Tài liệu được thầy Lê Văn Tho soạn bằng word, nội dung là lời giải trọn vẹn các đề bài trong bài thi toán quốc tế những năm 1967 và 1968. Tài liệu viết bằng tiếng việt có dẫn nguồn địa chỉ lời giải cụ thể. Tài liệu hơn 10 trang với giá chỉ có 2000
IMO 1967 Nam Tư Câu Cho hình bình hành ABCD có ba góc ABD nhọn Chứng minh bốn đường tròn có tâm A, B, C, D bán kính 1, bao phủ hết hình bình hành Giải: Rõ ràng, đường tròn đơn vị tâm đỉnh phủ khắp hình bình hành đường tròn đơn vị tâm A, B, D phủ khắp tam giác ABD Để làm đó, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề: Cho tam giác nhọn ABD r tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Khi đó, ba đường tròn bán kính s tâm A, B, D phủ tam giác ABD Chứng minh: Vì tam giác ABD nhọn nên tâm O đường tròn ngoại tiếp nằm bên tam giác Các khoảng cách OA, OB, OC r, , O không nằm đường tròn bán kính s tâm A, B D Do đó, cần chứng minh đường tròn bán kính r tâm A, B, D phủ khắp tam giác ABD (Các đường tròn bán kính lớn r chắn vậy, hợp đường tròn chứa hợp đường tròn bán kính r) Ba đường tròn bán kính r giao O, ta chứng minh kết tổng quát P điểm tam giác ABD ba đường tròn tâm A, B, D qua P chúng phủ tam giác ABD Gọi L, M, N chân đường cao hạ từ P tương ứng đến BD, DA, AB Vì tứ giác ANPM chứa hình tròn tâm A qua P Tương tự, tứ giác BNPL chứa hình tròn tâm B qua P tứ giác DMPL chứa hình tròn tâm D qua P Những điều dẫn đến tam giác ABD, hợp ba tứ giác, chứa hợp ba đường tròn bổ đề chứng minh Bổ đề dẫn đến hệ dễ thấy đường tròn đơn vị đỉnh A, B, D phủ tam giác ABD Bây giờ, điều kiện tương đương với Đặt , theo định lí hàm số cosin Mặt khác Thay vào (1) Do Bây giờ, ta chứng minh hoàn thành Thật vây, dựng đường cao DQ tam giác ADB Vì tam giác nhọn nên chân đường cao Q nằm đoạn AB Do đó, mà ta lại thấy nên chứng minh kết thúc Câu Chứng minh tứ diện có cạnh dài đơn vị độ dài thể tích nhỏ 1/8 đơn vị diện tích Chứng minh Gọi tứ diện ABCD có , M trung điểm BD, MN vng góc với BD, CN song song với BD, K chân đường cao hạ từ A tam giác ABD, H chân đường cao hạ từ A tứ diện Giả sử D, C nằm nửa mặt phẳng bờ MN ta có (ngược lại ta có chứng minh hồn tồn tương tự) hay Chứng minh tương tự tam giác ADB ta có Như vậy, từ ta có Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm ta có Đến ta hồn thành điều chứng minh, ta kiểm tra thử dấu có xảy khơng xảy Theo chuỗi đánh giá dấu xảy C trùng với N (điều suy tam giác BCD cân C), (nên ), tam giác ABD cân A có , (), cuối Vậy diện tích tứ diện có hai mặt chung cạnh tam giác cạnh hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với Câu Cho số nguyên dương m, n, k cho số nguyên tố lớn Đặt Chứng minh tích chia hết cho tích Giải: Theo cách đặt ta có Do đó, nhân tử tích tích viết lại thành , A tích n số ngun liên tiếp , B tích n số nguyên liên tiếp Bây giờ, nhân tử tích nên tích Như vậy, hồn thành tốn cách chứng minh A chia hết cho B chia hết cho Ta chứng minh tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho A chia hết cho chia Nhưng số nguyên tố lớn nên nguyên tố với nên B chia hết cho Ta hoàn thành lý luận chứng minh bổ đề: Bổ đề:Tích n số ngun liên tiếp chia hết cho Chứng minh: Chúng ta xét ba trường hợp: n số