Các mã xyclic cục bộ trên các phân hoạch hỗn hợp

-24- thức mà bình thường khó có thể xây dựng được mã XCB tốt (ví dụ các vành 67 1, 1xx++ ). • Xây dựng được phương pháp giải mã cho các mã XCB trên hai vành đa thức. Phương pháp giải mã này cơ bản vẫn dựa trên phương pháp giải mã ngưỡng những có một vài sửa đổi. Mạch điện giải mã đơn giản và có tốc độ giải mã nhanh. • Tìm được một lớp mã XCB tối ưu có khả năng trực giao xây dựng trên hai vành đa thức với bộ tham số 1 0 (,, ) (2 , 1,2 1) mm nkd mm − =+ + + . • Xây dựng 5 bộ mã XCB tối ưu mới và đánh giá hiệu quả sửa sai của các mã XCB mới này trên kênh AWGN bằng chương trình mô phỏng. Các kết quả mô phỏng cho thấy khả năng sửa lỗi của các bộ mã mới là tốt. • Tính toán phân bố trọng số các từ mã của 4 bộ mã XCB mới, kết quả cho thấy các bộ mã mới đều có phân bố các bit “0” và các bit “1” tương đối bằng nhau trong các từ mã. Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo: • Nghiên cứu phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành chẵn, hoặc theo các phần tử liên hợp của các vành chẵn. • Đánh giá so sánh phương pháp giải mã cho mã XCB trên hai vành đa thức với phương pháp giải mã các mã XCB hiện hành. • Xây dựng các mã XCB trên đa phân hoạch ứng dụng trên các kênh có liên hệ ngược. • Nghiên cứu các mạch điện mã hóa cho các mã XCB nói chung và mã XCB trên các phân hoạch hỗn hợp nói riêng. -1- MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Trong một hệ thống thông tin số để tăng độ chính xác trong truyền tin và khả năng chống nhiễu người ta dùng mã sửa sai. Với sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật thông tin như hiện nay thì việc nâng cao hiệu quả của hệ thống truyền tin là một yêu cầu luôn chứa đựng tính cấp thiết. Lý thuyết mã sửa sai đã phát triển từ những năm 40 của thế kỷ trướ c và nổi bất nhất phải kể đến lớp mã xyclic. Mã xyclic cục bộ (XCB) cũng là một lớp mã sửa sai được nghiên cứu từ năm 1987, tuy mới hình thành và phát triển nhưng mã XCB có nhiều ưu điểm đáng quan tâm. Ngoài các đặc điểm tốt như mã xyclic truyền thống, mã XCB còn có nhiều ưu điểm rất nổi trội: Số lượng mã XCB tìm được rất nhiều, có thể xây dựng được các bộ mã trên nhiều vành đa thức khác nhau, kể cả một số vành chẵn, hoặc vành đa thức có hai lớp kề xyclic…Về mặt kỹ thuật thì các bộ mã hóa và giải mã XCB có thể thực hiện được tương tự các mã xyclic truyền thống. Các nghiên cứu về mã XCB cho đến nay đều dựa vào phân hoạch của một vành đa thức theo một nhóm nhân duy nhất. Các nghiên cứu này đã đưa ra được một số kiểu phân hoạch vành đa thức, cũng như các cách xây dựng mã XCB trên các phân hoạch đó. Tuy nhiên, các lớp mã XCB xây dựng theo một phân hoạch nhất định cũng còn một số hạn chế đó là ít vành đa thức có được mã XCB tối ưu, đặc biệt là các vành chẵn. Việc tiếp tục phát triển thêm các phương pháp xây dựng mã XCB đặc biệt là tìm kiếm các mã tối ưu trên mọi vành đa thức, hoàn thiện thêm kết quả về mã XCB là một vấn đề cần thiết. Thực hiện tốt các nghiên cứu này sẽ cho phép xây dựng nhiều bộ mã sửa sai tối ưu với sự đa dạng về độ dài từ mã và khả năng chống nhiễu. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Luận án thuộc phạm vi lý thuyết cơ sở, tập trung nghiên cứu các kiểu phân hoạch hỗn hợp mới trên vành đa thức và phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân hoạch này. Mục tiêu nghiên cứu của luận án: − Tìm các điều kiện và phương pháp thực hiện các phân hoạch hỗn hợp mới trên một vành đa thức và hai vành đa thức. -2- − Đưa ra phương pháp xây dựng các mã XCB trên các phân hoạch hỗn hợp. − Tìm các lớp mã XCB tối ưu mới trên mọi vành đa thức. − Mô phỏng đánh giá khả năng sửa sai và phân bố trọng số các từ mã của một số mã XCB mới tìm được. Phương pháp nghiên cứu: của đề tài là nghiên cứu lý thuyết dựa vào các công cụ toán học, đặc biệt là đại số đa thức, lý thuyết mã hóa, kết hợp với tổng hợp và phân tích các kết quả nghiên cứu đã có của các tác giả khác có liên quan đến đề tài, cùng với sự hỗ trợ tính toán của máy tính và các chương trình phần mềm mô phỏng. