Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Bài 5 - Đỗ Tú Anh

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 5: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier phần tiếp theo cung cấp cho người học các kiến thức: Phép biến đổi Fourier liên tục, phép biến đổi Fourier rời rạc. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Tín Hiệu Hệ Thống Bài 5: Phép biến đổi Fourier liên tục Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hồn chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tổ chức EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 3: Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier 3.1 Giới thiệu chung 3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn chuỗi Fourier 3.3 Phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.1 Dẫn xuất phép biến đổi Fourier liên tục 3.3.2 Điều kiện áp dụng phép biến đổi Fourier 3.3.3 Phép biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hồn 3.3.4 Các tính chất phép biến đổi Fourier liên tục 3.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hồn ƒ Một tín hiệu liên tục tuần hồn biểu diễn chuỗi Fourier ƒ Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mơ tả miền tần số, tín hiệu liên tục EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Dãy xung chữ nhật Với k = Với k ≠ EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F ƒ Tín hiệu tuần hồn Å Ỉ Chuỗi Fourier ƒ Tín hiệu khơng tuần hồn Å Ỉ Biến đổi Fourier x(t) ƒ Xét xung chữ nhật đơn có độ rộng 2T1 x(t) trường hợp giới hạn dãy xung chữ nhật T → ∞ ƒ Đặt ω = kω0 T → ∞, ω vô nhỏ, -T1 t T1 phổ tín hiệu tiến tới hàm biến liên tục ω ak kω0 ω EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com ω0 https://fb.com/tailieudientucntt Từ chuỗi Fourier đến phép biến đổi F ƒ Định nghĩa hàm phổ X(jω) từ quan hệ X ( jkω0 ) = Tak k, ω0 tùy ý ƒ Đặt xT(t) dãy xung chữ nhật chuỗi Fourier biểu diễn thành ∞ xT (t ) = ∑ X ( jkω0 )e jkω0 k =−∞ T = 2π ∞ ∑ k =−∞ X ( jkω0 )e jkω0 ω0 ƒ Khi T → ∞, xT (t ) → x(t ) x(t ) = 2π ∞ ∫−∞ X ( jω ) = ∫ ∞ −∞ X ( jω )e jωt x(t )e − jωt dt EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 1: Xung chữ nhật đơn ƒ Xét xung chữ nhật khơng tuần hồn đặt không x(t) -T1 ƒ Biến đổi Fourier ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg Khoảng thời gian tồn tín hiệu tỷ lệ nghịch với băng thơng Chú ý, giá trị thực π T1 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com t T1 https://fb.com/tailieudientucntt Định nghĩa phép biến đổi Fourier ƒ Tín hiệu x(t) biến đổi Fourier X(jω) có quan hệ với thơng qua phương trình tổng hợp phương trình phân tích Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier ngược ƒ Ký hiệu cặp biến đổi Fourier ƒ Tương tự, điều kiện hội tụ Dirichlet tồn biến đổi Fourier, giống chuỗi Fourier (T = (−∞, ∞)) 10 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tích chập ƒ Ảnh Fourier tích chập: ƒ Tích chập miền thời gian tương ứng với tích đại số miền tần số ƒ Chú ý ƒ Ứng dụng: Tính đáp ứng hệ LTI Tính ảnh Fourier x(t) h(t) Nhân X(jω) với H(jω) để có Y(jω) Tìm phép biến đổi Fourier ngược Y(jω) 36 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Đáp ứng hệ LTI ƒ Xét hệ LTI với đáp ứng xung ƒ có tín hiệu vào (BĐ Fourier) Chuyển tín hiệu sang miền tần số (Nhân) Đáp ứng miền tần số để chuyển sang miền thời gian, biểu diễn thành tổng phân thức đơn giản (BĐ Fourier ngược) Do đáp ứng miền thời gian 37 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất nhân ƒ Do tính đối xứng phép biến đổi Fourier nên điều ngược lại cúng