nguyên liên tiếp tất dương tất âm có số khơng Trường hợp thứ ba đơn giản tích chúng khơng chia hết cho Trường hợp , gọi n số nguyên chứng minh số nguyên Nhưng ngun hệ số khai triển nhị thức , cụ thể tổ hợp chập n Trường hợp suy từ trường hợp cách đặt lại số nguyên âm tích giá trị tuyệt đối chúng mà khơng ảnh hưởng đến tính chia hết tích Câu Cho hai tam giác nhọn (có tất góc nhọn) Dựng tam giác đồng dạng với tam giác có diện tích lớn ngoại tiếp tam giác (AB chứa , BC chứa , CA chứa ) Giải: Đầu tiên ta dựng tam giác ABC đồng dạng với tam giác ngoại tiếp tam giác Qua kẻ đường thẳng tương ứng song song với Ba đường thẳng cắt A, B, C hình vẽ tạo tam giác ABC Tam giác đồng dạng với tam giác nội tiếp tam giác Tiếp tục, ta quay đường thẳng song song tương ứng quanh điểm với góc Khi đó, đường song song cắt tạo thành tam giác ABC thỏa tính chất ngoại tiếp tam giác đồng dạng với tam giác Ta tìm tam giác tam giác có ba cạnh dài tam giác có diện tích lớ cần tìm Nhận thấy, góc A ln nhìn cạnh góc cố định nên A nằm cung tròn dựng dây Ta gọi tâm đường tròn chứa cung tròn Hoàn toàn tương tự B, C nằm cung tròn tương ứng dựng dây Ta gọi tâm đường tròn chứa hai cung tương ứng Tiếp tục, ta chứng minh ba đường tròn qua điểm D Thật vây, lấy P, Q, R cung lớn nối chúng với hình vẽ Nhận xét tổng góc , Gọi D giao điểm thứ hai Theo tính chất tứ giác nội tiếp ta có nên thay vào Suy tứ giác nội tiếp đường tròn hay D nằm đường tròn và, đó, nằm ba đường tròn Cuối cùng, dựa vào điều vừa chứng minh ta tam giác có diện tích lớn phải có cạnh song song với tam giác Hạ đường vng góc hình vẽ Như vậy, BC lớn BC song song với Gọi ví trí , kéo dài với cắt đường tròn Ta chứng minh song song với dây dài qua Thật vậy, , đoạn nối tâm nên vng góc với dây cung , chia hai cung Suy ra, góc nội tiếp góc tâm có số đo nửa số đo cung Lại có, song song với nên song song với Tương tự, song song với nên qua song song với Như vây, tam giác ngoại tiếp tam giác , đồng dạng tam giác có diện tích lớn (vì cạnh dài nhất) thỏa u cầu tốn Cách dựng: Dựng tam giác ABC, dựng ba đường tròn , dựng tam giác Câu Xét dãy số số thực khơng đồng thời khơng Biết có vơ số số hạng dãy không, xác định tất giá trị n để Giải: Ta đặt lại hệ số cho , chúng khơng đồng thời khơng nên Khi đó, ta lại đặt tính khơng hay khơng Nhận xét n số chẵn nên khơng thể khơng Do đó, ta xét trường hợp n số lẻ Khi đó, gọi k, l số hạng tử tương ứng với phần dần tới không n tiến tới vơ cực Vì phải có vơ số khơng nên hay số hạng tử có giá trị tuyệt đối lớn mang giá trị dương âm Khi n lẻ, hạng tử triệt tiêu nên ta xem khơng có chúng tiếp tục xét đến hạng tử có giá trị tuyệt đối lớn thứ hai Tương tự trường hợp hạng tử có giá trị tuyệt đối lớn nhất, trường hợp hạng tử đôi đối dấu Tiếp tục trình hết hạng tử hạng tử lại có giá trị khơng dừng Lúc này, ta thấy với n lẻ khơng Câu Một thi diễn n ngày có m huy chương trao Ngày thứ có huy chương 1/7 số huy chương lại trao Ngày thứ có huy chương 1/7 số huy chương lại trao Cứ tiếp tục đến ngày thứ n n huy chương trao Hỏi thi trải qua ngày có tất huy chương trao Giải: Gọi số huy chương lại bắt đầu ngày thi thứ k số huy chương trao ngày thứ k số huy chương lại Vì