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài: Những kết quả trong luận án này là một đóng góp nhỏ bé vào việc phát triển lý thuyết mã XCB nói riêng và lý thuyết mã sửa sai nói chung. Các kết quả chính của luận án bao gồm: − Đưa ra được điều kiện và các bước xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn hợp của một vành đa thức. − Điều kiện, các bước xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn hợp của hai vành đa thức khác nhau và phương pháp giải mã cho các mã này. − Xây dựng được một số bộ mã XCB tối ưu và một lớp mã XCB tối ưu có khả năng trực giao trên các kiểu phân hoạch hỗn hợp. Nội dung luận án này bao gồm: lời mở đầu, 3 chương và phần kết luận. Chương 1:Tác giả tập trung vào khái quát quá trình phát triển của mã sửa sai, trong đó đề cập nhiều đến mã xyclic. Quan điểm xây dựng mã xyclic cục bộ trên vành đa thức, các kết quả nghiên cứu về mã xyclic cục bộ, các hướng phát triển và các vấn đề mở. Chương 2: Đưa ra một quan điểm mới trong phương pháp phân hoạch vành đa thức, đó là sử dụng hai hạt nhân phân hoạch khác nhau trong cùng một vành đa thức hoặc trên hai vành đa thức khác nhau. Chương 3: Khảo sát một số bộ mã XCB bộ tối ưu xây dựng trên các phân hoạch hỗn hợp. Cùng với đó là các kết quả về phân bố trọng số của mã và mô phỏng về khả năng sửa sai của các bộ mã mới. Phần cuối cùng bao gồm các kết luận về kết quả đạt được của luận án và các kiến nghị hướng phát triển tiếp theo. -23- 3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương này đã khảo sát một số bộ mã XCB tối ưu xây dựng trên các phân hoạch hỗn hợp của một và hai vành đa thức. Các kết quả về phân bố trọng số của các mã XCB mới này đều cho thấy tính cân bằng của từ mã. Từ lớp mã XCB có khả năng trực giao ta có thể xây dựng mã XCB trên cả các vành chẵn (bằng cách kết hợp với một vành lẻ). Độ dài từ mã n có thể không bằng bội số của k như theo cách xây dựng mã XCB thông thường, ví dụ mã XCB (11,4) , mã XCB (37,6) hay mã XCB (135,8) … Các kết quả mô phỏng của một số mã trên kênh AWGN cho thấy khả năng sửa sai của các mã này khá tốt, và phương pháp giải mã ngưỡng theo đa số các tổng kiểm tra cho kết quả tốt hơn phương pháp giải mã ngưỡng trên đa số một biểu quyết. KẾT LUẬN Các kết quả nghiên cứu chính của luận án bao gồm các nội dung sau đây: • Đề xuất các điều kiện cần và các bước tiến hành phân hoạch hỗn hợp sử dụng hai hạt nhân trên một vành đa thức. Đồng thời đưa ra phương pháp xây dựng mã XCB trên phân hoạch hỗn hợp này. Số lượng mã XCB tối ưu mới tìm được cũng khá nhiều, ví dụ trên vành 5 1 + x ta có thể xây dựng được vài trăm bộ mã có cùng thông số (20,5) . • Đề xuất điều kiện phân hoạch, phương pháp phân hoạch và cách xây dựng mã XCB trên hai vành đa thức khác nhau. Ưu điểm lớn nhất của kiểu phân hoạch này là ta có thể sử dụng các cấp khác nhau của các nhóm nhân trên vành đa thức lớn (mà vành nhỏ không có) để xây dựng được nhiều các mã XCB tối ưu mới với độ dài từ mã rất phong phú. Với kiểu phân hoạch này ta có thể tìm được các mã trên các vành đa -22- − Khoảng cách Hamming: 1 0 21 m d − =+ . − Số sai phát hiện được: 1 2 m e − = ; Số sai sửa được: 2 2 m t − = 3.3.2. Mã xyclic cục bộ (11, 4) Xét trường hợp 3m = , theo bảng 3.10 ta có mã XCB (11, 4) , và được xây dựng theo các bước sau: Bước 1: Chọn 7 () 1ax x x=∈ + làm đa thức sinh thứ nhất. Chọn 4 () 1bx x x=∈ + làm đa thức sinh thứ hai. Bước 2: - Tính nhóm nhân xyclic A trong vành 7 1x + : CMG { ( )mod ( ), 0,1, ,6} i Aax hxi== - Tính cấp số nhân B trong vành 4 1x + : CGP { ( ) ( ), 0,1,2,3} {(01),(12),(23),(03)} j Bqxbxj=== Trong đó, ( ) 1qx x=+ là phần tử đầu của CGP B. Bước 3: Ghép CMG A với CGP B được mã XCB (11,4) như hình 3.17. a 5 a 7 b 1 b 2 b 3 b 4 CGP B ( 4bit ) CGP A ( 7 bit ) a 6 a 3 a 4 a 1 a 2 Hình 3.17. Cấu trúc từ mã của mã XCB (11, 4) Theo kết quả phân bố trọng số của mã XCB (11,4) trong bảng 3.12 ta thấy đa số các từ mã có trọng số khoảng một nửa chiều dài mã (khoảng 12/16 từ mã). * Một vài nhận xét: + Khoảng cách Hamming 0 5d = . + Theo giới hạn Griesmer mã XCB (11,4) này là một mã tối ưu. Bảng 3.12. Phân bố trọng số của mã XCB (11,4) W i 0 5 6 7 8 9 10 11 i 1 6 6 2 1 0 0 0 Hình 3.20. Tỷ lệ lỗi bit của mã XCB (11,4) trên kênh AWGN. -3- CHƯƠNG 1 CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC 1.1. GIỚI THIỆU Nội dung phần này đề cập đến lịch sử phát triển của các mã sửa sai, dựa trên nền móng là các nghiên cứu của Shannon. Khởi đầu là các mã Hamming, mã Golay và một lớp mã quan trọng đó là mã xyclic trong đó bao gồm các mã như mã BCH, các mã Reed- Solomon, các mã hình học Euclid Phần tiếp theo đề cập đến các hướng nghiên cứu về lý thuyết mã trong những năm gần đây như các mã TCM, mã Turbo, mã LDPC, mã STBC Các quan điểm xây dựng mã như: Dựa trên các cấu trúc đại số, lý thuyế t dàn, hình học – đại số, lý thuyết tổ hợp, và graph. Các phương pháp giải mã chính bao gồm: + Phương pháp giải mã ngưỡng của Messey. + Phương pháp giải mã liên tiếp của Zigalgirov. + Phương pháp giải mã Viterbi. + Phương pháp giải mã hợp lý tối đa. + Phương pháp giải mã lặp và giải mã có liên hệ ngược. + Phương pháp giải mã đại số. 1.2. MÃ XYCLIC TRUYỀN THỐNG Mục này đề cập đến các vấn đề: + Vành đa thức và các phép toán trên vành đa thức. + Định nghĩa Ideal của vành đa thức, khái niệm về đa thức bất khả quy. + Các định nghĩa về mã xyclic. + Các ma trận sinh và ma trận kiểm tra của mã xyclic. 