Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (tt)

Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)Nhóm nhân cyclic và mã cyclic trên vành đa thức (LÀ tiến sĩ)

BỘ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG NGUYỄN TRUNG HIẾU NHĨM NHÂN CYCLIC VÀ MÃ CYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ MÃ SỐ: 9520203 (mã cũ 62.52.02.03) TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT HÀ NỘI - 2017 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bình TS Nguyễn Ngọc Minh Phản biện 1: PGS.TS Đỗ Quốc Trinh Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Hiếu Minh Phản biện 3: PGS.TS Đặng Văn Chuyết Luận án bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Vào lúc: ngày tháng năm …… Có thể tìm hiểu luận án tại: Thư viện Quốc gia Việt Nam Thư viện Học viện Công nghệ Bưu Viễn thơng i MỞ ĐẦU Lý nghiên cứu Việc nghiên cứu truyền thống mã cyclic hồn chỉnh, nhiên loại mã có nhược điểm số lượng từ mã tạo hạn chế, độ dài mã cố định số giá trị cụ thể Trong năm trở lại phương pháp khác để xây dựng mã cyclic (gọi mã cyclic cục bộ) nghiên cứu dựa phân hoạch vành đa thức Về mặt lý thuyết tồn mối quan hệ mã cyclic cyclic cục bộ, điều thơi thúc nghiên cứu sinh nghiên cứu sâu lý thuyết mã cyclic cục (mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic), tìm hiểu, chứng minh mối quan hệ tồn mã cyclic mã cyclic cục Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án góp phần hồn thiện lý thuyết thực nghiệm nhóm nhân cyclic mã cyclic vành đa thức, khảo sát chứng minh mối quan hệ mã cyclic cục mã cyclic truyền thống Trên sở kết nghiên cứu lý thuyết đạt đề xuất số ứng dụng mã sửa lỗi mật mã hệ thống truyền thông Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận án đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic mã cyclic vành đa thức Phạm vi nghiên cứu luận án giới hạn việc nghiên cứu mối quan hệ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, cấp đa thức phương pháp xây dựng nhóm nhân cyclic có cấp cực đại vành đa thức, sở đề xuất số mã cyclic tốt phương pháp thực hóa mã cyclic FPGA Phương pháp công cụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu đề tài phân tích tổng hợp dựa vào cơng cụ tốn học, đặc biệt đại số, lý thuyết mã hóa, lý thuyết xác suất, Luận án sử dụng cơng cụ tốn học, kết hợp với việc tính tốn, mơ máy tính chương trình phần mềm xử lý (C++, Matlab, VHDL, Excel) ii Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Những kết luận án góp phần phát triển hoàn thiện lý thuyết mã cyclic, mã cyclic cục nói riêng lý thuyết mã sửa lỗi nói chung Các đóng góp Luận án: - Kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại vành đa thức thông qua việc đề xuất phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại - Chứng minh tương đương nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống - Đề xuất số mã cyclic tốt xây dựng vành đa thức Cấu trúc Luận án Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận ba chương nội dung Trong đó, Chương trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu, lý thuyết vành đa thức, mã cyclic làm sở cho nội dung nghiên cứu luận án Trong Chương 2, luận án tập trung trình bày kết nghiên cứu hai đóng góp quan trọng Luận án đề xuất phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại thơng qua việc xác định cấp đa thức với nhiều hướng tiếp cận; chứng minh mối quan hệ tương đương mã cyclic truyền thống với mã cyclic xây dựng nhóm nhân, cấp số nhân vành đa thức [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C4], [C5] Ở Chương 3, Luận án trình bày phương pháp tìm mã cyclic tốt danh sách số mã cyclic tốt đề xuất, mô đánh giá mã, đề xuất phương pháp xây dựng mã cấu kiện phần cứng FPGA, cuối chương luận án trình bày ứng dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic việc làm khóa số hệ mật [J1], [J6], [C1], [C2] CHƯƠNG TỔNG QUAN CÁC VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Tóm tắt: Nội dung chương trình bày lý thuyết tổng quan vành đa thức, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic mã cyclic Các tiêu chuẩn đánh giá mã sửa lỗi giới thiệu chương Chương tập trung khảo sát nghiên cứu liên quan đến mã cyclic để từ tìm hạn chế nghiên cứu trước đề xuất hướng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu phương thức tiếp cận luận án 1.1 GIỚI THIỆU CHUNG Phần trình bày tổng quan lịch sử phát triển lý thuyết mã hoá, mã sửa lỗi, mã tuyến tính, mã cyclic đề cập đến mã cyclic xây dựng vành đa thức 1.2 VÀNH ĐA THỨC Phần đề cập đến khái niệm vành đa thức, phép tính vành đa thức, đa thức bất khả quy, đa thức đối xứng, vành đa thức có hai lớp kề cyclic Tiếp đến nội dung liên quan đến chu trình, lũy đẳng, đặc biệt bổ đề 1.2 đề cập đến tính chất hệ lũy đẳng nuốt sử dụng cho chứng minh kết luận án 1.3 MÃ TUYẾN TÍNH Phần đưa khái niệm mã tuyến tính, trình bày mã cyclic, số mã có tính chất tương tự xây dựng vành đa thức, số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính phổ biến 1.3.1 Mã cyclic truyền thống 1.3.2 Một số mã tuyến tính khác 1.3.3 Một số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính 1.