Nghiên cứu điều khiển bám quỹ đạo cho cánh tay robot chịu tác động của trễ biển đổi

Bài viết này nghiên cứu phương pháp điều khiển bám quỹ đạo cho cánh tay robot khi xét tới trễ biến thiên của tín hiệu đầu vào và chịu tác động không xác định của nhiễu. Để điều khiển bù trễ và bù nhiễu cho hệ phi tuyến không xác định này, một tín hiệu bù trễ được định nghĩa, trong đó sử dụng tích phân của tín hiệu điều khiển đo được trong quá khứ.

KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9615 NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO CÁNH TAY ROBOT CHỊU TÁC ĐỘNG CỦA TRỄ BIỂN ĐỔI RESEARCH ON TRACKING CONTROL FOR ROBOT MANIPULATOR SUBJECT TO KNOWN TIME-VARYING INPUT DELAY Đinh Thị Thanh Huyền TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu phương pháp điều khiển bám quỹ đạo cho cánh tay robot xét tới trễ biến thiên tín hiệu đầu vào chịu tác động không xác định nhiễu Để điều khiển bù trễ bù nhiễu cho hệ phi tuyến khơng xác định này, tín hiệu bù trễ định nghĩa, sử dụng tích phân tín hiệu điều khiển đo khứ Tín hiệu điều khiển thiết kế bao gồm tín hiệu bù trễ kết hợp với tín hiệu điều khiển dạng PI Bước phân tích ổn định theo định luật Lyapunov đưa để chứng minh cho sở tốn học thiết kế Chương trình mơ Matlab kiểm chứng hiệu phương pháp điều khiển mơ hình robot bậc tự Từ khố: Trễ tín hiệu điều khiển, điều khiển bền vững, điều khiển phi tuyến ABSTRACT The paper studies on a tracking control method for robot manipulator subject to a known time-varying input delay and an unknown additive disturbance An auxiliary time-delayed signal is defined using the integral of the measured past control input to compenstate for delay The proposed controller includes the compensate signal and a PI term Lyapunov theorems are used to prove the mathematic basis of the controller design The Matlab simulations are performed to show the effectiveness of the proposed method in a 2-degree of freedom robot manipulator Keywords: Input delay, robust control, nonlinear control Khoa Cơ khí, Trường Đại học Giao thơng Vận tải Email:huyentdinh@utc.edu.vn Ngày nhận bài: 05/6/2019 Ngày nhận sửa sau phản biện: 10/7/2019 Ngày chấp nhận đăng: 15/8/2018 TỔNG QUAN Trong hệ thống thực tế, trễ tín hiệu điều khiển điều khơng thể tránh khỏi, ví dụ lực sinh động đốt bị trễ trễ q trình hòa trộn nhiên liệu cháy, hay q trình đánh lửa Hay trễ truyền thông tồn ứng dụng điều khiển từ xa Thời gian trễ gây ổn định giảm chất lượng điều khiển hệ thống Có nhiều phương pháp ổn định điều khiển phát triển cho hệ thống có xét tới trễ tín hiệu đầu vào Trong đó, sở để phân tích ổn định hệ phi 34 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Số 53.2019 tuyến sử dụng phổ biến dựa hàm Lyapunov-Krasovskii (LK) (ví dụ [1, 2]) hay phương pháp Lyapunov-Razumikhin (ví dụ [3, 4]) Ưu điểm hai phương pháp phân tích ổn định áp dụng cho hệ phi tuyến khơng xác định có chịu tác động trễ Thực ra, phương pháp Razumikhin coi