Giải tích toán học tập 2

PHẠM QUANG TRÌNH – NGUYỄN NGỌC ANH NGUYỄN XUÂN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ▼ô❝ ❧ô❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ỗ số ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶ ✶✳✷ ▲ý tết ỗ ệ ỗ số ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✷ P❤➬♥ ❞➢ ❝ñ❛ ♠ét ỗ số tí t ủ ỗ ộ tụ ệ ộ tụ ủ ỗ số ỗ ệ ộ tụ ỗ ộ tụ tệt ố ỗ ệ t ột số tí t ủ ỗ ộ tơ t✉②Ưt ➤è✐ ❉➲② ❤➭♠ ✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✾ ✶✵ ✶✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✷✳✶ ❙ù ❤é✐ tơ ➤✐Ĩ♠ ✈➭ sù ❤é✐ tơ ➤Ị✉ ❝đ❛ ❞➲② ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✶✳✷✳✷ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❤é✐ tơ ➤Ị✉ ❝đ❛ ♠ét ❞➲② ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✶✳✷✳✸ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❞➲② ❤➭♠ ❤é✐ tơ ➤Ị✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ề ộ tụ ủ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✶✳✸✳✷ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❤é✐ tụ ề ủ ột ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ✶✳✸✳✸ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ỗ ộ tụ ề ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ệ ỗ ũ từ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✹✳✷ ❇➳♥ í ộ tụ ủ ột ỗ ũ từ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼ ✶✳✹✳✸ ❈➳❝ tí t ủ ỗ ũ từ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾ ỗ ỗ ũ từ ễ ễ ✶✳✺ ✶✳✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ rr ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỗ ❋♦✉r✐❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✶✳✺✳✸ ❇✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❤➭♠ sè t ỗ rr ✳ ✳ ✳ ✸✹ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✷✳✶ ✷✳✸ ✸✳✷ ✹✶ ▼ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✹✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶ ✷✳✶✳✷ ●✐í✐ ❤➵♥ ❝đ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸ ✷✳✶✳✸ ❚Ý♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ ❝đ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ➜➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ❤➭♠ sè ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ sè ✷✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ✈➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✷✳✷✳✷ ➜➵♦ ❤➭♠ t❤❡♦ ❤➢í♥❣ ✷✳✷✳✸ ➜➵♦ ❤➭♠ ❤➭♠ ❤ỵ♣ ✷✳✷✳✹ ➜➵♦ ❤➭♠ ✈➭ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ❝❛♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✸ ✷✳✷✳✺ ❈ù❝ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✻ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ✸✳✶ ❍➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè ❍➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ sè✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✶✳✶ ✷✳✷ ❑❤❛✐ tr✐Ó♥ ❤➭♠ số t ỗ ũ từ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐ ✻✺ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺ ✸✳✶✳✶ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ tr➟♥ ❤×♥❤ ❝❤÷ ♥❤❐t ➤ã♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✺ ✸✳✶✳✷ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ tr➟♥ ♠ét t❐♣ ❜Þ ❝❤➷♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽ ✸✳✶✳✸ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✽ ✸✳✶✳✹ ❈➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✾ ✸✳✶✳✺ ➜æ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❤❛✐ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✺ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼ ✸✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✼ ✸✳✷✳✷ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✽ ✸✳✷✳✸ ❈➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✼✾ ✸✳✷✳✹ ➜ỉ✐ ❜✐Õ♥ tr♦♥❣ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜❛ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✵ ✺ ▼ô❝ ❧ơ❝ ✸✳✸ ✸✳✹ ❈➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝đ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✹ ✸✳✸✳✶ ❚Ý♥❤ t❤Ĩ tÝ❝❤ ✈❐t t❤Ĩ ✽✹ ✸✳✸✳✷ ❚Ý♥❤ ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ❤×♥❤ ♣❤➻♥❣ ✸✳✸✳✸ ❚Ý♥❤ ❞✐Ö♥ tÝ❝❤ ♠➷t ❝♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✻ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✽ ❈❤➢➡♥❣ ✹ ✹✳✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ✾✶ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ C1 ✾✶ ✹✳✶✳✶ ➜➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ❧í♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶ ✹✳✶✳✷ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷ ✹✳✶✳✸ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✷ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✹ ✹✳✷✳✶ ❍➢í♥❣ ➤➢ê♥❣ ❝♦♥❣ ✈➭ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ✷ ✾✹ ✹✳✷✳✷ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣ ❧♦➵✐ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✺ ✹✳✸ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ●r❡❡♥✳ ➜Þ♥❤ ❧ý ✹ ♠Ư♥❤ ➤Ị t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✼ ✹✳✹ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✹ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✺ ✹✳✷ ❈❤➢➡♥❣ ✺ ✺✳✶ ✺✳✷ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ✶✵✾ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾ ✺✳✶✳✶ ▼➷t ❝♦♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✾ ✺✳✶✳✷ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶ ✺✳✶✳✸ ❙ù tå♥ t➵✐ ✈➭ ❝➳❝❤ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t ❧♦➵✐ ✶ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵ ✺✳✶✳✹ ❈➠♥❣ t❤ø❝ ❙t♦❦❡s ✈➭ ❖str♦❣r❛❞s❦② ✲ ●❛✉ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✵ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶✼ ✻ ●✐➯✐ tÝ❝❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉ ❇é ●✐➳♦ trì tí ọ t ợ ❜✐➟♥ s♦➵♥ ❜ë✐ t❐♣ t❤Ó t➳❝ ❣✐➯✿ ❚❙✳ P❤➵♠ ◗✉❛♥❣ ❚r×♥❤✱ ❚❤s✳ ◆❣✉②Ơ♥ ❳✉➞♥ ❍✉②✱ ❚s✳ ◆❣✉②Ơ♥ ◆❣ä❝ ❆♥❤✱ ❞ù❛ t❤❡♦ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❦❤✉♥❣ ♠➠♥ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤é✐ ➤å♥❣ ❜é ♠➠♥ ❝đ❛ ❜é ●✐➳♦ ❞ơ❝ ➤➭♦ t➵♦ t❤➮♠ ➤Þ♥❤ ❞ï♥❣ ❝❤♦ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝✱ ♥❤➺♠ ➤➳♣ ø♥❣ ②➟✉ ❝➬✉ ➤➯♠ ❜➯♦ ❝❤✃t ❧➢ỵ♥❣ ✲ ❤✐Ư✉ q✉➯ ➤➭♦ t➵♦ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ö ✈➭ ĩ tt ọ ộ trì ợ s t ị ọ ọ ù ợ ✈í✐ ❦❤✉♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ♠➠♥ ❤ä❝❀ ♣❤ï ❤ỵ♣ ✈í✐ ➤è✐ t➢ỵ♥❣ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ♥❣➭♥❤ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ✲ ❦Ü t❤✉❐t❀ ➢✉ t✐➟♥ ♠ét ❝➳❝❤ râ ♥Ðt ✈✐Ö❝ ✈❐♥ ❞ô♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ❧ý t❤✉②Õt✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ➤➯♠ ❜➯♦ ♠ét ❝➳❝❤ tèt ♥❤✃t tÝ♥❤ ❦❤♦❛ ❤ä❝ ❝đ❛ ❤Ư t❤è♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚❐♣ ✶ ❝đ❛ ❜é ❣✐➳♦ tr×♥❤ ❝✉♥❣ ❝✃♣ ❤Ư t❤è♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ ✈✐ ♣❤➞♥ ✈➭ ♣❤Ð♣ tÝ♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ sè ♠ét ❜✐Õ♥ sè ➤➢ỵ❝ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ tr♦♥❣ ý tết ỗ ✲ ❍➭♠ sè ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸ ✲ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ❜é✐✳ ❈❤➢➡♥❣ ✹ ✲ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ➤➢ê♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✺ ✲ ❚Ý❝❤ ♣❤➞♥ ♠➷t✳ ❈➳❝ t➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣ã♣ ý q✉ý ❜➳✉ ❝đ❛ ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ư♣ ✈➭ ❜➵♥ ➤ä❝ ❣➬♥ ①❛ ➤Ĩ ❜é s➳❝❤ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ✈➭ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❜é s➳❝❤ tí✐ ❜➵♥ ➤ä❝✳ ✽ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❚♦➳♥ ❤ä❝ ý tết ỗ ỗ số ệ ỗ số ị ĩ số tự {un }∞ n=1 ✳ ❇✐Ĩ✉ t❤ø❝ tỉ♥❣ ✈➠ ❤➵♥ ∞ un = u1 + u2 + · · · + un + · · · ✭✶✳✶✮ n=1 ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ột ỗ số un số tổ qt tứ n ủ ỗ ổ n uk = u1 + u2 + · · · + un Sn = k=1 n ủ ỗ số tổ r {Sn } n=1 ❣ä✐ ❧➭ tæ♥❣ r✐➟♥❣ t❤ø ◆Õ✉ ❞➲② n→∞ ❤é✐ tụ ó tì ỗ số ợ ọ ỗ ộ tụ S S ọ tổ ủ ỗ tr trờ ợ t ết ∞ un = u1 + u2 + · · · + un + · · · S= n=1 ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐ ♥Õ✉ ❞➲② {Sn }∞ n=1 ∞ ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tơ t❤× ỗ số un n=0 ọ ỗ ỳ ợ ý tết ỗ í ụ ét ỗ số aq n , n=1 tr♦♥❣ ➤ã a ❧➭ sè ❦❤➳❝ ✵✳ ❚❛ ❝ã aq(1 − q n ) , Sn = 1−q ✰ ◆Õ✉ |q| < lim q n = t❤× n→∞ ✈➭ ❝ã tỉ♥❣ ❧➭ S= ✰ ◆Õ✉ |q| > t❤× ♥➟♥ ❦❤✐ q = lim Sn = n aq 1q ỗ ộ tụ aq 1−q lim q n = ∞ n→∞ ♥➟♥ lim Sn = n ỗ ỳ ễ t q = tì ỗ tr ỳ ỗ ộ tụ ❝❤Ø ❦❤✐ ❧➭ ∞ aq n = n=1 ✶✳✶✳✷ q < 1✳ ❑❤✐ ➤ã tỉ♥❣ ❝đ❛ ♥ã aq 1−q P ủ ột ỗ số sử ỗ {un }∞ n=1 ❤é✐ tơ✳ ❚❛ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♣❤➬♥ ❞➢ t❤ø ỗ ó s n ủ Rn = S Sn = uk k=n+1 ể ỗ ❤é✐ tô✱ ✶✳✶✳✸ lim Rn = n→∞ ❈➳❝ tÝ♥❤ t ủ ỗ ộ tụ ế ỗ n=1 ✈➭ ❝ã tæ♥❣ ❧➭ ∞ un αS ✳ ✈➭ ❝ã tổ S tì ỗ un n=1 ũ ộ tụ ỗ số ế ỗ un n=1 S1 , S2 tì ỗ ù ❤é✐ tơ ✈➭ ❝ã tỉ♥❣ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭ n=1 (un + ) ❝ò♥❣ ❤é✐ tơ ✈➭ ❝ã tỉ♥❣ ❧➭ S1 + S2 ✳ n=1 ❝✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❤é✐ tô ỳ ủ ột ỗ t ổ t❛ ❜ít ➤✐ ♠ét sè ❤÷✉ ❤➵♥ sè ❤➵♥❣ ➤➬✉ t ủ ỗ ó ệ ộ tụ ủ ỗ số un ị í ế ỗ ộ tụ tì n=1 lim un = n→∞ ∞ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ un = Sn − Sn−1 ✳ ❉Ơ t❤✃② ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ un ❤é✐ tơ n=1 ♥➟♥ tå♥ t➵✐ S = lim Sn ✳ n→∞ ❉♦ ➤ã lim un = n ị ý ợ ứ ú ý ề ợ ủ ị ý tr ú í ụ í ụ ét ỗ un ✱ ✈í✐ un = n=1 ❘â r➭♥❣✱ lim un = n n sử ỗ ❤é✐ tô✱ ❦❤✐ ➤ã lim (S2n − Sn ) = n→∞ ▼➷t ❦❤➳❝ 1 + + ··· + n+1 n+2 2n 1 > + + ··· + 2n 2n 2n = = S2n − Sn = ∞ ▼➞✉ t❤✉➱♥ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá ỗ un ỳ n=1 un ộ ị í ✶✳✶✳✸✳ ✭❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛✉❝❤②✮✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤đ ➤Ĩ ỗ n=1 tụ > tồ t sè N0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ p > q ≥ N0 p |Sp − Sq | = | un | < n=q+1 tì ý tết ỗ í ụ ét ỗ n=1 ễ t | sin nx| ≤ ✳ x2 + n3 n3 |un | = sin nx x2 + n ∞ n=1 n ỗ ộ tụ t t rstrss ỗ ộ tụ tệt ố ề tr R í t ủ ỗ ộ tụ ề ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞② s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ ø♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ❞➲② ❤➭♠ ❤é✐ tơ ề un un ị í ỗ tụ tr [a, b], n ỗ ộ n=1 tơ ➤Ị✉ ➤Õ♥ S tr➟♥ [a, b] t❤× S [a, b]✳ ❝ò♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ ∞ un ✱ un ị í ỗ tụ tr [a, b], n ỗ ộ n=1 tụ ề ế S tr➟♥ [a, b] t❤× b b ∞ S(x)dx = a b ∞ un dx = a n=1 un dx n=1 a ∞ un ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳✼✳ ●✐➯ sư n=1 (a, b)✳ ❤é✐ tô tr➟♥ (a, b) ➤Õ♥ S ✱ un ❦❤➯ ✈✐ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ∞ un ❑❤✐ ➤ã ♥Õ✉ ỗ ộ tụ ề tr (a, b) n=1 S (x) = ( ∞ un ) = n=1 un n=1 t❤× S ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ (a, b) ✷✼ ỗ ũ từ ỗ ũ từ ệ ỗ ũ từ ỗ ũ từ ỗ ó ❞➵♥❣ ∞ an x n = a0 + a1 x + · · · + an x n + · ã ã n=0 ị í ế ỗ an x n ❤é✐ tơ t➵✐ x0 t❤× ♥ã ❤é✐ tơ t✉②Ưt n=0 ➤è✐ ✈➭ ➤Ị✉ t➵✐ ♠ä✐ x t❤á❛ ♠➲♥ |x| < |x0 |✳ ∞ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ an xn0 ❚❤❡♦ ❣✐➯ t❤✐Õt✱ ❤é✐ tơ✱ n=0 {an xn0 }n ❜Þ ❝❤➷♥✱ tø❝ ❧➭ ∃M > t❤á❛ ♠➲♥ ∞ ❳Ðt ỗ an xn |x| < |x0 | t ó n=0 n=0 |an xn0 ỗ số qn ♥➟♥ ❞➲② |an xn0 | ≤ M, ∀n✳ ∞ an x n = ❚❛ ❝ã an xn0 → 0(n → ∞) an xn0 n=0 xn xn0 xn xn n | ≤ M q ( tr♦♥❣ ➤ã q = | | < 1) xn0 xn0 ộ tụ ỗ an xn0 xn xn0 ❤é✐ tơ t✉②Ưt ➤è✐ ✈➭ ➤Ị✉ n=0 n=0 t t rstrss ị ý ợ ứ an x n ệ q ế ỗ ♣❤➞♥ ❦ú t➵✐ x = x1 t❤× ♥ã ♣❤➞♥ ❦ú t➵✐ n=0 t❤á❛ ♠➲♥ ✶✳✹✳✷ |x| > |x1 |✳ ❇➳♥ í ộ tụ ủ ột ỗ ũ từ ét x=0 tì ỗ n=0 an xn ộ tụ x ý tết ỗ R [0, +) ó ột số s ỗ an x n ❤é✐ tô n=0 (−R, R) ✈➭ ♣❤➞♥ ❦ú tr♦♥❣ (−∞, −R) ✈➭ (R, +∞)✳ ✰ ❚➵✐ ❤❛✐ ➤➬✉ út R, R ỗ ó tể ộ tụ ❦ú✳ ❙è R ♥❤➢ t❤Õ ❣ä✐ ❧➭ ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ❤é✐ tụ ủ ỗ ũ từ (R, R) tệt ố tr➟♥ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹✳✸✳ ✭◗✉② t➽❝ t×♠ an+1 | = l ❤♦➷❝ lim lim | n n an í ộ tụ ủ ỗ ũ t❤õ❛✮✳ ∞ n |an | = l t❤× ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ộ tụ ủ ỗ ế an x n n=0 ợ tÝ♥❤ ♥❤➢ s❛✉     l R=    +∞ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ♥Õ✉ < l < +∞ ♥Õ✉ l = +∞ ♥Õ✉ l=0 ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤♦ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ lim | n→∞ ❧➵✐ ❧➭♠ ❤♦➭♥ t♦➭♥ t➢➡♥❣ tù✳ an+1 | = l✱ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❝ß♥ an ◆❤❐♥ t❤✃② ◆Õ✉ |x0 | < an+1 xn+1 an+1 = x n an x an < l < +∞✱ ➤➷t R = ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ✈í✐ l l lim n ỗ ộ tụ t ể n x1 ề ỗ ➤➲ ❝❤♦ ❧➭ R = l ◆Õ✉ l = t❤× ✈í✐ ♠ä✐ x0 ∈ R t❛ ❝ã n→∞ t❤× t❤á❛ ♠➲♥ |x1 | > R t❤× an+1 x1 = l|x1 | > an ĩ ỗ ❦ú t➵✐ ➤✐Ó♠ lim x0 ∈ (−R, R) an+1 x0 = l|x0 | < an x0 ✳ ◆❣➢ỵ❝ ❧➵✐ x1 lim ỗ ứ tỏ í ộ tơ ❝đ❛ an+1 x0 = l|x0 | = an ỗ ũ từ ĩ ỗ ộ tụ t➵✐ x0 ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ❤é✐ tụ ủ ỗ R = + ế l = +∞ t❤× ✈í✐ ♠ä✐ x0 = t❛ ❝ã ❝❤♦ ❧➭ an+1 x0 = l|x0 | = +∞ an lim n→∞ x0 = ➤ã ❜➳♥ ❦Ý♥❤ ❤é✐ tô tr♦♥❣ trờ ợ R = ĩ ỗ ♣❤➞♥ ❦ú t➵✐ ♠ä✐ x0 = ✳ ❚➵✐ râ r ỗ ộ tụ ị ý ợ ứ í ụ ét ỗ ũ từ x+ x2 x3 xn + + ··· + + ··· n ❚❛ ❝ã lim | n→∞ ❉♦ ➤ã ❉Ô R = ỗ ộ t x = ỗ ♠✐Ị♥ ❤é✐ tơ ❝đ❛ n an+1 |=| | = an n+1 tơ t✉②Ưt ➤è✐ tr➟♥ (−1, 1)✳ ♣❤➞♥ ❦ú✱ x = ỗ ỗ [1, 1) ộ tụ ét ỗ ũ từ x+ x2 x3 xn + + ··· + + ··· 2! 