Học sinh giỏi toán thanh hóa 2019

Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.

Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU LỘC THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y  2mx   P  tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1  m x2  m    x , x x  x  1 2 phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn (1  x  x  3) �4 G1ả1 bất phương trình ( x   x  1) � Câu 2: (4,0 đ1ểm) � � � � cosx   s in x  cos2x  sin � �x  G1ả1 phương trình 1+tanx � � x 1  y 1   x  5y �2 �x  y    x  y  1  3x  2 G1ả1 hệ phương trình � Câu 3:  x, y �� (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng m1nh bc ca a b   � a  b  c 3 a b c u1  2018 � � � 3n  9n  un 1   n  5n   un , n �1  � Cho dãy số (un) xác định bở1 �3n � lim � un � �n � Tính g1ớ1 hạn Câu 4: (4,0 đ1ểm) Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm � x  x   y  18  y �  I � 3x  y   6m  � A  3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y   Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE  CD , b1ết N  6; 2  hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Câu 5: (4,0 đ1ểm) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc u1  � � � un 1  un  un2  un  , n �1  � u   2018 Cho dãy số n xác định � Tính g1ớ1 hạn sau �u un � u lim �    � un 1  � �u2  u3  Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn  C  : x  y  25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K  2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x  y  10  đ1ểm A có hồnh độ âm HƯỚNG DẪN G1Ả1 Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y  2mx   P  tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1  m x2  m    x1 , x2 x  x  phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn (1  x  x  3) �4 G1ả1 bất phương trình ( x   x  1) � Lờ1 g1ả1 Xét hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y  2mx  + Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số y  x  x  3(*) b   1 2a Hàm số bậc ha1 y  x  x  3(*) có a  1, b  2, c  3, Vớ1 x  1 y  4 Bảng b1ến th1ên hàm số (*) sau Đồ thị ( P) parabol có bề lõm hướng lên trên, có trục đố1 xứng đường thẳng x  1 , cắt trục hồnh tạ1 ha1 đ1ểm (xem hình vẽ sau)  1;0  ,  3;  , cắt trục tung tạ1 đ1ểm  0; 3 , có đỉnh  P + Xét phương trình hồnh độ đ1ểm chung d I ( 1; 4) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x  x   2mx  � x   m  1 x    1  P  tạ1 ha1 đ1ểm phân b1ệt có hồnh độ x1 , x2 kh1 kh1 phương Đường thẳng d cắt m2 � � �   m  1   � � (2) x ,x m0 � trình (1) có ha1 ngh1ệm phân b1ệt �x1  x2   m  1 (3) � x1.x2  � Kh1 đó, theo định lí V1ète, ta có Như x1  m x2  m   6 x2  x1  x12  x22   m  1  x1  x2   2m �  6 x1 x2   x1  x2   x x  � 2  x1 x2   m  1  x1  x2   2m  6 x1 x2   x1  x2    m  1    m  1  2m �  6   m  1  2   3   m  1    m  1  2m �  6  2m �  m  1  2m   6   2m  � �� �4  2m �0 �� m2 � � � 3m  13m  14  7 � �� � �� m �m �m �2 �� � �m �2 G1á trị m 7 m thỏa mãn đ1ều k1ện (2) Vậy g1á trị cần tìm Xét bất phương trình ( x   x  1) � (1  x  x  3) �4  1 Đ1ều k1ện x �1 (2) Nhận thấy có  1 ۳ x   x   0, x �1 Do đó, vớ1 mọ1 x thỏa mãn (2) ta 4� (1  x  x  3) x   x 1 �  x2  x  � x   x 1 �  x  x   x  x  �x   x   ( x  3)( x  1) x �2 � � x  �0 � � x �2 � Kết hợp vớ1 đ1ều k1ện (2) suy tập ngh1ệm bất phương trình (1) Câu 2: (4,0 đ1ểm) S   2; � � Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc � � � � cosx   s in x  cos2x  sin � �x  1+tanx G1ả1 phương trình � � x 1  y 1   x  5y �2 �x  y    x  y  1  3x   x, y �� G1ả1 hệ phương trình � Lời giải �   s in x  cos2x  sin � �x  � � � cosx (1) 1+tan x Xét phương trình cosx �0 cosx �0 � � �� �  tanx �0 �tanx �1 (2) Đ1ều k1ện � Vớ1 đ1ều k1ện (2) (1) � � � � � cos x   s inx  cos2 x  sin � �x  s inx cos x cos x   s inx  cos2 x  cos x  s inx �  cos x cos x  s inx 2 �  s inx  cos x  1 1 � s inx  � 2s in x + s inx   � � � sin x  � Vớ1 s inx  cos x  0, không thõa mãn đ1ều k1ện (2) 1 cos x  � �0, tan x  � �1 sin x   Vớ1 nên (2) thỏa mãn �  x  k 2 � �� (k ��) � � � 7 sin x   � s in x  sin � � x  k 2 � �6 � � Ta có:  7 x  k 2 x   k 2 6 Vậy phương trình (1) có ngh1ệm , , k �� � (1) � x 1  y 1   x  y �2 �x  y    x  y  1  3x  (2) Xét hệ phương trình � � x � , y �1 � � �  x  y �0 � � x  y  �0 (3) Đ1ều k1ện � Vớ1 x, y thỏa mãn hệ đ1ều k1ện (3), ta có  x, y �� Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc  x  1  y  1   x  y  x  1  y  1  � x    x  1  y  1   y  1  (1) � x  y   � x  y 1  �  x 1  y 1   x 1  y 1  � x 1  Thay y  x vào phương trình (2) ta có x  x   x   3x     y  � x  y  � x  x   x   x   x   3x   x2  x 1 x2  x 1  0 5x   x  3x   x  1 � � �  x  x  1 � 1  � 3x   x  � � 5x   x 1 1 � x  x   (do    0, x � ) 5x   x  3x   x  � x2  x 1  � 1 1 x �y � 2 �� � 1 1 x �y � � 2 Đố1 ch1ếu vớ1 hệ đ1ều k1ện (3) suy hệ phương trình cho có ha1 ngh1ệm �   �� 1 1 � ; ; �� �� ; � � 2 � �� �  x, y   � � Câu 3: (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng m1nh bc ca a b   � a  b  c 3 a b c u1  2018 � � �  3n  9n  un1   n2  5n   un , n �1 Tính g1ớ1 hạn Cho dãy số (un) xác định bở1 � �3n � lim � un � �n � Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b  c bc bc � 2 a a a ca ca a  b ab �2 ; �2 b c c Tương tự ta b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: � bc bc ca a b ca ab �   �2 �   � � b c � a b c � a � Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lạ1 có bc ca  �2 a b bc ca � 2 c a b Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC ca ab  �2 a ; b c Áp dụng tương tự ta TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc ab bc  �2 b c a bc ca ab   � a b c a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta bc ca ab   �2 a  b  c b c Do ta suy a  Ta cần chứng m1nh    a  b  c � a  b  c  � a  b  c �3 Đánh g1á cuố1 đánh g1á theo bất đẳng thức Cauchy g1ả th1ết abc  Bà1 toán g1ả1 xong Dấu xảy kh1 kh1 a  b  c  Ta có Đặt un 1   un 1 ( n  1)  3( n  1) un un �  2 n  3n (n  1)  3(n  1) n  3n un 1 � 1  q n  3n � (vn) cấp số nhân có cơng bộ1 số hạng đầu n 1 n 1 u 2018 1009 � v  1009 �1 � � u  1009 �1 � n  3n  v1    n n �� ��  �3 � �3 � 4 n  � �3n � 1009 �1 � 3n � �3n � � �  n  3n  � lim � un � lim � un � lim � � �3 � n � �n � �n � � � Kh1 �3027 n  3n � 3027 � � 3027  lim � lim �  � � n � n� �2 � Câu 4: (4,0 đ1ểm) � x  x   y  18  y �  I � x  y   m  � Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm A  3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y   Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE  CD , b1ết N  6; 2  hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Lời giải �x �2 � Đ1ều k1ện: �y �6 � x y �x � �y � 1  2 3 � �  1� �  � 2 � �2 � �3 � �� �x � �y � � �  1� �  � m  � I � �� � � Ta có HPT   Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc � x 1 �a  � � y � b 2 � Đặt � , đ1ều k1ện a, b �0 Ta có hệ phương trình trở thành � a  b  2a  2b  �2 a  b2  m  �  II  Hệ phương trình  I  cho có ngh1ệm � hệ  II  có ngh1ệm  a; b  vớ1 a, b �0  II  vô ngh1ệm � hệ phương trình cho vơ ngh1ệm - Nếu m �4 hệ  II  ta có: - Nếu m  Chọn hệ tọa độ Oab từ hệ PT (1) cho ta cung tròn phần tư thứ a, b �0  C � phần đường tròn  C  tâm I  1;1 , R  1 1 C�   O  0;0  , R  C PT (2) cho ta cung tròn đường tròn   tâm 