Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN CAO BẰNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 12 ĐỀ BÀI Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị phương trình b) Gọi Câu 2: A, B cho tam giác (4 điểm) (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có y = − 3x + điểm cực trị AMB vuông ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y = x M 2x − y = ln − 3÷ a) Tìm tập xác định hàm số x+ Câu 3: b) Giải phương trình: sin x + = 6sin x + cos2 x (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn Câu 4: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x − y − = , phương trình cạnh AC : x + y − = Biết trọng tâm tam giác G ( 3;2 ) Xác A viết phương trình cạnh BC (4 điểm) Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác vuông B , AB = a , ·ACB = 600 , định tọa độ điểm Câu 5: hình chiếu vng góc trung điểm phẳng Câu 6: S lên mặt phẳng ( ABC ) trọng tâm tam giác AC biết SE = a Tính thể tích khối chóp S ABC ABC , gọi E khoảng cách từ C đến mặt ( SAB ) (2 điểm) Một khách sạn có 50 phòng Nếu phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phòng th hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có thêm hai phòng bỏ trống khơng có người thuê Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C ) a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị A, B cho tam giác biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có y = − 3x + phương trình b) Gọi (C ) điểm cực trị AMB vuông ( C ) Tìm tọa độ điểm M thuộc Parabol ( P) : y = x M Lời giải a) Ta có y′ = 3x − x Vì tiếp tuyến ( C) song song với đường thẳng y = − 3x + 3x − x = − ⇔ x = x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến: y = − 3( x − 1) + nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: Với song với đường thẳng hay y = − 3x + (thỏa mãn song y = − 3x + ) x = y′ = ⇔ 3x − x = ⇔ b) x = Ta có điểm cực trị (C) là: Gọi M ( x; x thuộc ( P) tam giác ) thuộc ( P ) Khi nên AMB vuông A ( 0;4 ) B ( 2;0 ) uuuur đó: AM = ( x; x − ) uuuur BM = ( x − 2; x ) Vì A, B không uuuur uuuur 2 ⇔ AM BM = ⇔ x x − + x x − = ⇔ x x − 3x − ) = ( ) ( ) ( M x = ⇔ x ( x + 1) ( x − ) = ⇔ x = − x = Câu 2: Vậy có ba điểm thuộc (4 điểm) ( P) để tam giác AMB vuông 2x − y = ln − 3÷ a) Tìm tập xác định hàm số x+ b) Giải phương trình: sin x + = 6sin x + cos2 x Lời giải M M ( 0;0 ) , M ( − 1;1) , M ( 2;4 ) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 2x − y = ln − 3÷ a) Hàm số x + xác định 2x − − > − x − 10 ⇔ > ⇔ − 10 < x < − x+3 x + x + ≠ Vậy tập xác định hàm số D = ( −10; −3) b) Ta có: sin x + = 6sin x + cos x ⇔ 2sin x.cos x + = 6sin x + − 2sin x ⇔ 2sin x ( cosx + sin x − 3) = Câu 3: sin x = ⇔ sin x + cos x = (VNo) Vậy nghiệm phương trình cho x = kπ (3 điểm) Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba mơn ⇔ x = kπ Lời giải Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học 16 nhà khoa học có C164 cách Chọn người công tác thỏa mãn yêu cầu tốn có trường hợp sau: Chọn nhà Tốn học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C82 C51.C31 cách Chọn nhà Tốn học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C81.C52 C31 cách Chọn nhà Tốn học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C81.C51.C32 cách Số cách chọn đồn cơng tác C82 C51.C31 + C81.C52 C31 + C81.C51.C32 cách C82 C51.C31 + C81.C52 C31 + C81.C51.C32 P= = C164 Vậy, xác suất cần tìm là: Câu 4: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB : x − y − = , phương trình cạnh AC : x + y − = Biết trọng tâm tam giác G ( 3;2 ) Xác định tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC Lời giải Tọa độ điểm A x− y − = nghiệm hệ phương trình: x + y − = x = Giải hệ phương trình ta y = Do đó: A ( 3;1) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Gọi Do B ( b; b − ) ∈ AB , C ( − 2c; c ) ∈ AC G trọng tâm tam giác ABC b = ⇒ c = Hay B ( 5;3) ; C ( 1;2 ) Một vectơ phương cạnh Phương trình cạnh Câu 5: TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 BC là: (4 điểm) Cho hình chóp hình chiếu vng góc trung điểm phẳng AC biết + b + − 2c = ⇔ nên: 1 + b − + c = b − 2c = b + c = r uuur u BC = BC = ( − 4; − 1) x − 4y + = S ABC S có ABC tam giác vng lên mặt phẳng ( ABC ) B , AB = a , ·ACB = 600 , trọng tâm tam giác SE = a Tính thể tích khối chóp S ABC ABC , gọi E khoảng cách từ C ( SAB ) Lời giải Gọi G trọng tâm tam giác Theo giả thiết có: a) Xét tam giác ABC , M , N trung điểm SG ⊥ ( ABC ) ABC tam giác vuông B có: BC AB đến mặt Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 AC = AB AB = 2a BC = = a GE = BE = a · · , , sin ACB tan ACB 3 S∆ ABC a2 = AB.BC = 2 a a 26 SG = SE − GE = 3a − = có: Xét tam giác Khi đó: SGE vng G VS ABC ( b) Ta có: d G, ( SAB ) GK // BM với ) = CN = ⇒ d ( C , ( SAB ) ) = 3.d ( G, ( SAB ) ) GN K∈ AB ⊥ SG ⇒ AB ⊥ ( SGK ) AB Ta có: AB ⊥ GK GH ⊥ AB ⇒ GH ⊥ ( SAB ) SK Ta có: GH ⊥ SK Trong ( SGK ) Suy d ( G, ( SAB ) ) = GH Do d ( C , ( SAB ) ) = 3.GH Ta có: dựng GK PBM ⇒ Tam giác 1 a 26 a a 78 = SG.S ∆ ABC = = 3 18 (đvtt) d ( C , ( SAB ) ) Dựng SGK GH ⊥ SK với H∈ GK AG 2 BC a = = ⇒ GK = BM = = BM AM 3 3 vng G có đường cao GH nên: 1 9 243 a 78 = + = + = ⇒ GH = GH GS GK 26a a 26a 27 Vậy: Câu 6: d ( C , ( SAB ) ) = 3.GH = (2 điểm) Một khách sạn có a 78 50 phòng Nếu phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng ngày tồn phòng th hết Biết lần tăng giá lên 20 ngàn đồng có thêm hai phòng bỏ trống khơng có người th Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng để thu nhập khách sạn ngày lớn nhất? Lời giải Gọi x ( ngàn đồng) giá phòng khách sạn cần đặt ra, x ≥ 400 Giá thuê phòng chênh lệch sau tăng là: x − 400 ( ngàn đồng) Số lượng phòng cho thuê giảm chọn mức giá thuê phòng là: Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 x − 400 x − 400 = 20 10 (phòng) Số phòng cho thuê với giá x là: 50 − x − 400 900 − x = 10 10 900 − x x2 x = − + 90 x Tổng doanh thu ngày là: 10 10 x2 f ( x ) = − + 90 x Xét hàm số với x ≥ 400 10 x f ′ ( x ) = − + 90 ⇒ f ′ ( x ) = ⇔ x = 450 Qua bảng biến thiên ta thấy Vậy thuê với giá 450 f ( x) đạt giá trị lớn x = 450 ngàn đồng khách sạn có doanh thu cao ngày ... học 16 nhà khoa học có C164 cách Chọn người công tác thỏa mãn u cầu tốn có trường hợp sau: Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật lỹ nữ, nhà Hóa học nữ có C82 C51.C31 cách Chọn nhà Toán học nam, nhà Vật... khoa học gồm nhà Toán học nam, nhà Vật lý nữ nhà Hóa học nữ Người ta chọn từ người để cơng tác, tính xác suất cho người chọn phải có nữ có đủ ba môn ⇔ x = kπ Lời giải Chọn ngẫu nhiên nhà khoa học. ..Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG HUYỆN CAO BẰNG 2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