Chương 1 Lý thuyết chuỗi 9 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Khái niệm chuỗi số 1.1.2 Phần dư của một chuỗi số 1.1.3 Các tính chất của chuỗi hội tụ 1.1.4 Tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi số 1.1.5 Chuỗi dương, các dấu hiệu hội tụ 1.1.6 Chuỗi hội tụ tuyệt đối 1.1.7 Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Leibnitz 1.1.8 Một số tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 1.2 Dãy hàm 1.2.1 Sự hội tụ điểm và sự hội tụ đều của dãy hàm 1.2.2 Điều kiện hội tụ đều của một dãy hàm 1.2.3 Các tính chất của dãy hàm hội tụ đều 1.3 Chuỗi hàm 1.3.1 Miền hội tụ của chuỗi hàm 1.3.2 Điều kiện hội tụ đều của một chuỗi hàm 1.3.3 Tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 1.4 Chuỗi lũy thừa 1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa 1.4.2 Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa 1.4.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 1.4.4 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 1.5 Chuỗi Fourier 1.5.1 Chuỗi lượng giác 1.5.2 Chuỗi Fourier 1.5.3 Biểu diễn hàm số thành chuỗi Fourier 1.6 Bài tập chương 1 Chương 2 Hàm số nhiều biến số 41 2.1 Hàm số nhiều biến số. 2.1.1 Một số khái niệm cơ bản 2.1.2 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 2.1.3 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số 2.2 Đạo hàm của hàm số nhiều biến số 2.2.1 Định nghĩa đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến 2.2.2 Đạo hàm theo hướng 2.2.3 Đạo hàm hàm hợp 2.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 2.2.5 Cực trị của hàm nhiều biến 2.3 Bài tập chương 2 Chương 3 Tích phân bội 65 3.1 Tích phân hai lớp 3.1.1 Tích phân hai lớp trên hình chữ nhật đóng 3.1.2 Tích phân hai lớp trên một tập bị chặn 3.1.3 Các tính chất cơ bản của tích phân hai lớp 3.1.4 Cách tính tích phân hai lớp 3.1.5 Đổi biến trong tích phân hai lớp 3.2 Tích phân ba lớp 3.2.1 Định nghĩa tích phân ba lớp 3.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân ba lớp 3.2.3 Cách tính tích phân ba lớp 3.2.4 Đổi biến trong tích phân ba lớp 3.3 Các ứng dụng của tích phân bội 3.3.1 Tính thể tích vật thể 3.3.2 Tính diện tích hình phẳng 3.3.3 Tính diện tích mặt cong 3.4 Bài tập chương 3 Chương 4 Tích phân đường 91 4.1 Tích phân đường loại 1 4.1.1 Đường cong lớp C1 4.1.2 Tích phân đường loại 1 4.1.