LỜI GIẢI TV IMO 1959

Lời giải đề thi imo 1959, kì thi toán quốc tế đầu tiên của thế giơi. Kì thi IMO đầu tiên được tổ chức tại Rumani năm 1959 với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu là chủ nhà Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô. Trong giai đoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống xã hội chủ nghĩa và địa điểm tổ chức cũng chỉ trong phạm vi các nước Đông Âu.1 Bắt đầu từ thập niên 1970, số lượng các đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng và IMO thực sự trở thành một kì thi quốc tế về Toán dành cho học sinh. Cho đến nay kì thi được tổ chức liên tục hàng năm, trừ duy nhất năm 1980. Kì IMO có số lượng đoàn tham gia đông đảo nhất tính đến IMO 2011 chính là kì IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với 101 đoàn tham dự.2 Mỗi đoàn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đoàn, một phó đoàn và các quan sát viên. Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và trình độ không được vượt quá cấp trung học phổ thông (high school trong tiếng Anh, hay lycée trong tiếng Pháp), vì vậy một thí sinh có thể tham gia tới 5 hoặc 6 kì IMO, riêng với Việt Nam do quy định của việc chọn đội tuyển, một thí sinh chỉ tham dự được nhiều nhất là hai kì. Vào tháng 1 năm 2011, Google đóng góp 1 triệu Euro cho tổ chức Olympic Toán học Quốc tế. Sự đóng góp đã giúp tổ chức này chi trả cho 5 sự kiện toàn cầu tiếp theo (2011–2015)

Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 IMO 1959 Câu Chứng minh phân số tối giản với số tự nhiên n Giải: Ký hiệu ước chung lớn hai số nguyên dương a, b Chúng ta sử dụng thuật tốn Euclidean Do đó, phân số tối giản Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_1 Câu Với giá trị thực x biểu thức nhận giá trị a b c Ở đây, số thực khơng âm có bậc hai Giải: Điều kiện để biểu thức A có nghĩa Bình phương hai vế, ta có Từ suy kết a b c Nguồn https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_2 Câu Cho a, b, c số thực Xét phương trình bậc hai theo Dùng số a, b, c lập phương trình bậc hai theo có nghiệm với phương trình ban đầu So sánh hai phương trình Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Giải: Giả sử phương trình thứ có nghiệm Chúng ta xây dựng phương trình bậc hai với hai nghiệm Rõ ràng, tổng hai nghiệm tích chúng Do đó, phương trình cần lập là: Bây giờ, với , phương trình thứ phương trình thứ hai Phương trình thứ suy phương trình thứ hai suy ra nghiệm x Hai kết suy Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_3 Câu Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c đường trung bình ứng với cạnh huyền trung bình nhân hai cạnh góc vng Giải: C Chúng ta ký hiệu hai cạnh góc vng tam giác a b b A Vì tam giác ABC vng nên Theo đề Ta lại có Do Giáo viên: Lê Văn Tho H c a c M B Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Như vậy, H giao điểm đường tròn đường kính AB đường thẳng song song cách AB khoảng c/4 Ta suy cách dựng Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_4 Câu Cho điểm M tùy ý đoạn thẳng AB Dựng hình vng AMCD MBEF phía đoạn AB Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp hai hình vng Hai đường tròn cắt điểm chung thứ hai N Đường thẳng AF BC cắt N’ a Chứng minh N trùng với N’ b Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định S khơng phụ thuộc M c Tìm quỹ tích trung điểm đoạn PQ M di chuyển đoạn AB Giải: E F N C D R Q I T P A H M L K B S a Vì (c.g.c) nên mà nên Mặt khác, nên B, C, N thẳng hàng hay N trùng với N’ b Ta thấy (g.g) nên Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 mà Nên NM phân giác góc Dựng đường tròn đường kính AB đường tròn xác định qua N (vì vng) Gọi S điểm cung AB (như hình vẽ) S cố định MN qua S (vì NM đường phân giác theo chứng minh trên) c Gọi I trung điểm PQ, gọi H, K, L hình chiếu vng góc P, Q, I lên đoạn AB Ta có Suy điểm I nằm đường thẳng d song song với đường AB cách AB khoảng AB/4 (phần chứa hình vng) Giới hạn: Gọi R, T giao điểm đường thẳng d với đường thẳng vng góc với AB dựng A, B Ta thấy M chạy tới A I chạy tới R M chạy tới B I chạy tới T Kết luận: Khi M chạy đoạn AB (trừ hai điểm A, B) I chạy đoạn RT (trừ hai điểm R T) Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_5 Câu Cho hai mặt phẳng (P) (Q) giao theo đường thẳng p Điểm A nằm (P), điểm C nằm (Q) mà hai khơng nằm p Dựng hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn có B thuộc (P) D thuộc (Q) Giải: Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 B' a B A p P Q c D A' D' C Nhận thấy Trong (P) ta dựng đường thẳng a qua A song song với p, (Q), ta dựng đường thẳng c qua C song song với p Vì ABCD hình thang cân ngoại tiếp đường tròn nên Trong mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng song song a c, ta hạ AA’ vng góc với c A’ nên suy Trong (R), dựng đường tròn (C; CA) cắt a điểm B, (A, CA) cắt b điểm D Nhận xét: Tùy theo số giao điểm đường tròn (C; CA) đường thẳng a mà ta có số nghiệm hình 0, Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_6 Giáo viên: Lê Văn Tho ... đáp án IMO 1959- 2016 Như vậy, H giao điểm đường tròn đường kính AB đường thẳng song song cách AB khoảng c/4 Ta suy cách dựng Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1959 _IMO_ Problems/Problem_4... https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1959 _IMO_ Problems/Problem_3 Câu Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c đường trung bình ứng với cạnh huyền trung bình nhân hai cạnh góc vng Giải: C Chúng ta ký hiệu...Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959- 2016 Giải: Giả sử phương trình thứ có nghiệm Chúng ta xây dựng phương trình bậc hai với hai nghiệm