3! n! ó lim | n ỗ ộ tụ tr ✶✳✹✳✸ an+1 | = |=| an n+1 R✳ tí t ủ ỗ ũ từ í t ỗ an x n n=0 tr ộ tụ ❝đ❛ ♥ã✳ ❤é✐ tơ ➤Ị✉ tr➟♥ ♠ä✐ ➤♦➵♥ [a, b] ý tết ỗ tí t s s✉② trù❝ t✐Õ♣ tõ tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ ø♥❣ ➤è✐ ✈í✐ ỗ ó í t ổ ủ ỗ an x n ột tụ tr n=0 ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥ã✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✸✳ ❈ã tể tí từ số ủ ỗ ũ t❤õ❛ tr➟♥ ♠ä✐ ➤♦➵♥ [a, b] ♥➺♠ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥ã b ∞ b ∞ n an x n an x dx = a ➜➷❝ ❜✐Ưt✱ ✈í✐ n=0 ∀x ∈ (−R, R) x ∞ an tn dt = a0 x + n=0 n=0 a tì ỗ an n+1 a1 a2 x + x + ··· x + ··· n+1 ❝ò♥❣ ❝ã ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ ❧➭(−R, R)✳ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✹✳ ❈ã t❤Ĩ ❧✃② từ số ủ ỗ ũ từ tr ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥ã ∞ ∞ (an xn ) = a1 + 2a2 x + · · · + nan xn−1 + · · · n ( an x ) = n=0 n=0 ỗ ợ s ũ ó ù ộ tụ ỗ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ◆Õ✉ t✐Õ♣ tô❝ ➳♣ ❞ô♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✹✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❧✃② ➤➵♦ ❤➭♠ ✈➠ sè ❧➬♥ tr♦♥❣ ❦❤♦➯♥❣ ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥ã✳ ✶✳✹✳✹ ❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❤➭♠ sè t ỗ ũ từ sử f (x) ó ❤➭♠ ♠ä✐ ❝✃♣ tr♦♥❣ ∞ S(x) = n=0 (−R, R)✳ f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! ❑❤✐ ó ỗ ũ từ ọ trể ❚❛②❧♦r ❝ñ❛ ❤➭♠ ◆Õ✉ x0 = f t➵✐ x0 ✳ t❤× ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ tr➟♥ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✳ ∞ S(x) = n=0 f (n) (0) n x , S(0) = f (0) n! ❚❤❡♦ ❝➠♥❣ t❤ø❝ ❚❛②❧♦r ✭●✐➯✐ ❚Ý❝❤ ✶✮ t❛ ❝ã f (x) = Sn (x) + Rn (x) f (k) (x0 ) f (n+1) (ξ) k tr♦♥❣ ➤ã Sn (x) = (x − x0 ) , Rn (x) = (x − x0 )n+1 ✱ k! (n + 1)! k=0 ✈í✐ ξ ❧➭ ♠ét ➤✐Ĩ♠ ♥➭♦ ➤ã ữ x x0 ó ị ý s❛✉ n x0 ✱ ❤➭♠ sè f ❝ã tr✐Ó♥ f t ỗ ị í sử tr ột ❧➞♥ ❝❐♥ ♥➭♦ ➤ã ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ ➤➵♦ ❤➭♠ ♠ä✐ ❝✃♣✳ ◆Õ✉ lim Rn (x) = n→∞ t❤× ❝ã t❤Ĩ ❦❤❛✐ ❚❛②❧♦r tr♦♥❣ ❧➞♥ ❝❐♥ ➤ã✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ❞♦ lim Rn (x) = ♥➟♥ f (x) = lim Pn (x) ❤❛② n→∞ n→∞ ∞ f (x) = n=0 f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! ị ý ợ ứ I ó ủ x0 , f ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ |f (n) (x)| < M, ∀n = 1, 2, · · · , ∀x ∈ I ✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹✳✺✳ ◆Õ✉ tr♦♥❣ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ M >0 ➤ã S(x) = f (x) ❤❛② ❝✃♣ ✈➭ tå♥ t➵✐ s❛♦ ❝❤♦ ∞ f (x) = n=0 ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ❤➭♠ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ f f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! ➤➢ỵ❝ ❦❤❛✐ trể t ỗ r t t ó |f (n+1) (ξ)| M |Rn (x)| = |x − x0 |n+1 ≤ |x − x0 |n+1 (n + 1)! (n + 1)! ọ ý tết ỗ xn xn ộ tụ ✈í✐ ♠ä✐ x ♥➟♥ → ❦❤✐ n → ∞✳ n! n=1 n! M |x − x0 |n+1 → ❦❤✐ n → ∞ ❤❛② lim Rn (x) = 0✳ n (n + 1)! + ỗ ó ➤Þ♥❤ ❧ý ✹✳✶✳✹ t❛ ❝ã ➤✐Ị✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳ f (x) = ex , x0 = 0✳ ❉Ô t❤✃② f (n) (x) = ex , ∀n✳ (−A, A) ❜✃t ❦ú ❝ñ❛ ✵✱ ∀n, ∀x ∈ (−A, A) t❛ ❝ã ❱Ý ❞ô✳ ❳Ðt ❤➭♠ ❧➞♥ ❝❐♥ ❳Ðt tr➟♥ f (n) (x) ≤ eA = M ❉♦ ➤ã t❛ ❝ã f (x) = S(x) = + x + ❑❤❛✐ tr✐Ó♥ tr➟♥ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ xn x2 x3 + + ··· + + ··· 2! 