Tài liệu được thầy Lê Văn Tho soạn bằng word, nội dung là lời giải trọn vẹn các đề bài trong bài thi toán quốc tế những năm 1959 và 19690. Tài liệu viết bằng tiếng việt có dẫn nguồn địa chỉ lời giải cụ thể. Tài liệu hơn 10 trang với giá chỉ có 2000.
Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 IMO 1959 Câu Chứng minh phân số tối giản với số tự nhiên n Giải: Ký hiệu ước chung lớn hai số nguyên dương a, b Chúng ta sử dụng thuật tốn Euclidean Do đó, phân số tối giản Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_1 Câu Với giá trị thực x biểu thức nhận giá trị a b c Ở đây, số thực khơng âm có bậc hai Giải: Điều kiện để biểu thức A có nghĩa Bình phương hai vế, ta có Từ suy kết a b c Nguồn https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_2 Câu Cho a, b, c số thực Xét phương trình bậc hai theo Dùng số a, b, c lập phương trình bậc hai theo có nghiệm với phương trình ban đầu So sánh hai phương trình Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Giải: Giả sử phương trình thứ có nghiệm Chúng ta xây dựng phương trình bậc hai với hai nghiệm Rõ ràng, tổng hai nghiệm tích chúng Do đó, phương trình cần lập là: Bây giờ, với , phương trình thứ phương trình thứ hai Phương trình thứ suy phương trình thứ hai suy ra nghiệm x Hai kết suy Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_3 Câu Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c đường trung bình ứng với cạnh huyền trung bình nhân hai cạnh góc vng Giải: C Chúng ta ký hiệu hai cạnh góc vng tam giác a b b A Vì tam giác ABC vng nên Theo đề Ta lại có Do Giáo viên: Lê Văn Tho H c a c M B Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Như vậy, H giao điểm đường tròn đường kính AB đường thẳng song song cách AB khoảng c/4 Ta suy cách dựng Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_4 Câu Cho điểm M tùy ý đoạn thẳng AB Dựng hình vng AMCD MBEF phía đoạn AB Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp hai hình vng Hai đường tròn cắt điểm chung thứ hai N Đường thẳng AF BC cắt N’ a Chứng minh N trùng với N’ b Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định S khơng phụ thuộc M c Tìm quỹ tích trung điểm đoạn PQ M di chuyển đoạn AB Giải: E F N C D R Q I T P A H M L K B S a Vì (c.g.c) nên mà nên Mặt khác, nên B, C, N thẳng hàng hay N trùng với N’ b Ta thấy (g.g) nên Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 mà Nên NM phân giác góc Dựng đường tròn đường kính AB đường tròn xác định qua N (vì vng) Gọi S điểm cung AB (như hình vẽ) S cố định MN qua S (vì NM đường phân giác theo chứng minh trên) c Gọi I trung điểm PQ, gọi H, K, L hình chiếu vng góc P, Q, I lên đoạn AB Ta có Suy điểm I nằm đường thẳng d song song với đường AB cách AB khoảng AB/4 (phần chứa hình vng) Giới hạn: Gọi R, T giao điểm đường thẳng d với đường thẳng vng góc với AB dựng A, B Ta thấy M chạy tới A I chạy tới R M chạy tới B I chạy tới T Kết luận: Khi M chạy đoạn AB (trừ hai điểm A, B) I chạy đoạn RT (trừ hai điểm R T) Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_5 Câu Cho hai mặt phẳng (P) (Q) giao theo đường thẳng p Điểm A nằm (P), điểm C nằm (Q) mà hai khơng nằm p Dựng hình thang cân ABCD ngoại tiếp đường tròn có B thuộc (P) D thuộc (Q) Giải: Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 B' a B A p P Q c D A' D' C Nhận thấy Trong (P) ta dựng đường thẳng a qua A song song với p, (Q), ta dựng đường thẳng c qua C song song với p Vì ABCD hình thang cân ngoại tiếp đường tròn nên Trong mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng song song a c, ta hạ AA’ vng góc với c A’ nên suy Trong (R), dựng đường tròn (C; CA) cắt a điểm B, (A, CA) cắt b điểm D Nhận xét: Tùy theo số giao điểm đường tròn (C; CA) đường thẳng a mà ta có số nghiệm hình 0, Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1959_IMO_Problems/Problem_6 IMO 1960 Rumani Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Câu Tìm tất số có chữ số, cho số chia hết cho 11 kết tồng bình phương chữ số số Giải: Gọi số Trường hợp , theo đề Từ suy c số chẵn Xem (1) phương trình ẩn a tham số c theo điều kiện có nghiệm Từ suy Thử lại vào (1) thấy thỏa mãn Vậy trường hợp số cần tìm 550 Trường hợp theo đề Từ suy c số l Xem (1) phương trình ẩn a tham số c theo điều kiện có nghiệm Từ suy Thử lại vào (1) thấy thỏa mãn Vậy trường hợp số cần tìm 803 Vậy có hai số thỏa mãn yêu cầu đề 550 803 Câu Với giá trị x thỏa mãn bất phương trình sau Giải: Điều kiện Đặt bất phương trình suy Suy Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1960_IMO_Problems/Problem_2 Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Câu Cho tam giác ABC vuông A Chia cạnh huyền BC thành n đoạn nhau, n lẻ Đoạn nhìn đỉnh A góc Gọi h khoảng cách từ đỉnh A đến cạnh BC Chứng minh Giải: C Q P α A B Đặt hệ trục tọa độ vào cho , Khi ta có Hệ số góc AQ AP Do đó, ta có Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1960_IMO_Problems/Problem_3 Câu 4: Dựng tam giác ABC biết độ dài đường cao hạ từ A, B độ dài đường trung tuyến hạ xuất phát từ điểm A Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Giải: d A hb ma H' K B''' C'' N l B C' H M B' C B'' C''' Phân tích: Giả sử ta dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu đề Khi đó, BC tiếp tuyến đường tròn tâm A bán kính BC tiếp tuyến đường tròn tâm M bán kính /2 Như vậy, C giao điểm hai tiếp tuyến M trung điểm BC Từ đó, ta suy cách dựng sau Cách dựng: Dựng , dựng đường tròn tâm A bán kính Tiếp tục, ta dựng đường tiếp tuyến l qua M đường tròn H Ta dựng đường tròn tâm M bán kính /2, sau đựng tiếp tuyến d đường tròn từ M Giao điểm l d C; sau đó, ta lấy điểm B cho M trung điểm BC Chứng minh: Theo cách dựng tam giác ABC có Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Biện luận: Vì từ điểm bên ngồi đường tròn ta ln dựng hai tiếp tuyến với đường tròn Do vậy, theo cách dựng ta có nghiệm hình với ví trí trung tuyến AM cố định Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1960_IMO_Problems/Problem_4 Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có X điểm đường chéo AC Y điểm đường chéo B’D’ a Tìm quỹ tích trung điểm đoạn XY b Tìm quỹ tích điểm Z đoạn XY cho YZ = XZ Giải: a B A X C D Q I P S R A' B' Y D' C' Thuận: Gọi I trung điểm đoạn XY ta có khoảng cách từ I đến hai mặt phẳng ABCD A’B’C’D’ Như vậy, I nằm mặt phẳng cách hai mặt phẳng Giới hạn: Khi X, Y tiến tới vị trí biên A, C B, D I tiến đến bốn góc hình vng PQRS Vậy quỹ tích nằm hình vng PQRS kể biên Nghịch: Với điểm I thuộc miền hình vng PQRS kể biên, ta xác định giao điểm K D’I mặt phẳng (ACB’) Lúc này, X giao điểm B’K với AC Y giao điểm XI với B’D’ b Tương tự câu a, quỹ tích hình chữ nhật Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1960_IMO_Problems/Problem_5 Câu 6: Cho hình cầu bán kính r cố định Mộ hình nón hình trụ ngoại tiếp hình cầu Gọi V V’ thể tích khối nón khối trụ a Chứng minh b Gọi k số thực thỏa Xác định góc đỉnh hình nón để k nhỏ Giải: O α E F r r h R' O' R A C H D B a Ta có Suy b Ta có Vì Do đó, xét hàm số Giáo viên: Lê Văn Tho 10 Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959-2016 Khảo sát ta Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1960_IMO_Problems/Problem_6 Giáo viên: Lê Văn Tho 11 ... https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1959 _IMO_ Problems/Problem_6 IMO 1960 Rumani Giáo viên: Lê Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959- 2016 Câu Tìm tất số có chữ số,... đáp án IMO 1959- 2016 Như vậy, H giao điểm đường tròn đường kính AB đường thẳng song song cách AB khoảng c/4 Ta suy cách dựng Nguồn: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1959 _IMO_ Problems/Problem_4... Văn Tho Trường THPT Đinh Tiên Hoàng Tổng hợp đề thi đáp án IMO 1959- 2016 Nguồn: https://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1960 _IMO_ Problems/Problem_5 Câu 6: Cho hình cầu bán kính r cố