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 1 4.2 Tích phân đường loại 2 4.2.1 Hướng đường cong và định nghĩa tích phân đường loại 2 94 4.2.2 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại hai 4.3 Công thức Green. Định lý 4 mệnh đề tương đương 4.4 Bài tập chương 4 Chương 5 Tích phân mặt 109 5.1 Tích phân mặt loại 1 5.1.1 Mặt cong 5.1.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 5.1.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 1 5.1.4 Công thức Stokes và Ostrogradsky Gauss
PHM QUANG TRèNH NGUYN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HC QUC GIA H NI ụ ụ ó ỗ số ý tết ỗ ệ ỗ số P ủ ột ỗ số tí t ủ ỗ ộ tụ ệ ộ tụ ủ ỗ số ỗ ệ ộ tụ ỗ ộ tụ tệt ố ỗ ệ t ột số tí t ủ ỗ ộ tụ tệt ố ự ộ tụ ể ộ tụ ề ủ ề ệ ộ tụ ề ủ ột tí t ủ ộ tụ ề ề ộ tụ ủ ỗ ề ệ ộ tụ ề ủ ột ỗ í t ủ ỗ ộ tụ ề ệ ỗ ũ từ í ộ tụ ủ ột ỗ ũ từ tí t ủ ỗ ũ từ ỗ ỗ ũ từ ễ ễ ỗ rr ỗ ợ ỗ rr ể ễ số t ỗ rr t ột số ệ ủ số ề ế số í tụ ủ số ề ế số ủ số ề ế số ị ĩ ủ ề ế t ợ ự trị ủ ề ế t số ề ế số số ề ế số trể số t ỗ ũ từ í ộ í í tr ì ữ t ó í tr ột t ị tí t ủ tí tí tí ổ ế tr tí í ị ĩ tí tí t ủ tí tí tí ổ ế tr tí ụ ụ ứ ụ ủ tí ộ í tể tí t tể í ệ tí ì í ệ tí t t í í C1 í ự tồ t tí tí í ị ĩ tí ự tồ t tí tí tứ r ị ý ệ ề t t í t í t t ị ĩ tí t ự tồ t tí tí t tứ ts strrs ss t tí t ọ ó ộ trì tí ọ t ợ s t tể t P rì s ễ s ễ ọ ự t trì tí ọ ợ ộ ộ ủ ộ ụ t t ị ù trờ ọ ứ t ợ ệ q t s trờ ệ ĩ tt ọ ộ trì ợ s t ị ọ ọ ù ợ tờ t ứ ọ ù ợ ố tợ s ệ ĩ tt t ột rõ ét ệ ụ ết q ý tết tờ ột tốt t tí ọ ủ ệ tố ế tứ tr trì ủ ộ trì ệ tố ế tứ ủ é tí é tí tí ủ số ột ế số ợ tệ tr ý tết ỗ số ề ế í ộ í í t t rt ố ợ ó ý qý ủ ệ ọ ể ộ s ợ tệ t tệ ộ s tớ ọ tí ọ ý tết ỗ ỗ số ệ ỗ số ị ĩ số tự {un } n=1 ể tứ tổ un = u1 + u2 + ã ã ã + un + ã ã ã n=1 ợ ọ ột ỗ số un số tổ qt tứ n ủ ỗ ổ n uk = u1 + u2 + ã ã ã + un Sn = k=1 n ủ ỗ số tổ r {Sn } n=1 ọ tổ r tứ ế n ộ tụ ó tì ỗ số ợ ọ ỗ ộ tụ S S ọ tổ ủ ỗ tr trờ ợ t ết un = u1 + u2 + ã ã ã + un + ã ã ã S= n=1 ợ ế {Sn } n=1 ộ tụ tì ỗ số un n=0 ọ ỗ ỳ ợ ý tết ỗ í ụ ét ỗ số aq n , n=1 tr ó a số ó aq(1 q n ) , Sn = 1q ế |q| < lim q n = tì n ó tổ S= ế |q| > tì q = lim Sn = n aq 1q ỗ ộ tụ aq 1q lim q n = n lim Sn = n ỗ ỳ ễ t q = tì ỗ tr ỳ ỗ ộ tụ ỉ aq n = n=1 q < ó tổ ủ ó aq 1q P ủ ột ỗ số sử ỗ {un } n=1 ộ tụ ị ĩ tứ ỗ ó s n ủ Rn = S Sn = uk k=n+1 ể ỗ ộ tụ lim Rn = n tí t ủ ỗ ộ tụ ế ỗ n=1 ó tổ un S ó tổ S tì ỗ un n=1 ũ ộ tụ ỗ số ế