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC VÀ MÃ CYCLIC CỤC BỘ Phần trình bày lý thuyết nhóm nhân cyclic, nhóm nhân cyclic đối xứng, cấp đa thức phân bố đa thức theo cấp nhóm nhân cyclic Tiếp đến nội dung liên quan đến cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức mã cyclic cục 1.4.1 Nhóm nhân cyclic Nhóm nhân cyclic vành đa thức tập hợp phần tử lũy thừa phần tử gọi phần tử sinh Trong vành đa thức có nhiều nhóm nhân nhóm nhân gồm nhiều nhóm nhân cyclic, số nhóm nhân số lũy đẳng có vành A  { ,  ,  ,  m } (1.16) Bổ đề 1.3: Xét a  x  phần tử sinh nhóm nhân cyclic A, a  x  phần tử sinh nhóm nhân cyclic A ( A gọi đối xứng nhóm nhân A) Ta có:  A  a  x  mod  x   1 A  a i  x  mod  x n  1 i n (1.19) A  A ; a i  x    x  Cấp đa thức a ( x )  [ x ] / ( x n  1) (ký hiệu ord a( x) ) số nguyên dương 𝑚 nhỏ thỏa mãn:  a ( x)  m 1  a( x) mod ( x n  1)  a( x)   e( x) mod ( x n  1) (1.21) m Định lý 1.2: Xét vành đa thức Z [ x ] / x n  với x n    fi ( x) f i ( x ) đa thức bất khả quy, cấp cực đại đa thức a( x) xác định sau: - Nếu 𝑛 lẻ max ord (a( x))  2m  - Nếu 𝑛 chẵn, có dạng n  2s (2k  1) max ord (a( x))  2s (2m 1) Trong m  max deg fi ( x) Bổ đề 1.4 trình bày phân bố đa thức theo cấp nhóm nhân cyclic, bổ đề 1.5 nói số đa thức đạt cấp cực đại vành 1.4.2 Cấp số nhân cyclic Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) vành đa thức tập hợp có dạng sau: A( a ,q )  a ( x), a( x)q( x), a( x) q ( x), , a( x) q m 1 ( x) (1.23) 1.4.3 Phân hoạch vành đa thức Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất trình phân chia phần tử vành đa thức thành tập (hay lớp kề) không trùng Các phần tử sinh nhóm nhân sinh gọi hạt nhân phân hoạch Trong phân hoạch vành đa thức, lớp kề cấp số nhân cyclic với cơng bội Dựa vào lớp kề ta tạo mã LCC mã cyclic khác Trong vành đa thức, số phân hoạch lớn nên xây dựng nhiều mã cyclic có đặc tính sửa lỗi tốt Các kiểu phân hoạch vành đa thức phổ biến: a) Phân hoạch chuẩn b) Phân hoạch cực đại c) Phân hoạch cực tiểu d) Phân hoạch vành thành cấp số nhân có trọng số e) Phân hoạch vành thành phần tử có tính chẵn lẻ trọng số f) Phân hoạch vành thành cấp số nhân theo modulo h(x) 1.4.4 Mã cyclic cục vành đa thức Mã cyclic cục mã tuyến tính có dấu mã tập không trống tuỳ ý lớp kề phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân cyclic A Nhận xét: - Nếu chọn lớp kề, mã LCC trở thành mã cyclic - Nếu lớp kề chọn có chứa nhóm nhân cyclic đơn vị I   xi , i  1, 2,3  ta có mã LCC hệ thống Tập trưởng lớp kề tạo mã mơ tả đầy đủ mã LCC Có hai cách biểu diễn mã cyclic cục phổ biến là: a) Biểu diễn theo trưởng lớp kề; b) Biểu diễn theo ma trận sinh Hai lớp mã LCC phổ biến là: a) Mã cyclic cục tự trực giao (OLCC); b) Mã LCC có khả trực giao (OALCC) 1.5 HƯỚNG NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN ÁN VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN Trên giới, việc nghiên cứu cấu trúc đại số cho cấu trúc mã nghiên cứu hoàn thiện mã LDPC, mã Turbo nhằm mục đích tối ưu hóa mã kênh, mã truyền tin mạng thông tin di động hệ Đối với mã cyclic, số hướng nghiên cứu giới hoàn thiện xem xét số giới hạn mã cyclic, đánh giá trọng số mã cyclic, đề xuất phương án giải mã tối ưu cho mã cyclic Một số nghiên cứu đề cập đến mã tuyến tính đặc tính đa thức sinh dựa cấu trúc trellis, đề xuất xây dựng mã khác dựa mã cyclic Hiện cơng trình nghiên cứu đề cập đến mã cyclic tìm thêm ứng dụng dựa tính chất dịch vòng mã cyclic ví dụ tính chuỗi nhảy tần tối ưu thông tin di động, xây dựng cấu trúc đại số để hình thành mã quasi cyclic, hay quasi cyclic LDPC, thực hóa mã cyclic cấu kiện phần cứng Tuy nhiên, việc nghiên cứu mã cyclic chưa chặt chẽ mang tính tổng thể vành đa thức Ở Việt Nam, vào năm 1987 bắt đầu hướng nghiên cứu mã sửa lỗi mã cyclic cục (LCC) thực trênh vành số Tuy nhiên tới xây dựng vành đa thức vào năm 1996 nghiên cứu mã LCC thúc đẩy mạnh mẽ thu nhiều kết khích lệ về: phân hoạch