn dưới dạng các phần tử 𝛼 là nghiệm trên trường hữu hạn thì ma trận kiểm tra 𝐻 có thể xây dựng trên trường hữu hạn tương ứng Mặc dù mã

Hamming là một mã hoàn thiện đạt đến giới hạn Hamming nhưng nhược điểm của

nó là chỉ sửa được một lỗi

Mã BCH

Mã BCH là một bộ mã được đề cập tới nhiều do có được những ưu điểm sau [7]: Có thể tạo ra các bộ mã có độ dài mã 𝑛 cũng như tốc độ mã 𝑅 = 𝑘/𝑛 đa dạng, phong phú; Là loại mã tuyến tính rất hiệu quả; Có thuật toán giải mã đại số tổng quát Với mã BCH tổng quát, ta có hệ:

- 𝛿: là khoảng cách mã theo theo thiết kế (định trước)

Để giải mã cho mã BCH, cần phải giải quyết được hai vấn đề chính:

- Xác định được vị trí bit sai

- Xác định được giá trị của bit sai

- Tính syndrome (lập hệ các tổng kiểm tra cho từ mã thu được), lập hàm đối xứng cơ sở dựa trên các vị trí sai

- Tính các số định vị sai

- Tính giá trị của biên độ sai

Ngoài các nhược điểm chung như mã cyclic, mã BCH còn có nhược điểm nữa

là việc xác định các đa thức sinh tạo mã g x rất khó khăn, vì theo định nghĩa, mã  

BCH muốn sửa được t sai thì đa thức sinh của nó phải là bội số chung nhỏ nhất của các đa thức có 2t nghiệm liên tiếp là    , 2, 2t, với  là số nguyên tố có bậc n) Với mỗi giá trị khác nhau của m thì các đa thức chứa nghiệm lại khác nhau, dẫn đến việc tìm đa thức sinh g x rất khó  

Mã tựa cylic (Quasi cyclic)

Mã tựa cylic là một biến thể của mã cyclic, được nghiên cứu đầu tiên bởi Townsend R.L vào năm 1967 [75] Theo Townsend và Weldon, mã khối tuyến tính

  n k , kích thước nmn0 và k mk0 được gọi là mã tựa cyclic nếu dịch vòng từ

mã đi n0 ký hiệu thì có thể thu được từ mã khác

Những năm gần đây, cùng với sự tiến bộ của công nghệ chế tạo vật liệu bán dẫn, các nhà khoa học tiếp tục nghiên cứu và phát triển các mã tựa cyclic có hướng tiếp cận với xu thế nghiên cứu hiện tại của thế giới, trong đó nổi bật là mã quasi cyclic LDPC [56], [67], [68]

Với đặc điểm bất biến với phép quay nên mã tựa cyclic có thể dễ dàng thực hiện trong việc lập các mạch mã hóa và giải mã Hầu hết các công trình nghiên cứu

về mã tựa cyclic đều chưa đưa ra được một phương pháp tổng quát nào để tạo ra được mã tựa cyclic tối ưu mà chỉ là công bố các kết quả cụ thể tìm được

1.3.3 Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính

Mã cyclic là một mã tuyến tính n k d có đặc điểm chung nổi bật là khả năng , , 0

lựa chọn mã khá phong phú, tuy nhiên để có thể thực hiện việc lựa chọn các bộ mã tốt thỏa mãn được định lý mã hóa thứ hai của Shanon, các nhà nghiên cứu về mã sửa lỗi đã xây dựng một bộ các tiêu chuẩn giới hạn để xác định và lựa chọn các bộ

mã tốt, trong đó phổ biến là ba giới hạn cơ bản là: Griesmer, Plotkin, Hamming [7], [35] Như vậy, tiêu chí xây dựng mã cyclic tốt gắn liền với việc đánh giá bộ mã tiến tới một trong số các giới hạn này

Giới hạn Griesmer

Với mã tuyến tính nhị phân, giới hạn Griesmer được xây dựng theo công thức:

0 2

k i i

d n

d n

n d





Giới hạn Plotkin được xây dựng trong trường hợp cố định độ dài từ mã n và

k dấu thông tin, yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách cực tiểu d

Trường hợp tổng quát đối với mã tuyến tính q phân, giới hạn Plotkin được xây

dựng theo công thức: . 1

1

k k

n q d q

C





Giới hạn Hamming được xây dựng trong trường hợp cố định độ dài từ mã n

và số lượng t sai có thể sửa được cho trước, xác định độ thừa của từ mã r n k là nhỏ nhất (tương đương với việc xác định số dấu thông tin k lớn nhất)

Mã đạt được giới hạn Hamming được gọi là mã hoàn thiện

1.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ 1.4.1 Nhóm nhân cyclic

Định nghĩa 1.13: Nhóm nhân cyclic (CMG-Cyclic Multiplicate Group) trong

vành đa thức là tập hợp các phần tử bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh Trong vành đa thức có nhiều nhóm nhân mỗi nhóm nhân có thể gồm nhiều nhóm nhân cyclic, số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành [6]

2 3{ , , , m}

Trong đó:

