Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu được thầy Lê Văn Tho soạn bằng word, nội dung là lời giải trọn vẹn các đề bài trong bài thi toán quốc tế những năm 1960 và 1961. Tài liệu viết bằng tiếng việt có dẫn nguồn địa chỉ lời giải cụ thể. Tài liệu hơn 10 trang với giá chỉ có 2000.
IMO 1961 Câu Giải hệ phương trình sau a b số Tìm điều kiện a b phải thỏa mãn cho x, y, z (nghiệm hệ) số dương phân biệt Giải: Chú ý hai phương trình đầu trở thành Chúng ta ý , Lúc có Điều dẫn đến Nhân hai vế với ta có Vì ta tìm số thực dẫn đến Nhưng (và trường hợp ) Do đó, khơng có nghiệm dương Khi ta chia cho hệ mà rõ ràng có nghiệm Để hai số dương phải dương Bây giờ, có nghiệm phương trình bậc hai Biệt thức phương trình Nếu biểu thức đồng thời âm tổng phải âm, điều xảy Như vậy, biệt thức phương trình bậc hai dương Nhưng vừa thay bất đẳng thức cho điều kiện sắc Rõ ràng hai nghiệm phương trình bậc hai dương biệt thức dương (chúng ta thấy điều từ hay từ luật dấu Descartes) Bây tìm nghiệm hệ xác nhận chúng dương dương Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_1 Câu Cho a, b c chiều dài cạnh tam giác có diện tích S Chứng minh Trong trường hợp dấu xảy ra? Giải: Ta có Dấu xảy , tức tam giác Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_2 Câu Giải phương trình n số nguyên dương cho trước Giải: + Với : + Với + Với Dấu xảy * Nếu n chẵn * Nếu n lẻ Ta nhận xét Vậy: + Nếu n chẵn + Nếu n lẻ Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_3 Câu Cho tam giác điểm miền tam giác Gọi giao điểm với cạnh đối diện Chứng minh tỉ số tồn tỉ số không lớn tỉ số không nhỏ Giải: P1 Q3 Q2 P P2 Q1 P3 Ta có nên tỉ số có tỉ số nhỏ 1/3 có tỉ số lớn 1/3 Từ suy tồn tỉ số không lớn tỉ số không nhỏ Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_4 Câu Dựng tam giác ABC biết M trung điểm BC Chứng minh toán có nghiệm hình Trong trường hợp đẳng thức xảy ra? Giải: D c b A b c X B M C * Phân tích: Giả sử dựng tam giác thỏa mãn yêu cầu toán Ta thấy, kéo dài BA tới điểm D cho A trung điểm BD Như điểm C vừa nằm cung lớn BD có số đo (vì ) đường tròn tâm A bán kính b * Cách dựng: Dựng đoạn điểm D cho A trung điểm BD Dựng cung tròn BD có số đo đường tròn tâm A bán kính b Xác định C giao điểm cung tròn đường tròn * Chứng minh: Theo cách dựng ta tam giác ABC có Vì A trung điểm dây BD nên * Biện luận: Ta có hai cung BD nên trường hợp tổng quát với đoạn AB ta có bốn điểm C thỏa mãn Từ A ta dựng đường thẳng vng góc với AB cắt cung lớn BD X Để đường tròn cung tròn có giao điểm C mà tạo thành tam giác Chú ý A trung điển BD nên Gộp chung lại Dấu xảy hay Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_5 Câu 6: Cho mặt phẳng P điểm không thẳng hàng A, B, C nằm phía so với mặt phẳng P Trong mặt phẳng P lấy ba điểm A’, B’, C’và gọi M, N, P trung điểm AA’, BB’, CC’ (ta lấy điểm A’, B’, C’ cho M, N, P tạo thành tam giác Gọi G trọng tâm tam giác MNP Tìm quỹ tích điểm G điểm A’, B’, C’ thay đổi P Giải: A B G'' M C G N P B' A' P G' C' Gọi G’’ trọng tâm tam giác ABC G’ trọng tâm tam giác A’B’C’ Khi đó, G trung điểm đoạn G’G’’ Khi A’, B’, C’ chạy P G’ chạy P nên G chạy mặt phẳng song song với P cách mặt phẳng P điểm G’’ Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1961_IMO_Problems/Problem_6 IMO 1962 Tiệp Khắc Câu Tìm số tự nhiên n nhỏ có tính chất sau a Biểu diễn thập phân có chữ số cuối b Nếu chuyển chữ số từ sau trước số gấp lần số cũ Giải: + Chữ số có số đứng đầu gấp lần số ban đầu nên số ban đầu phải có chữ số đầu (vì ) + Lúc phần số sau 61 nên số ban đầu bắt đầu 15 (vì ) + Tương tự, ta tìm kết 153846 Câu Tìm tất số thực x thỏa mãn bất phương trình Giải: Điều kiện Khi Điều kiện Khi So sánh điều kiện, kết Câu Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Một điểm X di chuyển với vận tốc không đổi chu vi hình vng ABCD theo hướng ABCDA, điểm Y di chuyển với vận tốc tương tự chu vi hình vuông B’C’CB theo hướng B’C’CBB’ Hai điểm X, Y bát đầu di chuyển lúc A, B’ Xác định vẽ quỹ tích trung điểm đoạn XY Giải: Đặt hệ trục tọa độ vào gọi P, Q, R, M trung điểm AB’, BC’, BD, XY Nhận xét, X tương ứng AB, BC, CD, DA Y tương ứng B’C’, C’C, CB, BB’ X chia cạnh theo tỉ số t Y tương ứng chia cách tỉ số Ta chứng minh X chạy tương ứng AB, BC, CD, DA