3! n! x ∈ R✳ ▼ét sè ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ▼❛❝❧❛✉r✐♥ ❝đ❛ ❝➳❝ ❤➭♠ t❤➢ê♥❣ ❣➷♣✳ x3 x5 x2n−1 + − · · · + (−1)n−1 + · · · , x ∈ R 3! 5! (2n − 1)! x2 x4 x2n ❜✮ cos x = − + − · · · + (−1)n + · · · , x ∈ R 2! 4! (2n)! α(α − 1) · · · (α − n + 1) n ❝✮ (1 + x)α = + αx + · · · + x + · · · , x ∈ (−1, 1) n! n x x x ❞✮ ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n+1 + · · · , x ∈ (−1, 1) n 2n−1 x3 x5 x ❡✮ arctan x = x − + − · · · + (−1)n−1 + · · · , x ∈ [−1, 1] (2n − 1) ❛✮ sin x = x ỗ rr ỗ ợ ị ĩ ỗ ợ ỗ ó ∞ a0 + (an cos nx + bn sin nx) n=0 an , bn , n = 1, 2, · · · , ∞ ❧➭ ❝➳❝ sè t❤ù❝✳ ❤➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t un = an cos nx + bn sin nx tr♦♥❣ ➤ã ❙è ❧➭ ❤➭♠ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ❝❤✉ ✸✸ ✶✳✺ ỗ rr ỳ ét |un | ≤ |an | + |bn | ❞♦ ➤ã ♥Õ✉ ❤❛✐ ỗ n=0 tì t ệ rstrss ỗ a0 + ∞ an , bn ❤é✐ tô n=0 (an cos nx + bn sin nx) n=0 ❤é✐ tơ t✉②Ưt ➤è✐ ✈➭ ➤Ị✉✳ ◆❣➢ê✐ t❛ ❝ò♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢ỵ❝ ♥Õ✉ ❤❛✐ tớ tì ỗ ợ ộ tụ t ọ f ệ ỗ rr f ị ĩ ✶✳✺✳✷✳ ❈❤♦ ❤➭♠ {an }, {bn } ➤➡♥ ➤✐Ó♠ x = k2π ✳ ❧➭ ❤➭♠ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ❝❤✉ ❦ú 2π ỗ rr ủ ị s a0 + (an cos nx + bn sin nx) S(x) = n=0 ❚r♦♥❣ ➤ã π a0 = π f (x)dx −π π an = π f (x) cos nxdx −π π bn = π f (x) sin nxdx −π ❈❤ó ý✳ ◆Õ✉ f ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➯ tÝ❝❤ tì ỗ rr tồ t s tr trờ ợ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ S(x) ❝ñ❛ ♥ã ❧✉➠♥ f (x) = S(x)✳ ❚❛ sÏ t×♠ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤Ĩ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ tr➟♥ ①➯② r❛ ❞✃✉ ❜➺♥❣✳ f : [a, b] −→ R ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tõ♥❣ ❦❤ó❝ tr➟♥ ➤♦➵♥ [a, b] ♥Õ✉ ❝ã t❤Ĩ ❝❤✐❛ ➤♦➵♥ [a, b] t❤➭♥❤ ❤÷✉ ❤➵♥ ♣❤➬♥ ❜ë✐ ❝➳❝ ➤✐Ó♠ ❝❤✐❛ a = x0 , x1 , · · · , xn = b s❛♦ ❝❤♦ ✰ ❍➭♠ sè f (x) ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ ❝➳❝ ➤♦➵♥ [xi−1 , xi ], ∀i = 1, 2, · · · n ị ĩ số ý tết ỗ xi1 ế số ệ tr ỗ [xi−1 , xi ], ∀i = 1, 2, · · ã n tì ợ số f (x) ó ❣✐í✐ ❤➵♥ tr➳✐ t➵✐ xi ✈➭ ❣✐í✐ ❤➵♥ ♣❤➯✐ t➵✐ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tõ♥❣ ❦❤ó❝✳ f (x) t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú 2π ❋♦✉r✐❡r ❝đ❛ ♥ã ❤é✐ tơ ✈➭ ❝ã tỉ♥❣ ❜➺♥❣ f (x)✳ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✺✳✹✳ ◆Õ✉ ❤➭♠ sè ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✺✳✺✳ ✭❉✐r✐❝❤❧❡t✮✳ ◆Õ✉ ❤➭♠ sè ✈➭ ❦❤➯ tì ỗ f : R R t ❝ã ❝❤✉ ❦ú 2π ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥ ♠ét tr♦♥❣ ❤❛✐ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉ f (x) ❧✐➟♥ tơ❝ tõ♥❣ ❦❤ó❝ ✈➭ ❝ã ➤➵♦ ❤➭♠ f (x) ❧✐➟♥ tơ❝ tõ♥❣ ❦❤ó❝✳ ✰ ❍➭♠ sè f (x) ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tõ♥❣ ❦❤ó❝ ✈➭ ❜Þ ó ỗ rr ủ f ộ tụ t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ ✈➭ tỉ♥❣ S ❝đ❛ ♥ã ❜➺♥❣ f t➵✐ ♠ä✐ ➤✐Ĩ♠ ♠➭ f ❧✐➟♥ tơ❝✳ ❚➵✐ ❝➳❝ ➤✐Ĩ♠ ❣✐➳♥ ➤♦➵♥ x0 ❝ñ❛ f ✱ ✰ ❍➭♠ sè S(x) = (f (x0 + 0) + f (x0 − 0)) ể ễ số t ỗ rr ỗ rr ủ rờ ❤ỵ♣ f (x) ❧➭ ❤➭♠ ❧❰✳ ❉Ơ t❤✃② tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ❝đ❛ ❤➭♠ f a0 = 0, an = 0, ∀n✳ ❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❋♦✉r✐❡r ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ∞ S(x) = bn sin nx n=0 ❚r♦♥❣ ➤ã π bn = π π f (x) sin nxdx = π −π ✰ ❚r➢ê♥❣ ❤ỵ♣ f (x) f ❧➭ ❤➭♠ ❝❤➼♥✳ ❉Ơ t❤✃② tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ♥➭② ❤➭♠ f (x) sin nxdx bn = 0, ∀n✳ ❑❤❛✐ tr✐Ó♥ ❋♦✉r✐❡r ❝đ❛ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❞➢í✐ ❞➵♥❣ ∞ a0 + S(x) = an cos nx n=0 ỗ rr r ➤ã π a0 π f (x)dx = π = π −π π an = π f (x)dx π f (x) cos nxdx = π −π f (x) cos nxdx ỗ rr ủ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ❝ã ❝❤✉ ❦ú ❦❤➳❝ ●✐➯ sö ❧➭ ❤➭♠ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú f ①Ðt g(t) = f ( ❉Ô t❤✃② g 2π ✳ πx ✱ 2L, L = π ✳ ➜➷t t = L Lt ) = f (x) π ❧➭ ❤➭♠ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú 2π ✳ ●✐➯ sư g ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❋♦✉r✐❡r ♥❤➢ s❛✉ ∞ a0 (an cos nt + bn sin nt) g(t) = + n=0 ❚r♦♥❣ ➤ã π a0 = π g(t)dt −π π an = π g(t) cos ntdt −π π bn = π g(t) sin ntdt −π ❑❤✐ ➤ã f ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❋♦✉r✐❡r ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♥❤➢ s❛✉ ∞ ✈➭ a0 πx πx f (x) = + (an cos(n ) + bn sin(n )) L L n=0 ý tết ỗ r ó L π π f (x)dx π −π L a0 = = L f (x)dx, −L π π πx an = f (x) cos(n )dx = π −π L L L π π πx bn = f (x) sin(n )f x = π −π L L L L f (x) cos(n −L L f (x) sin(n a = 0✱ t❛ ❝ã t❤Ó ❦❤❛✐ tr✐Ó♥ ❤➭♠ ❈➳❝❤ ✶✳ ▼ë ré♥❣ ❤➭♠ f f πx )dx L −L ỗ rr ủ ột t ỳ ị tr➟♥ ●✐➯ sö πx )dx, L [a, b]✳ t❤❡♦ ❝➳❝ ❝➳❝❤ s❛✉✳ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ R ✈➭ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú b✳ ❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❋♦✉r✐❡r ❝đ❛ ❤➭♠ ♠ë ré♥❣ ế ỗ ợ tr ➤♦➵♥ [a, b] t❛ ❝ã ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❝➬♥ t×♠✳ ❈➳❝❤ ✷✳ ▼ë ré♥❣ ❤➭♠ f t❤➭♥❤ ❤➭♠ ❝❤➼♥ f tr➟♥ ➤♦➵♥ [−b, b]✱ tr♦♥❣ ➤ã f (x) = f (−x), [b, 0) trể ỗ rr ủ f t ế ỗ ợ tr [0, b] t ó ỗ tì ✸✳ ▼ë ré♥❣ ❤➭♠ f t❤➭♥❤ ❤➭♠ ❧❰ f tr➟♥ ➤♦➵♥ [−b, b]✱ tr♦♥❣ ➤ã f (x) = −f (−x), [b, 0) trể ỗ rr ủ f t ế ỗ ợ tr [0, b] t ó ỗ tì í ❞ơ✳ ❑❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❋♦✉r✐❡r ❤➭♠ sè f (x) = x2 ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ ➤♦➵♥ [−π, π]✳ ❳Ðt ❤➭♠ g ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ❝đ❛ t✉➬♥ ❤♦➭♥ tr➟♥ g R ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú 2π ✱ g|[−π,π] = f ✳ ●✐➯ sö ❧➭ ∞ a0 S(x) = + (an cos nx + bn sin nx) n=0 ❉Ô t❤✃② g ❝❤➼♥ ♥➟♥ bn = 0✱ ❞ï♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ t❤ø❝ tÝ♥❤ ❤Ö sè ❋♦✉r✐❡r ✸✼ ỗ rr t tì ợ ó ó a0 = π , an = (−1)n n2 ∞ π2 + (−1)n cos nx S(x) = n n=0 ∞ π2 f (x) = + (−1)n cos nx, ∀x ∈ [−π, π] n n=0 ý tết ỗ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ❑❤➯♦ s➳t sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ỗ ó số tổ qt s 2n + n 3n + 3n + n2 − ✸✳ un = arctan n2 + 1 ✺✳ un = ln(1 + tan ) n2 n(n + ✼✳ un = ) n + ln√n n2 + n ✾✳ un = ln tan 2 n −n n ln n ✶✶✳ un = n2 ✶✳ un = ✷✳ un = √ n2 + n − n un = − cos √ n + cos n ✻✳ un = nα ✽✳ un = √ (e1/n − 1) n kn ✶✵✳ un = (k > 0) nk √ n x √ ✶✷✳ un = dx + x2 n+ 12 dx √ ✶✹✳ un = + x4 n n2 ✶✻✳ un = n! 2.4.6 (2n) ✶✽✳ un = nn 2n − n ✷✵✳ un = ( ) 3n2 + ✷✷✳ un = (arctan )n n ✹✳ n2 π ) n2 + an + b = (2n − 1).22n−1 