biến thể phương pháp Krasovskii, áp dụng cho trường hợp trễ biến thiên có độ lớn bất kỳ, yêu cầu hệ thống khơng có trễ tương ứng phải ổn định dạng ISS (input-to-state stability) Phương pháp Krasovskii khơng đòi hỏi điều kiện ổn định ISS với hệ thống áp dụng cho trường hợp thời gian trễ thay đổi chậm Một số phương pháp điều khiển xây dựng cho hệ phi tuyến khơng xác định có xét tới trễ tín hiệu điều khiển, ví dụ phương pháp [5-8], nhiên phương pháp coi thời gian trễ số Trường hợp xét tới trễ biến thiến tốn khó Đối tượng điều khiển báo cánh tay robot Vấn đề điều khiển tay kẹp robot theo quỹ đạo xác định thông qua giải toán động học ngược trở thành yêu cầu điều khiển biến khớp robot bám theo quỹ đạo mong muốn Việc xác định xác phương trình động lực học robot nhiệm vụ khó thực hiện, phương pháp điều khiển cần phải xét tới tính khơng xác định ảnh hưởng nhiễu tới mơ hình robot Nội dung báo tập trung vào việc thiết kế điều khiển bám quỹ đạo cho robot chuỗi xét tới chất phi tuyến tính khơng xác định phương trình động lực học robot, đồng thời xét tới vấn đề trễ biến thiên tín hiệu điều khiển tác động nhiễu Phương pháp điều khiển đưa bao gồm tín hiệu bù trễ kết hợp với tín hiệu điều khiển dạng PI, tín hiệu bù trễ xây dựng dựa tích phân tín hiệu điều khiển đo khứ Phương pháp điều khiển chứng minh nhờ bước phân tích ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov sai số bám quỹ đạo đảm bảo bị chặn giới hạn thu nhỏ Chương trình mô Matlab kiểm chứng hiệu phương pháp điều khiển áp dụng cho robot bậc tự SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9615 MƠ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC CỦA CÁNH TAY ROBOT Phương trình động lực học robot chuỗi mơ tả dạng phương trình Euler-Lagrange (EL) sau:   Vm (q, q )q  G(q)  d(t)  u(t  τ ) M(q)q (1) Trong đó: M(q)  Rnn ma trận quán tính, Vm ( q, q )  R nn ma trận Coriolis, G(q)  Rn vectơ lực trọng trường, d( t )  R n nhiễu tác động bên thành phần động lực học chưa xét đến lập mơ hình robot, u( t )  R n lực chủ động đặt khớp  ( t )  R n vectơ vị trí, vận tốc gia tốc q(t ), q (t), q khớp robot Giả sử đo vị trí q(t) vận tốc q (t) Xuyên suốt báo, kí hiệu sau sử dụng để biểu diễn hàm có trễ:  h(t- t) hτ ≜  0 t  t, với thời gian trễ τ ( t ) : 0,    R đại lượng xác định biến thiên Các ma trận vectơ Vm, G, d hàm phi tuyến không xác định, giả thiết sau sử dụng để thiết kế tín hiệu điều khiển: Giả thiết 1: Ma trận M(q) đối xứng, xác định hoàn toàn bị chặn, tức tồn số dương biết m1, m2, ε1 cho: 2 với y  Rn , M(q)1  ε1 với kí hiệu  chuẩn Euler vectơ ma trận Giả thiết 2: Các hàm phi tuyến Vm, G tác động d liên tục bị chặn, tức Vm , G, d  L , ra, đạo hàm đạo hàm riêng sau tồn bị chặn: M Vm Vm G , , ,  L  q(t), q (t)  L qi qi q i qi  ( t )  L với  i  1, 2, , n, d ( t ), d  Giả thiết 3: Thời gian trễ τ(t) biến thiên độ lớn tốc độ biến thiên bị chặn số xác định T, φ sau:  (t)  T , τ  φ  MỤC TIÊU ĐIỀU KHIỂN