ỗ un n=1 S1 , S2 tì ỗ ù ộ tụ ó tổ t ứ n=1 (un + ) ũ ộ tụ ó tổ S1 + S2 n=1 í t ộ tụ ỳ ủ ột ỗ t ổ t ớt ột số ữ số t ủ ỗ ó ệ ộ tụ ủ ỗ số un ị í ế ỗ ộ tụ tì n=1 lim un = n ứ un = Sn Sn1 ễ t tết un ộ tụ n=1 tồ t S = lim Sn n ó lim un = n ị ý ợ ứ ú ý ề ợ ủ ị ý tr ú í ụ í ụ ét ỗ un un = n=1 õ r lim un = n n sử ỗ ộ tụ ó lim (S2n Sn ) = n t 1 + + ããã + n+1 n+2 2n 1 > + + ããã + 2n 2n 2n = = S2n Sn = t ứ tỏ ỗ un ỳ n=1 un ộ ị í ề ệ ủ ể ỗ n=1 tụ > tồ t số N0 N s p > q N0 p |Sp Sq | = | un | < n=q+1 tì t t í tí s (x y)ds, AB I= t ố ể A(0, 0), B(4, 3) AB I = xyds, L ì ữ t ABCDA(0, 0) B(4, 0) C(4, 2) L D(0, 2) 2yds, L I = ị x = t, y = t2 /2, z = t3 /3, t L í tí s (x y)2 dx + (x + y)2 dy, L ủ t ABC ABC A(0, 0), B(2, 2), C(4, 0) ydx (y + x2 )dy, L r y = 2x x2 tr trụ Ox t L ề ồ (xy 1)dx + x2 ydy, A(1, 0), B(0, 2) tr AB x + y /4 = 1, t ề xy[(x + y/2)dx + (x/2 + y)dy], L ủ t ABC L A(1, 0), B(1, 2), C(1, 2) 2(x2 + y )dx + (4y + 3)xdy, ABC ú A(0, 0) ABC B(1, 1), C(0, 2) (xy + x + y)dx + (xy + x y)dy, L x2 + y = ax, (a > 0) L x3 (y + x/4)dy y (x + y/4)dx, L x2 + y = 2x L í I= x2 + y 3x2 y 3y x2 ( + dy) xy x y ó ụ tộ tí í tí t AB ị x = t + cos2 t, y = + sin2 t, t /2 ứ ể tứ s t ủ ột số u ó ì u (2x 3xy + 2y)dx + (2y 3x2 y + 2y)dy [ex+y + cos(x y)]dx + [ex+y cos(x y) + 2]dy ì m ể ể tứ s t ủ ột í số ó ì u u (x y)dx + (x + y)dy (x2 + y )m ì , tí s ụ tộ tí í tí từ ể A(0, 0) ế B(a, b) ứ trị , tì ợ y(1 x2 + y )dx + x(1 y + x2 )dy (1 + x2 + y )2 L í tí s (x2 + y + z )ds, L I = x = a cos t L y = a sin t, z = bt(0 t 2) I = zds, L x = t cos t, y = t sin t, z = t(0 t t0 ) L í tí s I = (x2 + y )dx + (x2 y )dy, L y = |1 x|, x L I = (x + y)dx + (x y)dy, L x2 y + = a2 b ợ x2 y + = a2 b ợ L ề ồ I = (x + y)dx (x y)dy, L L ề ồ I = ydx + zdy + xdz, L x = a cos t L y = a sin t, z = bt(0 t 2) I = ex ((1 cos y)dx (y sin y)dy), L í t L ề (x2 +y ) I= e < x < , < y < sin x (cos 2xydx + sin 2xydy) x2 +y =R2 ứ tí s ụ tộ tí tì t tí tí ó (2,3,4) xdx + y dy z dz I= (1,1,1) t (6,1,1) I= yzdx + xzdy + xydz (1,2,3) (x2 ,y2 ,z2 ) xdx + ydy + zdz tr ó (x1 , y1 , z1 ) ể x2 + y + z t x + y + z = a2 , a > 0, (x2 , y2 , z2 ) ể tr x2 + y + z = b2 , b > I= (x1 ,y1 ,z1 ) tr t í í t í t t t tổ qt tr trì R3 t ữ ể tỏ f (x, y, z) = ế trì tr ó tể ề ợ ố z = z(x, y) tì ọ z ế t ó trì x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) tì trì ó ợ ọ trì