Định nghĩa tích chập theo ω Một hệ tính chất đối ngẫu 38 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tính chất đối xứng ƒ Ảnh Fourier tín hiệu phức liên hiệp x*(t) F { x (t )} = ∫ x∗ (t )e − jωt dt ∞ ∗ −∞ ∗ ∞ ⎡ = ∫ x(t )e − jωt dt ⎤ = X ∗ (− jω ) ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ ƒ Nếu x(t) tín hiệu thực X (− jω ) = X * ( jω ) ƒ Ảnh Fourier tín hiệu thực hàm đối xứng liên hợp theo ω X ( jω ) = Re { X ( jω )} + Im { X ( jω )} Hàm chẵn Hàm lẻ X ( jω ) = X ( jω ) e jθ (ω ) Hàm chẵn Hàm lẻ 39 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ: Hàm mũ tắt dần ƒ Tín hiệu (khơng tuần hồn) có biến đổi Fourier X ( jω ) = a + jω = a +ω 2 e ⎛ω ⎞ − j arctg ⎜ ⎟ ⎝a⎠ Hàm chẵn Hàm lẻ 40 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Quan hệ Parseval ƒ Sử dụng biến đổi Fourier để tính lượng tín hiệu Ex = ∫ ∞ −∞ ƒ Đặt x(t ) dt g (t ) = x(t ) , với g (t ) ↔ G ( jω ) Ta có Ex = G (0) ƒ Áp dụng tính chất nhân liên hợp g (t ) = x(t ) x∗ (t ) ↔ G ( jω ) = X ( jω ) ∗ X ∗ (− jω ) 2π ƒ Biểu diễn tích chập với ω = Ex = G (0) = 2π ∞ ∫−∞ X ( jλ ) X ∗ ( jλ ) d λ = 2π ∞ ∫−∞ | X ( jλ ) |2 d λ ƒ Do ∞ ∫−∞ x(t ) dt = 2π ∞ ∫−∞ | X ( jω ) |2 dω 41 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Các tính chất BĐ Fourier: Tóm tắt 42 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Điều chế: “Nhúng” tín hiệu mang thơng tin vào tín hiệu khác, ví dụ: điều biên (AM), điều tần (FM) ƒ Điều biên: Biên độ tín hiệu mang có dạng tín hiệu cần truyền tải y (t ) = x(t ) cos(ωc t ) Tín hiệu điều chế y (t ) = Tín hiệu điều chế Tín hiệu mang 1 x(t )e jωct + x(t )e− jωct 2 ƒ Ảnh Fourier tín hiệu y(t) 43 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Phổ tần số x(t) dịch có tâm đặt ωc -ωc ƒ Điều biên sử dụng để chở tín hiệu x(t) từ vị trí đến vị trí khác x(t) khơg thích hợp để truyền kênh có sẵn tín hiệu điều chế y(t) truyền 44 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 1: Điều chế biên độ ƒ Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thơng tin từ tín hiệu điều chế ƒ Nhân y(t) với tín hiệu mang ƒ Ảnh Fourier z(t) 45 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 2: Lấy mẫu ƒ Là thao tác quan trọng việc biến đổi tín hiệu liên tục thành tín hiệu gián đoạn ƒ Nhân x(t) với dãy xung để có chu kỳ lấy mẫu ƒ Ảnh Fourier y(t) ωs = 2π T 46 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 2: Lấy mẫu 47 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 2: Lấy mẫu 48 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 2: Lấy mẫu trùng phổ 49 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ứng dụng 2: Lấy mẫu ƒ Y(jω) chứa đựng phiên X(jω) đặt tần số số nguyên lần tần số lấy mẫu ωs ƒ Nếu ωs > 2ωb Khơng có tượng trùng phổ Tín hiệu x(t) khôi phục từ y(t) Định lý lấy mẫu Shannon ƒ Nếu ωs ≤ 2ωb Phải xử lý tín hiệu x(t) để có băng thơng phù hợp trước lấy mẫu tín hiệu 50 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... Fourier cho tín hiệu tuần hồn ƒ Một tín hiệu liên tục tuần hồn biểu diễn chuỗi Fourier ƒ Các hệ số chuỗi Fourier tạo thành phổ, hay mô tả miền tần số, tín hiệu liên tục EE3000 -Tín hiệu hệ thống... dụ 3: Tín hiệu xung đơn vị ƒ Biến đổi Fourier tín hiệu xung đơn vị tính tốn sau ƒ Biến đổi Fourier tín hiệu xung đơn vị số với ω ƒ Nguyên lý bất định Heisenberg thỏa mãn 14 EE3000 -Tín hiệu hệ thống... hạn 12 EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ 2: Hàm mũ tắt dần ƒ Xét tín hiệu (khơng tuần hồn) ƒ Do biến đổi Fourier 13 EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com