A là nhóm nhân cyclic

 là phần tử sinh (đa thức sinh)

m là cấp của nhóm nhân, cũng chính là cấp của phần tử sinh  Cấp của nhóm là tổng số các phần tử của nhóm

Phần tử đơn vị của nhóm chính là một lũy đẳng e x( ) có cấp bằng 1

1.4.1.1 Nhóm nhân cyclic đơn vị

Định nghĩa 1.14: Nhóm nhân cyclic đơn vị là một nhóm nhân bao gồm mọi

đơn thức có trong vành và nó có cấp là n Ký hiệu là 2 1

1.4.1.2 Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh a x( )

Định nghĩa 1.15: Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh là đa thức a x( ) bao gồm các phần tử là lũy thừa của phần tử sinh và có thể viết dưới dạng sau [7]:

( ), ( ), ( ), , m( )

Trong đó: m là cấp của a x( )

1.4.1.3 Nhóm nhân cyclic đối xứng

Bổ đề 1.3: (Nhóm nhân cyclic đối xứng)

Xét a x là một phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A,   a x là phần tử sinh  

của nhóm nhân cyclic A ( A được gọi là đối xứng của nhóm nhân A) [19] Ta có:

1.4.1.4 Cấp của đa thức và phân bố đa thức theo cấp trong CMG

a) Khái niệm cấp của đa thức

Định nghĩa 1.16: Cấp của đa thức ( ) 2[ ] / ( n 1)

a x  x x  (ký hiệu ord a x( )) là số nguyên dương m nhỏ nhất thỏa mãn [59]:

( ) m ( ) mod ( n 1)

a x  a x x  hoặc a x( )m e x( ) mod (x n 1) (1.21) Trong đó e x( ) là lũy đẳng trong vành, thỏa mãn e x ( )  e x2( )

Như vậy, a x( ) tạo nên một nhóm cyclic cấp m trong nhóm nhân của vành

- Nếu n chẵn và có dạng n  2 (2s k  1)thì max ord a x ( ( )) 2 (2  s m  1)

Trong đó m  max deg ( ) f xi

Ví dụ 1.4: Xét các nhóm nhân trong vành 9

2 [ ] / (x x  1)

Do n9 nên vành này là vành cơ sở Số Ideal trong vành này là 2t 1

M   , với t là số đa thức bất khả quy trong phân tích nhị thức 9

b) Phân bố đa thức theo cấp của đa thức trên CMG

Bổ đề 1.4: Trong một nhóm nhân cyclic cấp m, cấp của đa thức thứ k bằng [44]:

gcd ,

k

m m

m k

Hệ quả: Trong một nhóm nhân cyclic cấp m thì:

+ Các đa thức tại vị trí thứ k nguyên tố với m thì có cấp bằng m, nghĩa là

 

GCD m k, 1 thì có cấp bằng m (hay mk  m)

thức này cùng với đa thức thứ 15 tạo thành nhóm nhân con {(023), (014), (0)}

Bổ đề 1.5: Số các đa thức đạt cấp cực đại trên vành được tính bằng  ( ).m N , với m là cấp cực đại và N là số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (nghĩa

là không có nhóm nhân nào là hoán vị của nhóm nhân khác)

Ví dụ 1.6: Xem xét các đa thức trên vành 5

Số đa thức đạt cấp cực đại là  15 *2 16 Ta có 16 đa thức đạt cấp cực đại: (012), (024), (034), (123), (013), (134), (234), (124), (01), (02), (04), (34), (03), (23), (24), (12), (13)

1.4.2 Cấp số nhân cyclic

Xét vành đa thức 2[ ] / ( n 1)

x x  với n lẻ, giả sử a x( )là số hạng đầu tiên của cấp số nhân cyclic và q x( )là công bội của cấp số nhân

Định nghĩa 1.17: Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions)

trên vành đa thức là một tập hợp con có dạng sau [6]:

( , )a q ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) m ( )

A  a x a x q x a x q x a x q  x (1.23) Trong đó: m là số các số hạng khác nhau của cấp số nhân

a x( )là số hạng đầu của cấp số nhân

A  q x q x q  x (với q x0( )  q xm( ) 1  ) là cấp số nhân cyclic cấp m

Như vậy, trong vành đa thức 2[ ] / ( n 1)

x x  , nếu chọn số hạng đầu a x( )và hạt nhân phân hoạch q x( ) khác nhau thì sẽ tạo ra nhiều kiểu phân hoạch khác nhau của vành, do đó sẽ có các cấp số nhân cyclic tương ứng để xây dựng được các mã cyclic

có cấu trúc khác nhau với đặc tính sửa lỗi tốt

1.4.3 Phân hoạch vành đa thức

Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia các phần

tử trong vành đa thức thành các tập (hay các lớp kề) không trùng nhau Các phần tử

sinh của nhóm nhân sinh được gọi là các hạt nhân của phân hoạch Trong mỗi phân hoạch vành đa thức, các lớp kề của nó là các cấp số nhân cyclic với cùng một công bội Dựa vào các lớp kề này ta có thể tạo được mã LCC và các mã cyclic khác nhau Trong vành đa thức, số phân hoạch là khá lớn nên có thể xây dựng được nhiều mã cyclic có đặc tính sửa lỗi tốt

