Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ ĐỀ KSCL ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI 11 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT Câu (1,0 điểm) a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số b) [1D1-3.5-2] dGiải phương trình: y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Câu (1,0 điểm) [1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có · = 90° BC = a, AB = c, AC = b Biết góc BAC theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc a, b, c B, C Câu (1,0 điểm) [1D2-3.2-3] Cho n số nguyên dương Gọi đa thức ( x + 1) ( x + ) n n Tìm a3n− hệ số x3n − khai triển thành n cho a3n− = 26n ? Câu (1,0 điểm) [1D2-2.1-4] Cho chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối? Câu (1,0 điểm) [1D4-1.7-4] Cho dãy số quát tính ( un ) u1 = 2019 n un +1 = n +1 un + thỏa mãn: 2019n Tìm cơng thức số hạng tổng lim un Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD · = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD M uuur uuur r uur uur r mãn 3MB + MS = 0, IS + 3ID = Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N hình I thang có hai điểm thỏa Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC SD Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ a) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng b) Chứng minh c) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( AIM ) ·ANI = 900 ; ·AMI = 900 ( AMI ) hình chóp S ABCD Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện phẳng (α ) ABCD , gọi G qua G′ BCD , G′ trung điểm B′, C ′, D′ Tính trọng tâm tam giác cắt cạnh AB, AC , AD AB AC AD + + AB′ AC ′ AD′ Câu (1,0 điểm) [1D4-3.4-4] Cho n số a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: ( + a1 + a2 + a3 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + a32 + + an2 ) AG Một mặt Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC KHỐI 11 Câu (1,0 điểm) a) [1D1-3.3-3] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số b) [1D1-3.5-2] Giải phương trình: y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Lời giải a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + Lời giải Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen Phản biện: Fb:Hieu Le Với x∈ ¡ ta có: 2cos x − sin x + = ( cos x + 1) + ( − sin x ) + > (vì sin x ∈ [ − 1;1] , cos x ∈ [ − 1;1] ) nên y= cos x + 2sin x + ⇔ y ( 2cos x − sin x + ) = cos x + 2sin x + 2cos x − sin x + ⇔ ( y + ) sin x + ( − y ) cos x + ( − y ) = Phương trình (*) có nghiệm tương đương 11y − 24 y + ≤ ⇔ (*) ( y + 2) + ( − y ) ≥ ( − y ) 2 2 ≤ y≤2 11 Giá trị lớn nhỏ hàm số cho m= ,M = 11 , Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC b) Giải phương trình: Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = Lời giải Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le Phản biện: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Ta có: cos x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ cos x − sin x + ( + 2cos x ) ( sin x − cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( + 2cos x ) ( cos x − sin x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x − − 2cos x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( sin x − cos x − 1) = cos x − sin x = ⇔ sin x − cos x − = • π π cos x − sin x = ⇔ sin x − cos x = ⇔ sin x − ÷ = ⇔ x = + kπ ( k ∈ ¢ ) 4 π π π x − = + k 2π x = + k 2π π sin x − cos x − = ⇔ sin x − ÷ = ⇔ ⇔ ( k ∈ ¢) 4 x − π = 3π + k 2π x = π + k 2π 4 • Vậy phương trình có nghiệm : x= π π + kπ x = + k 2π x = π + k 2π ( k ∈ ¢ ) ; ; Câu (1,0 điểm) [1D1-3.5-2] Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b Biết góc theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tính số đo góc · = 90° BAC a, b, c B, C Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mạnh ; Fb: Nguyễn Văn Mạnh Phản biện: Nguyễn Đức Hoạch ; Fb: Hoạch Nguyễn Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Do a, Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 2 2 b, c b = ac theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có (*) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC a b c = = · = 90° ⇒ sin A = ta có sin A sin B sin C mà BAC b c = = a ⇒ b = a sin B, c = a sinC = a cosB Do sin B sin C (vì tam giác Khi (*) ⇔ ABC vuông A) 2 a sin B = a cos B ⇔ ( − cos B ) = 3cos B ⇔ 2cos B + 3cos B − = cosB = ⇔ cosB = − 2(lo¹i) Với Vậy cosB = B góc tam giác ABC nên B = 60° ⇒ C = 30° B = 60°, C = 30° Câu (1,0 điểm) [1D2-3.2-3] Cho n số nguyên dương Gọi đa thức ( x + 1) ( x + ) n n Tìm a3n− hệ số x3n − khai triển thành n cho a3n− = 26n ? Lời giải Tác giả: Nguyễn Đức Hoạch, Fb: Hoạch Nguyễn Phản biện: Nguyễn Văn Mộng, FB: Nguyễn Văn Mộng n k n −k n m n − m m n k n− k n m n− m m ( x + 1) ( x + 2) = ∑ Cn ( x ) ÷. ∑ Cn x ÷ = ∑ Cn x ÷. ∑ Cn x ÷ Ta có: k =0 m=0 k =0 m =0 n n ( m, n, k ∈ ¥ ; ≤ m, k ≤ n ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét số hạng chứa Do k , m∈ ¥ x3n − ta suy nên suy Hệ số số hạng chứa Theo giả thiết ( 2n − 2k ) + ( n − m ) = 3n − ⇔ 2k + m = ( k , m ) ∈ { ( 0;3) , ( 1;1) } x3n − a3n− = 26n a3n− = Cn0 Cn3 23 + Cn1 Cn1 nên Cn0 Cn3 23 + Cn1 Cn1 = 26n ⇔ ⇔ Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ n! n! n! + = 26n 3!( n − 3) ! ( n − 1) ! ( n − 1) ! 4n ( n − 1) ( n − ) + 2n = 26n ⇔ 2n2 − 3n − 35 = ⇔ n = (Do n∈ ¥ ) Vậy n = thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) [1D2-2.1-4] Cho chữ số 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; Từ chữ số lập số tự nhiên có chữ số đơi khác cho tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối? Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng GVPB: Trần Thanh Sơn; Fb: Trần Thanh Sơn 0+ 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ = 28, nên để tổng chữ số đầu tổng chữ số cuối tổng 14 Do Ta lập số có tổng 14 có chữ số là: ( 0;1;6;7) ; ( 0;2;5;7) ; ( 0;3;4;7) ; ( 0;3;5;6) Với số có số ứng khơng có số có tổng 14 TH1: Bộ có số đứng trước: có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp số đầu có 3.3! cách +) Xếp số cuối có 4! cách Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4! = 1728 số TH2: Bộ có số đứng sau: có có chữ số 0, ứng với có: +) Xếp khơng có chữ số đứng trước có +) Xếp có chữ số đứng sau có Áp dụng qui tắc nhân có 4! cách 4.4!.4! = 2304 số 4! cách Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Vậy có Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 1728+ 2304 = 4032 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 = 2019 n un +1 = n +1 un + thỏa mãn: 2019n Tìm cơng thức số hạng tổng qt tính lim un Lời giải Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải Ta có unn++11 = unn + 1 ⇒ unn++11 − unn = n 2019 2019n u2 − u1 = 20191 u − u = 20192 L u n − u n −1 = n n −1 2019n −1 n −1 Suy ra: unn − u11 = 1 + +K + 2019 2019 2019n −1 1− ÷ 2019 = 2018 n −1 1− ÷ n 2019 un = 2019 + Vậy 2018 Ta có n −1 1− ÷ n 2019 < un = 2019 + 2018 (AM-GM cho < n 2020 = n 1.1K 1.2020 < n − số số 2020 ) 2019 lim + ÷= Mặt khác n Vậy lim un = Câu (2,0 điểm) + + K + + 2020 2019 = 1+ n n Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Cho hình chóp S ABCD có Đề THI HSG 11 N LẠC – VP - 2019 – TỔ đáy ABCD · = 600 , SA ⊥ ( ABCD), SA = a AD = 2a, AB = BC = CD = a, BAD M uuur uuur r uur uur r mãn 3MB + MS = 0, IS + 3ID = Mặt phẳng ( AIM ) cắt SC N SD d) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng e) Chứng minh f) Tính diện tích thiết diện tạo mặt phẳng hình I thang hai điểm thỏa ( AIM ) ·ANI = 900 ; ·AMI = 900 ( AMI ) hình chóp S ABCD Lời giải Tác giả: Dương Hà Hải ; Fb: Dương Hà Hải Phản biện: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức a) Đặt uuur r uuur r uuur r AB = a, AD = b, AS = c uuur r r r r rr rr rr BC = b, a = a, b = 2a, c = a 3, a.b = a , a.c = 0, c.b = Ta có uuur