VÀ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO CÁNH TAY ROBOT Mục tiêu tốn điều khiển robot thiết kế tín hiệu u(t) liên tục để điều khiển biến khớp q(t) robot bám theo quỹ đạo cho trước qd(t), giả sử quỹ đạo qd(t) thỏa mãn qd (t ), q(di ) (t )  L  , với i = 1, 2, Từ mục tiêu điều khiển, sai số điều khiển sai số điều khiển phụ trợ định nghĩa sau: e1 ≜ qd - q, e2 ≜ e  a1e1 , 1 r ≜ e  α e  M(q) eu hiệu eu ( t )  Rn tín hiệu phụ trợ bù trễ, định nghĩa sau: t eu ≜   u (θ )dθ (3) t τ(t) Tín hiệu eu(t) đại lượng trung gian có ý nghĩa dự đốn tín hiệu điều khiển u(t), điều thể bước phân tích ổn định tiếp theo, theo luật tích phân Leibniz, dễ nhận thấy đạo hàm theo thời gian eu(t) e u  u  (1  )u  , eu(t) có tác dụng bổ sung tín hiệu điều khiển khơng có trễ vào bước phân tích ổn định cho hệ thống Dựa vào bước phân tích ổn định phần sau, tín hiệu điều khiển u(t) thiết kế sau: u ≜ k  e2  e20    t < t, m1 y  y T M(q) y  m2 y Với α1 ,α  R  số điều khiển dương tín (2) (4) Trong đó, e20 = e2(0)  (t )  Rn nghiệm phương trình vi phân sau đây:   k  a2 e  M(q) 1 e u  (5)  đó, k  R số điều khiển dương Thành phần tín hiệu điều kiển u(t) bao gồm thành phần PI luật điều khiển PID kết hợp với thành phần bù trễ Do giả thiết đo hoàn toàn biến trạng thái vị trí vận tốc q(t ), q (t ), vào định nghĩa (2)-(3), sai số điều khiển e1, e2 tín hiệu đo được, nên sử dụng để thiết kế điều khiển; tín hiệu r tín hiệu khơng đo lường được, sử dụng trình phát triển luật điều khiển Dễ nhận thấy đạo hàm theo thời gian tín hiệu điều khiển u(t) u (t)  kr Phương trình (1) hệ hở viết lại dựa phương trình (1)-(2) sau: d  Vm (q, q )q  G(q)  d  u M(q)r  M(q)q (6)  eu  a1M(q)  e2  a1e1   a 2M(q)e2 Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế phương trình (6) thu phương trình sau: 1 M(q)r   M (q)r  Nd  N  e2  u   (1  )u   u (7) Tiếp tục thay đạo hàm luật điều khiển (4)-(5) thu phương trình hệ đóng sau: 1 M(q)r   M (q)r  Nd  N  e2  kr  u  (8) qd ,  qd , t   Rn , Trong đó, hàm trung gian Nd  qd , q d ,  N  e1 , e , r, t   Rn định nghĩa sau:  (q )q d  M(qd ) Nd  M qd  V m (qd , q d )q d d  (q )  d ,   G  V (q , q )q m d d d d No 53.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 35 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9615  (q)  (q )   N  M qd  M d qd  M( q) qd  M( qd ) qd    (q)   G  V (q, q )q  V (q , q )q  V (q, q )q k ω  Q ≜  1  r  (1 τ ) rτ  2ξ   (q)  e  a e   G (q ) d  a1M  Vm (qd , q d )q 1 d  (q)e  a M(q)e a M(q)  e  a e   a M P  ω1 (1  τ )  u (θ) dθ m m d d 1 d  m 2 ω (1 τ ) t ω (1 τ )  u (θ) dθ  eu  2T t τ d T đó, z ≜  e1T e2T r T euT   R 4n , ε  R  số dương xác định, ρ  z   R  hàm số xác định dương, khả nghịch, không giảm Để thuận lợi cho bước phân tích ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov, hàm số Lyapunov-Krasovskii xác định dương trung gian P, Q  R sau định nghĩa sau: t t  P ≜ ω1    u (θ) dθ  ds  t τ  s (10) t k  ω2  1 r (θ) dθ  2ξ  t τ (11) Chọn miền D  R n  miền