t số ủ t ế tr trì t số tr z(u, v) x(u, v) y(u, v) tụ tì t ó tụ t ợ ọ tr ế số x(u, v), y(u, v), z(u, v) tụ tờ t t t ỳ ể í t ột t ợ ọ í ế ó t ột ị ột ị í ụ t x2 +y +z = R2 ột t í t ó trì t số x = r sin u cos v y = r sin u sin v z = r cos u (u [0, ], v [0, 2]) , t ọ ị ợ ế tr ó ó tể ị ợ tr ớ t tr t í ị ĩ tí t ị ĩ ị tr S S S ột t t n f (x, y, z) ột số ỏ ỗ ó ệ tí Si ọ Si d = max{di |i = 1, 2, ã ã ã , n} r ỗ Si ể Mi (xi , yi , zi ) t ỳ tổ di í ủ n In = f (Mi ).Si i=1 n , d tì In ó ữ ụ tộ t S ụ tộ ọ Mi tì I ọ tí t ủ f (x, y, z) tr S ý ệ sử I= f (x, y, z)dS S ự tồ t tí tí t ự tồ t ế S t ị tụ t tế ế t tụ P, Q, R t tồ t số tụ tr S tì tí í t tí sử P, Q, R : S R , ợt ó t n ề ủ trụ tọ ộ f = (P, Q, R), n = (cos , cos , cos) f dS I = S f ndS = S = (P cos + Q cos + R cos )dS S ét tí I1 = R cos dS S sử S t ó trì ợ t z z = (x, y), (x, y) Dxy ó I1 = R(x, y, (x, y))dxdy Dxy í (+) ế t tế ợ ề ó ọ () ế t tế ợ ề ó tù tự ế S ợ t ố t Oyz x, x = (y, z) S ế S S S R(2 (y, z), y, z)dydz Oxz y, y = (x, z) Dzx ì ế ủ tì Q cos dS = I2 = ì ế ủ Dxy ợ t ố t Dyz tì P cos dS = I2 = R(x, (x, z)z)dzdx Dzx S í t í ụ í tí t s S t x2 + y + z = 1, x 0, y , z xdydz + dzdx + xz dxdy I= S ét y z dydz xdydz = I1 = Dyz S r ó Dyz ì y 0, z số ế ủ tr S Oyz ó tr ệ tọ ộ ự t tí tự xz dxdy = I3 = y + z = 1, ợ I1 = ó ề x2 y dxdy = 2/15 Dxy S í I2 = S SDzx ệ I= + 12 15 r ó dzdx = SDzx = dzdx Dzx tí ì ế ủ S tr Oxz tứ ts strrs ss ị í ị ý ts t ọ ó ế ứ tr ề ủ sử S S S ị ó L L ợ t t tế tì t L ợ ề ồ t ị tr từ ó L ột í P, Q, R ị tr S ó r tr từ ú tụ ó P dx + Qdy + Rdz L R Q P R Q P ( )dydz + ( )dzdx + ( )dxdy y z z x x y = S í t ứ ứ tứ ts tr trờ ợ t S z = f (x, y) tr ó f ó r ế tụ tr ề D ọ L1 ủ ề D sử ó ó trì t số trì ó L1 : x = x(t), y = y(t), a t b ó trì t số ủ L x = x(t), y = y(t), z = f (x(t), y(t)), a t b t I= P dx + Qdy + Rdz L ó b P x (t) + Qy (t) + R( I = f f x (t) + y (t)) dt x y a b = P +R f f x (t) + Q + R y (t) dt x y a = P +R f f dx + Q + R dy x y L1 ể tứ ố ù ột tí tr í ụ tứ r t ó f (Q + R ) (P + R ) dxdy x y y x I= D í ể tứ tí é ú ý trì ủ t z = f (x, y) t ợ Q Q f R f R f f 2f + + + + R x z x x y z x y xy P P f R f R f f 2f ( + + + + R ) y z y y x z x y xy Q P P R f R Q f = x y z x y y z x S, í t ó I= R Q f P R f Q P + y z x z x y x y dxdy D S s ỉ ủ tế ủ t fy fx , fx + fy2 + fx2 + fy2 +1 , fx2 + fy2 + ì f f dxdy = dydz, = dzdx x y ó