Chương 1 Phương trình vi phân cấp 1 9 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Phương trình vi phân cấp 1 1.1.2 Nghiệm 1.1.3 Bài toán Cauchy 1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 1.2.1 Điều kiện Lipschitz 1.2.2 Dãy xấp xỉ Picar 1.2.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm (Cauchy-Picar) 1.2.4 Sự thác triển nghiệm 1.2.5 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp 1 1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1 1.3.1 Phương trình phân li biến số 1.3.2 Phương trình thuần nhất 1.3.3 Phương trình quy được về phương trình thuần nhất 1.3.4 Phương trình vi phân toàn phần. Thừa số tích phân 1.3.5 Phương trình vi phân tuyến tính, phương trình Bernoulli và phương trình Ricati 1.4 Bài tập chương 1 Chương 2 Phương trình vi phân cấp cao 39 2.1 Các khái niệm cơ bản 2.1.1 Nghiệm 2.1.2 Bài toán Cauchy 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.1 Điều kiện Lipschitz 2.2.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.2.3 Các loại nghiệm của phương trình vi phân cấp n 2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n 2.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n 2.4.1 Một số tính chất của nghiệm phương trình 2.4.2 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của hệ hàm 45 2.4.3 Định thức Vronski 2.4.4 Công thức Ostrogradski - Liuvil 2.4.5 Hệ nghiệm cơ bản, nghiệm tổng quát 2.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp n 2.5.1 Nghiệm 2.5.2 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 2.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 2.6.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng 2.6.2 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai hệ số hằng 2.7 Bài tập chương 2 Chương 3 Hệ phương trình vi phân 71 3.1 Các khái niệm cơ bản 3.2 Bài toán Cauchy 3.2.1 Bài toán Cauchy 3.3 Phương trình vi phân cấp cao và hệ phương trình vi phân cấp một 72 3.3.1 Đưa phương trình vi phân cấp n về hệ n phương trình vi phân cấp một 3.3.2 Đưa hệ n phương trình vi phân cấp một về một phương trình vi phân cấp n 3.3.3 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 3.3.4 Sự thác triển nghiệm 3.3.5 Các loại nghiệm của hệ phương trình vi phân 3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính 3.4.