1.3. NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC Nội dung mục này bao gồm: + Khái niệm về nhóm nhân xyclic trên vành đa thức. + Các loại nhóm nhân xyclic: − Nhóm nhân xyclic đơn vị. − Nhóm nhân với phần tử sinh ( )ax. − Đa thức đối xứng và nhóm nhân đối xứng. -4- 1.4. PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC Nội dung mục này bao gồm − Khái niệm về phân hoạch vành đa thức. − Định nghĩa cấp số nhân xyclic trên vành đa thức. − Các kiểu phân hoạch vành đa thức theo các nghiên cứu cho đến nay bao gồm: + Phân hoạch chuẩn + Phân hoạch cực đại + Phân hoạch cực tiểu + Phân hoạch thành các cấp số nhân có cùng trọng số. + Phân hoạch vành thành các cấp số nhân với các phần tử có cùng tính chẵn lẻ của trọng số. + Phân hoạch vành thành các cấp số nhân theo modulo của ( )hx 1.5. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC Phần này trình bày các nội dung: − Các định nghĩa về mã xyclic cục bộ (XCB). − Các cách biểu diễn mã XCB. − Các phương pháp xây dựng mã XCB. − Các lớp mã XCB (mã XCB tự trực giao và mã XCB có khả năng trực giao). 1.6. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MÃ NGƯỠNG. Phần này trình bày phương pháp giải mã ngưỡng dựa trên các hệ tổng kiểm tra trực giao, tập trung vào giải mã ngưỡng theo đa số. 1.7. QUAN HỆ GIỮA MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ MÃ XYCLIC TRUYỀN THỐNG Một ưu điểm của mã XCB đó là có thể xây dựng được mã trên mọi vành đa thức ( n bất kỳ), với các vành chẵn ta có thể xây dựng mã XCB trên các lớp các phần tử liên hợp. Có những vành không thể xây dựng được mã xyclic tốt ví dụ với các vành có hai lớp kề xyclic, trong khi đó ta có thể tìm được nhiều mã XCB trên các vành này. Việc xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành đa thức sẽ cho nhiều bộ mã hơn và trên cơ sở đó cũng có nhiều bộ mã tốt hơn với các độ dài từ mã khác nhau. Hình 1.5 mô tả các dạng phân hoạch khác nhau củ a vành đa thức và các cách xây dựng mã dựa trên các phân hoạch này. -21- { mod ( ), 1,2, ,2 1} im Ax hxi = =− (3.4) * Bước 2: Tìm một lớp kề B trong vành đa thức 1 2 []/ 1 m xx + + Z , để thuận tiên khi giải mã ta nên chọn B có cấu trúc như sau: {(1 ) , 0,1,2, , } j Bxxj m=+ = (3.5) * Bước 3: Ghép A và B , ta sẽ có được mã XCB có khả năng trực giao. Cấu trúc từ mã như sau: ||UAB = (3.6) Số TKT là: 11 21221 mm J −− = −+ = + (3.7) Vậy ta có thông số của lớp mã XCB này như sau: 1 0 (,, ) (2 , 1,2 1) mm nkd mm − = ++ + (3.8) Tốc độ mã của lớp mã này được tính như trong biểu thức (3.9): Tốc độ mã 1 2 m km n m + == + (3.9) Khi m tăng thì tốc độ mã giảm rất nhanh, đây chính là nhược điểm lớn nhất của lớp mã này. Bảng 3.10 trình bày một số mã XCB có khả năng trực giao xây dựng trên hai vành đa thức với một vài giá trị m khác nhau. Bảng 3.10. Lớp mã XCB có khả năng trực giao m Các mã XCB 0 (,, )nkd m Các mã XCB 0 (,, )nkd 3 (11, 4, 5) 8 (264, 9, 129) 4 (20, 5, 9) 9 (521, 10, 257) 5 (37, 6, 17) 10 (1034, 11, 513) 6 (70, 7, 33) 11 (2059, 12, 1025) 7 (135, 8, 65) Một vài nhận xét: − Lớp mã XCB có khả năng trực giao này là lớp mã tối ưu. − Khi lập mã không nhất thiết phải chọn cấp của các nhóm nhân sinh là k hoặc bội số của k , điều này cho phép ta có thể tạo các bộ mã ( , ) nk với chiều dài n khác. − Khi m tăng thì tốc độ mã sẽ giảm rất nhanh, cho nên lớp mã này chỉ tốt khi giá trị m nhỏ. -20- * Bước 2: Tính CGP B trong vành 6 1x + với phần tử sinh là ()bx x= và phần tử đầu là () 1qx x=+. CGP {(1 ) , 0,1, ,5} {(01),(12),(23),(34),(45),(05)} j Bxxj=+ = = * Bước 3: Ghép A với B để có mã XCB (37,6) . * Một vài đánh giá: + 36 bit trong 37 bit của một từ mã được sử dụng để giải mã cho các cặp dấu thông tin. + Khoảng cách Hamming 0 17d = , sửa được 8 lỗi. + Mức ngưỡng giải mã là: 9M = . + Nhịp giải mã của các thanh ghi A và B bằng nhau và bằng 1. + Theo giới hạn Griesmer mã này là một mã tối ưu. Theo phân bố trọng số của mã XCB (37,6) cho thấy mã này cũng có tính chất cân bằng của bit “0” và bit “1” trong các từ mã. 3.3. LỚP MÃ XYCLIC CỤC BỘ CÓ KHẢ NĂNG TRỰC GIAO XÂY DỰNG TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC. 3.3.1. Cấu trúc của lớp mã có khả năng trực giao. Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức, ta có thể xây dựng được một lớp mã XCB có khả năng trực giao. * Bước 1: Xét vành đa thức 21 2 []/ 1 m xx − +Z . Trên vành đa thức này ta tính một nhóm nhân A dựa trên đa thức sinh nên chọn là x , trong đó ( ) 2 1 m ord x =−, và () 1Wx= là một số lẻ. Tất cả các phần tử trong A được tính theo modulo của ()hx , dạng của ()hx như trong biểu thức (3.3). () (1 )()hx xgx=+ (3.3) Trong đó, ( ) g x là một đa thức nguyên thủy có deg ( ) g xm = và () g x là ước của 21 1 m x − + . Theo biểu thức (3.3) ta thấy rằng deg ( ) 1hx m = + , do đó tất cả các phần tử trong A đều là phần tử lẻ và thuộc vành 1 2 []/ 1 m xx + + Z . Cấu trúc của A như trong (3.4). a 1 a 2 a 31 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 CMG A (31 bits) CGP B (6 bits) CMG A (31 bit) CGP B (6 bit) Hình 3.12. Cấu trúc từ mã XCB (37,6) -5- Các phân hoạch của vành đa thức n lẻ n tùy ý n chẵn Vành các lớp đồng dư Vành các cấp số nhân xyclic có công bội ()ax Vành các lớp các phần tử liên hợp Phân hoạch cực tiểu () 1ax = Phân hoạch chuẩn ()ax x = Phân hoạch cực đại ord ( ) maxax = Mã xyclic Mã tuyến tính ngẫu nhiên Shannon Mã xyclic cục bộ Mã xyclic truyền thống Hình 1.5. Các phân hoạch của vành đa thức và các lớp mã tuyến tính Có thể hình dung mã xyclic như một chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác nhau như trong hình 1.6. Mã xyclic truyền thống có nhịp dịch của từ mã là x (hình 1.6.a), mã xylic xây dựng từ mã XCB có nhịp dịch khác x (hình 1.6.b), còn mã XCB chứa các từ mã khác nhau, mỗi từ mã có thể có nhịp dịch khác nhau (hình 1.6.c). c) Mã xyclic cục bộ Nhịp ()ax x = Nhịp ()ax ( ) ax ( ) cx ( ) bx a) Mã xyclic truyền thống b) Mã xyclic xây dựng từ mã x y clic c ụ cb ộ Hình 1.6. So sánh các mã xyclic và mã xyclic cục bộ -6- Có thể thấy rằng các mã xyclic truyền thống xây dựng trên các Ideal là một trường hợp đặc biệt của mã XCB. Có thể xem xét như sau: Xét nhóm nhân xyclic: { mod ( ), 0,1,2, } i Ix hxi== với ( ) | 1 n hx x + ; deg ( )hx k= Nhóm nhân này là một mã xyclic (n,k) có đa thức sinh *( ) g x : 1 () () n x gx hx + = và *deg()1 () ( ) gx g xx gx − = là đa thức đối ngẫu của () g x Nhận xét: + Với mã xyclic truyền thống, ma trận sinh G của mã được xây dựng từ phương trình đồng dư sau: (). mod 1 in gx x x + (1.20) + Với mã xyclic xây dựng từ mã XCB, ma trận sinh G của mã được xây dựng từ phương trình đồng dư sau: (). mod 1 ii k axx x+ (1.21) Chú ý: (1.20) là phương trình tạo các hàng của G (1.21) là phương trình tạo các cột của G 1.8. MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA MÃ XYCLIC CỤC BỘ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ 1.8.1. Một số kết quả đạt được - Xây dựng được các dạng phân hoạch khác nhau và các kiểu phân hoạch khác nhau của vành đa thức làm cơ sở để xây dựng các mã XCB [20], [35]. - Tìm tiêu chí lựa chọn các lớp kề trong phân hoạch vành đa thức để xây dựng các mã XCB. - Chứng minh các mã xyclic truyền thống là một lớp con trong các mã XCB [17]. - Xây dựng một số lớp mã XCB tự trực giao và mã XCB có khả năng trực giao [13], [14]. - Xây dựng được một số mã XCB đối xứng và tự đối xứng trên các lớp kề (các cấp số nhân) đối xứng và tự đối xứng [35] -19- Để giải mã ta có thể sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng cho phương pháp này. Tuy nhiên mã này là một trường hợp đặc biệt nó là mã XCB trực giao, nên ta có thể sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường để giải mã. * Đánh giá: + Khoảng cách Hamming 0 3d = , phát hiện được 2 sai và sửa được 1 sai. + Cấp ngưỡng giải mã là: 2 M = . + Nhịp giải mã cho cả hai thanh ghi bằng nhau và bằng 1. + Theo giới hạn Griesmer mã này cũng là một mã tối ưu. 3.2.2. Trường hợp hai vành đa thức khác nhau Xét hai vành đa thức 31 1x + và 6 1x + (31,6pk = = ). Phân tích của vành 31 1x + như sau: 7 31 1 1() i i x fx = += ∏ (3.2) Trong đó: 1 () 1 f xx=+ ; 35 2 () 1 f xxx = ++ 25 3 () 1 f xxx=+ + ; 2345 4 () 1 f xxxxx = ++++ 345 5 () 1 f xxxxx=+ + + + 245 6 () 1 f x xxxx = ++++ 235 7 () 1 f xxxxx=+ + + + ; Ta thấy trong vành này có 6 đa thức bất khả quy cấp 5 và một đa thức cấp 1, do đó ta có thể có 6 đa thức ()hx có deg ( ) 6hx = bằng cách lấy tích của 1 () 1 f xx = + với các đa thức còn lại. Trên cơ sở đó ta có thể xây dựng mã XCB (37,6) như sau: * Bước 1: Chọn ( )ax x = và 3456 () (1 )hx x x x x x=++ + + + để thực hiện phân hoạch thứ nhất: CMG { mod ( ), 0,1,2, ,30} i Ax hxi== a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 Thanh ghi A M Các dấu thông tin được giải mã Thanh ghi B Hình 3.11. Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (6, 3) -18- có cấu trúc từ mã như hình 3.5. Khi giải mã cho các cặp dấu thông tin, thanh ghi CMG A sẽ dịch 51 nhịp (hoặc dịch 12 nhịp theo chiều ngược lại), còn thanh ghi chứa dấu CGP B sẽ dịch 1 nhịp. Sau 6 bước ta sẽ giải mã được các cặp dấu thông tin và được lưu vào thanh ghi C Ở cấp ngưỡng thứ hai, ta thực hiện giải mã cho dấu (0), sau đó kết hợp với các cặp dấu trong C để giải mã các dấu thông tin còn lại. Khoảng cách Hamming của mã XCB này là 0 33d = , và mã này cũng là tối ưu. Mô phỏng mã XCB (70,7) trên kênh AWGN và sử dụng điều chế BPSK, kết quả như hình 3.8. Xét hai trường hợp giải mã 17M = 18M = . 3.2.1.2. Mã xyclic cục bộ (6,3) Xét trường hợp 3k = và 2m = là một số chẵn, ta có .6pmk==. Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể xây dựng được mã XCB (6,3) trên hai vành này, và mã này là một mã hệ thống. Hình 3.8. Tỷ lệ lỗi bit của mã XCB (70,7) trên kênh AWGN. Tốc độ dịch bằng 12 lần tốc độ dịch của thanh ghi B b 1 b 2 b 7 a 1 a 18 a 63 33 TKT 7 33 2 TKT t t b = = ∑ 1118 TKT aa=+ Dịch một nhịp Thanh ghi C Thanh ghi A Thanh ghi B M Thiết bị ngưỡng (01) (12) (23) (34) (45) (56) TKT 33 33 TKT a 1 a 14 a 26 a 63 TKT 1 M Chốt dữ liệu Các bit thông tin được giải mã (0) Thanh ghi C Thanh ghi A Thiết bị ngưỡng (01) (1 2) (23) (34) (45) (56) (1) (2) (3) (4) (5) (6)(0) Hình 3.6. Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp 1 mã XCB (70,7) -7- - Xây dựng được một số mã XCB và mã xyclic trên các phần tử liên hợp của luỹ đẳng nuốt và trên các phần tử liên hợp của zero [30],[34]. - Xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành chẵn theo lớp các phần tử liên hợp [36] - Xây dựng các mã XCB trên vành đa thức có hai lớp kề xyclic [3], [23], [24], [30]. - Xây dựng được hệ mật đa biểu và trường hợp riêng của nó là hệ mật luân hoàn trên một số loại vành đặc biệt [28], [29]. + Vành đa thức có 2 k n = + Vành đa thức có 2 lớp kề xyclic. - Ứng dụng các mã XCB trong việc xây dựng hệ mật McEliece - Ứng dụng các mã XCB trong việc tạo M-dãy [1]. - Ứng dụng các mã XCB trong việc tìm kiếm cell của hệ thống WCDMA [27]. - Ứng dụng các mã XCB trong việc giảm PAPR trong các hệ thống OFDM. - Ứng dụng công nghệ CPLD/FPGA xây dựng mã XCB trên vành đa thức Z 2n [2] 1.8.2. Một số hướng nghiên cứu mở - Tạo tính đa dạng của việc xây dựng các mã XCB bằng cách tìm các dạng phân hoạch khác ngoài các dạng đã biết. - Xây dựng các mã XCB trên nhiều kiểu phân hoạch (các mã XCB hỗn hợp) - Xây dựng các tiêu chí chọn các lớp kề để tạo các mã tốt và giảm thời gian tìm kiếm. - Khảo sát kỹ cấu trúc các nhóm nhân xyclic và các cấp số nhân xyclic trong vành. Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho các đa thức có cấp cực đại trong vành. - Nghiên cứu các mã ghép xây dựng từ các mã XCB. - Nghiên cứu các mã turbo xây dựng từ các mã XCB. - Xây dựng ma trận kiểm tra của các mã XCB. - Nghiên cứu các mã XCB trên miền tần số. - Nghiên cứu phổ trọng số của các mã XCB. - Nghiên cứu các mã XCB trên trường mở rộng GF (2 m ) - Nghiên cứu các mã đối ngẫu của các mã XCB. -8- - Nghiên cứu các phương pháp giải mã: giải mã ngưỡng và các phương pháp giải mã khác. - Nghiên cứu các mã XCB theo quan điểm lý thuyết hệ thống. 1.9. KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương này đề cập đến một số khái niệm cơ bản về mã sửa sai, trong đó có lớp mã quan trọng là mã xyclic. Các khái niệm về nhóm nhân, cấp số nhân trên vành đa thức và phương pháp xây dựng mã XCB trên phân hoạch vành đa thức cũng được trình bày trong chương này. Phần tiếp theo là các đánh giá về khả năng tạo mã và một số so sánh giữa mã XCB với mã xyclic truyền thống. Cuối cùng là tổng hợp một số kế t quả nghiên cứu về mã XCB và các hướng nghiên cứu mở. CHƯƠNG 2 CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP VÀNH ĐA THỨC 2.1. MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ CÁC KIỂU PHÂN HOẠCH HIỆN TẠI − Khi phân hoạch một vành đa thức thì mỗi một hạt nhân phân hoạch sẽ cho một kiểu phân hoạch khác nhau, tuy nhiên các kiểu phân hoạch vành đa thức đều chia các phần tử của một vành thành hai phần bằng nhau là các phần tử có trọng số chẵn và các phần tử có trọng số lẻ. − Các kiểu phân hoạch vành đa thức cho đến nay đều sử dụng một hạt nhân