1.4.3.1 Các bước phân hoạch vành đa thức

Để phân hoạch một vành đa thức ta thực hiện theo các bước sau đây [13]:

Bước 1: + Chọn một phần tử sinh ( ) 2[ ] / ( n 1)

a x  x x  + Xây dựng nhóm nhân cyclic: A  { ( ), a x ii  1, 2, , } m , trong đó: m ord ( )a x

+ S  A;

Bước 2: + Chọn ( ) { 2[ ] / n 1 \ }

b x  x x  S + Xây dựng cấp số nhân cyclic:

( ) { ( ) ( ),i 1, 2, , }

+ SS B Bước 3: Lặp lại bước 2 cho đến khi S 2[ ] / (x x n 1)

Thông số m là cấp của a x( ) (ký hiệu ord ( )a x ) Giá trị m chỉ có thể bằng

max ord ( )a x hoặc ước số của max ord ( )a x

Do vành đa thức có cấu trúc đối xứng, một nửa vành gồm các phần tử có trọng

số lẻ, một nửa vành gồm các phần tử có trọng số chẵn Vì vậy, khi phân hoạch ta chỉ cần tìm các phần tử có trọng số lẻ của vành rồi có thể dễ dàng suy ra các phần

tử chẵn (với n lẻ)

Để xây dựng được tất cả các nhóm nhân của vành, ta thực hiện các bước sau:

 Xác định tất cả các đa thức lũy đẳng trong vành, trên cơ sở phân tích các chu trình

 Chọn các đa thức lũy đẳng có trọng số lẻ để xây dựng các nhóm nhân chứa chúng

 Xây dựng tất cả các nhóm nhân cyclic có thể có của vành Tùy theo từng lũy đẳng mà mỗi lũy đẳng có thể tham gia trong nhiều nhóm nhân

 Lấy đối xứng tất cả các nhóm nhân có chứa các phần tử có trọng số lẻ sẽ tạo được tất cả các nhóm nhân có chứa các phần tử có trọng số chẵn

1.4.3.2 Phân hoạch vành đa thức suy biến và không suy biến

Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia các phần

tử trong vành thành các tập không trùng nhau Có nhiều dạng phân hoạch vành đa thức khác nhau, song dạng phân hoạch chung nhất là phân hoạch suy biến và phân hoạch không suy biến

Định nghĩa 1.18: Phân hoạch vành đa thức được gọi là không suy biến nếu

phân hoạch bao gồm tất cả các phần tử khác 0 trong vành đa thức Ngược lại, phân hoạch là phân hoạch suy biến [13]

Bổ đề 1.6: Trong một phân hoạch không suy biến tùy ý, số lớp kề trong phân

hoạch xác định theo biểu thức [13]:

( ( ), )

2 2

1 ( ( ))

* Điều kiện để phân hoạch không suy biến

Định lý 1.3: Điều kiện cần và đủ để phân hoạch vành không suy biến là nhóm

nhân sinh của phân hoạch có lũy đẳng bằng 1 [13]

Bổ đề 1.7: Số kiểu phân hoạch không suy biến khác nhau bằng số các bậc khác

nhau của các phần tử trong vành (trừ các phần tử lũy đẳng có bậc là 1), ký hiệu là

M [13]

Số kiểu phân hoạch không suy biến khác nhau chính là số ước khác nhau của giá trị cấp lớn nhất của phần tử a x( ) (maxord a x ( )  [25])

Kết quả tính số kiểu phân hoạch không suy biến M của một số vành được thống kê trong Bảng 1.2

Bảng 1.2 Số kiểu phân hoạch không suy biến M của một số vành

n maxord a x ( )  Biểu diễn maxord a x ( )  dưới

Các đa thức sinh g x( )tương ứng với mỗi Ideal được lập từ tổ hợp các đa thức

bất khả quy trong phân tích của nhị thức x n + 1

f x n





t i m i







Bổ đề 1.9: Tổng số các kiểu phân hoạch có trong một vành đa thức (ký hiệu là

C) được xác định bởi biểu thức: CM I [30]

Tổng số các kiểu phân hoạch C của một số vành 2[ ] / ( n 1)

x x  khác nhau như trong trong Bảng 1.3

Bảng 1.3 Tổng số các kiểu phân hoạch của vành 2[ ] / ( n 1)

Như vậy, trong một vành đa thức 2[ ] / (x x n 1), với mỗi giá trị n thì số kiểu

phân hoạch cũng khá lớn, tạo ra khả năng lớn để chọn dạng mã cyclic có đặc tính sửa lỗi tốt Trong mỗi dạng mã đã xác định, tiến hành lựa chọn các mã sửa lỗi tối

ưu để sử dụng

1.4.3.3 Các kiểu phân hoạch

a) Phân hoạch chuẩn

Phân hoạch chuẩn hay phân hoạch theo I – nhóm nhân cyclic đơn vị

{ ,( ) ,( ) ,( ) ,1}n