Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu lời giải tiếng Việt trọn vẹn đề thi học sinh giỏi Toán quốc tế lần thứ 57 IMO 2016 tại Hong Kong, Trung Quốc. Tài liệu gồm 11 trang word, tùy ý chỉnh sửa. Đề IMO 2016 gồm 6 câu chia làm hai ngày thi. Câu 1 là về hình học sơ cấp, câu hai là về hình học tổ hợp, câu 3 vừa liên quan đến hình vừa liên quan đến số học, câu 4 về số học liên quan đến số nguyên tố và khái niệm tập hương, câu 5 là về đại số phương trình và câu 6 là một đề toán lạ liên quan đến hình học tổ hợp. Xin cảm ơn.
IMO 2016 Hong Kong TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐINH TIÊN HỒNG TỔ TỐN – LÝ TIN IMO 2016 HONG KONG (IMO lần thứ 57) Tổ : Tốn – Lí – Tin Giáo viên : Lê Văn Tho Sơn Tây, tháng 06 năm 2017 IMO 57 Hong Kong 2016 Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Ngày đầu, thứ ngày 11 tháng năm 2016 (Thời gian làm 30 phút) Bài Cho tam giác vuông Gọi điểm nằm đường thẳng cho nằm Lấy điểm cho phân giác Lấy điểm cho phân giác Gọi trung điểm Gọi điểm cho hình bình hành Chứng minh đường thẳng đồng qui Giải Dễ thấy Suy nên thẳng hàng Do mà nên nằm đường tròn tâm bán kính Suy Nhận thấy nên suy Hơn nên Như Do Xét đường tròn tâm bán kính (ta gọi đường tròn ) có Trong tứ giác có nên tứ giác nội tiếp Từ suy Từ dẫn đến thẳng hàng Lại có tam giác nên Do hay điểm nằm đường tròn, ta gọi đường tròn Dễ nhận thấy trục đẳng phương hai đường tròn Bây giờ, có mà nên bù với góc Như tứ giác nội tiếp đườn tròn, gọi Gọi giao điểm hai dây cung đường tròn hay Từ suy hay ba đường đồng qui đồng qui yêu cầu đề Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Bài Hãy tìm tất số nguyên dương để điền vào vng bảng ô vuông chữ cho: + Ở hàng cột, có phần số ô điền chữ , phần ba số ô điền chữ phần ba số ô điền chữ ; đồng thời + Ở đường chéo mà số ô vuông nằm đường chéo bội 3, có phần số điền chữ , phần ba số ô điền chữ phần ba số ô điền chữ Chú ý: Giả sử tất hàng, tất cột, bảng ô vuông đánh số thứ tự số nguyên từ đến Khi đó, vng bảng tương ứng với cặp số nguyên dương , Với , bảng có đường chéo, chia làm hai loại Mỗi đường chéo loại đường gồm tất ô mà số; đường chéo loại đường gồm tất mà số Giải Vì hàng ngang, cộ dọc, đường chéo chia ô cho chữ nên phải chia hết cho hay ngun dương Do chia hình vng ban đầu thành hình vng Nhận thấy chữ phải chia tâm hình vng Suy chia hết cho Lúc nguyên dương + Với ta có bảng M I M I O I I I O M O I O I M I O O M I O M M O O I M O M I M O I M O O O M I I M M I O M + Với ta lấy bảng ghép lại thành bảng O M O I M I M I O M O M M I O I O I O O M O I M I M I I M I M I O O M M Bài Cho đa giác lồi mặt phẳng tọa độ Tất điểm có tọa độ nguyên nằm đường tròn Kí hiệu diện tích Cho số nguyên dương lẻ mà bình phương độ dài cạnh số nguyên chia hết cho Chứng minh số nguyên chia hết cho Giải Đầu tiên ta chứng minh với đa giác thỏa mãn tính chất đề phải có đường chéo mà bình phương độ dài số nguyên chia hết cho Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Ta chứng minh phản chứng, giả sử đường chéo có bình phương độ dài số nguyên không chia hết cho với số ngun tố Vì nên ta chọn tứ giác với Theo đề chia hết cho Gọi số thỏa chia hết cho Nhận xét chia hết