phân hoạch chính là một đa thức sinh ( )ax nào đó thuộc vành. Các phần tử của vành sẽ được chia thành các lớp kề có độ dài bằng ord ( )axhoặc ước của ord ( )ax. Cho nên thông số chính liên quan đến việc phân hoạch vành đa thức đó chính là ord ( )ax . − Để có các mã XCB ( , )nk thuận tiện cho việc mã hóa và giải mã, thì các đa thức sinh thông thường các cấp là k hoặc bội số của k . Theo cách xây dựng mã XCB dựa trên các phân hoạch hiện nay cũng có hạn chế như sau: − Không phải vành đa thức cũng xây dựng được mã XCB tối ưu, đặc biệt là các vành chẵn 2 []/ 1 + n xx] với 2 = nm . -17- Bảng 3.2. Phân bố trọng số các từ mã của mã XCB (20, 5) W 0 9 10 11 12 15 i 1 10 10 5 5 1 i là tổng số các từ mã có trọng số W * Kết quả mô phỏng Thực hiện mô phỏng mã XCB (20,5,9) trên kênh AWGN, khảo sát với tỷ số SNR từ 1dB đến 7dB. Kết quả mô phỏng như trên hình 3.3. Xét hai trường hợp giải mã là giãi mã ngưỡng theo đa số (5M = ), và giải mã ngưỡng trên đa số một biểu quyết ( 6M = ), nhận thấy rằng với trường hợp 5M = thì bộ mã cho kết quả sửa sai tốt hơn. Phân bố trọng số của mã XCB (20,5) như trong bảng 3.2. 3.2. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC 3.2.1. Trường hợp có một vành con Xét hai vành đa thức 1 p x + và 1 k x + với 1 k x + là vành con của 1 p x + . Ta sẽ khảo sát một số mã XCB xây dựng theo phương pháp phân hoạch này như đã trình bày trong mục 2.3.2. 3.2.1.1. Mã xyclic cục bộ (70,7) Xét trường hợp 7k = và 3m = là một số lẻ, ta có . 21pmk = = . Chọn 24 () 1ax x x=+ + và 34567 () 1hx x x x x x = +++++ thuộc vành 21 1x + để thực hiện phân hoạch thứ nhất. { } CMG ( )mod ( ), 1 63 i Aax hxi== Chọn 7 () 1bx x x=∈ + làm hạt nhân phân hoạch thứ hai. { } {} CMG ( ). ( ), 0,6 (01),(12),(23),(34),(45),(56), (06) j Bqxbxj=== Ghép A và B ta sẽ được mã XCB (70,7) a 1 a 2 a 63 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 b 7 CMG A (63 bits) CGP B (7 bits) CMG A (63 bit) CGP B (7 bit) Hình 3.5. Cấu trúc mã XCB (70,7) xây dựng từ hai vành đa thức Hình 3.3. Tỷ lệ lỗi bit của mã XCB (20,5) trên kênh AWGN -16- { } 24 2222 ( ), ( ). ( ), ( ) ( ), , ( ) ( )CGP B bx bx q x bxq x bxq x== Trong đó: ( ) 1ax = ; 24 1 () 1qx x x=+ + ; ( ) 1bx x = + ; 2 ()qx x = + Bước 3: Kết hợp hai CGP A và B ta có thể tạo được mã XCB (20,5) có cấu trúc từ mã như hình 3.1. a 15 a 14 a 13 a 12 a 11 a 10 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5 CGP B ( 5 bit ) CGP A ( 15 bit ) Hình 3.1. Cấu trúc từ mã của mã XCB (20,5) a 15 a 14 a 13 a 12 a 11 a 10 a 9 a 8 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 M=5 M=5 ( 01 ) ( 12 ) ( 23 ) ( 34 ) ( 04 ) RA B A C b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 Hình 3.2. Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (20, 5, 9) trên một vành đa thức. * Đánh giá + Tổng cộng có 19 dấu mã trong 20 dấu mã được dùng để giải mã cho cặp dấu thông tin. + Khoảng cách Hamming 0 9d = . + Mã này phát hiện được 8 bit sai và sửa được 4 bit sai. + Cấp ngưỡng giải mã là: 5M = . + Tốc độ nhịp của thanh ghi A sẽ nhanh gấp 3 lần tốc độ nhịp của thanh ghi B. + Theo giới hạn Griesmer mã này là mã tối ưu. -9- − Độ dài từ mã chỉ có thể nhận một vài giá trị cụ thể. ( n là bội số của k ) Để tăng khả năng tạo mã và tìm thêm các mã tối ưu mới, tác giả đã nghiên cứu một hướng mở đó là tìm các kiểu phân hoạch mới - phân hoạch hỗn hợp. Các kiểu phân hoạch hỗn hợp mới này được thực hiện theo nhiều nhóm nhân sinh trên một vành đa thức hoặc hai vành đa thức . 2.2. PHÂN HOẠCH HỖN HỢP TRÊN MỘT VÀNH ĐA THỨC Như đã biết các phân hoạch vành đa thức hiện nay đều sử dụng một đa thức sinh cho tất cả các phần tử của vành, và với các phân hoạch không suy biến thì các phần tử của vành được chia làm hai phần bằng nhau, các phần tử có trọng số chẵn và trọng số lẻ. Từ nhận xét này ta thấy rằng nếu ta sử dụng hai hạt nhân để phân hoạch, một hạt nhân dùng để phân hoạch các phần tử lẻ của vành và hạt nhân còn lại dùng để phân hoạch các phần tử chẵn của vành và kết hợp hai phân hoạch này lại với nhau ta được một kiểu phân hoạch mới và là phân hoạch hỗn hợp. Dựa vào phân hoạch mới này ta có thể xây dựng các mã XCB mới có độ dài khác với các mã XCB hiện đã tìm được. Xét vành đa thức 2 []/ 1 n xx + Z , giả sử 1 D và 2 D là hai phân hoạch không suy biến của vành tương ứng với hai hạt nhân phân hoạch là 1 ()qx và 2 ()qx. Khi ta kết hợp toàn bộ các phần tử lẻ của 1 D với toàn bộ các phần tử chẵn của 2 D (hoặc ngược lại) ta được kiểu phân hoạch hỗn hợp mới. Chú ý: Để thuận lợi