r r uur r r uuuur SD = b − c, AI = b + c, AM = Ta có: 7 Suy uuur uur uuur uuuur SD.AI = 0, SD AM = Do SD ⊥ AI , SD ⊥ AM Vậy 3r 1r a + c 4 SD ⊥ ( AMI ) BD E Trog mặt phẳng (SBD), SE Khi đó, mặt phẳng ( SAC ), AF cắt SC N b) Trog mặt phẳng ( ABCD), AC cắt cắt MI có F Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Ta có: uuur r r AN = a + b + Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ r uur 1r r r c, NI = − a + b + c 2 28 14 uuur uur ⇒ AN NI = ⇒ AN ⊥ NI ⇒ ·ANI = 900 uuuur r r uuur 3r 3r r AM = a + c, MI = − a + b + c 4 28 c) uuuur uuur · = 900 ⇒ AM MI = ⇒ AM ⊥ MI ⇒ AMI Thiết diện tạo mặt phẳng ( AMI ) hình chop S ABCD Ta có S AMNI = S ANI + S AMN Ta có AM = tứ giác AMNI a a a 42 , AN = , NI = 2 14 3a ⇒ S ANI = AN NI = 28 uuuur uuur uuuur uuur 15a AM AN 14 · · AM AN = ⇒ cos MAN = = ⇒ sin MAN = Ta có 16 AM AN 3a · ⇒ S AMN = AN AM sin MAN = 32 2 3a 3a 45a S = + = Vậy AMNI 28 32 224 Câu (1,0 điểm) Cho tứ diện phẳng (α ) ABCD , gọi G qua G′ BCD , G′ trung điểm B′, C ′, D′ Tính trọng tâm tam giác cắt cạnh AB, AC , AD AG Một mặt AB AC AD + + AB′ AC ′ AD′ Lời giải Tác giả: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức Phản biện: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc 1) Trước hết ta xét toán: “ Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Một đường thẳng d cắt cạnh AB, AC đoạn thẳng AB AC AM + =2 A Chứng minh AB1 AC1 AM ” AM điểm B1 , C1 , M khác Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ Chứng minh: Qua B C dựng đường thẳng nhận uuuur B1C1 làm vectơ phương Mỗi đường AM E F (hình vẽ) Khơng tính tổng qt, AM F đối xứng với E qua M thẳng theo thứ tự cắt đường thẳng ta giả sử E thuộc đoạn Áp dụng định lí Thales, ta có AB AE AM − ME AC AF AM + MF AM + ME = = = = = AB1 AM AM , AC1 AM AM AM ⇒ AB AC AM − ME AM + ME AM + = + =2 AB1 AC1 AM AM AM (đpcm) 2) Gọi M,N theo thứ tự trung điểm của mặt phẳng (α ) với CD BG M ′, N ′ theo thứ tự giao điểm AM , AN Áp dụng kết toán vào tam giác ∆ ACD, ∆ ABG, ∆ AMN g AC AD AM + =2 ( 1) , AC ′ AD′ AM ′ g AB AG AN AB AN AB AN + =2 ⇔ +2= ⇔ =2 − ( 2) AB′ AG′ AN ′ AB′ AN ′ AB′ AN ′ g AM AN AG + =2 = 2.2 = ( 3) AM ′ AN ′ AG′ ta được: AC AD AB AM AN + + = 2 + ÷ − = 2.4 − = ′ ′ Từ ( 1) , ( ) ( 3) suy AC ′ AD′ AB′ AM AN Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ AC AD AB + + =6 Vậy AC ′ AD′ AB ′ Câu (1,0 điểm) [1D4-3.4-4] Cho n số a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng: ( + a1 + a2 + a3 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + a32 + + an2 ) Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương; Fb: Phuong Tran Duc Phản biện: Nguyễn Phương Thu; Fb: Nguyễn Phương Thu Xét tam thức f ( x ) = x − ( + a1 + a2 + + an ) x + ( a12 + a22 + + an2 ) Ta có: f ( 1) = − ( + a1 + a2 + + an ) + ( a12 + a22 + + an2 ) = a1 ( a1 − 1) + a2 ( a2 − 1) + a3 ( a3 − 1) + + an ( an − 1) Mặt khác a1 , a2 , , an ∈ [ 0;1] nên a1 ( a1 − 1) ≤ a2 ( a2 − 1) ≤ ⇒ f ( 1) ≤ a ( a − 1) ≤ n n Mà f ( ) = a12 + a22 + + an2 ≥ ⇒ f ( 1) f ( ) ≤ Mặt khác hàm số f ( x) liên tục [ 0;1] Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TỐN VD VDC Do phương trình f ( x) = Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ có nghiệm đoạn [ 0;1] 2 Suy ∆ = ( + a1 + a2 + + an ) − ( a1 + a2 + + an ) ≥ Do đó: ( + a1 + a2 + + an ) ≥ ( a12 + a22 + + an2 ) ... unn+ +11 = unn + 1 ⇒ unn+ +11 − unn = n 2019 2019n u2 − u1 = 20191 u − u = 20192 L u n − u n −1 = n n −1 2019n −1 n −1 Suy ra: unn − u11 = 1 + +K + 2019 2019 2019n −1 1− ÷ 2019. .. Một mặt Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI CHỌN HSG THPT YÊN LẠC – VĨNH PHÚC KHỐI 11 Câu (1,0 điểm) a) [1D1-3.3-3] Tìm giá... VDC Vậy có Đề THI HSG 11 YÊN LẠC – VP - 2019 – TỔ 1728+ 2304 = 4032 số thỏa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm) Cho dãy số ( un ) u1 = 2019 n un +1 = n +1 un + thỏa mãn: 2019n Tìm cơng thức