Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)
Trang 1HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
NGUYỄN TRUNG HIẾU
NHÓM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC
Trang 2Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TS Nguyễn Bình
TS Nguyễn Ngọc Minh
Phản biện 1: PGS.TS Đỗ Quốc Trinh
Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Hiếu Minh
Phản biện 3: PGS.TS Đặng Văn Chuyết
Luận án sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Vào lúc: giờ ngày tháng năm ……
Có thể tìm hiểu luận án tại:
Thư viện Quốc gia Việt Nam
Thư viện Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Trang 3đó thôi thúc nghiên cứu sinh nghiên cứu sâu hơn lý thuyết về mã cyclic cục bộ (mã cyclic được xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic), tìm hiểu, chứng minh mối quan hệ có thể tồn tại giữa mã cyclic
và mã cyclic cục bộ
Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là góp phần hoàn thiện lý thuyết và thực nghiệm về nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên các vành đa thức, khảo sát và chứng minh mối quan hệ giữa mã cyclic cục bộ và mã cyclic truyền thống Trên cơ sở kết quả nghiên cứu lý thuyết đạt được sẽ đề xuất một số ứng dụng có thể về mã sửa lỗi và mật mã trong các hệ thống truyền thông
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức
Phạm vi nghiên cứu của luận án này được giới hạn trong việc nghiên cứu mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với
mã cyclic truyền thống, cấp của đa thức và phương pháp xây dựng nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức, trên cơ sở đó có thể đề xuất một số mã cyclic tốt và phương pháp hiện thực hóa các mã cyclic trên FPGA
Phương pháp và công cụ nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu của đề tài là phân tích và tổng hợp dựa vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số, lý thuyết mã hóa, lý thuyết xác suất,
Luận án sử dụng các công cụ toán học, kết hợp với việc tính toán,
mô phỏng trên máy tính và các chương trình phần mềm xử lý (C++, Matlab, VHDL, Excel)
Trang 4Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Những kết quả trong luận án này góp phần phát triển hoàn thiện lý thuyết mã cyclic, mã cyclic cục bộ nói riêng và lý thuyết mã sửa lỗi nói chung Các đóng góp chính của Luận án:
- Kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức thông qua việc đề xuất phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại
- Chứng minh sự tương đương giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống
- Đề xuất một số bộ mã cyclic tốt xây dựng trên vành đa thức
Cấu trúc của Luận án
Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương nội dung Trong đó, Chương 1 trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu,
lý thuyết cơ bản về vành đa thức, mã cyclic làm cơ sở cho các nội dung nghiên cứu của luận án Trong Chương 2, luận án tập trung trình bày các kết quả nghiên cứu mới và hai đóng góp quan trọng của Luận án là
đề xuất phương pháp kiến thiết các nhóm nhân cyclic có cấp cực đại
thông qua việc xác định cấp của đa thức với nhiều hướng tiếp cận; chứng minh mối quan hệ tương đương giữa mã cyclic truyền thống với
mã cyclic xây dựng trên nhóm nhân, cấp số nhân trên vành đa thức [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C4], [C5] Ở Chương 3, Luận án trình bày phương pháp tìm mã cyclic tốt và danh sách một số mã cyclic tốt được đề xuất, cũng như mô phỏng đánh giá bộ mã, đề xuất phương pháp xây dựng bộ
mã trên cấu kiện phần cứng FPGA, ở cuối chương luận án trình bày ứng dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong việc làm khóa một
số hệ mật [J1], [J6], [C1], [C2]
Trang 5CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU
Tóm tắt: Nội dung của chương trình bày lý thuyết tổng quan về
vành đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic và mã cyclic Các tiêu chuẩn đánh giá mã sửa lỗi cũng được giới thiệu trong chương này Chương này cũng sẽ tập trung khảo sát các nghiên cứu liên quan đến
mã cyclic để từ đó tìm ra các hạn chế của các nghiên cứu trước đây và
đề xuất hướng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và phương thức tiếp cận của luận án