cho việc giải mã thì 1 ord( ( ))qx và 2 ord( ( ))qx nên là bội của nhau. Với vành 2 []/ 1 n xx + Z , ta chọn 1 ord( ( ))qx n= (hoặc 2 ord( ( ))qx n = ) lúc đó 2 ord( ( ))qx (hoặc 1 ord( ( ))qx sẽ bội của n . Có thể khái quát các bước thực hiện phân hoạch hỗn hợp theo hai nhóm nhân trên vành đa thức 2 []/ 1 n xx + Z như sau:  Bước 1: Xác định max ord( ( ))ax của phần tử trong vành, tính số các ước số của max ord( ( ))ax , số ước số này cũng chính là M (số kiểu phân hoạch không suy biến của vành). -10-  Bước 2: Phân hoạch vành theo hai hạt nhân trong đó phải có ít nhất một hạt nhân có trọng số lẻ. Chọn một hạt nhân phân hoạch 1 ()qx sao cho 1 ord( ( ))qx n= , một hạt nhân phân hoạch thứ hai 2 ()qx với 2 ord( ( ))qx là bội của n . Một hạt nhân có trọng số lẻ được dùng để phân hoạch các phần tử có trọng số lẻ của vành, hạt nhân còn lại được dùng để phân hoạch các phần tử có trọng số chẵn của vành.  Bước 3: Kết hợp các cấp số nhân của hai phân hoạch ở bước 2 với nhau để được một phân hoạch mới. Căn cứ vào phân hoạch mới này ta có thể xây dựng được các mã XCB mới. Một vài nhận xét - Do sử dụng một hạt nhân cho các phần tử lẻ và một hạt nhân cho các phần tử chẵn của vành, mà các hạt nhân này đều cho phân hoạch không suy biến, do đó phương pháp phân hoạch hỗn hợp này cũng là một phân hoạch không suy biến. - Do sử dụng hai nhóm nhân khác nhau cho phân hoạch, mỗi nhóm nhân lại có cấp khác nhau và như thế khi giải mã nhịp giải mã cho mỗi cấp số nhân sẽ khác nhau. Thông thường 2 ord( ( ))qx bằng bội của n cho nên khi giải mã, thanh ghi chứa cấp số nhân 2 D sẽ dịch với nhịp nhanh hơn. - Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này vẫn có tính xyclic trong các dấu mã, do đó việc giải mã vẫn tương tự như với các mã XCB hiện nay và thường sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng theo thủ tục 1. - Lớp mã xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp kiểu này là mã XCBCKNTG do vậy phải sử dụng hai cấp ngưỡng giải mã. Với phương pháp phân hoạch này, ta nên chọn các vành lẻ để dễ thực hiện. 2.3. PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA HAI VÀNH ĐA THỨC KHÁC NHAU Trong các kiểu phân hoạch hiện nay, thì kiểu phân hoạch vành đa thức 2 []/ 1 p xx+Z theo modulo của đa thức ( )hx là kiểu phân hoạch suy biến. Nếu sử dụng kiểu phân hoạch này thì sau khi phân hoạch các phần tử sẽ thuộc vành nhỏ hơn, cụ thể là các phần tử sẽ thuộc vành 1 k x + với deg ( )khxp=<. -15- 2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương 2 của luận án đã đưa ra một số kiểu phân hoạch hỗn hợp mới. Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên một vành đa thức là kiểu phân hoạch không suy biến, do sử dụng một hạt nhân phân hoạch cho toàn bộ các phần tử có trọng số lẻ và một hạt nhân phân hoạch cho các phần tử có trọng số chẵn của vành. Các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này vẫn đả m bảo tính xyclic trong các dấu mã, nên vẫn có thể dùng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường để giải mã. Kiểu phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức được thực hiện theo kiểu lấy modulo của đa thức ( )hx , do đó các mã XCB xây dựng trên phân hoạch hỗn hợp này không có tính xyclic trên các dấu mã. Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một phần tính xyclic và phương pháp giải mã ngưỡng với một vài thay đổi. CHƯƠNG 3 CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA VÀNH ĐA THỨC 3.1. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA MỘT VÀNH ĐATHỨC Phần này xây dựng một bộ mã mới trên phân hoạch hỗn hợp của một vành đa thức. Xét vành đa thức 5 2 []/ 1xx + Z . Phân tích của vành này như sau: 5 234 12 1(1 )(1 ) ()() x xxxxxfxfx+= + + + + + = (3.1) Đây là vành có hai lớp kề xyclic nên ta không xây dựng được các mã xyclic truyền thống tốt trên vành này. Với phương pháp xây dựng mã XCB thì các nghiên cứu cho đến này đã tìm ra được nhiều mã XCB tốt trên vành này, như các mã XCB (15,5) . Thực hiện các bước phân hoạch trong mục 2.2, ta có thể xây dựng được mã XCB (20,5) theo các bước sau đây: + Bước 1: Cấp cực đại của các phần tử trong vành 5 1x + được xác định theo định lý 1.3: 4 max ord( ( )) 2 1 2 1 15 s m ax = −= −= . + Bước 2 : Phân hoạch vành này thành các CGP theo 2 hạt nhân khác nhau: { } 214 1111 (),() (),() (), ,() ()CGP A ax axq x axq x axq x== [...]