n2 = n +n an ,a > = n +1 2n − n ln n =( ) 2n + b (n!)2 ✷✹✳ un = tann (a + ), (0 < a ≤ π/2, b > 0) = (2n)! n2 √ 4n (n!)2 = ✷✻✳ un = sin(π n2 + 1) (2n)! n2 = sin( + n)π ✷✽✳ un = (−1)n n (ln n)n √ n n2 + (−1) n ✸✵✳ un = (−1)n = 1+n n3 + ✶✸✳ un = cos( ✶✺✳ un ✶✼✳ un ✶✾✳ un ✷✶✳ un ✷✸✳ un ✷✺✳ un ✷✼✳ un ✷✾✳ un ❇➭✐ ✷✳ ❑❤➯♦ st ộ tụ tí tổ ủ ỗ ó sè ❤➵♥❣ tæ♥❣ q✉➳t s❛✉✿ ✶✳ un = (2n − 1)(2n + 1) ✷✳ un = n2 +n ✶✳✻ ❇➭✐ t❐♣ ❝❤➢➡♥❣ ✶ ✸✾ 2n + + 1)2 n un = n + n2 + 2n + n2 + n α π π un = ln(2 cos n − 1), (α ∈ (− , )) 3 ✸✳ ✺✳ un = ❇➭✐ ✶✳ ✸✳ un = (−1)n+1 ✹✳ n2 (n ✻✳ ❑❤➯♦ s➳t sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❝➳❝ ❞➲② ❤➭♠ sè x nx fn (x) = , gn (x) = x+n + nx ❛✳ tr➟♥ ➤♦➵♥ [0, 1] ❜✳ tr➟♥ ❦❤♦➯♥❣ [1, +∞)✳ ✷✳ ❈❤♦ ❞➲② ❤➭♠ sè {fn } ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ fn : [0, 2] → R, x → fn (x) = xn ❑❤➯♦ s➳t sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ❞➲② ❤➭♠✱ sù ❤é✐ tơ ➤ã ❝ã ➤Ị✉ + xn ❦❤➠♥❣❄ ❇➭✐ ✹✳ ∞ n=1 2n−1 ✶✳ ❈❤ø♥❣ r ỗ số ề tr [1, 1] nxen x ứ r ỗ sè n=1 ∞ 2x + n ) x+2 ❤é✐ tụ ộ tụ ề tr nenx ứ r ỗ ❤➭♠ sè ❇➭✐ ✺✳ ( R✳ ❤é✐ tơ ➤Ị✉ tr➟♥ n=1 [a, +∞) ✈í✐ a > ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tụ ề tr í tổ ủ ỗ số ➤ã ✈í✐ ❇➭✐ ✻✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ❤➭♠ sè ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❦❤➯ ✈✐ tr➟♥ ❇➭✐ ✼✳ x > 0✳ fn (x) = [0, +∞)✳ ∞ n=1 n(n + x) ①➳❝ ➤Þ♥❤✱ R+ ✳ ❈❤♦ ❝➳❝ ❤➭♠ sè✿ un (x) =  xn+1 ln x ♥Õ✉ 0 0) n un (x) = ( ❇➭✐ ✾✳ (x − 4)n √ n (5x)n ✹✳ un (x) = n! ✻✳ un (x) = (nx)n xn un (x) = (−1)n−1 n! ✷✳ ✽✳ un (x) = ❚×♠ ề ộ tụ ủ ỗ ũ từ ó số ❤➵♥❣ tỉ♥❣ q✉➳t s❛✉ ✈➭ tÝ♥❤ tỉ♥❣ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣✿ un (x) = (2n + 3n )xn , n ≥ trể t ỗ rr số f (x) ❧❰✱ t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú T = 2π ✱ ❜➺♥❣ π − x ✈í✐ < x < trể t ỗ rr số f (x) ❝❤➼♥✱ t✉➬♥ 2x ✈í✐ ≤ x ≤ π ✳ ❚õ ➤ã s✉② r❛ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú T = 2π ✱ ❜➺♥❣ − π ✶✳ un (x) = (3n + 1)x3n , n ≥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ tỉ♥❣✿ ✷✳ ∞ n=1 ❇➭✐ ✶✷✳ ❝❤✉ ❦ú trể t ỗ rr số T = ✱ x2 1− π ❜➺♥❣ ❝đ❛ tỉ♥❣✿ ∞ n=1 ❇➭✐ ✶✸✳ (2n + 1)2 ❈❤♦ sè t❤ù❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥ R α=Z ✈í✐ −π ≤ x ≤ π ✳ f (x) t✉➬♥ ❤♦➭♥ ✈í✐ ❚õ ➤ã s✉② r❛ ❣✐➳ trÞ ∞ (−1)n , n2 n=1 n2 ✈➭ ❤➭♠ sè t✉➬♥ ❤♦➭♥ f ✈í✐ ❝❤✉ ❦ú 2π ❜ë✐ f (x) = cos αx, x ∈ [−π, ) ứ r f ỗ rr tr ết ỗ rr ủ R tụ tr R f ❦❤❛✐ tr✐Ĩ♥ ➤➢ỵ❝ t❤➭♥❤ f✳ ❜✮ ❑✐Ĩ♠ tr❛ ❧➵✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝ ∞ π (−1)n = + 2α sin απ α α2 − n2 n=1 ... n ❝❤➼♥✿ n = 2m✱ Sn = S2m = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2m−1 − u2m ) ◆Õ✉ n ❧❰✿ n = 2m + 1✱ Sn = S2m+1 = (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + · · · + (u2m−1 − u2m ) + u2m+1 {S2m }m , {S2m+1 }m ❧➭... ❞➲② {S2m }m ✱ ❞Ô t❤✃② ❞➲② tr➟♥ t➝♥❣✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❘â r➭♥❣ S2m = u1 − (u2 − u3 ) − (u4 − u5 ) − · · · − u2m ≤ u1 ❉♦ ➤ã tå♥ t➵✐ ❳Ðt ❞➲② lim S2m = S ≤ u1 ✳ m→+∞ {S2m+1 }m ✱ t❛ ❝ã S2m+1 = S2m + u2m+1... = n=1 ❘â r➭♥❣✱ lim un = 0✳ n→∞ ✳ n sử ỗ ộ tụ ó lim (S2n − Sn ) = n→∞ ▼➷t ❦❤➳❝ 1 + + ··· + n+1 n +2 2n 1 > + + ··· + 2n 2n 2n = = S2n − Sn = ∞ t ứ tỏ ỗ un ỳ n=1 ∞ un ❤é✐ ➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶✳✸✳ ✭❚✐➟✉