vành đa thức, mã LCC tự trực giao, mã LCC có khả trực giao, mã LCC đối xứng tự đối xứng, mã cyclic vành đa thức có lớp kề cyclic, Các cơng trình có ý nghĩa mặt lý thuyết, đạt thành tựu kết định Tuy nhiên, lý thuyết thực nghiệm mã cyclic cục mã cyclic vành đa thức chưa hồn thiện có số hướng nghiên cứu mở Nghiên cứu sinh xác định luận án nghiên cứu việc kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại, mối quan hệ mã cyclic cục (mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức) với mã cyclic truyền thông, phương pháp lựa chọn mã cyclic tốt, ứng dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic mã sửa lỗi, mật mã, khả thực mã cyclic cấu kiện phần cứng 1.6 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, Luận án trình bày sở lý thuyết cho nội dung nghiên cứu luận án bao gồm nội dung vành đa thức, vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tính chất đa thức, chu trình, luỹ đẳng, mã tuyến tính, mã cyclic truyền thống, số tiêu chuẩn đánh giá mã tuyến tính, nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức mã cyclic cục Ở cuối chương trình bày hướng nghiên của luận án thảo luận số kết nghiên cứu liên quan từ làm rõ nội dung nghiên cứu luận án CHƯƠNG CẤP CỦA ĐA THỨC VÀ QUAN HỆ GIỮA NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG Tóm tắt: Trong chương này, Luận án trình bày kết nghiên cứu phương pháp kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại, mối quan hệ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống góp phần bổ sung hoàn thiện lý thuyết mã cyclic Nội dung chương bố cục gồm ba phần kết luận chương Phần giới thiệu chung nội dung chương vấn đề liên quan Nội dung trình bày số kết nghiên cứu tác giả cấp đa thức Phần cuối trình bày kết nghiên cứu mối quan hệ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống qua chứng minh tương đương nhóm nhân cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống 2.1 GIỚI THIỆU Đến thời điểm tại, chưa có cơng trình tập trung nghiên cứu có kết đầy đủ cấp đa thức, kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại vành đa thức Đặc biệt chưa có tiêu chuẩn tốn học cho việc tìm kiếm đa thức có cấp cực đại vành Chính điều gợi mở cho nghiên cứu sinh hướng nghiên cứu xác định cấp đa thức, từ kiến thiết nhóm nhân cyclic có cấp cực đại vành đa thức Các kết nghiên cứu trình bày chi tiết mục 2.2 Cũng sở nghiên cứu mã cyclic cục (xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức), nghiên cứu sinh thấy tồn mối quan hệ mã cyclic cục (hay nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic) với mã cyclic truyền thống việc chứng minh toán học, khảo sát đánh giá mối quan hệ vấn đề mở cần nghiên cứu Việc chứng minh mối quan hệ góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ tạo cầu nối cách xây dựng mã cyclic khác Một kết nghiên cứu vấn đề trình bày mục 2.3 Khi giải hai nội dung lý thuyết quan trọng đề cập góp thêm sở cho việc đề xuất sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa cấu trúc đại số mã cyclic cục 2.2 XÁC ĐỊNH CẤP CỦA ĐA THỨC Việc xác định cấp đa thức, đặc biệt cấp cực đại đa thức có ý nghĩa quan trọng lý thuyết mã hóa Nếu đa thức phần tử sinh nhóm nhân cyclic cấp đa thức cấp nhóm nhân, đa thức sử dụng làm khóa hệ mật góc độ cấp đa thức giúp xác định phần độ phức tạp hệ mật Ngoài ra, xác định cấp đa thức giúp mã cyclic tối ưu, hạ bậc đa thức để tạo mã cyclic tối ưu xây dựng vành nhỏ (chi tiết chương 3) Như vậy, nội dung nghiên cứu luận án đề xuất số phương pháp thuật toán xác định cấp đa thức vành, đồng thời đề xuất đánh giá xác suất chọn đa thức có cấp cực đại vành đa thức có hai lớp kề cyclic 2.2.1 Đề xuất phương pháp xác định cấp tích đa thức Hiện chưa có phương pháp chung để xác định cấp đa thức vành, nội dung luận án tập trung trình bày hướng nghiên cứu xác định cấp đa thức thông qua việc tìm cấp đa thức tích đa thức thông qua việc đề xuất chứng minh đầy đủ hai bổ đề liên quan k Bổ đề 2.1: Xét đa thức g ( x)   fi ( x) ; fi ( x) đa i 1 thức có cấp tương ứng 𝑚𝑖 Khi đó, cấp g ( x) thỏa mãn [J5]: ord  g ( x)  lcm  m1 , m2 , , mk  (2.1) Bổ đề 2.2: Xét f1 ( x), f ( x)  [ x] / ( xn  1) Cấp đa thức g ( x)  f1 ( x) f ( x) xác định sau [J5]: 1) Trường hợp 1: Xét hai đa thức f1 ( x)  a i ( x) f ( x )  a j ( x ) (hoặc f ( x )  a j ( x ) ), a( x)  CMG A cấp 𝑚 ord  f1 ( x) f ( x)   m gcd  m, (i  j )  (2.2) 2) Trường hợp 2: Nếu f1 ( x)  CMG A1 f ( x)  CMG A , với A1  A không đối xứng nhau, cấp tương ứng A1 , A2 m1 , m2 ord  f1 ( x) f ( x)   lcm  m1 , m2  (2.3) b) Độ phức tạp thuật toán: O  max_ order * n * N  , N số nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại độc lập (theo bổ đề 1.5 [C5]) c) Thuật toán cải tiến nghiên cứu sinh đề xuất [C5] INPUT: integer n OUTPUT: order of all polynomials Set all visited    For k from to ( 2n  ) 2.1 If visited  k   then continue 2.2 Convert k to polynomial f ( x) 2.3 Set g ( x)  f ( x) 2.4 Set count  2.5 While (1) 2.5.1 Set g ( x)  g ( x)* f ( x) 2.5.2 Convert inversely g ( x) to an integer M 2.5.3 stored count   M 2.5.3 If g ( x)  f ( x) then break the loop End while 2.6 For i from to count 2.6.1 poly _ i  stored i  2.6.2 opp _ poly _ i  2n   poly _ i 2.6.3 ord  poly _ i   count / GCD  i , count  , and ord  opp _ poly _ i   ord  poly _ i  2.6.4 visited  poly _ i   and visited  opp _ poly _ i   End for End for Sử dụng cấu hình máy tính để chạy hai thuật tốn, kết cho thấy thuật toán cải tiến nghiên cứu sinh đề xuất rút ngắn thời gian tính tốn cách đáng kể so với thuật toán vét cạn, đặc biệt vành lớn hơn, thuật tốn cải tiến có thời gian tính tốn ngắn đến hàng nghìn lần thực với vành lớn mà thuật tốn vét cạn khơng thể thực cấu hình máy tính [C5] 10 2.2.4 Xác suất lựa chọn đa thức có cấp cực đại Nhóm nhân cyclic có cấp cực đại vành đa thức có hai lớp kề cyclic sở để xây dựng mã cylic cục có ứng dụng hiệu viễn thông lĩnh vực bảo mật Có thể đánh giá khả tìm phần tử sinh đạt cấp cực đại vành đa thức có hai lớp kề cyclic thơng qua tính xác suất chọn theo công thức sau: p   2n 1  1 2n 1   n Số phần tử đạt cấp cực đại  (2.7) Số phần tử lựa chọn với 𝑛 số phần tử nhóm nhân cyclic đơn vị; 2n 1   n tổng số phần tử (trừ đơn thức lũy đẳng nuốt);   2n 1  1 hàm Phi-Euler Bảng 2.3 kết khảo sát xác suất tìm cấp cực đại phần tử vành đa thức có hai lớp kề cyclic 35 giá trị n Bảng 2.3: Kết khảo sát 35 giá trị n TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 n 11 13 19 29 37 53 59 61 67 83 101 107 131 139 163 173 173 p(n) ~0,5 ~0,586 ~0,42 ~0,534 ~0,494 ~0,378 ~0,529 ~0,65 ~0,35 ~0,53 ~0,658 ~0,45 ~0,66 ~0,575 ~0,559 ~0,530 ~0,529 ~0,529 TT 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 n 179 181 197 211 227 269 293 317 347 349 389 419 421 443 461 467 491 p(n) ~0,663 ~0,315 ~0,492 ~0,377 ~0,664 ~0,531 ~0,530 ~0,532 ~0,665 ~0,445 ~0,531 ~0,629 ~0,318 ~0,665 ~0,444 ~0,665 ~0,557 11 Từ bảng này, nhận thấy xác suất thấp 0,31 phần lớn xác suất 0,5 Trong chưa có tiêu chuẩn lựa chọn phần tử sinh có cấp cực đại việc đánh giá xác suất lựa chọn phần tử sinh kết khẳng định khả lựa chọn phần tử nguyên thủy (không phải đơn thức) đạt cấp cực đại thông thường đạt 50% Kết nghiên cứu cơng bố [J2] 2.3 QUAN HỆ GIỮA NHĨM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC VỚI MÃ CYCLIC TRUYỀN THỐNG Một số nghiên cứu trước dự đoán cho ví dụ số trường hợp riêng quan hệ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, nhiên chưa có cơng trình nghiên cứu đưa chứng minh toán học chặt chẽ cho trường hợp tổng quát mối quan hệ Trong nội dung luận án, nghiên cứu sinh đề xuất cách chứng minh toán học chặt chẽ cho mối quan hệ trường hợp tổng quát kết thực nghiệm công cụ mô mối quan hệ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức với mã cyclic truyền thống 2.3.1 Cơ sở toán học 2.3.1.1 Quan hệ phép nhân ánh xạ tuyến tính Rn 2.3.1.2 Một tính chất tích vơ hướng 2.3.2 Sự tương đương nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống Bổ đề 2.4: Mã cyclic cục xây dựng từ cấp số nhân cyclic mã cyclic truyền thống Mã cyclic xây dựng vành đa thức có bậc cấp cấp số nhân cyclic phân hoạch vành đa thức xây dựng cấp số nhân cyclic [J4] Việc chứng hồn chỉnh bổ đề 2.4 đưa đến khẳng định mã cyclic cục xây dựng từ cấp số nhân cyclic mã cyclic, từ mở phương án để xây dựng lớp mã cyclic Với phương án tiếp cận này, việc xây dựng mã cyclic (nhất với mã cyclic vành lớn) trở nên đơn giản hơn, ta cần khảo sát cấp số nhân cyclic vành nhỏ xây dựng mã cyclic vành lớn, vành lớn (số mũ 𝑛 lớn), việc phân tích giá trị (𝑥 𝑛 + 1) thành đa thức bất khả quy trở ngại cho việc xây dựng mã cyclic 12 2.3.3 Thuật tốn xác định nhóm nhân cyclic tương đương mã cyclic truyền thống Từ kết bổ đề 2.4,   cấp số nhân cyclic tương đương nhóm nhân cyclic, nhận định mã LCC xây dựng nhóm nhân cyclic tương đương với mã cyclic truyền thống Phần trình bày kết khảo sát đánh giá tương đương mã LCC xây dựng nhóm nhân cyclic mã cyclic truyền thống Thuật toán xác định mã cyclic truyền thống tương đương [C3] VÀO: a  x   Z [x] /  x n  1 RA: Mã cyclic truyền