Lời giải đề thi imo 1959, kì thi toán quốc tế đầu tiên của thế giơi. Kì thi IMO đầu tiên được tổ chức tại Rumani năm 1959 với sự tham gia của 7 quốc gia Đông Âu là chủ nhà Rumani, Bulgaria, Tiệp Khắc, Đông Đức, Hungary, Ba Lan và Liên Xô. Trong giai đoạn đầu, IMO chủ yếu là cuộc thi của các quốc gia thuộc hệ thống xã hội chủ nghĩa và địa điểm tổ chức cũng chỉ trong phạm vi các nước Đông Âu.1 Bắt đầu từ thập niên 1970, số lượng các đoàn tham gia bắt đầu tăng lên nhanh chóng và IMO thực sự trở thành một kì thi quốc tế về Toán dành cho học sinh. Cho đến nay kì thi được tổ chức liên tục hàng năm, trừ duy nhất năm 1980. Kì IMO có số lượng đoàn tham gia đông đảo nhất tính đến IMO 2011 chính là kì IMO 2011 tổ chức tại Amsterdam, Hà Lan với 101 đoàn tham dự.2 Mỗi đoàn tham dự được phép có tối đa 6 thí sinh, một trưởng đoàn, một phó đoàn và các quan sát viên. Theo quy định, thí sinh tham gia phải dưới 20 tuổi và trình độ không được vượt quá cấp trung học phổ thông (high school trong tiếng Anh, hay lycée trong tiếng Pháp), vì vậy một thí sinh có thể tham gia tới 5 hoặc 6 kì IMO, riêng với Việt Nam do quy định của việc chọn đội tuyển, một thí sinh chỉ tham dự được nhiều nhất là hai kì. Vào tháng 1 năm 2011, Google đóng góp 1 triệu Euro cho tổ chức Olympic Toán học Quốc tế. Sự đóng góp đã giúp tổ chức này chi trả cho 5 sự kiện toàn cầu tiếp theo (2011–2015)
Trang 1IMO 1959
Câu 1 Chứng minh phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ký hiệu ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b là Chúng ta sử dụng
thuật toán Euclidean
Do đó, phân số tối giản
Nguồn:
https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_1
Câu 2 Với giá trị thực nào của x thì biểu thức
nhận giá trị
a
b
c
Ở đây, chỉ những số thực không âm mới có căn bậc hai
Giải:
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là Bình phương hai vế, ta có
Từ đó suy ra kết quả
a
b
c
Nguồn
https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_2
Câu 3 Cho a, b, c là các số thực Xét phương trình bậc hai theo
Trang 2Giải: Giả sử phương trình thứ nhất có các nghiệm Chúng ta xây dựng một phương trình
bậc hai với hai nghiệm là
Rõ ràng, tổng của hai nghiệm này là
và tích của chúng là
Do đó, phương trình cần lập là:
Bây giờ, với , phương trình thứ nhất là
và phương trình thứ hai là
Phương trình thứ nhất suy ra và phương trình thứ hai suy ra được Hai kết quả này suy
ra cùng nghiệm x.
Nguồn:
https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_3
Câu 4 Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c và đường trung bình ứng với cạnh huyền bằng trung bình nhân của hai cạnh góc vuông
Giải:
Chúng ta ký hiệu hai cạnh góc vuông của
tam giác là a và b.
Vì tam giác ABC vuông nên Theo đề H
c
2 c M
C
B A
Ta lại có Do đó
Trang 3Như vậy, H là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường thẳng song song và
cách đều AB một khoảng c/4 Ta suy ra cách dựng.
Nguồn:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_4
Câu 5 Cho một điểm M tùy ý trên đoạn thẳng AB Dựng các hình vuông AMCD và
MBEF ở về cùng một phía của đoạn AB Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông này Hai đường tròn cắt nhau tại điểm chung thứ hai N Đường thẳng
AF và BC cắt nhau tại N’
a Chứng minh N trùng với N’.
b Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định S không phụ thuộc M.
c Tìm quỹ tích trung điểm đoạn PQ khi M di chuyển trên đoạn AB
Giải:
T R
S
H
I
N
Q P
A
Trang 4Nên
và do đó NM là phân giác của góc Dựng đường tròn đường kính AB thì đường tròn này xác định và đi qua N (vì vuông) Gọi S là điểm chính giữa cung AB (như hình vẽ) thì S
cố định và MN đi qua S (vì NM là đường phân giác theo chứng minh trên)
c Gọi I là trung điểm của PQ, gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, Q, I lên đoạn AB Ta có
Suy ra điểm I nằm trên đường thẳng d song song với đường AB và cách AB một khoảng AB/4 (phần chứa các hình vuông).
Giới hạn: Gọi R, T là giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các đường thẳng vuông góc với AB dựng tại A, B Ta thấy khi M chạy tới A thì I chạy tới R và khi M chạy tới B thì I chạy tới T.
Kết luận: Khi M chạy trên đoạn AB (trừ hai điểm A, B) thì I chạy trên đoạn RT (trừ hai điểm R và T).
Nguồn:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_5
Câu 6 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) giao nhau theo đường thẳng p Điểm A nằm trên
(P), và điểm C nằm trên (Q) mà cả hai đều không nằm trên p Dựng hình thang cân
ABCD ngoại tiếp được đường tròn có B thuộc (P) và D thuộc (Q)
Giải:
Trang 5D' D
B
A' c
a
C
A
p
Q P
Nhận thấy Trong (P) ta dựng đường thẳng a qua A và song song với p, trong (Q), ta dựng đường thẳng c qua C và song song với p Vì ABCD là hình thang cân ngoại tiếp
được đường tròn nên
Trong mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng song song a và c, ta hạ AA’ vuông góc với c tại A’ thì được nên suy ra Trong (R), dựng đường tròn (C; CA) cắt a tại điểm B, (A, CA) cắt b tại điểm D
Nhận xét: Tùy theo số giao điểm của đường tròn (C; CA) và đường thẳng a mà ta có số
nghiệm hình là 0, 1 hoặc 2
Nguồn:
https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_6