... Hình 2.3 Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp 2 Vậy nếu ta kết hợp phân hoạch vành x p + 1 với p > k theo modulo của h( x) , và một phân hoạch nào đó trên vành x k + 1 thì ta được một kiểu phân hoạch mới thực hiện trên hai vành, đây cũng là một kiểu phân hoạch hỗn hợp Các phần tử sau phân hoạch đều thuộc vành x k + 1 Để các phần tử sau phân hoạch không bị trùng nhau ta nên chọn một phân hoạch cho các phần tử lẻ của... tập các lớp kề bao gồm các phần tử có trọng số lẻ + Bước 3: Lựa chọn các lớp kề từ hai phân hoạch ở bước 2 ta có thể xây dựng được các mã XCB 2.3.5 Giải mã cho các mã xyclic cục bộ trên hai vành đa thức Để giải mã cho các mã XCB xây dựng trên hai vành đa thức vẫn sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng, tuy nhiên có một vài sửa đổi Gọi A là một lớp kề trong Dấu mã A ( m bit) Dấu mã B ( k bit) phân hoạch. .. phân hoạch hỗn hợp này để tạo mã XCB (n, k ) thì không nhất thiết ta phải chọn các nhóm có cấp là bội số của k Do đó ta có thể tạo các mã XCB với các độ dài khác nhau, điều này làm tăng tính đa dạng của mã XCB, và đó cũng là cơ sở để ta có thể tìm thêm được các mã XCB tối ưu 2.3.4 Cách xây dựng mã xyclic cục bộ trên hai vành đa thức Từ hai phương pháp phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức ở mục 2.2.2... 2 s ; s = 1, 2,3, -12- -13- Trường hợp này có thể tồn tại đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp Tóm lại: Trong trường hợp sử dụng hai vành đa thức x p + 1 và x k + 1 làm phân hoạch hỗn hợp, với p = m.k ( x k + 1 là vành con), nếu k là một số chẵn và có dạng k = 2(2l + 1) , thì ta chỉ có thể tìm được đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp khi Xét hai vành đa thức x p + 1... trường hợp m chẵn và m lẻ thì đều có thể tìm được đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch 2.3.3 Phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức bất kỳ Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức khi có một vành con, ta thấy có một hạn chế đó là: khi vành con ( x k + 1 ) là vành chẵn thì chỉ có một số trường hợp cụ thể ta mới tìm được đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện Để phát triển thêm khả năng thực hiện phân. .. phân hoạch hỗn hợp, ta có thể tiến hành trên hai vành bất kỳ Xét 2 vành x p + 1 và x k + 1 với p > k nếu trên vành x p + 1 ta tìm được đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện h( x) là tích của một vài đa thức bất khả quy và deg h( x) = k thì ta có thể thực hiện được phân hoạch hỗn hợp trên 2 vành này Để có thể dễ dàng tìm được đa thức h( x) ta nên chọn ít nhất một vành là vành lẻ Nếu sử dụng phân hoạch hỗn hợp. .. sinh b( x) Các mã XCB trên hai vành đa thức thường là các mã có khả năng trực giao, và nếu ta sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng thì phải thông qua hai cấp giải mã Theo cách giải mã ngưỡng thông thường thì ở cấp ngưỡng thứ nhất ta sẽ giải mã cho k cặp dấu thông tin, bao gồm các cặp dấu: {(01),(12), ,(k − 2, k − 1),(0, k − 1)} Do vành x p + 1 được phân hoạch theo modulo của h( x) nên khi giải mã, chỉ có... được các giá trị p, k và đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch, h( x) là tích của một vài đa thức bất khả quy và deg h( x) = k , ta thực hiện các bước phân hoạch sau đây: + Bước 1: Chọn a( x) ∈ x p + 1 và b( x) ∈ x k + 1 làm hai phần tử sinh để phân hoạch cho hai vành đa thức, a( x) và b( x) phải thỏa mãn các điều kiện sau: - Ít nhất một đa thức có trọng số lẻ và được dùng để phân hoạch các phần... hóa các bước xây dựng mã XCB trên 2 vành đa thức như sau + một nửa số các phần tử trong vành x k + 1 Bước 2: Thực hiện phân hoạch vành x p + 1 thành các lớp kề theo modulo của h( x) với phần tử sinh a( x) , và phân hoạch vành đa thức x k + 1 thành các lớp kề với phần tử sinh b( x) Sau bước này ta được hai tập các lớp kề bao gồm các phần tử đều thuộc vành x k + 1 , một tập các lớp kề bao gồm các phần... và phân hoạch còn lại cho các phần tử chẵn của vành Ưu điểm của phương pháp phân hoạch này là có thể lợi dụng các nhóm nhân ở vành lớn hơn để tạo mã XCB với độ dài khác mà trên vành đa thức nhỏ hơn không thể tạo được 2.3.1 Điều kiện thực hiện phân hoạch hỗn hợp trên hai vành đa thức Xét hai vành đa thức x p + 1 = Π fi ( x) và x k + 1 = Π g j ( x) j∈J i∈I với p > k , trong đó fi ( x) và g j ( x) là các . giải mã ngưỡng với một vài thay đổi. CHƯƠNG 3 CÁC MÃ XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA VÀNH ĐA THỨC 3.1. MÃ XYCLIC CỤC BỘ TRÊN PHÂN. dựng các mã XCB bằng cách tìm các dạng phân hoạch khác ngoài các dạng đã biết. - Xây dựng các mã XCB trên nhiều kiểu phân hoạch (các mã XCB hỗn hợp)