bao gồm điểm y(t) = 0, y ( t )  R 4n tập hợp biến sai số định T nghĩa sau: y ≜  z T P Q  PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH THEO TIÊU CHUẨN LYAPUNOV Chọn hàm ứng viên Lyapunov VL (y, t) : D   0,    R liên tục, xác định dương có dạng sau: ω T 1 (12) e1 e1  e 2T e  r T M(q)r  e uT eu  P  Q 2 2 Hàm ứng viên Lyapunov thỏa mãn điều kiện: m ω 2 λ1 y  VL  λ y , với λ1 ≜ min( , , ), λ2 ≜ 2 m2 ω2 max(1, , ) Lấy đạo hàm theo thời gian hai vế 2 phương trình (12), thay (2), (3) (8) vào ta thu được: V  e T  e  α e   e T  r  α e  M(q) 1 e  VL ≜ 1 (15) Giản ước thừa số chung, sử dụng bất đẳng thức: 2 e e2  e1  e , thay giả thiết 1, liên hệ u  kr , (9), (14)-(15) vào (13), ta bất đẳng thức sau:  T  1 1 2   V L    α1   e1   α   e2  ε1 e2T eu 2 2   T T kω2 eu r  kω2 (1 τ ) eu rτ  ε2 r  τ k r T rτ k r  ρ  z  z r  ω1 (1 τ ) t t  τ u (θ) dθ ω1 (1 τ ) k ω  2 eu   1  r  (1 τ ) rτ 2T  2ξ    Áp dụng giả thiết sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta thu được: 2 T 2 r , eu rτ  ξ eu  rτ e uT r  ξ eu  4ξ 4ξ 2 (16) r  rτ , τ   τ 2 Phân tích số điều khiển k thành k = k1 + k2 + k3 áp dụng (16) ta thu được: r T rτ  đó, ω1 , ω , ξ  R  số dương thay đổi (14) t τ Việc phân chia thừa số vào cụm Nd N theo phương pháp thiết kế điều khiển RISE [9, 10] Dựa vào giả thiết 1-3, hàm số Nd N đánh giá bị chặn sau [9, 10]: N    z  z , N  (9) L  t 1 (q)r  e2  M Q≜ 2 u    r TM (q)r T  ω2 euT  u  (1 τ )u τ   P  Q  1  τ  (q)r  Nd  N  e2  kr  τkr r T   M   (13) Đạo hàm bậc theo thời gian (10)-(11) theo luật tích phân Leibniz xác định sau [11]: 36 Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ● Số 53.2019  ω  1 k  VL    α1   e1   k1  1 τ    r 2 ξ       ω (1 τ ) t ε2 γ  2   α    e2  u (θ) dθ    t τ   ω (1 τ )    kω2 ξ(2  τ )  eu  2T  ε2 ρ  z  z   4k 4k (17) Các tham số điều khiển lựa chọn thỏa mãn: 2Tkω2 ξ (2  τ ) ε2 γ , α   , ω1  (1 τ ) ω  k a1  , k1    τ   2 ξ  (18) Ngoài sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, ta có bất đẳng thức: t t     u(θ) tτ s  t   dθ  ds  τ sup   u(θ) dθ  s t τ ,t   s  t   τ  u(θ) dθ tτ SCIENCE - TECHNOLOGY P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9615 mô rõ ràng sai số bám quỹ đạo nhỏ với trường hợp thời gian trễ nhỏ chậm sử dụng định nghĩa (10)-(11), thu được:  ρ z  V L    λ   4k  ω (1  τ )  Q ω 2 ξ  (1 τ ) ε2  z  P  4τ 4k  ε2   χVL  4k (19) Trong đó:  ω ε12 γ k ,k1    τ   α2   2 ξ λ ≜ min    ω1(1 τ)    kω2 ξ(2  τ)  α1  ,  2T      χ ≜ min λ  ρ  z    4k            ω1(1 τ) (1 τ) , ,k1  ω 4τ   ξ  Theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov, từ bất đẳng thức (19), điều chứng tỏ tất sai số điều khiển e1, e2, r, eu bị chặn Điều có nghĩa sử dụng điều khiển thiết kế (4) với tham số điều khiển lựa chọn thỏa mãn u cầu (18) đảm bảo sai số bám quỹ đạo hệ phi tuyến bất định chịu tác động nhiễu trễ biến thiên (1) nằm khoảng bị chặn, giảm khoảng bị chặn sai số điều khiển cách tăng dần tham số điều khiển Kết ổn định dạng