thống tương đương với CMG A  {ai ( x), i  1, 2, , m} Bước 1: - Xây dựng A  {ai ( x), i  1, 2, , m} - Đặt n  ord  a  x   - Lập ma trận mã LCC từ phần tử CMG A - Sử dụng thuật toán Gauss-Jordan để chuyển ma trận lập dạng ma trận hệ thống - Loại bỏ hàng (nếu có) ma trận mã, ma trận sinh G  n, k  Bước 2: - Chuyển đổi ma trận sinh G  n, k  dạng phần tử nhóm - Đặt h  x   A k  & k ; h  x   Z / ( x n  1) *  xn   - Tính g  x      h  x  - Từ đa thức sinh g  x  , ma trận mã tương đương với mã cyclic truyền thống Nghiên cứu sinh xây dựng chương trình phần mềm chạy thuật tốn xác định mã tương đương trình bày [C3] phụ lục luận án 13 2.4 MỘT CÁCH PHÂN LOẠI MÃ TUYẾN TÍNH MỚI Từ quan điểm xây dựng mã cyclic LCC, thực mô tả mã cyclic theo quan điểm xây dựng mã LCC dựa phân hoạch vành đa thức Nghiên cứu mã LCC mối quan hệ với mã cyclic nói riêng hệ thống mã tuyến tính xây dựng cấu trúc đại số nói chung, với dạng phân hoạch khác cho loại mã sửa lỗi khác nhau, hệ thống phân loại mã tuyến tính xây dựng cấu trúc đại số trình bày hình 2.3 [C4] Mã tuyến tính Khơng có cấu trúc Mã tuyến tính ngẫu nhiên Có cấu trúc Vành đa thức Z2[x]/xn+1 Vành ma trận Ma trận Cauchy Ma trận Vandermon Mã Goppa Mã BCH n chẵn n lẻ n Vành đồng dư Phân hoạch vành theo CMG Trên vành Mã cyclic theo Ideal I= Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch chuẩn LCC đa nhịp LCC đơn nhịp  Vành số  I  xi mod h  x  Mã cyclic nhịp x Mã cyclic AN Vành lớp liên hợp LCC Trên hai vành Phân hoạch cực đại Vành vành ước vành Hai vành LCC hỗn hợp Mã tựa LCC Mã cyclic với nhịp đa thức Hình 2.3 Sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa cấu trúc đại số mã LCC [C4] 2.5 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương trình bày kết nghiên cứu góp phần hồn thiện lý thuyết mã cyclic Các kết công bố cơng trình [J2], [J3], [J4], [J5], [C3], [C5] tập trung vào hai nội dung chính: 14 1) Kiến thiết nhóm nhân cyclic vành đa thức thông qua việc đề xuất phương pháp xác định cấp đa thức đa thức đạt cấp cực đại, đồng thời chứng minh hoàn chỉnh số bổ đề quan trọng, cụ thể: (a) Đề xuất phương pháp xác định cấp đa thức tích đa thức vành đa thức với đóng góp quan trọng đề xuất chứng minh hoàn chỉnh bổ đề 2.2 [J5]; (b) Đề xuất phương pháp xác định cấp nhị thức vành đa thức với đóng góp đề xuất chứng minh hoàn chỉnh bổ đề 2.3 [J3], [J5]; (c) Đề xuất thuật toán cải tiến để tìm liệt kê cấp đa thức vành đa thức [C5]; (d) Đánh giá xác suất tìm phần tử có cấp cực đại vành đa thức có hai lớp kề cyclic [J2] 2) Chứng minh tương đương nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, với việc trình bày chứng minh lý thuyết (bổ đề 2.4), xây dựng thuật tốn (thuật tốn 2.4), sau tiến hành khảo sát, đánh giá xây dựng phụ lục minh chứng cho tính tương đương [J4], [C3] Ở cuối chương, Luận án trình bày thảo luận sơ đồ phân loại mã tuyến tính dựa cấu trúc đại số mã cyclic cục bộ, góp phần khẳng định mối quan hệ mã cyclic với mã cyclic cục vai trò mã LCC hệ thống mã tuyến tính, mã sửa lỗi [C4] CHƯƠNG ỨNG DỤNG NHÓM NHÂN CYCLIC, CẤP SỐ NHÂN CYCLIC Tóm tắt: Các kết đạt chương sở để tiếp tục nghiên cứu ứng dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic mã sửa lỗi mật mã Một đặc điểm bật mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic có độ dài thay đổi có khả ứng dụng LTE, mã mạng Trong số nhóm nhân vành đa thức nhóm nhân có cấp cực đại có độ ngẫu nhiên phần tử cao sử dụng phần tử có cấp cao nhóm nhân cấp cực đại vành đa thức làm khóa cho số hệ mật Trong chương này, luận án trình bày phương pháp xây dựng mã cyclic, tiếp đến đề xuất số mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic gồm phương pháp tìm mã cyclic tốt, danh sách số mã cyclic tốt đề xuất, mô đánh giá mã, đồng thời đề xuất phương pháp xây dựng mã cấu kiện phần 15 cứng FPGA Nội dung cuối, luận án trình bày ứng dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic làm khóa cho số hệ mật 3.1 PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG MÃ CYCLIC 3.1.1 Phương pháp xây dựng mạch mã hóa Trên sở xác định nhóm nhân sinh, tạo cấp số nhân cyclic tương đương với lớp kề mới, phần tử sinh lớp kề (trưởng lớp kề) tương ứng số hạng đầu cấp số nhân cyclic Nếu gắn dấu thông tin cho nhóm nhân sinh, ta tạo mã LCC tương ứng với nhóm nhân Có hai cách chọn nhóm nhân sinh: + Cách thứ nhất: Chọn nhóm nhân đơn vị I, dấu thông tin gắn vào nhóm nhân đơn vị I để tạo mã + Cách thứ hai: Chọn nhóm nhân sinh nhóm nhân cyclic Chọn phần tử a( x) nhân với nhóm nhân sinh tạo cấp số nhân