1.1 GIỚI THIỆU CHUNG
Phần này trình bày tổng quan về lịch sử phát triển của lý thuyết mã hoá, mã sửa lỗi, mã tuyến tính, mã cyclic và đề cập đến mã cyclic xây
dựng trên vành đa thức
1.2 VÀNH ĐA THỨC
Phần này đề cập đến các khái niệm cơ bản về vành đa thức, phép tính trên vành đa thức, đa thức bất khả quy, đa thức đối xứng, vành đa thức có hai lớp kề cyclic Tiếp đến là các nội dung liên quan đến chu trình, lũy đẳng, đặc biệt bổ đề 1.2 đề cập đến tính chất và hệ quả về lũy đẳng nuốt được sử dụng cho các chứng minh kết quả chính của luận án
1.3 MÃ TUYẾN TÍNH
Phần này đưa ra khái niệm về mã tuyến tính, tiếp theo trình bày về
mã cyclic, một số mã có tính chất tương tự có thể xây dựng trên vành
đa thức, và một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính phổ biến
1.3.1 Mã cyclic truyền thống
1.3.2 Một số mã tuyến tính khác
1.3.3 Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính
1.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ
Phần này trình bày về lý thuyết về nhóm nhân cyclic, nhóm nhân cyclic đối xứng, cấp của đa thức và phân bố đa thức theo cấp trong nhóm nhân cyclic Tiếp đến là các nội dung liên quan đến cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức và mã cyclic cục bộ
1.4.1 Nhóm nhân cyclic
Nhóm nhân cyclic trong vành đa thức là tập hợp các phần tử bằng lũy thừa của một phần tử gọi là phần tử sinh Trong vành đa thức có
Trang 6nhiều nhóm nhân mỗi nhóm nhân có thể gồm nhiều nhóm nhân cyclic,
số nhóm nhân bằng số các lũy đẳng có thể có trong vành
a x là phần tử sinh của nhóm nhân cyclic A (A được gọi là đối
xứng của nhóm nhân A) Ta có:
1.4.3 Phân hoạch vành đa thức
Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia các phần tử trong vành đa thức thành các tập (hay các lớp kề) không
Trang 7trùng nhau Các phần tử sinh của nhóm nhân sinh được gọi là các hạt nhân của phân hoạch Trong mỗi phân hoạch vành đa thức, các lớp kề của nó là các cấp số nhân cyclic với cùng một công bội Dựa vào các lớp kề này ta có thể tạo được mã LCC và các mã cyclic khác nhau Trong vành đa thức, số phân hoạch là khá lớn nên có thể xây dựng được nhiều mã cyclic có đặc tính sửa lỗi tốt
Các kiểu phân hoạch vành đa thức phổ biến:
a) Phân hoạch chuẩn
b) Phân hoạch cực đại
c) Phân hoạch cực tiểu
d) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số e) Phân hoạch vành thành các phần tử có cùng tính chẵn lẻ của trọng số
f) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo h(x)
1.4.4 Mã cyclic cục bộ trên vành đa thức
Mã cyclic cục bộ là một mã tuyến tính có các dấu mã là một tập con không trống tuỳ ý các lớp kề trong phân hoạch của vành đa thức theo một nhóm nhân cyclic A
Nhận xét:
- Nếu chỉ chọn 1 lớp kề, khi đó mã LCC trở thành mã cyclic
- Nếu các lớp kề được chọn có chứa nhóm nhân cyclic đơn vị
i, 1, 2, 3
Tập các trưởng lớp kề tạo mã sẽ mô tả đầy đủ mã LCC
Có hai cách biểu diễn mã cyclic cục bộ phổ biến là: a) Biểu diễn theo trưởng lớp kề; b) Biểu diễn theo ma trận sinh
Hai lớp mã LCC phổ biến là: a) Mã cyclic cục bộ tự trực giao (OLCC); b) Mã LCC có khả năng trực giao (OALCC)
1.5 HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN
Trên thế giới, việc nghiên cứu cấu trúc đại số cho các cấu trúc mã hiện nay vẫn đang được nghiên cứu và hoàn thiện như mã LDPC, mã Turbo nhằm mục đích tối ưu hóa các mã kênh, mã truyền tin trong các mạng thông tin di động thế hệ mới Đối với mã cyclic, một số hướng
Trang 8nghiên cứu trên thế giới hiện nay đã khá hoàn thiện và hiện đang xem xét một số giới hạn của mã cyclic, đánh giá trọng số của mã cyclic, đề xuất phương án giải mã tối ưu cho mã cyclic Một số nghiên cứu đề cập đến mã tuyến tính và đặc tính của các đa thức sinh dựa trên cấu trúc trellis, đề xuất xây dựng mã khác dựa trên mã cyclic Hiện nay các công trình nghiên cứu đề cập đến mã cyclic đều đang tìm thêm các ứng dụng dựa trên tính chất dịch vòng của mã cyclic ví dụ tính các chuỗi nhảy tần tối ưu trong thông tin di động, xây dựng cấu trúc đại số mới để hình thành mã quasi cyclic, hay quasi cyclic LDPC, hiện thực hóa các mã cyclic trên các cấu kiện phần cứng Tuy nhiên, việc nghiên cứu các mã cyclic còn chưa chặt chẽ và mang tính tổng thể đối với vành đa thức