cho Do tồn số nguyên dương cho Vì nội tiếp đường tròn nên theo định lí Ptolemy ta có Vì tọa độ ngun nên hay Như có bậc theo mà bậc (theo ) khơng vượt q Do bậc (theo ) phải khơng nhỏ Như vậy, bình phương độ dài cạnh đường chéo chia hết cho Tiếp tục trình ta chứng minh có đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho Bây ta chứng minh qui nạp theo số cạnh toán ban đầu với , số nguyên tố lẻ Với xét với Khi theo cơng thức Hê-ron Vì nên lại ngun tố lẻ nên Giả sử với đa giác cạnh ta chứng minh với đa giác cạnh Thật vậy, đa giác cạnh có đường chéo mà bình phương độ dài chia hết cho Dùng đường chéo chia đa giác cạnh thành hai đa giác có số cạnh nhỏ thỏa mãn điều kiện đề Theo giả thiết qui nạp hai lần diện tích hai đa giác chia hết tổng chúng, tức hai lần diện tích đa giác cạnh, Theo nguyên lí qui nạp ta có điều phải chứng minh Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Cuối cùng, ta xét trường hợp tổng quát Khi có phân tích thành thừa số nguyên tố sau với số nguyên tố khác số nguyên dương Theo chứng minh qui nạp mà nên tức Ngày sau, thứ ngày 12 tháng năm 2016 (Thời gian làm 30 phút) Câu Một tập hợp số nguyên dương gọi tập hương tập có hai phần tử phần tử có ước ngun tố chung với phần tử lại Đặt Hãy tìm số nguyên dương nhỏ cho tồn số nguyên không âm để tập hợp tập hương Giải Ta có Từ xét bảng sau 1 1 Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong 1 2 3 1 3 6 Như không chia hết cho Nhận xét nên có ước nguyên tố lớn dẫn đến dẫn đến Bây ta thử xét trường hợp ước ngun tố chung có hoặc hai Theo bảng ta có * Với , khơng có hai số mà chia hết cho nên trường hợp không thỏa mãn * Với , ba số chia hết cho mà có chia hết cho 7, khơng chia hết cho hay nên trường hợp xảy * Với , bốn số không chia hết phải cặp chúng chia hết cho và hai số lại khơng thể chia hết trường hợp xảy * Với tương tự trường hợp chia hết cho khơng chia hết cho 7, chia hết cho lại khơng chia hết cho nên trường hợp xảy Bây xét trường hợp ta thử tìm xem có tìm để tập đề tập hương hay không Xét bảng sau 1 0 1 Ta tìm thử có ước chung ngun tố Vì khơng chia hết Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Vậy ta để tập đề cho tập hương Theo nhận xét Thử lại Vậy số nhỏ thỏa mãn yêu cầu đề Bài Người ta viết lên bảng phương trình với hai 2016 nhân tử bậc vế Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ để xóa nhân tử số nhân tử bậc nêu cho vế nhân tử phương trình thu khơng có nghiệm thực Giải Với số nhân tử bậc lại lớn 2016 Vì có 2016 loại nhân tử bậc vế nhân tử nên có nhân tử xuất hai vế phương trình lại có nghiệm thực Như Ta xét trường hợp với cách bỏ hai 2016 nhân tử để có phương trình Bây giờ, chứng minh khơng có nghiệm thực Thật vậy, có trường hợp sau * Nếu Hay vơ nghiệm Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong * Nếu hoặc với Do hay vơ nghiệm * Nếu hay vơ nghiệm * Nếu Ta viết lại sau Đánh giá Suy hay , tức vô nghiệm Như tất trường hợp vô nghiệm giá trị nhỏ cần tìm Bài Trong mặt phẳng, cho đoạn thẳng cho hai đoạn thẳng cắt điểm nằm đoạn khơng có ba đoạn thẳng đồng qui Với đoạn thẳng, thầy Minh chọn đầu mút đặt lên ếch, cho mặt ếch hướng đầu mút lại Sau thầy vỗ tay lần Mỗi lần vỗ tay, ếch nhảy đến giao điểm gần đoạn thẳng Tất ếch khơng thay đổi hướng nhảy tồn trình nhảy Thầy Minh muốn đặt ếch cho sau lần vỗ tay, khơng có hai nhảy đến giao điểm (a) Chứng minh thầy Minh thực ý định lẻ (b) Chứng minh thầy Minh khơng thực ý định chẵn Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Giải Trước tiên ta nhận xét Theo hình bên, đường thẳng cắt đường AB bên ngồi đoạn AB khơng cắt hai đoạn AC BC hoặt cắt hai đoạn này; đường thẳng cắt đường AB bên đoạn AB cắt hai đoạn AC, BC (*) (a) Với đoạn thẳng, ta chọn đầu mút để đặt ếch từ đánh số liên tiếp hình vẽ Chú ý với cách đánh số ứng với đầu mút để đặt ếch (**) Với cách đặt số sau lẻ tiến vỗ tay ếch vị trí đánh số sau chẵn tiếng vỗ tay ếch vị trí đánh số Do đó, tất giao điểm mà đánh số khác hai đoạn thẳng tạo nên giao điểm tất ếch không gặp tồn q trình (***) Bây giờ, ta nêu cách đặt ếch sau Chọn đoạn đặt ếch đầu mút đánh số Tất đoạn thẳng lại phải cắt đoạn thẳng Tại giao điểm với đoạn thẳng ban đầu đánh số (tương ứng số 0) ta đánh số (tương ứng số 1) đoạn thẳng lại (****) Như tất đoạn thẳng lại có giao điểm đánh số Theo (**) ta xác định đầu mút Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong để đặt ếch tất đoạn thẳng lại Việc cuối ta chứng minh tất giao điểm đánh số khác hai đoạn thẳng theo (***) Thật vậy, giao điểm nằm đoạn thẳng ban đầu đặt số khác theo (****) Các giao điểm C lại phải giao điểm hai đường AB AC với A, B hai giao điểm đoạn ban đầu Ta xét xem A C A B có giao điểm Theo (*), đoạn thẳng cắt đường AB bên đoạn AB tạo số giao điểm đoạn AC BC Nếu A B đánh số đường AB A B có lẻ giao điểm, qua lẻ giao điểm có lẻ đường thẳng, số lẻ đường thẳng theo (*) tạo AC AB số giao điểm lẻ chẵn khác ( ví dụ AC chẵn BC lẻ ngược lại) Vì A B đánh số giống nên C đánh số khác đoạn thẳng Trường hợp A, B đánh số khác đường AB có kết tương tự cho giao điểm C Ta hồn thành chứng minh (b) Khơng tính tổng qt ta giả sử tất đầu mút đoạn thẳng nằm đường tròn Chọn đầu mút đặt tên , ngược chiều kim đồng hồ ta đặt đầu mút liên tiếp Nhận xét, hai đầu mút đoạn với (*) Gọi C giao điểm hai đoạn , đoạn thẳng khác cắt hai đoạn không cắt đoạn Do đó, số giao điểm đoạn Cũng đặt hai ếch sau số lần vỗ tay chúng gặp C Kết cho trường hợp hai mút liền kề Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 10 IMO 2016 Hong Kong đường tròn (**) Nếu đặt ếch khơng đặt, vị trí phải đặt ếch khơng hai vị trí liên tiếp phải đặt hai ếch (không theo **) Như vị trí lẻ đặt ếnh, chẵn nên đặt ếch Nhưng theo (*) đặt ếch đầu, trái với yêu cầu đề Do đó, trường hợp chẵn thầy Minh khơng thể hồn thành mong muốn Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 11 .. .IMO 2016 Hong Kong Ngày đầu, thứ ngày 11 tháng năm 2016 (Thời gian làm 30 phút) Bài Cho tam giác vuông Gọi điểm nằm đường... hết cho Giải Đầu tiên ta chứng minh với đa giác thỏa mãn tính chất đề phải có đường chéo mà bình phương độ dài số nguyên chia hết cho Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong Ta... dương nhỏ cho tồn số nguyên không âm để tập hợp tập hương Giải Ta có Từ xét bảng sau 1 1 Giáo viên: Lê Văn Tho 01658968434 IMO 2016 Hong Kong 1 2 3 1 3 6 Như không chia hết cho Nhận xét nên có