cyclic tương ứng với lớp kề tạo mã 3.1.2 Phương pháp xây dựng mạch giải hóa Có nhiều phương pháp giải mã cho mã cyclic LCC, số giải mã ngưỡng phương pháp hiệu có sơ đồ giải mã đơn giản Các phương pháp giải mã ngưỡng bao gồm: Giải mã ngưỡng theo đa số (MTD) tổng kiểm tra; Giải mã ngưỡng theo đa số biểu (MTD + 1); giải mã ngưỡng theo đa số biểu (MTD + 2) Các phương pháp giải mã ngưỡng sử dụng OCS, OACS, CS  liên hệ 3.2 ĐỀ XUẤT MỘT SỐ MÃ CYCLIC TỐT TRÊN VÀNH ĐA THỨC 3.2.1 Phương pháp tìm mã cyclic tốt Phần trình bày phương pháp tìm mã cyclic (n,k,d) tốt phù hợp theo tiêu chí đánh giá đề cập chương Các kết nghiên cứu liên quan đến mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic 3.2.1.1 Mã cyclic tối ưu xây dựng từ nhóm nhân, cấp số nhân cyclic Định lý 3.1: Mã cyclic (2𝑘 − 2, 𝑘) vành đa thức 𝑍2 [𝑥]/(𝑥 𝑘 + 𝑖 1) sử dụng tất đa thức khác không (trừ đa thức 𝑒0 (𝑥) = ∑𝑘−1 𝑖=0 𝑥 ) làm dấu mã mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer thỏa mãn giới hạn Plotkin, có khoảng cách mã 𝑑0 = 2𝑘−1 − [J6] Định lý 3.2: Mã cyclic (2𝑘−1 − 1, 𝑘) vành đa thức 𝑍2 [𝑥]/(𝑥 𝑘 + 1) với 𝑘 lẻ sử dụng tất đa thức trọng số lẻ (trừ đa 16 𝑖 thức 𝑒0 (𝑥) = ∑𝑘−1 𝑖=0 𝑥 ) làm dấu mã mã tối ưu đạt giới hạn Griesmer thỏa mãn giới hạn Plotkin, có khoảng cách 𝑑0 = 2𝑘−2 − [J6] Đối với mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic xây dựng mã sau: + Nếu cấp cực đại đa thức thuộc vành 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1) 𝑘−1 − chọn đa thức có cấp cực đại làm phần tử sinh mã + Nếu cấp cực đại đa thức thuộc vành 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1) không nhỏ 2𝑘−1 − chọn đa thức thuộc vành lớn (vành 𝑍2 /(𝑥 𝑝 + 1), với 𝑝 > 𝑘) có cấp với 2𝑘−1 − sau hạ bậc đa thức theo ℎ(𝑥) đa thức chọn làm phần tử sinh mã Việc hạ bậc đa thức theo ℎ(𝑥) trường hợp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức Xét vành x p  x k  với p  k vành x p  ta tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện: h( x) tích số đa thức bất khả quy deg h( x)  k ta thực phân hoạch hỗn hợp hai vành [J6] Dựa kết hai định lý 3.1, 3.2 với phân tích ℎ(𝑥), nhận thấy ln xây dựng cyclic mã tối ưu vành đa thức từ cấp số nhân (hay lớp kề) cyclic 3.2.1.2 Mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân cyclic Các mã cyclic tối ưu (𝑛, 𝑘, 𝑑) nghiên cứu đề xuất có ưu điểm sửa lỗi tốt (𝑑 lớn), xây dựng mã dễ dàng, nhiên tồn nhược điểm lớn hiệu suất mã (𝑘/𝑛) thường nhỏ, nghiên cứu sinh đề xuất phương pháp tìm mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân/ lớp kề cyclic với giá trị (𝑛, 𝑘, 𝑑) phù hợp, đặc biệt đề xuất mã tốt xây dựng từ lớp kề cyclic vành Để tìm mã cyclic tốt xây dựng lớp kề cyclic sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng, ta thực theo bước sau [J6]: Bước 1: + Cho giá trị 𝑘 vành đa thức 𝑍2 /(𝑥 𝑘 + 1) + Lập phân hoạch cho vành đa thức, xác định số lớp kề 𝑚 (số lượng lớp kề vành) + Cho 𝑖 = Bước 2: + Gán 𝑗 = 𝑖 + Bước 3: + Lập mã gồm lớp kề {1, 𝑖, 𝑗} 17 + Xác định giá trị 𝑛 mã (𝑛, 𝑘, 𝑑) , 𝑛 tổng số phần tử lớp kề chọn (cũng độ dài từ mã) + Tính tổng kiểm tra mã theo trường hợp CS trực giao, CS có khả trực giao, CS  liên hệ, sau lưu lại số CS mã ứng với trường hợp Từ số tổng kiểm tra tính khoảng cách Hamming 𝑑 + Nếu 𝑗 = 𝑚 chuyển sang bước 4, 𝑗 < 𝑚 tăng 𝑗 lặp lại bước Bước 4: + Nếu 𝑖 = 𝑚 − chuyển sang bước 5, 𝑖 < 𝑚 − tăng 𝑖 lặp lại bước Bước 5: Tính tốn tham số (𝑛, 𝑘, 𝑑) ứng với mã, so sánh với giới hạn tối ưu Liệt kê mã (𝑛, 𝑘, 𝑑) tốt thu Bắt đầu Cho giá trị k Lập phân hoạch cho vành đa thức Cho i = j = i + 1; Lập mã gồm lớp kề {1, i, j} Xác định n Lập hệ tổng kiểm tra mã j=j+1 N j=m Y i=i+1 N i=m-1 Y Liệt kê mã (n, k, d) tốt Kết thúc Hình 3.3: Lưu đồ thuật tốn tìm mã cyclic tốt xây dựng từ cấp số nhân cyclic [J6] 18 Từ bước xây dựng lưu đồ thuật tìm mã cyclic tốt theo lưu đồ thuật toán hình 3.3 Trên sở thuật tốn nghiên cứu sinh viết chương trình xây dựng bảng kết số mã cyclic tốt xây dựng lớp kề cyclic công bố [J6] Thực tìm mã cyclic tốt với nhiều lớp kề cho mã tốt, nhiên lại phải trả giá hiệu suất mã (tỉ số 𝑘/𝑛 thấp) Hướng nghiên cứu tiếp theo, nghiên cứu sinh tiếp tục tìm mã cyclic tốt với nhiều lớp kề hơn, mã cyclic tốt ứng với phương pháp giải mã khác 3.2.2 Mô phỏng, đánh giá số mã mã cyclic tốt Kết mô hệ thống thông tin vô tuyến số điểm-điểm cho số mã sau: a) Bộ mã cyclic (255,9,127) Hình 3.5 Kết mô mã cyclic (255,9,127) Bộ mã đạt giới hạn Griesmer Plotkin Kết mô hình 3.5 Trong mơ ứng với mã này, sử dụng nhiễu Gauss trắng cộng kênh truyền Thử nghiệm