vậy, số huy chương lại bắt đầu ngày thi thứ Thay Nhân phương trình với cộng lại Bây giờ, tốn đặt ta phải tìm số cho vế phải số nguyên Nhân với ta Trừ vế theo vế cho số nguyên chia hết cho hay chia hết cho Nhưng có khả tức Thay vào ta tính Vậy thi diễn ngày có 36 huy chương trao IMO 1968 XÔ VIẾT Câu Chứng minh tồn tam giác có chiều dài cạnh ba số tự nhiên liên tiếp có góc gấp đơi góc Giải: Gọi chiều dài cạnh góc đối diện Với không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Như vậy, Theo định lí hàm số cosin Chú ý phân số tỉ số số nguyên b tăng chúng giảm (vì tăng nhanh gấp hai lần tử) dẫn đến tăng Với ta có suy Mà nên khơng thể có góc ba góc gấp đơi hai góc lại Do đó, ta cần kiểm tra trường hợp Bây giờ, hoặc tương ứng hoặc hoặc Vì số hữu tỉ nên phải bình phương số hữu tỉ Nhưng với theo ta tính Chỉ có trường hợp thỏa mãn Như có tam giác thỏa mãn yêu cầu đề có chiều dài canh với Câu Tìm tất số nguyên cho với tích chữ số Giải: Giả sử có n chữ số Khi Nhưng nên Suy x có chữ số Nếu x có chữ số phương trình khơng có nghiệm ngun Nếu x có hai chữ số, dễ dàng kiểm tra ba khả kết thỏa mãn đầu đề Câu Cho a, b, c số thực Chứng minh hệ phương trình khơng có nghiệm ; có nghiệm có nhiều nghiệm Giải: Cộng phương trình vế theo vế Xét hàm số có Nếu , hay vơ nghiệm dẫn đến hệ phương trình ban đầu vơ nghiệm Nếu Và Do đó, hệ có nghiệm Nếu có để hai nghiệm khác hệ phương trình cho Câu Chứng minh tứ diện ln có đỉnh mà cạnh xuất phát từ có độ dài độ dài ba cạnh tam giác Giải: Chúng ta nhắc lại tam giác dựng có ba cạnh với độ dài thỏa mãn tổng hai cạnh lớn cạnh thứ ba Ngược lại, ba đoạn thẳng không cạnh tam giác cạnh dài lớn tổng hai cạnh lại Gọi tứ diện ABCD AB cạnh dài Các cạnh xuất phát từ A AB, AC, AD ba cạnh không ba cạnh tam giác Các cạnh xuất phát từ B BA, BC, BD tương tự ba cạnh khơng ba cạnh tam giác Cộng vế theo vế Mặt khác, từ tam giác ABC ABD ta có , cộng vế theo vế Điều tạo nên mâu thuẫn dẫn đến điều phải chứng minh Câu Cho hàm số xác định thỏa Chứng minh tuần hoàn, tức tồn để Cho ví dụ f khác hàm trường hợp Giải: Nhận thấy Đặt Khi Điều chứng tỏ hàm tuần hốn Để tìm tất nghiệm, ta đặt Với Ta chọn Câu Đặt phần nguyên x, số nguyên lớn không vượt qua x Cho n số nguyên dương, rút gọn Giải: Theo định nghĩa mà nên Bây giờ, ta xét đoạn Nếu Nếu Như vậy, (trường hợp đơn giản để kiểm tra) Do tính chất nên cơng thức Trở lại toán, với số thực n tổng cho hữu hạn có giá trị Khẳng định dễ nhìn thấy k đủ lớn để Bây giờ, ta sử dụng hành chứng minh tổng Thật vậy, theo công thức ta có Số k dòng cuối chọn Cộng phương trình vế theo vế n nguyên ... Vậy thi diễn ngày có 36 huy chương trao IMO 1968 XƠ VIẾT Câu Chứng minh tồn tam giác có chiều dài cạnh ba số tự nhiên liên tiếp có góc gấp đơi góc Giải: Gọi chiều dài cạnh góc đối diện Với... trường hợp Giải: Nhận thấy Đặt Khi Điều chứng tỏ hàm tuần hốn Để tìm tất nghiệm, ta đặt Với Ta chọn Câu Đặt phần nguyên x, số nguyên lớn không vượt qua x Cho n số nguyên dương, rút gọn Giải: Theo... dãy số số thực không đồng thời không Biết có vơ số số hạng dãy khơng, xác định tất giá trị n để Giải: Ta đặt lại hệ số cho , chúng khơng đồng thời khơng nên Khi đó, ta lại đặt tính không hay