UUB KẾT QUẢ MÔ PHỎNG Hiệu điều khiển đưa kiểm chứng qua chương trình mơ xây dựng phần mềm Matlab cho robot bậc tự có phương trình động lực học (1) với: p  2p3 c2 p1  p3 c2   f q  , G   d1  , M  p2   p1  p3 c2  fd2 q   p s q p s2  q  q   0,2sin(t / 2)  Vm   2  , d     p s q  0,1sin(t / 4)    với c2≜ cos(q2), s2 ≜ sin(q2) tham số hệ thống p1 = 3,473kgm2, p2 = 0,196kgm2, p3 = 0,242kgm2, fd1 = 5,3Nm.sec, fd2 = 1,1Nm.sec điều kiện đầu hệ là: T T q(0)   0,  , q (0)   0,  Quỹ đạo mong muốn có dạng sau: Các tham số điều khiển lựa chọn sau: k =diag([100,65]), α1 = diag([4,8]), α2 = diag([14,10]) Để minh họa cho hiệu phương pháp điều khiển giới thiệu, thực mô với thời gian trễ dạng hàm sin với nhiều biên độ tần số khác Hình biểu diễn sai số bám quỹ đạo e1(t) robot trường hợp thời gian trễ là: τ(t) = 5sin(t/2) + 20(ms) Với trường hợp mơ phỏng, giá trị bình phương trung bình (RMS) sai số bám quỹ đạo xác định bảng Kết Hình Sai số bám quỹ đạo trường hợp trễ: τ(t) = 5sin(t/2) + 20(ms) Bảng Sai số bình phương trung bình (RMS) khâu robot với trường hợp khác trễ Thời gian trễ τ(t) (ms) RMS sai số bám quỹ đạo khâu (deg) RMS sai số bám quỹ đạo khâu (deg) 2sin(t/10) + 0,0528 0,0266 2sin(t/10) + 10 0,0571 0,0356 5sin(t/2) + 10 0,0566 0,0358 5sin(t/2) + 20 0,0705 0,0655 Phương pháp điều khiển báo phát triển với giả thiết thời gian trễ xác định hoàn toàn Tuy nhiên, để kiểm tra tính bền vững thuật tốn điều khiển, ta thực mô với thay đổi tham số thời gian trễ Thời gian trễ đưa vào điều khiển khác với thời gian trễ thực hệ thống Lựa chọn thời gian trễ đưa vào điều khiển τ(t) = Asin(t/B) + C (ms) với A = 5, B = 2, C = 10 Bảng đưa kết mô với trường hợp khác trễ thực τ’(t) = A’sin(t/B) + C’ (ms) với thay đổi biên độ A độ dịch C Nhận thấy kết sai số bám quỹ đạo không thay đổi nhiều Như vậy, phương pháp điều khiển mặt lý thuyết đòi hỏi thời gian trễ xác định hồn tồn, mô kết mô bền vững với thay đổi khoảng 30% biên độ độ dịch thời gian trễ Tuy nhiên, khác biệt tần số B dẫn tới ổn định hệ thống Bảng Sai số bình phương trung bình (RMS) khâu trường hợp trễ không xác định Thay đổi thời gian trễ τ’(t) (ms) RMS sai số bám quỹ đạo khâu (deg) RMS sai số bám quỹ đạo khâu (deg) A’ = 70%A 0,0549 0,0339 A’ = 90%A 0,0551 0,0342 A’ = 110%A 0,0551 0,0341 A’ = 130%A 0,0550 0,0340 C’ = 130%C 0,0547 0,0339 A’ = 110%A C’ = 130%C 0,0548 0,0339 No 53.2019 ● Journal of SCIENCE & TECHNOLOGY 37 KHOA HỌC CÔNG NGHỆ KẾT LUẬN Một phương pháp điều khiển bám quỹ đạo cho cánh tay robot xét tới trễ biến thiên tín hiệu đầu vào giới thiệu báo Phương trình động lực học robot mang chất phi tuyến, khơng xác định có tác động nhiễu ngồi Tín hiệu điều kiển thiết kế bao gồm thành phần PI luật điều khiển PID kết hợp với thành phần bù trễ Tín hiệu điều khiển liên tục chứng minh có sai số điều khiển nằm giới hạn bị chặn Bước phân tích ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov sử dụng để chứng minh cho sở toán học thiết kế điều khiển kết mô Matlab minh họa cho hiệu phương pháp Tuy nhiên, hạn chế phương pháp thời gian trễ đòi hỏi xác định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X Li C de Souza, 1997 Delay-dependent robust stability and stabilization of uncertain linear delay systems: a linear matrix inequality approach IEEE Trans Autom Control, vol 42, no 8, pp 1144-1148 [2] V B Kolmanovskii, S.