Tài liệu được thầy Lê Văn Tho soạn bằng word, nội dung là lời giải trọn vẹn các đề bài trong bài thi toán quốc tế những năm 1963 và 1964. Tài liệu viết bằng tiếng việt có dẫn nguồn địa chỉ lời giải cụ thể. Tài liệu hơn 10 trang với giá chỉ có 2000
IMO 1963 Ba Lan Câu Tìm tất nghiệm thực phương trình p tham số thực Giải: Nếu , phương trình khơng có nghiệm Do đó, để phương trình có nghiệm Khi Điều kiện: Với điều kiện ý nên Thay lại vào phương trình ta Điều kiện Vậy với điều kiện Câu Cho điểm A đoạn BC Tìm quỹ tích điểm X cho với điểm P thuộc đoạn BC Giải: Quỹ tích phụ thuộc vào vị trí điểm P so với đoạn BC + Trường hợp P thuộc đoạn BC Quỹ tích hình cầu đường kính AB AC Nếu P trùng với hai đầu mút đoạn BC hai hình cầu hình cầu điểm Ngược lại, với X thuộc hai mặt cầu, ta dựng mặt phẳng qua X vng góc với AX cắt BC P + Trường hợp P thuộc đường thẳng BC khơng thuộc đoạn BC Tường hợp lại có hai khả kết tương tự Do đó, ta xét khả Quỹ tích hình cầu đường kính AC trừ phần hình cầu (khơng kể mặt cầu) đường kính AB Với điểm X thuộc hình cầu đường kính AC mà khơng thuộc hình cầu (khơng kể mặt cầu) đường kính AB Dựng tia AX cắt mặt cầu đường kính AC F, mặt cầu đường kính AB E Dựng mặt phẳng qua X vng góc với AX cắt đoạn BC P nên X thuộc quỹ tích Với điểm G thuộc hình cầu (khơng kể mặt cầu) đường kính AB, ta dựng mặt phẳng qua G vng góc với AG cắt đoạn AB điểm H, tức H không thuộc đoạn BC hay G khơng thuộc quỹ tích + Trường hợp P khơng thuộc đường thẳng BC Ta xét hai hình cầu đường kính AB, đường kính AC Thì quỹ tích điểm X phần thuộc hai hình cầu mà khơng thuộc phần giao (phần giao không kể phần thuộc mặt cầu) Giả sử điểm X thuộc mà không thuộc ( không kể phần mặt cầu) Ta dựng tia AX cắt mặt H D Các mặt phẳng vng góc với AX H, D cắt BC theo thứ tự B C Vì X nằm H D nên mặt phẳng qua X vng góc với AX cắt đoạn BC điểm F B C Trường hợp điểm Y thuộc mà không thuộc ( không kể phần mặt cầu) chứng minh tương tự Tương tự chứng minh cho điểm X, giả sử K điểm thuộc phần giao (khơng kể phần mặt cầu) K nằm ngồi đoạn HD nên mặt phẳng qua K vng góc với AX cắt đường thẳng BC điểm bên ngồi đoạn BC Câu Đa giác n cạnh có tất góc nhau, độ dài cạnh liên tiếp tương ứng thỏa Chứng minh Giải: Gọi đa giác có tất n góc độ dài cạnh sau thỏa mãn Ta dựng đa giác cạnh có độ dài cạnh Vì góc đa giác P nên ta dựng hình vẽ bên cạnh Vì nên chứa Nếu có i mà chứa thật P khơng đóng Do đó, Rõ ràng, khơng P khơng đóng Câu Tìm tất nghiệm hệ y tham số Giải: Một nghiệm dễ thấy gọi nghiệm tầm thường Cộng năm phương trình cho dẫn đến nên hoặc + Nếu , ; theo , Do Bây hốn vị vòng tròn khơng làm tính chất vừa có kết Thử lại, với x số thực nghiệm hệ + Nếu ta sử dụng phương pháp khử biến Thay vào suy từ thay vào suy * Nếu Vì giả sử nên Từ phương trình ban đầu dẫn đến Như chúng hệ có nghiệm tầm thường ban đầu * Nếu , thỏa mãn với giá trị Do đó, nghiệm hệ nghiệm phương trình Câu Chứng minh Giải: Chú ý nên ta có Vì nên Câu Năm sinh viên A, B, C, D, E tham gia thi Một dự đốn vận động viên hồn thành theo thứ tự A, B, C, D, E Dự đốn tệ Thật sự, khơng vận động viên hồn thành với vị trí dự đốn khơng hai vận động viên dự đốn hồn thành với vị trí liên tiếp xảy Một dự đoán thứ hai vận động viên hoàn thành theo thứ tự D, A, E, C, B Dự đốn tốt Chính xác có hai vận động viên hồn thành với vị trí dự đốn có hai cặp vận động viên liên dự đốn (hai cặp gồm bốn vận động viên khác nhau) hoàn thành liên dự đoán Xác định thứ tự vận động viên hồn thành Giải: Theo dự đốn thứ hai D, A, E, C, B có bốn cặp đơi liên tiếp Theo đề có ba khả xảy khả có sáu trường hợp Ta có kết + Trường hợp có kết + Trường hợp có kết + Trường hợp có kết Theo dự đốn thứ ta ba kết hoặc IMO 1964 LIÊN XÔ Câu a Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn b Chứng minh khơng có số tự nhiên n để Giải: a Vì mod, mod, mod suy b Vì mod, mod, mod nên mod, mod, mod hay Câu Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh Giải: Chú ý đẳng thức sau Đặt Hay Theo Dấu xảy hay tam giác Câu Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c Dựng tiếp tuyến song song với cạnh tam giác Mỗi tiếp tuyến cắt hai cạnh lại tam giác ABC tạo với hai cạnh thành tam giác Trong tam giác lại có đường tròn nội tiếp Tìm tổng diện tích bốn đường tròn theo a, b, c Giải: Giả sử tiếp tuyến song song với BC cắt AB, AC D E Gọi h chiều cao hạ từ A tam giác ABC chiều cao hạ từ A tam giác ADE Gọi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC tam giác ADE Vì nên Tương tự Với bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tạo tiếp tuyến song song với AC, AB Khi Vậy tổng diện tích bốn đường tròn Câu Có 17 người, cặp 17 người trao đổi thư từ với theo ba chủ đề Chứng minh có ba người trao đổi với theo chủ đề Giải: Chọn người A 17 người Sẽ có người 15 người lại trao đổi thư từ với A theo chủ đề Ta chọn nhóm người trao đổi với A theo chủ đề gọi chủ đề I Bây giờ, người ta chọn người B Nếu có người trao đổi với B theo chủ đề I có ba người trao đổi chủ đề I Ngược lại, B trao đổi với người lại với hai chủ đề khác có người người lại trao đổi với B chủ đề ta gọi chủ đề II Đến lúc có hai khả xảy với ba người lại Thứ nhất, có người ba người viết cho hai người lại theo chủ đề II ta có ba người viết cho theo chủ đề II Thứ hai, khơng có người ba người trao đổi với theo chủ đề II ba trao đổi với theo chủ đề lại ta có điều phải chứng minh Câu Trong mặt phẳng cho điểm cho đường thẳng tạo thành từ hai năm điểm khơng có cặp song song, vng góc hay trùng Từ năm điểm ta đường vng góc với đường thẳng nối hai điểm lại Hãy xác định số giao điểm lớn có đường vng góc với trường hợp tổng quát Giải: Với điểm có đường thẳng từ điểm lại, có đường thẳng vng góc kẻ từ điểm Do đó, có tất 30 đường vng góc Như vậy, có cặp đường thẳng vng góc hay tổng qt có 435 giao điểm Tuy nhiên, có trường hợp hai đường song song giao điểm trùng Cụ thể: + Có đường thẳng nối điểm ban đầu Mỗi đường có đường vng góc kẻ từ điểm lại Các đường song song nên 30 điểm, tức lại 405 điểm + Có tam giác có đỉnh điểm ban đầu Mỗi tam giác có ba đường vng góc ba đường cao, lẽ có giao điểm trùng lại giao điểm Như vậy, tam giác giao điểm nên 10 tam giác 20 giao điểm Số giao điểm lại 385 + Mỗi điểm có đường thẳng vng góc qua Như vậy, lẽ có điểm trùng lại điểm, 14 điểm Do đó, trường hợp 70 điểm nên tổng số điểm lại 315 * Theo giả thiết đề ta dễ nhận thấy trường hợp không trùng lặp nên kết cuối 315 điểm Câu Cho tứ diện ABCD có trọng tâm tam giác ABC Từ A, B, C kẻ đường song song với cắt ba mặt phẳng Chứng minh thể tích tứ diện ABCD phần ba thể tích tứ diện Kết khơng điểm bên tam giác ABC Giải: Đặt hệ trục vào cho gốc DA, DB, DC trục (chú ý hệ trục khơng vng góc) Ta chứng minh cho trường hợp tổng quát nằm miền tam giác ABC Khi với Vì nên Lại nên hay Tương tự Ta có Đây điều phải chứng minh ... Trường hợp có kết Theo dự đoán thứ ta ba kết hoặc IMO 1964 LIÊN XƠ Câu a Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn b Chứng minh khơng có số tự nhiên n để Giải: a Vì mod, mod, mod suy b Vì mod, mod, mod... mà chứa thật P khơng đóng Do đó, Rõ ràng, khơng P khơng đóng Câu Tìm tất nghiệm hệ y tham số Giải: Một nghiệm dễ thấy gọi nghiệm tầm thường Cộng năm phương trình cho dẫn đến nên hoặc + Nếu... thường ban đầu * Nếu , thỏa mãn với giá trị Do đó, nghiệm hệ nghiệm phương trình Câu Chứng minh Giải: Chú ý nên ta có Vì nên Câu Năm sinh viên A, B, C, D, E tham gia thi Một dự đoán vận động viên