với phương pháp điều chế khác (QPSK, 16QAM, ), cho chất lượng tốt Hình 3.5 thể kết mô mã ứng với điều chế 64QAM, 128QAM hai trường hợp khác (chỉ điều chế, khơng điều chế, khơng mã hóa) 19 b) Bộ mã cyclic (15,5,7) Bộ mã xây dựng vành 𝑍2 /(𝑥 + 1) đạt giới hạn Griesmer Plotkin Kết mô mã cyclic (15,5,7) hình 3.6 Thử nghiệm với phương pháp điều chế QPSK, 4QAM, 16QAM cho chất lượng tốt Kết mô cho thấy đường truyền sử dụng mã, điều chế QPSK cho 𝐵𝐸𝑅 tốt 16QAM Hình 3.6 Kết mô mã cyclic (15,5,7) c) Bộ mã cyclic (27,9,9) Chọn mã cyclic cục xây dựng từ ba lớp kề cyclic {(1), (11), (61)} vành Z2 /(x +1), tiến hành xây dựng mã hóa giải mã ta thu mã cyclic (27,9,9) Kết mơ hình 3.7 So sánh với trường hợp truyền dẫn sử dụng mã cyclic (15,5,7) trường hợp truyền dẫn tín hiệu điều chế (QPSK, 16QAM) khơng mã hóa Kết mơ cho thấy dù sử dụng phương pháp điều chế mã cyclic (15,5,7) đạt giới hạn tối ưu Griesmer Plotkin (có khả sửa 𝑡 = bit lỗi, 𝑡/𝑛 = 3/15) cho khả sửa lỗi tốt (hay tỉ số 𝐵𝐸𝑅 thấp hơn) mã cyclic (27,9,9) mã cyclic tốt (có khả sửa 𝑡 = bit lỗi, 𝑡/𝑛 = 4/27) Nghiên cứu sinh mô đánh giá mã với điều chế 64QAM, 128QAM cho tỉ lệ lỗi lớn khả sửa lỗi không tốt mã (255,9,127) 20 Hình 3.7 Kết mơ mã cyclic (27,9,9) 3.2.3 Đề xuất thực mã FPGA Nhằm kết hợp ưu điểm cấu kiện logic khả trình hướng tới xây dựng mạch điện tử thực chức số mã cyclic, luận án trình bày phương pháp xây dựng mạch mã hoá giải mã cấu kiện logic khả trình FPGA để thực chức số mã Kết liên quan công bố [J1], [C1] 3.3 ĐỀ XUẤT PHƯƠNG PHÁP TẠO KHÓA CHO MỘT SỐ HỆ MẬT Nghiên cứu sinh nghiên cứu ứng dụng CMG CGP làm khóa để xây dựng hệ mật mã khối kết hợp sơ đồ Lai-Massey với sơ đồ Feistel ứng dụng vào hàm băm công bố báo [C2] Trong phần luận án đề xuất hướng tiếp cận tương đương vành đa thức có hai lớp kề cyclic với trường số Từ trình bày ứng dụng nhóm nhân cyclic có cấp cực đại số vành đa thức có hai lớp kề cyclic đặc biệt làm khóa cho số hệ mật 3.3.1 Quan hệ vành đa thức có hai lớp kề cyclic trường số Trong phần này, luận án đề xuất chứng minh mối quan hệ tựa đồng cấu xảy số vành đa thức có hai lớp kề cyclic đặc biệt, vành đa thức liệt kê phụ lục luận án Có thể sử dụng quan hệ tựa đồng cấu để xây dựng số hệ mật vành đa thức có lớp kề cyclic 3.3.2 Hệ mật Omura-Massey vành đa thức có hai lớp kề cyclic Trong phần này, sở hệ mật gốc, kết hợp với tính chất đặc biệt số vành đa thức có hai lớp kề cyclic trình bày phần 21 trên, nghiên cứu sinh trình bày hệ mật O-M số biến thể hệ mật O-M xây dựng vành đa thức có hai lớp kề cyclic sử dụng phần tử có cấp cao nhóm nhân cyclic đạt cấp cực đại vành làm khóa cho hệ mật 3.3.2.1 Hệ mật O-M gốc 3.3.2.2 Hệ mật O-M vành đa thức có hai lớp kề cyclic a) Tạo khóa Khóa cơng khai: ℤ2 [𝑥]/(𝑥 𝑛 + 1) A chọn ngẫu nhiên (𝑚, 𝑛) làm khóa riêng: 𝑚 𝑛 ≡ mod (2𝑛−1 − 1) B chọn ngẫu nhiên (𝑢, 𝑣) làm khóa riêng: 𝑢 𝑣 ≡ mod (2𝑛−1 − 1) b) Q trình truyền thơng A muốn gửi tin 𝑀(𝑥) tới B 𝐴(𝑚, 𝑛) 𝐴 tính: [𝑀(𝑥)]𝑚 mod (𝑥 𝑛 + 1) 𝐵(𝑢, 𝑣) → ← 𝐴 tính: [𝑀𝑚𝑢 (𝑥)]𝑛 mod (𝑥 𝑛 + 1) = [𝑀(𝑥)]𝑢 mod (𝑥 𝑛 + 1) 𝐵 tính: [𝑀𝑚 (𝑥)]𝑢 mod (𝑥 𝑛 + 1) → ← 𝐵 tính: [𝑀𝑢 (𝑥)]𝑣 mod (𝑥 𝑛 + 1) = 𝑀(𝑥) c) Nhận xét - Hệ mật an tồn tốn logarit rời rạc vành đa thức có hai lớp kề cyclic bất khả giải - Hệ mật không xác thực - Hệ số mở rộng tin hệ mật 3.3.2.3 Một số biến thể hệ mật O-M vành đa thức có hai lớp kề cyclic Nghiên cứu sinh tiếp tục nghiên cứu mở rộng ứng dụng trình bày hai biến thể hệ mật luận án a) Hệ mật O-M cộng vành đa thức có hai lớp kề cyclic 22 b) Hệ mật O-M có tính nhân vành đa thức có hai lớp kề cyclic Nhận xét: Để tránh phép công “Kẻ đứng giữa” (Man in the midle) sử dụng thêm phương pháp xác thực 3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương luận án trình bày kết là: Đề xuất phương pháp tìm mã cyclic tốt thông qua việc chứng minh hai định lý mã cyclic tối ưu, xây dựng tht tốn tìm kiếm mã cyclic tốt bước đầu lập bảng số mã cyclic tốt, thông qua kết mô phỏng, đánh giá hiệu mã nhận xét kết nghiên cứu góp phần cách xác định mã cyclic tốt ứng dụng vào thực tế [J6]; Đề xuất việc xây dựng thiết bị mã hóa giải mã ngưỡng cho nhóm nhân cyclic cấp số nhân cyclic cấu kiện logic khả trình FPGA Kết nghiên cứu công bố báo [J1], [C1]; Nghiên cứu sinh trình bày đề xuất ứng dụng nhóm nhân, cấp số nhân cyclic làm khóa cho số hệ mật hướng nghiên cứu mở tiếp tục nghiên cứu [C2] KẾT LUẬN Những đóng góp luận án: 1) Đề xuất số phương pháp xác định đa thức có cấp cực đại, bao gồm kết quan trọng: Đề xuất chứng minh bổ đề cấp đa thức tích đa thức vành; Đề xuất chứng