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 3.4.2 Các tính chất của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 3.4.3 Sự phụ thuộc tuyến và độc lập tuyến tính của hệ véctơ hàm 3.4.4 Hệ nghiệm cơ bản 3.4.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 3.4.6 Các tính chất nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 3.4.7 Nghiệm tổng quát 3.4.8 Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) 3.5 Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng 3.5.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 93 3.5.2 Nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 3.5.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 3.6 Bài tập chương 3
PHM QUANG TRèNH NGUYN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HC QUC GIA H NI PHM QUANG TRèNH NGUYN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HC QUC GIA H NI ụ ụ ụ ụ ó P trì ệ P trì ệ t ự tồ t t ệ ề ệ st ỉ Pr ị ý tồ t t ệ Pr ự t trể ệ ệ ủ trì P ột số trì P trì ế số P trì t t P trì q ợ ề trì t t P trì t số tí P trì tế tí trì r trì t t ễ ễ P trì ệ ệ t ự tồ t t ệ ề ệ st ị ý tồ t t ệ ệ ủ trì P trì tế tí P trì tế tí t t ột số tí t ủ ệ trì ự ụ tộ tế tí ộ tế tí ủ ệ ị tứ rs tứ strrs ệ ệ ệ tổ qt ệ P ế t số r P trì tế tí ệ số ệ ủ trì tế tí t t ệ số ệ ủ trì tế tí t t ệ số t ệ trì ệ t P trì tế tí t t t P trì ệ trì ột trì ề ệ trì ột ụ ụ ệ trì ột ề ột trì ị ý tồ t t ệ ự t trể ệ ệ ủ ệ trì ệ trì tế tí ệ trì tế tí t t tí t ủ ệ trì tế tí t t ệ ệ ệ trì tế tí t t tí t ệ ủ ệ trì tế tí t t ệ tổ qt P ế t số r ệ trì tế tí ệ số ệ trì tế tí t t ệ số ệ ủ ệ trì tế tí t t ệ số ệ trì tế tí t t ệ số ự ụ tộ tế ộ tế tí ủ ệ ét t tí ọ ó ộ trì tí ọ t ợ s t tể t P rì s ễ s ễ ọ ự t trì tí ọ ợ ộ ộ ủ ộ ụ t t ị ù trờ ọ ứ t ợ ệ q t s trờ ệ ĩ tt ọ ộ trì ợ s t ị ọ ọ ù ợ tờ t ứ ọ ù ợ ố tợ s ệ ĩ tt t ột rõ ét ệ ụ ết q ý tết tờ ột tốt t tí ọ ủ ệ tố ế tứ tr trì ủ ộ trì ệ tố ế tứ ề trì ệ trì ợ tệ tr P trì P trì ệ trì ọ trì ũ t ệ t tốt s t rt ố ợ ó ý qý ủ ệ ọ ể ộ s ợ tệ t tệ ộ s tớ ọ tí t ọ P trì ệ P trì P trì tổ qt F (x, y, y ) = F ị tr ề G R3 ế tr ề G từ trì t ó tể ợ y r ó y = f (x, y) tì t ợ trì r í ụ yy = x2 + y , y = xy + y , dy = 2y dx ệ số y = (x) ị tr ọ ệ tổ qt ủ trì ế (x, (x), (x)) G ọ x I I = (a, b) ợ P trì F (x, (x), (x)) tr I dy í ụ ét trì = 2y dx ị tr (, +) ó tể ể tr trự tế y = ce2x số tỳ ý ệ c ủ trì t í ụ tr t t ệ ủ trì số số c ó tể tỳ ý r tự tế t tờ q t ế ệ ủ trì t ữ ề ệ ó y(x0 ) = y0 ề ệ tr ợ ọ ề ệ t tì ệ ủ trì t ề ệ ọ t tì ề ệ ể t ó ệ t ự tồ t t ệ ét trì y = f (x, y), tr ó ủ f f ị tr ề G R2 ỉ r ề ệ ể t ứ trì ó ệ t ề ệ st f ị tr ề t t ế y G ọ t ề ệ s ế tồ t số L>0 s ể ệ trì tế tí t ợ C1 Y1 + C2 Y2 + ã ã ã + Cn Yn = F ệ tứ tr ó tể ết ệ trì số C1 y11 + C2 y12 + ã ã ã + Cn y1n C y + C y + ã ã ã + C y n 2n 22 21 = f1 (x) = f2 (x) ããã C1 yn1 + C2 yn2 + ã ã ã + Cn ynn = fn (x) ệ Y1 (x), Y2 (x), ã ã ã , Yn (x) ộ tế tí ị tứ ủ ệ tr D= y11 (x) y12 (x) ã ã ã y21 (x) y22 (x) ã ã ã y1n (x) y2n (x) yn1 (x) yn2 (x) ã ã ã = W (x) = ynn (x) ó ệ trì ó ệ t Ck (x) = k (x), k = 1, 2, ã ã ã , n í ệ tứ ợ t ó Ck (x) = k (x)dx, k = 1, 2, ã ã ã , n í ụ ì ệ tổ qt ủ ệ trì s dy1 = y2 dx dy = y1 + dx cos x ét ệ trì t t t ứ dy1 = y2 dx dy2 = y1 dx ệ trì ế ủ trì tứ t ết ợ trì tứ t ó y1 + y1 = P trì ó ệ ộ tế tí y11 (x) = cos x, y12 (x) = sin x, t ứ t ợ y21 (x) = sin x, y22 (x) = cos x ó ệ trì tế tí t t ó ột ệ ệ tổ qt Y1 (x) = cos x , sin x Y2 (x) = sin x cos x t ù ế t số ể tì ệ r ủ ệ trì Y (x) = C1 (x)Y1 (x) + C2 (x)Y2 (x) ét ệ trì số tế tí C1 cos x + C2 sin x =0 C sin x + C cos x = cos x ệ t ó C1 = sin x , cosx C2 = ó C1 (x) = ln | cos x|, ệ Y (x) C2 (x) = x ủ ệ Y (x) = cos x ln |cosx| + x sin x sin x ln |cosx| + x cos x ệ trì tế tí ệ số ệ tổ qt ủ ệ y = C cos x + C sin x + cos x ln |cosx| + x sin x 1 y1 = C1 sin x + C2 cos x sin x ln |cosx| + x cos x ệ trì tế tí ệ số ệ trì tế tí t t ệ số ị ĩ ệ trì tế tí t t ệ số ệ ó dy1 = a11 y1 + a12 y2 + ã ã ã + a1n yn dx dy2 = a y + a y + ã ã ã + a y 21 22 2n n dx ããã dyn = an1 y1 + an2 y2 + ã ã ã + ann yn dx r ó ai,j số ý ệ y1 (x) y (x) Y (x) = , ããã yn (x) a11 a12 ã ã ã a1n a21 a22 ã ã ã a2n A= an1 an2 ã ã ã ann ó ệ trì ợ ết dY = A.Y dx ệ trì ệ ủ ệ trì tế tí t t ệ số ể ệ t ét trì tr a11 a12 ããã a21 a22 ã ã ã det(A I) = an1 an2 ããã P trì ó n a1n a2n =0 ann ệ tự ứ , , ã ã ã , n ét trờ ợ s rờ ợ ệt P trì ó ỗ ệ T j = (1j , 2j , ã ã ã , nj ) j n ệ tự t ứ ột t r ó t ó n ệ ộ tế tí ủ 1j ej x e j x 2j Yj (x) = , j = 1, 2, ã ã ã , n ããã nj ej x ó ệ tổ qt ủ ệ Y (x) = C1 Y1 (x) + C2 Y2 (x) + ã ã ã + Cn Yn (x) í ụ ệ trì s dy1 = 4y1 2y2 dx dy = y1 + y2 dx tứ tr ủ ệ 1 =0 ệ trì tế tí ệ số P trì ó ệ = = 2, = t tì ợ t r t ứ = (1, 1) = (2, 1) ó trì ó ột ệ r Y1 (x) = = e2x e2x t tì ợ t r t ứ ó trì ó ột ệ r Y2 (t) = 2e3x e3x ệ tổ qt ủ ệ y = C e2x + 2C e3x 1 y2 = C1 e2x + C2 e3x rờ ợ P trì ó ệ ứ ợ k+1 = k = a bi k = a + bi, sử ứ k t tì ợ t r ó tọ ộ số ứ k = (1k , 2k , ã ã ã , nk )T từ ó ợ ệ ủ ệ 1k ek x ek x 2k Yk (x) = ããã nk ek x P tự ủ tí ứ k , k+1 Yk (x) t ệ ộ tế ệ ò ủ trì tr ế tự t trờ ợ ế ứ t tr ố ù ợ n ệ ộ tế tí ủ ệ ệ trì í ụ ệ trì s dy1 = y1 + y2 dx dy2 = y1 + 2y2 + y3 dx dz3 = y1 + y3 dx tứ tr ủ ệ 1 1 P trì ó ệ tự = ệ ứ ợ = i, = = + i = t tì ợ t r t ứ = (1, 1, 1) ó trì ó ột ệ r e2x Y1 (x) = e2x e2x = i t t r = (i, 1, 1) P trì ó ệ t ứ ex cos x ex sin x ie(1i)x Y (x) = e(1i)x = ex cos x + i ex sin x ex sin x ex cos x e(1i)x r tự ủ Y (x) t ợ ệ ộ tế tí ủ ệ ex sin x Y2 (x) = ex cos x , ex cos x ex cos x Y3 (x) = ex sin x ex sin x ệ trì tế tí ệ số ệ tổ qt ủ ệ 2x x x y1 = C1 e + C2 e sin x + C3 e cos x y2 = C1 e2x + C2 ex cos x C3 ex sin x y3 = C1 e2x C2 ex cos x + C3 ex sin x rờ ợ P trì ó ệ ộ k ệ ò ủ trì tr t tr trờ ợ tr ể tì ệ r ệ ộ tì ệ r t ứ ủ ó y1 = (11 + 21 x + ã ã ã + k1 xk1 )ex y = ( + x + ã ã ã + xk1 )ex 12 22 k2 ã ã ã yn = (1n + 2n x + ã ã ã + kn xk1 )ex ệ số ij ợ ị tí ợ t ệ ệ tr ổ ợ tế tí ủ tt ệ r ợ t ệ tổ qt í ụ ệ trì s dy1 = y1 + y2 + y3 dx dy2 = y1 y2 + y3 dx dy3 = y1 + y2 y3 dx tứ tr ủ ệ 1 =0 1 1 1 P trì ó ệ = = ệ é t tì ợ t r t ứ = = = (1, 1, 1) ệ trì ó trì ó ột ệ r ex x Y1 (x) = e ex = = t tì ệ r 2x x = (a1 + a2 x)e y = (b1 + b2 x)e2x z = (c1 + c2 x)e2x ệ trì t ó ệ s a1 + a2 = b1 + c1 , b1 + b2 = c1 + a1 , c1 + c2 = a1 + b1 , ó 2a2 = b2 + c2 2b2 = c2 + a2 2c2 = a2 + b2 a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = c1 = a1 + b1 , a2 = b2 = c2 = ệ r ó 2x y1 = a1 e y2 = b1 e2x y3 = (a1 + b1 )e2x ệ tổ qt ủ ệ x 2x y = C e + a1 e y2 = C1 ex + b1 e2x y3 = C1 ex (a1 + b1 )e2x rờ ợ P trì ó ệ ứ ợ , ộ k ệ r t ứ tr trờ ợ ũ ệ trì tế tí ệ số ợ tì y1 = (11 + 21 x + ã ã ã + k1 xk1 )ex y = ( + x + ã ã ã + xk1 )ex 12 22 k2 ã ã ã yn = (1n + 2n x + ã ã ã + kn xk1 )ex ệ số ij ợ ị tí ợ t ệ ệ tr tr trờ ợ số ứ r tự ủ ệ r t ợ ệ ứ ỗ j = 1, 2, ã ã ã , k y1j (x) u1j (x) v1j (x) y2j (x) u2j (x) v2j (x) Yj (x) = = + i = Uj (x) + iVj (x) ynj (x) unj (x) vnj (x) tổ ợ tế tí ủ ệ Uj (x), Vj (x), j = 1, 2, ã ã ã , k ệ t ợ ệ tổ qt ủ ệ ệ trì tế tí t t ệ số ị ĩ ệ trì tế tí t t ệ số ệ ó dy1 = a11 y1 + a12 y2 + ã ã ã + a1n yn + f1 (x) dx dy2 = a y + a y + ã ã ã + a y + f (x) 21 22 2n n dx ããã dyn = an1 y1 + an2 y2 + ã ã ã + ann yn + fn (x) dx ệ trì r ó ai,j số ý ệ y1 (x) y (x) Y (x) = , ããã yn (x) a11 a12 ã ã ã a1n a21 a22 ã ã ã a2n A= , an1 an2 ã ã ã ann f1 (x) f2 (x) F (x) = fn (x) ó ệ trì ợ ết dY = A.Y + F dx ệ trì t t t ứ t ù ế t số ể tì ột ệ r ủ ổ ủ ệ r ệ ủ trì t t t ứ ệ tổ qt tì í ụ ệ trì s dy1 = y2 + 2ex dx dy2 = y + x2 dx tứ tr ủ ệ =0 P trì ó ệ = 1, = ệ tổ qt ủ ệ t t t ứ y = C ex + C ex 1 y2 = C1 ex C2 ex ù ế t số tì ệ r ủ ệ Y (x) = C1 (x)ex + C2 (x)ex C1 (x)ex C2 (x)ex ệ trì tế tí ệ số ệ trì t ó C ex + C ex = 2ex C ex C ex = x2 ó C1 = + x ex 2 2x C = e x e x 2 C1 (x) = x ( x + x + 1)ex 2 C2 (x) = e2x ( x x + 1)ex 2 ệ tổ qt ủ ệ y1 (x) = C1 ex + C2 ex + (x + )ex x2 2 x x y2 (x) = C1 e C2 e + (x )ex 2x ệ trì t ệ trì tế tí s dy1 = 4y1 + 5y2 dx 1, dy = 4y1 4y2 dx dy1 = y1 y2 dx 2, dy = 4y1 3y2 dx dy1 = y1 + y2 dx 3, dy = 2y1 + 3y2 dx dy1 = 2y1 + y2 dx 4, dy = 4y1 y2 dx dy1 = 5y1 3y2 + 2e3x dx 5, dy = y1 + y2 + 5ex dx dy1 = 2y1 + 4y2 + cos x dx 6, dy = y1 2y2 + sin x dx dy1 = 2y1 y2 dx 7, dy = 2y1 + y2 + 18x dx dy1 = 2y1 + y2 e2x dx 8, dy = 3y1 + 2y2 + 6e2x dx dy = 4y1 2y2 + x dx e 9, dy = 6y1 + 3y2 x dx e dy1 = 3y1 + 3y2 + 4e4x dx 11, dy = y1 + 2y2 dx dy1 = 4y1 + y2 e2x dx 13, dy = 2y1 + y2 dx dy1 = 5y1 + 2y2 + 40ex dx 10, dy = y1 2y2 + 9ex dx dy1 = 2y1 4y2 + 4e2x dx 12, dy = 2y1 2y2 dx dy1 = y1 + 2y2 + 16 + ex dx 14, dy = 2y1 2y2 dx t dy = y1 + 2y2 dx 15, dy 3x = 4y1 3y2 + e dx e2x + dy1 = 4y1 3y2 + sin x dx 16, dy = 2y1 y2 cos x dx dy1 = y1 y2 + dx cos x 17, dy = 2y1 y2 dx dy1 = 2y1 y2 dx 18, dy = y1 + 2y2 5ex sin x dx dy1 = 3y1 2y2 dx 19, dy = 2y1 