Y chạy tương ứng B’C’, C’C, CB, BB’ M chạy tương ứng PQ, QC, CR, RP Vì vận tốc theo đề, ta cần chứng minh X AB trường hợp lại tương tự + Khi X chia đoạn AB theo tỉ số t Suy Hay M thuộc đoạn PQ + Ta thấy PQCR hình thoi (vì song song với A’C) bốn cạnh nửa đường chéo mặt ABCD + Như vậy, quỹ tích M hình thoi PQCR Câu Giải phương trình Giải: Ta có Câu Trên đường tròn K cho ba điểm phân biệt A, B, C Dùng thước thẳng compa dựng điểm thứ tư D K cho có đường tròn nội tiếp bên tứ giác ABCD Giải: Đầu tiên ta xác định tâm E đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD cần dựng quan sát E nằm đường phân giác góc A, B, C hai góc đối (A C) tứ giác nội tiếp có tổng Chúng ta dựng phân giác góc B Chú ý góc tổng góc ngồi E tam giác EAB ECB Vì góc ngồi tổng hai góc đối diện nên có Tập hợp điểm P cho B nằm ngồi góc cung đường tròn dễ dàng dựng Giao cung tròn phân giác góc B điểm E Bây ta dựng góc Một cạnh góc A AB, cạnh giao với đường tròn K điểm D cần tìm D A C O E K B Câu Cho tam giác cân Gọi R tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác r tâm đường tròn nội tiếp tam giác Chứng minh khoảng cách d tâm đường tròn tính Giải: Kết với tam giác theo Định lí Euler Ở đây, xin trình bày lại định lí F Gọi tam giác ABC; O, I A tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Hạ ID vng góc với AB D M Kéo dài AI cắt đường tròn O E, kéo dài EO cắt đường tròn O F, kéo dài D OI cắt đường tròn O M N I Đầu tiên ta chứng minh cách chứng minh Thật vậy, có (hai C góc nội tiếp chắn cung AC đường tròn O) nên (vì tổng ba góc N nhau) Mặt khác, ta có O B E nên Tiếp theo, ta có (vì cung BE CE nhau), nên (g.g) Suy Câu Cho tứ diện SABC có tính chất sau: tồn năm mặt cầu mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh SA, SB, SC, AB, AC, BC phần kéo dài chúng a Chứng minh tứ diện SABC b Chứng minh ngược lại tứ diện đều có năm mặt cầu Giải: a Một năm mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện Mỗi năm mặt cầu lại tiếp xúc với cạnh mặt tứ diện tiếp xúc với phần kéo dài cạnh lại xuất phát từ đỉnh đối diện với mặt Đầu tiên, xét mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện Vì độ dài đoạn nối từ điểm đến tiếp điểm mặt cầu nên ta kí hiệu hình vẽ từ suy Tiếp tục, ta xét mặt cầu tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA ba cạnh SA, SB, SC kéo dài Gọi tiếp điểm BC, CA, AB tiếp điểm SA, SB, SC Khi Vì nên chu vi tam giác SBC Cùng cách thấy ba tam giác SBC, SCA, SAB có chu vi Vì tam giác SBC SCA có chu vi chung cạnh SC nên Theo (1) có Dựa vào mối liên hệ suy Tương tự Lại theo (1) suy Hơn Hơn sử dụng mặt cầu khác kết luận đượcStam giác ABC ba mặt khác tứ diện SABC cân Sử dụng bốn mặt cầu lại suy tất cạnh tứ diện b Ngược lại, giả sử tứ diện có W trọng tâm Vì tứ diện nên đoạn nối Uđều B C trung điểm hai cạnh đối diện vng góc với hai cạnh đối diện T 3trung W trung điểm ba đoạn nối điểmTđó nên mặt cầu tâm W bán kính nửa độ dài đoạn nối trung điểm tiếp xúc với sáu cạnh tứ diện Vì SW trục đối xứng đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên mặt cầu có tâm SW mà tiếp xúc với AB tiếp xúc với hai cạnh lại Lại nên SW tập hợp điểm cách ba đường SA, SB, SC Suy mặt cầu có tâm SW mà tiếp xúc với ba đường tiếp xúc với hai đường lại Như vậy, giao điểm SW mặt phẳng phân giác tâm mặt cầu tiếp xúc với tất đường chứa cạnh tứ diện Một giao điểm W (phân giác trong), giao điểm (phân giác ngoài) tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA phần dài ba cạnh SA, SB, SC Tương tự, ta xác định tâm mặt cầu lại ... http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1961 _IMO_ Problems/Problem_6 IMO 1962 Tiệp Khắc Câu Tìm số tự nhiên n nhỏ có tính chất sau a Biểu diễn thập phân có chữ số cuối b Nếu chuyển chữ số từ sau trước số gấp lần số cũ Giải: +... giác Nguồn: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1961 _IMO_ Problems/Problem_2 Câu Giải phương trình n số nguyên dương cho trước Giải: + Với : + Với + Với Dấu xảy * Nếu n chẵn * Nếu n lẻ... http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php /1961 _IMO_ Problems/Problem_3 Câu Cho tam giác điểm miền tam giác Gọi giao điểm với cạnh đối diện Chứng minh tỉ số tồn tỉ số không lớn tỉ số không nhỏ Giải: P1 Q3 Q2 P P2 Q1