minh bổ đề cấp nhị thức vành đa thức, đồng thời đánh giá cấp nhị thức (1  x) vành đa thức; Đề xuất thuật toán cải tiến xác định cấp đa thức vành; Đánh giá xác suất tìm phần tử có cấp cực đại giúp kiến thiết nhóm nhân mã cyclic vành đa thức có hai lớp kề cyclic ([J2], [J3], [J5], [C5]) 2) Chứng minh tương đương nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic với mã cyclic truyền thống, góp phần mở hướng tiếp cận xây dựng mã cyclic truyền thống từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức có bậc cấp nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic ([J4], [C3], [C4]) 3) Đề xuất phương pháp tìm mã cyclic tốt xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức bước đầu lập bảng số mã cyclic tốt, đánh giá khả thực mã cyclic cục cấu kiện phần cứng (như FPGA) ([J1], [J6], [C1]) 23 CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA TÁC GIẢ [J1] Nguyen Trung Hieu, Dang Hoai Bac, Nguyen Ngoc Minh (2012), “An FPGAbased implementation method for local cyclic code encoder/decoder”, Journal of Science and Technology, Vietnam, ISSN 0866 708X, 50(2A), pp 38-49 [J2] Nguyen Trung Hieu, Ngo Duc Thien, Tran Duc Su (2012), “On constructing cyclic multiplicative groups with maximum order over polynomial ring with two cyclotomic cosets”, Tạp chí Nghiên cứu khoa học Cơng nghệ Quân sự, Hà Nội, Việt Nam, ISSN 1859-1043, Số 17, 02-2012, tr 133-140 [J3] Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Bình (2013), “Về cấp đa thức vành”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Việt Nam, ISSN 0866 708X, 51(1A) , tr 101-107 [J4] Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Trung Hiếu (2015), “Mã cyclic cục xây dựng từ lớp kề cyclic”, Tạp chí Nghiên cứu khoa học Công nghệ Quân sự, Hà Nội, Việt Nam, ISSN 1859-1043, số Đặc san KH-CNQS, 10-2015, tr 331-336 [J5] Nguyễn Trung Hiếu, Ngô Đức Thiện (2016), “Một phương pháp tìm kiếm đa thức có cấp cực đại vành đa thức”, Tạp chí Khoa học Công nghệ trường Đại học Kỹ thuật, Việt Nam, ISSN 2354-1083, số 110, 2016, tr 75-80 [J6] Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Bình (2017), “Một số mã cyclic tốt xây dựng vành đa thức”, Tạp chí Khoa học công nghệ Thông tin Truyền thông, Việt Nam, ISSN 2525-2224, số 01 (CS.01) 2017, tr 20-27 [C1] Hieu T Nguyen, Minh N Nguyen, Cuong L Nguyen, E Custovic (2011), “An FPGA-based Implementation for Repeated Square-and-Multiply Polynomials”, Proceedings of the 6th International Conference on Broadband Communications & Biomedical Applications, November 21 - 24, 2011, Melbourne, Australia, ISBN: 978-0-9872129-0-0, pp 173-178 (publication in IEEE Xplore) [C2] Ngô Đức Thiện, Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Toàn Thắng, Đặng Hoài Bắc (2013), “Một phương pháp xây dựng hệ mật mã khối kết hợp sơ đồ Lai-Massey với sơ đồ Feistel ứng dụng vào hàm băm”, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia Điện tử - Truyền thông (REV2013-KC01), Hà Nội, Việt Nam, ngày 17-18/12/2013, tr 75-80 [C3] Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Văn Trung, Phạm Việt Trung (2013), “Sự tương đương mã Cyclic cục xây dựng nhóm nhân Cyclic mã Cyclic truyền thống”, Kỷ yếu Hội nghị Quốc gia Điện tử - Truyền thông (REV2013KC01), Hà Nội, Việt Nam, ngày 17-18/12/2013, tr 225-230 [C4] Nguyen Trung Hieu, Nguyen Van Trung, Nguyen Binh (2014), “A Classification of Linear Codes Based on Algebraic Structures and Local Cyclic Codes”, Proceedings of The 2014 International Conference on Advanced Technologies for Communications, October 15-17, 2014, Hanoi, Vietnam, ISBN: 978-1-4799-6955-5, pp 349-354 (publication in IEEE Xplore) [C5] Nguyễn Trung Hiếu (2015), “Một số phương pháp xác định cấp đa thức vành đa thức sử dụng tính chất nhóm nhân cyclic đối xứng”, Hội thảo quốc gia 2015 Điện tử, Truyền thông Công nghệ thông tin (ECIT-2015), tháng 12/2015, TP Hồ Chí Minh, Việt Nam, tr 248-252 ... đa thức phân bố đa thức theo cấp nhóm nhân cyclic Tiếp đến nội dung liên quan đến cấp số nhân cyclic, phân hoạch vành đa thức mã cyclic cục 1.4.1 Nhóm nhân cyclic Nhóm nhân cyclic vành đa thức. ..  Mã cyclic nhịp x Mã cyclic AN Vành lớp liên hợp LCC Trên hai vành Phân hoạch cực đại Vành vành ước vành Hai vành LCC hỗn hợp Mã tựa LCC Mã cyclic với nhịp đa thức Hình 2.3 Sơ đồ phân loại mã. .. cục (mã cyclic xây dựng từ nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic vành đa thức) với mã cyclic truyền thông, phương pháp lựa chọn mã cyclic tốt, ứng dụng nhóm nhân cyclic, cấp số nhân cyclic mã sửa