t ợ R Q P R Q P )dydz + ( )dzdx + ( )dxdy y z z x x y ( I= S ị ý ợ ứ í ụ L : x2 + y = R2 , z = í x2 y dx + dy + zdz I= L ó P = x y , Q = 1, R = z tứ ts 3x2 y dxdy = I= S tr ó ế D S 3x2 y dxdy D ì trò ị tr t ủ S tr Oxy ũ S Oxy ì số ó tr tọ ộ ự t tí ợ I= R6 ị í tứ strrs ss sử P, Q, R số tụ ó r tụ ó P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S tr ó ủ S ( P Q R + + )dxdydz x y z V S ủ V tí t ợ t í t ứ S sử ỗ t s s trụ tọ ộ t t t q ể ề V ợ ể ễ V = {(x, y) D, z1 (x, y) z z2 (x, y)} ó t ó z2 (x,y) R dxdydz = z I1 = D V R dz z dxdy z1 (x,y) z=z2 (x,y) R(x, y, z) = dxdy z=z1 (x,y) D R(x, y, z2 (x, y))dxdy R(x, y, z1 (x, y))dxdy = D ụ tứ tí tí t ú ý é t tế S2 (z = z2 (x, y)) ợ ề Oz ột ó ọ é t ủ t S1 (z = z1 (x, y)) ợ ề Oz ột ó ủ t tr tế tù t ó R(x, y, z2 (x, y))dxdy = D R(x, y, z)dxdy S2 R(x, y, z1 (x, y))dxdy = D R(x, y, z)dxdy S1 ó I1 = R(x, y, z)dxdy + S2 R(x, y, z)dxdy = S1 R(x, y, z)dxdy S t tự t ó P = x I2 = V P (x, y, z)dydz S Q = y I3 = V Q(x, y, z)dzdx S í t ộ ết q tr t ó ề ứ í ụ S t x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = í xydydz + yzdzdx + zxdxdy I= S tứ strrs ss (x + y + z)dxdydz I= V tr ó V = {(x, y, z) R3 |0 x 1, y x, z x y} ó I= 1x dx 1xy (x + y + z)dz = dy 0 t t í tí t s I= (x + y + z)dS, S ì S x 1, y 1, z I = (2x + 4y/3 + z)dS, S t S x y z + + = tr ó t tứ I = (xy + yz + zx)dS, S t ó t S x2 + y tr t trụ x2 + y 2ax = (x + y + z)dS, S t x2 + y + z = a2 , z z= I= S í tí t s xyzdxdy, S t ì ị S x2 + y + z = 1, x 0, y xdydz + dxdz + xz dxdy, S t ì ị S x2 + y + z = 1, x 0, y 0, z zdxdy, S t ì x2 + y + z = R2 S S dydz dzdx dxdy + + , S t x y z x2 dydz + y dxdz + z dxdy, S ủ x2 y z + + = a2 b c t ủ S (x a)2 + (y b)2 + (z c)2 = R2 , R > ù tứ strrs ss tí tí t s xzdydz + dxdz + zydxdy, S t ì ó S x + y + z 1, x 0, y 0, z x3 dydz + y dxdz + z dxdy, S t ì S x2 + y + z = R2 , R x2 dydz + y dxdz + z dxdy, S t ì S V = {(x, y, z) : x a, y a, z a} í t í tí s I= xdydz + ydzdx + zdxdy tr ó S t ì trụ S x2 + y = 4, z ể I = xzdydz + x2 ydzdx + y zdxdy tr ó S t t S x2 + y = 1, z = 0, z = xdydz + y dzdx + dxdy tr ó S t tể t I= q ố S trụ ứ x2 + y 2ax, (a > 0, z a) r ệ t ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ P ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ í t ọ ố ộ P ọ í t ọ ố ộ ễ t ọ ố ộ ễ í trì ý tết t í trì ý tết t t ọ ố ộ ễ tí ọ t ọ ộ ễ tí ọ t ọ ộ