3y2 + 15ex x dx dy1 = 2y1 y2 2ex dx 20, dy = 3y1 2y2 + 4ex dx dy1 = 3y1 + 12y2 4y3 dx dy2 21, = y1 3y2 + y3 dx dy3 = y1 12y2 + 6y3 dx dy1 = 5y1 y2 4y3 dx dy2 22, = 12y1 + 5y2 + 12y3 dx dy3 = 10y1 3y2 9y3 dx dy = y1 y2 y3 dx dy2 23, = y1 + y2 dx dy3 = 3y1 + y3 dx dy1 = 2y1 + y2 y3 dx dy2 25, = 12y1 4y2 12y3 dx dy3 = 4y1 + y2 + 5y3 dx dy1 = y1 2y2 y3 dx dy2 27, = y1 + y2 + y3 dx dy3 = y1 y3 dx dy = 2y1 y2 + 2y3 dx dy2 24, = y1 + 2y3 dx dy3 = 2y1 + y2 y3 dx dy1 = 10y1 3y2 9y3 dx dy2 26, = 18y1 + 7y2 + 18y3 dx dy3 = 18y1 6y2 17y3 dx dy1 = y1 y2 + y3 dx dy2 28, = y1 + y2 y3 dx dy3 = 2y1 y2 dx dy = 2y1 2y2 + y3 dx dy2 29, = y1 + 2y2 y3 dx dy3 = y1 y2 + 2y3 dx ệ trì dy = 3y1 y2 3y3 dx dy2 30, = 6y1 + 2y2 + 6y3 dx dy3 = 6y1 2y2 6y3 dx ệ t ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ ễ ì rí ĩ ễ ỳ ọ t ụ P ọ í t ọ ố ộ P ọ í t ọ ố ộ ễ í trì ý tết t t ọ ố ộ ễ í trì ý tết t t ọ ố ộ ễ tí ọ t ọ ộ ễ tí ọ t ọ ộ [...]... í ụ trì dy 7x + 3y + 7 = dx 3x 7y 3 t x = u + , y = v + tr ó , ệ 7 + 3 + 7 = 0 3 7 3 =0 tì ợ = 1, = 0 ủ ệ s é tế ế tr trì ề dv 7u + 3v 7 + 3v/u = = du 3u 7v 3 7v/u t v = zu t ề trì z+u 7 + 3z dz = du 3 7z y v = t tì ợ tí u x1 tổ qt ủ trì |y+x1|5 |yx+1|2 = C í trì ú ý z= í ụ ét trì (x + y 2)dx + (x y + 4)dy = 0 ù é ổ ế x = u 1 y = v + 3 ợ trì 2 2 u + 2uv... x0 N (x0 , y)dy = C y0 tí tổ qt ủ trì tr ề G tứ tứ ợ ự t tự ị í ứ P ột số trì í ụ trì (3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2 y + 4y 3 )dy = 0 ễ ể tr trì t ọ (x0 , y0 ) = (1, 0) ó y x 3x2 dx + U (x, y) = 1 (6x2 y + 4y 3 )dy + C 0 3 2 2 = x + 3x y + y 4 + C tí tổ qt ủ trì x3 + 3x2 y 2 + y 4 + C = 0 r ột số trờ ợ trì trì t ế ủ ó ớ ột ể tứ à(x, y) ó tì trì trở t trì... 1 x2 y 1 )dx + (y 2 + )dy = 0 2 x x ó tể t trì t ù ột tr tứ ở ụ trớ t tì ợ P ột số trì tí tổ qt ủ trì 3x2 + xy 3 + 3y Cx = 0 í ụ trì y 2 (x y)dx + (1 xy 2 )dy = 0 ó M = 2xy 3y 2 , y N = y 2 x trì t ễ t N M 2xy 3y 2 (y 2 ) 2 y x = = 2 3 M (xy y ) y ớ y = 0, trì ó ột từ số tí ỉ ụ tộ (y) = Ce ọ từ số tí 1 y2 y 2 y = C y2 ế ủ trì ớ từ số tí t ợ (x... 2ex2 dx y = x P trì t trì s 1)(x + 2x3 )dx + (y + 2y 3 )dy = 0 3) 1 y 2 dx + 1 x2 dy = 0, y(0) = 1 5)2x2 yy + y 2 = 2 7)(1 + y 2 )(e2x dx ey