Ở Việt Nam, vào năm 1987 đã bắt đầu một hướng nghiên cứu mới
về mã sửa lỗi đó là mã cyclic cục bộ (LCC) được thực hiện trênh vành
số Tuy nhiên chỉ tới khi được xây dựng trên các vành đa thức vào năm
1996 các nghiên cứu về mã LCC mới được thúc đẩy mạnh mẽ và thu được nhiều kết quả khích lệ về: phân hoạch vành đa thức, mã LCC tự trực giao, mã LCC có khả năng trực giao, mã LCC đối xứng và tự đối xứng, các mã cyclic trên vành đa thức có 2 lớp kề cyclic, Các công trình này đều có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đạt được những thành tựu và kết quả nhất định Tuy nhiên, lý thuyết và thực nghiệm về mã cyclic cục
bộ và mã cyclic trên vành đa thức vẫn chưa hoàn thiện và có một số hướng nghiên cứu mở
Nghiên cứu sinh xác định luận án nghiên cứu việc kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại, mối quan hệ của mã cyclic cục bộ (mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức) với mã cyclic truyền thông, phương pháp lựa chọn mã cyclic tốt, ứng dụng của nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trong mã sửa lỗi, mật
mã, và khả năng thực hiện các bộ mã cyclic trên cấu kiện phần cứng
1.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG
Trong chương này, Luận án đã trình bày cơ sở lý thuyết cho các nội dung nghiên cứu của luận án bao gồm các nội dung về vành đa thức, vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tính chất đa thức, chu trình, luỹ đẳng,
mã tuyến tính, mã cyclic truyền thống, một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức và mã cyclic cục bộ Ở cuối chương trình bày hướng nghiên của của luận án và thảo luận một số kết quả nghiên cứu liên quan từ đó làm
rõ hơn nội dung nghiên cứu của luận án
Trang 9CHƯƠNG 2 CẤP CỦA ĐA THỨC VÀ QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN
THỐNG
Tóm tắt: Trong chương này, Luận án trình bày các kết quả nghiên
cứu về phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại, mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống góp phần bổ sung và hoàn thiện lý thuyết về mã cyclic Nội dung chương 2 được bố cục gồm ba phần và kết luận chương Phần đầu tiên giới thiệu chung về nội dung của chương và các vấn đề liên quan Nội dung tiếp theo trình bày một số kết quả nghiên cứu mới của tác giả về cấp của đa thức Phần cuối cùng trình bày kết quả nghiên cứu mới về mối quan hệ giữa nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống qua đó chứng minh được sự tương đương giữa nhóm nhân
và cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống
2.1 GIỚI THIỆU
Đến thời điểm hiện tại, chưa có công trình nào tập trung nghiên cứu và có kết quả đầy đủ về cấp của đa thức, về kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức Đặc biệt cũng chưa có tiêu chuẩn toán học nào cho việc tìm kiếm đa thức có cấp cực đại trên vành Chính điều này gợi mở cho nghiên cứu sinh hướng nghiên cứu về xác định cấp của đa thức, từ đó kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại trên vành đa thức Các kết quả nghiên cứu sẽ được trình bày chi tiết trong mục 2.2
Cũng trên cơ sở nghiên cứu về mã cyclic cục bộ (xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic trên vành đa thức), nghiên cứu sinh thấy rằng có thể tồn tại mối quan hệ giữa mã cyclic cục bộ (hay nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic) với mã cyclic truyền thống và việc chứng minh bằng toán học, khảo sát đánh giá mối quan hệ này hiện nay vẫn là một vấn đề mở cần được nghiên cứu Việc chứng minh được mối quan
hệ này sẽ góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ và tạo ra cầu nối giữa các cách xây dựng mã cyclic khác nhau Một kết quả nghiên cứu về vấn đề này được trình bày trong mục 2.3
Khi giải quyết được hai nội dung lý thuyết quan trọng như đề cập
sẽ góp thêm sở cứ cho việc đề xuất một sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa trên cấu trúc đại số và mã cyclic cục bộ
Trang 10vành nhỏ hơn (chi tiết tại chương 3) Như vậy, trong nội dung nghiên
cứu này luận án sẽ đề xuất một số phương pháp và thuật toán xác định cấp của đa thức trên vành, đồng thời cũng đề xuất đánh giá về xác suất chọn đa thức có cấp cực đại trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic
2.2.1 Đề xuất phương pháp xác định cấp của tích các đa thức
Hiện tại vẫn chưa có phương pháp chung để xác định cấp của đa thức trên vành, do đó trong nội dung này luận án tập trung trình bày một hướng nghiên cứu xác định cấp của đa thức thông qua việc tìm cấp của đa thức là tích của các đa thức thông qua việc đề xuất và chứng minh đầy đủ hai bổ đề liên quan
Bổ đề 2.1: Xét đa thức
1
( ) ( )
k i i
; trong đó f x i( ) là các đa thức có cấp tương ứng là 𝑚𝑖 Khi đó, cấp của g x ( ) thỏa mãn [J5]:
Trang 11Đặc biệt nếu gcdm m1, 21, thì ord f x f 1( ) 2( )x m m1 2
2.2.2 Đề xuất phương pháp xác định cấp của nhị thức
Nhị thức là một đa thức có biểu diễn khá đơn giản và có khả năng đạt cực đại trên vành đa thức Việc nghiên cứu cấp của nhị thức có thể tìm ra nhị thức đạt cấp cực đại hoặc làm cơ sở tìm đa thức có cấp phù hợp để nhân với nhị thức tạo thành đa thức có cấp cực đại Trong phần này, luận án trình bày kết quả nghiên cứu về cấp của nhị thức thông qua
đề xuất và chứng minh hoàn chỉnh một định lý, một bổ đề, đồng thời đề xuất một thuật toán xác định cấp nhị thức
Định lý 2.1: Cấp của nhị thức 1 j
x
trên 2[ ] / (x x n 1) được xác định [J3]:
Thuật toán xác định cấp của nhị thức (𝟏 + 𝒙) [J3]
VÀO: Giá trị n
RA: Cấp của nhị thức (1 + 𝑥) trên vành đa thức (order)
1 Chuyển nhị thức về mảng a x có kích thước bằng giá trị
Trang 12Thực hiện thuật toán xác định cấp của nhị thức (1 + 𝑥), thu được kết quả khảo sát trên một số vành đa thức [J3]
Từ kết quả chạy thuật toán, ta có thể nhận thấy rằng nhị thức (1 + 𝑥) có khả năng đạt cấp cực đại trên khá nhiều vành, do đó có thể lựa chọn làm phần
tử sinh để tạo ra nhóm nhân đạt cấp cực đại trên những vành mà nhị thức này đạt cấp cực đại Ngoài ra, ta có một phương pháp để tìm đa thức 𝑎(𝑥) có cấp cực đại từ nhị thức (1 + 𝑥), bằng cách chọn a x( ) 1 x ( ),f x
(với điều kiệngcdord f x ( ) , ord1x 1)
Kết quả nghiên cứu này góp phần khẳng định rằng việc xác định
đa thức đạt cấp cực đại trở nên khá dễ dàng, do đó bài toán quan trọng trong việc xây dựng các CMG có cấp cực đại đã có một hướng giải quyết mới và hiệu quả Kết quả này được công bố trong [J3], [J5]
2.2.3 Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành
Hai phương pháp được trình bày ở trên đã góp phần hoàn thiện lý thuyết và mở ra hướng tiếp cận mới Trong phần này nghiên cứu sinh tiếp tục trình bày một phương pháp thực nghiệm đó là đề xuất thuật toán tìm và liệt kê cấp của đa thức trên vành
Thuật toán sử dụng phương pháp vét cạn để xác định cấp của tất
cả các phần tử trên mỗi vành đa thức nên độ phức tạp thuật toán là khá cao, đặc biệt là đòi hỏi thời gian tính toán lớn và kém hiệu quả đối với các vành lớn Trên cơ sở các tính chất của nhóm nhân cyclic, đa thức
và cấp của đa thức đã trình bày trong chương 1, kết hợp một số bổ đề liên quan để xây dựng một thuật toán cải tiến giúp giảm độ phức tạp thuật toán, giảm thời gian tính toán trong việc tìm cấp của các đa thức
a) Ý tưởng chủ đạo của thuật toán là sử dụng các kết quả nghiên
cứu về cấp đa thức và CMG đối xứng, cụ thể:
(1) Tìm cấp cực đại của đa thức trên vành bằng việc kiểm tra chiều dài cực đại của các lớp kề cyclic (hay chính là các chu trình) Độ
phức tạp O(n)
(2) Áp dụng bổ đề 1.4 Tìm các CMG, các đa thức ở vị trí thứ 𝑘 với cấp
Trang 13b) Độ phức tạp thuật toán: Omax_order n N* * , N là số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (theo bổ đề 1.5 [C5])
c) Thuật toán cải tiến do nghiên cứu sinh đề xuất [C5]
INPUT: integer n
OUTPUT: order of all polynomials
1 Set all visited 0
2.6.2 opp_poly i_ 2n 1 poly i_
2.6.3 ord poly _icount/ GCD ,i count, and
ord opp poly i ord poly i
2.6.4 visited poly _i 1 and visited opp _poly_i 1
End for
End for
Sử dụng cùng cấu hình máy tính để chạy hai thuật toán, kết quả cho thấy thuật toán cải tiến do nghiên cứu sinh đề xuất đã rút ngắn thời gian tính toán một cách đáng kể so với thuật toán vét cạn, đặc biệt khi vành lớn hơn, thuật toán cải tiến có thời gian tính toán ngắn hơn đến hàng nghìn lần và thực hiện được với những vành lớn mà thuật toán vét cạn không thể thực hiện trong cùng một cấu hình máy tính [C5]