-I Niculescu, J.-P Richard, 1999 On the liapunov-krasovskii functionals for stability analysis of linear delay systems Int J Control, vol 72, pp 374 - 384 [3] B S Razumikhin, 1960 Application of liapunov’s method to problems in the stability of systems with a delay Automat i Telemeh, vol 21, pp 740-749 [4] M Jankovic, 2001 Control Lyapunov-Razumikhin functions and robust stabilization of time delay systems IEEE Trans Autom Control, vol 46, no 7, pp 1048-1060 [5] F Mazenc, S Mondie, R Francisco, P Conge, I Lorraine, F Metz, 2004 Global asymptotic stabilization of feedforward systems with delay in the input IEEE Trans Autom Control, vol 49, (5), pp 844-850 [6] B Chen, X Liu, S Tong, 2008 Robust fuzzy control of nonlinear systems with input delay Chaos, Solitons & Fractals, vol 37, no 3, pp 894-901 [7] M Krstic, 2010 Input delay compensation for forward complete and strictfeedforward nonlinear systems IEEE Trans Autom Control, vol 55, pp 287303 [8] N Sharma, S Bhasin, Q Wang, W E Dixon, 2011 Predictor-based control for an uncertain Euler-Lagrange system with input delay Automatica, vol 47, no 11, pp 2332-2342 38 Tạp chí KHOA HỌC & CƠNG NGHỆ ● Số 53.2019 P-ISSN 1859-3585 E-ISSN 2615-9615 [9] H T Dinh, R Kamalapurkar, S Bhasin W E Dixon, 2014 Dynamic Neural Network-based Robust Observers for Uncertain Nonlinear Systems Neural Networks, pp 44-52 [10] Đinh Thị Thanh Huyền, 2013 Thiết kế mơ thuật tốn điều khiển RISE kết hợp mạng Neuron Network cho mơ hình Robot Tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải, Số đặc biệt - 10/2013, trang 321-324 [11] H T Dinh, N Fischer, R Kamalapurkar, and W E Dixon, 2013 Output Feedback Control for Uncertain Nonlinear Systems with Slowly Varying Input Delay 2013 American Control Conference, Washington DC, USA, pp 1748-1753 AUTHOR INFORMATION Dinh Thi Thanh Huyen Faculty of Mechanical Engineering, University of Transport and Communications ... phương pháp điều khiển bám quỹ đạo cho cánh tay robot xét tới trễ biến thiên tín hiệu đầu vào giới thiệu báo Phương trình động lực học robot mang chất phi tuyến, khơng xác định có tác động nhiễu... gian trễ τ(t) biến thiên độ lớn tốc độ biến thiên bị chặn số xác định T, φ sau:  (t)  T , τ  φ  MỤC TIÊU ĐIỀU KHIỂN VÀ THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN BÁM QUỸ ĐẠO CHO CÁNH TAY ROBOT Mục tiêu toán điều. .. (19), điều chứng tỏ tất sai số điều khiển e1, e2, r, eu bị chặn Điều có nghĩa sử dụng điều khiển thiết kế (4) với tham số điều khiển lựa chọn thỏa mãn u cầu (18) đảm bảo sai số bám quỹ đạo hệ