dy) (1 + y)dy = 0 9)(y 2 + xy 2 )dx + (x2 x2 y)dy = 0 trì s 1)(x + 2y)dx xdy = 0 3) 2x3 y = y(2x2 y 2 ) dy dx = 5) y+x yx 7)x(x + 2y)dx + (x2 y 2 )dy = 0 9)(2x 4y + 6)dx + (x + y 3) dy = 0 s 2)xydx + (x + 1)dy = 0 4) 1 + y 2 dx xydy... = 3x3 y 2 trì r ớ = 2 trì z + 2xz = 2x3 í trì t ợ 2 z = Cex + 1 x2 ó ệ ủ trì y= Cex2 1 + 1 x2 t z = y 1 t ợ P trì í ụ trì s x y = x y, 2 1x y + trì r ớ ớ = trì z + |x| < 1 1 2 t z = y t ợ x 1 z = x 2 2(1 x ) 2 í trì tế tí t ó xdx 2(1 x2 ) (C + z = e 4 xdx 1 2 xe 2(1 x ) dx) 2 4 1 2 xe ln 1x dx) 2 1 x 4 = 1 x2 (C + dx) 4 2 1 x2 1 4 = C 1 x2 (1 x2 ) 3. .. xydy = 0 6)y xy 2 = 2xy y1 8)y = x+1 10)y = cos(y x) 2)(y 2 2xy)dx + x2 dy = 0 4)y 2 + x2 y = xyy , y(1) = 1 y 6)xy y = x tan x 8)(x + 4y)y = 2x + 3y 5 y+2 2 10)y = 2 x+y1 ì từ số tí ế trì dx xdy 2 =0 y y 2)(2 9xy 2 )xdx + (4y 2 6x3 )ydy = 0 3) (2x y + 1)dx + (2y x 1)dy = 0 xdy ydx 4) 2 =0 x + y2 ydx xdy 5)xdx + ydy + =0 x2 + y 2 xdx + ydy xdy ydx + =0 6) x2 + y 2 x2 + y 2 + 1 7)ey... ớ ệ ủ trì y = 0, y = x(x = 0) ứ í ụ trì (x2 + 2xy y 2 )dx + (y 2 + 2xy x2 )dy = 0 t y = xz t ó dy = xdz + zdx trì t ợ (x2 + 2zx2 z 2 x2 )dx + (z 2 x2 + 2x2 z x2 )(zdx + xdz) = 0 (z 3 + z 2 + z + 1)dx + (z 2 + 2z 1)xdz = 0 ớ z = 1 ế số tí t ợ ln |x| ln |z + 1| + ln |z 2 + 1| = ln |C1 | ừ ó ớ C = C1 ệ ó x(z 2 + 1) =C z+1 rở ế ũ t ợ r ớ z = 1 x2 + y 2 C(x + y) = 0 trì ò... t ó xdx 2(1 x2 ) (C + z = e 4 xdx 1 2 xe 2(1 x ) dx) 2 4 1 2 xe ln 1x dx) 2 1 x 4 = 1 x2 (C + dx) 4 2 1 x2 1 4 = C 1 x2 (1 x2 ) 3 = eln 1x2 (C + ó ệ ủ trì 1 4 y = C 1 x2 (1 x2 ) 3 r trì ò ó ột ệ ỳ ị ị ĩ y 0 P trì t ó tổ qt s y = p(x)y 2 + q(x)y + r(x) ớ p(x), q(x), r(x) tụ tr ột ó ét P trì t ờ ũ ợ r trờ ợ ệt p(x) 0 r(x) 0 t ó tể ề trì tế tí trì r ... trì dy 7x + 3y + = dx 3x 7y t x = u + , y = v + tr ó , ệ + + = =0 tì ợ = 1, = ủ ệ s é tế ế tr trì ề dv 7u + 3v + 3v/u = = du 3u 7v 7v/u t v = zu t ề trì z+u + 3z dz = du...PHM QUANG TRèNH NGUYN NGC ANH NGUYN XUN HUY gIảI TíCH TOáN HọC TậP NH XUT BN I HC QUC GIA H NI ụ ụ ụ ụ ... í ụ trì (3x2 + 6xy )dx + (6x2 y + 4y )dy = ễ ể tr trì t ọ (x0 , y0 ) = (1, 0) ó y x 3x2 dx + U (x, y) = (6x2 y + 4y )dy + C 2 = x + 3x y + y + C tí tổ qt ủ trì x3 + 3x2 y + y +