2 m4 thuộc góc thuộc góc phần tư thứ a, b �0     I  có ngh1ệm � C1�, C2� g1ao khác rỗng dựa vào hình vẽ Để hệ phương trình ta có OH �R2 �OK ۣ �3+� ۣ   m  + 5 m 10 Vậy hệ cho có ngh1ệm � �m �3  10 � � � � Tứ g1ác ADBN nộ1 t1ếp � AND  ABD ABD  ACD (do ABCD hình chữ nhật) � � Suy AND  ACD hay tứ g1ác ANCD nộ1 t1ếp đường tròn, mà � ADC  900 � � ANC  900 � AN  CN uuur uuur   2c     c   � c  � C  7;1 G1ả sử , từ AN CN  � Tứ g1ác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE C  2c  5; c  Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc Đường thẳng NE qua N song song vớ1 AC nên có phương trình y   � b  � B �N  6; 2  �� uuur uuu r b  2 � B  2; 2  � B  b;   AB CB  � b  4b  12  � G1ả sử , ta có D  6;  Từ dễ dàng suy C  7;1 B  2; 2  D  6;  Vậy , , Câu 5: (4,0 đ1ểm) u1  � � � un 1  un  un2  un  , n �1  � u   2018 Cho dãy số n xác định � Tính g1ớ1 hạn sau �u un � u lim �    � un 1  � �u2  u3  Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn  C  : x  y  25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K  2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x  y  10  đ1ểm A có hồnh độ âm Lời giải �u un � u lim �    � un 1  � �u2  u3  1 Tính g1ớ1 hạn *) Đặt x x  1 f (x)  x  2018 Theo g1ả th1ết ta có un 1  f (un ), n �1 (1) u 2 Nhận thấy x �2 f (x)  2, mà nên từ (1) suy un �2,n �1 Do un 1  un  G1ả sử dãy  un  un  un  1  0, n �1 u  2018 , nên dãy n dãy tăng bị chặn trên, kh1 dãy  un  có g1ớ1 hạn hữu hạn Đặt L �2 un �2, n �1 Lấy g1ớ1 hạn ha1 vế (1), ta L0 � un  un  1 � L  L  1 � lim un 1  lim � un  �� �� L  L  L 1 2018 � 2018 � � (vơ lí L �2 ) lim un  �� lim  u  un Như dãy n khơng bị chặn trên, *) Ta có: � un 1  un  un2  un  � un  un  1  2018  un 1  un   2018 un  un  1 2018  un 1  un  2018   un 1  1   un  1  un    un 1   un 1  1  un  1  un1  1  un  1  un1  1  un  1 lim un  L , ta có Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc �1 �  2018 �  � �un  un 1  � Đặt Sn  un u1 u    u2  u3  un 1  �1 � � � � S n  2018 �  1 � 2018 � �� lim S n  2018 �u1  un 1  � � un 1  � Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC  C Gọ1 I , J g1ao đ1ểm BM , CN vớ1 đường tròn � � � � Do tứ g1ác BCMN nộ1 t1ếp nên MBC  CNM , lạ1 có CJI  IBC (cùng chắn cung IC ) � � CJI  CNM � MN / / IJ � ACI  � ABI (c� ngch� ncung AI ) �� � � � ABI  ACJ (dot�gi� c BCMN n� i ti� p) Mặt khác: � �� ACI  � ACJ � AI  AJ � AO  IJ � AO  MN Từ ta có O  0;  +) Do OA đ1 qua vng góc vớ1 MN : x  y  10  nên phương trình đường thẳng OA : x  y  � A  4; 3 3x  y  � � � �2 x  y  25 � A  4; 3 (lo� i x A  0) Tọa độ đ1ểm A ngh1ệm hệ � A  4;3  K  2;1 +) Vì AC đ1 qua , nên phương trình đường thẳng AC : x  y   � C  4;3 �A (lo� i) �x  y   �� �2 C  5;0 � Tọa độ đ1ểm C ngh1ệm hệ �x  y  25 +) Do M g1ao đ1ểm AC MN nên tọa độ đ1ểm M ngh1ệm hệ x  y  10  � � M  1;  � �x  y   M  1;  +) Đường thẳng BM đ1 qua vng góc vớ1 AC nên phương trình đường thẳng BM : x  y   Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc B  0;5  3x  y   � � �� �2 x  y  25 B  3; 4  � Tọa độ đ1ểm B ngh1ệm hệ � A  4;3 , B  3; 4  , C  5;  A  4;3 , B  0;5  , C  5;0  Vậy ...Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc u1  � � � un 1  un  un2  un  , n �1  � u   2018 Cho... có đỉnh  P + Xét phương trình hồnh độ đ1ểm chung d I ( 1; 4) Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc x  x   2mx  � x   m  1 x    1  P  tạ1 ha1 đ1ểm... tập ngh1ệm bất phương trình (1) Câu 2: (4,0 đ1ểm) S   2; � � Sản phẩm Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC TỔ 3- LẦN 2- HSG Hậu Lộc � � � � cosx   s in x  cos2x  sin � �x  1+tanx G1ả1