SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (2 điểm) Giải phương trình: 3 1 3 2 2 2cos2 0 cos2 1 cotx tan x x x cotx − − − + = + Câu II (2,5 điểm) 1. Cho khai triển: ( ) 2011 2 3 2010 2 3 4042110 0 1 2 3 4042110 1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 4042110 a a a a+ + + + b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = − 2. Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 3. Câu III (2,5 điểm) 1. Cho dãy số ( ) n u được xác định như sau ( ) 2 1 1 1 2011; n n n u u n u u − − = = − , với mọi * , 2n n∈ ≥¥ . Chứng minh rằng dãy số ( ) n u có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tính giới hạn: 3 2 1 2 1 3 2 2 1 x x x x A lim x → − + − − = − Câu IV (3 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a . 1. Chứng minh rằng 'AC vuông góc với mặt phẳng ( ) 'A BD và đường thẳng 'AC đi qua trọng tâm của tam giác 'A BD . 2. Hãy xác định các điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’). Tính độ dài đoạn MN theo a . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: ………………… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT không chuyên) Đáp án gồm 3 trang Câu Nội dung Điểm I 2 điểm ĐK cos2 0 cos 2 0 cos2 0 sin 0 sin 0 sin 0 cot 1 cos sin 0 x x x x x x x x x ≠ ≠ ≠ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ − + ≠ 0,5 Khi đó phương trình đã cho trở thành ( ) ( ) 3sin 2 3 sin cos 2 2cos2 0 cos 2 sin cos 3sin 2 3 cos sin 2 2cos2 0 cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − + = + − − ⇔ + + = − + + 0.5 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3sin 2 3 2 cos sin 2cos 2 0 3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0 1 2sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2 2 x x x x x x x x x x x − + − + = ⇔ − + − + − = ⇔ − + + = ⇔ = = − 0,5 +) sin 2 1 cos2 0x x= ⇒ = không thỏa mãn ĐK 0,25 +) 1 sin 2 2 x = − (thỏa mãn ĐK) ( ) 2 2 3 6 2 2 2 3 3 x k x k k x k x k π π π π π π π π π = − + = − + ⇔ ⇔ ∈ = + + = + ¢ 0,25 II 2,5điểm 1.a (1,5 điểm) Từ khai triển trên lần lượt cho 1; 1x x= − = ta được 0,5 2011 0 1 2 4042110 0 1 2 4042110 2011 1 a a a a a a a a + + + + = − + − + = 0,5 Cộng từng vế hai đẳng thức trên và chia cả hai vế cho 2 ta được 2011 0 2 4 4042110 2011 1 2 A a a a a + = + + + + = 0,5 1.b (0,5 điểm) Xét 1x ≠ từ khai triển trên ta có: ( ) ( ) ( ) 2011 2011 2011 2 4042110 0 1 2 4042110 1 1 x x a a x a x a x− = − + + + + Hệ số của 2011 x trong vế trái bằng 1 2011 2011C− = − 0,25 Hệ số của 2011 x trong vế phải bằng 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 C a C a C a C a C a C a− + − + + − Từ đó ta có đẳng thức 0,25 0 1 2 3 2010 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2009 2011 2008 2011 1 2011 0 2011C a C a C a C a C a C a− + − + + − = − 2. ( 0,5 điểm) +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có chín chữ số đôi một khác nhau thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có 8 9 A cho 8 vị trí còn lại. Vậy ( ) 8 9 9n A A= 0,25 +) Giả sử { } 0;1;2; ;9B = ta thấy tổng các phần tử của B bằng 45 3M nên số có chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 3 sẽ được tạo thành từ 9 chữ số của các tập { } { } { } { } \ 0 ; \ 3 ; \ 6 ; \ 9B B B B nên số các số loại này là 9 8 9 8 3.8.A A+ . Vậy xác suất cần tìm là 9 8 9 8 8 9 3.8. 11 27 9. A A A + = 0,25 III (2,5 điểm) 1. (1 điểm) Từ công thức truy hồi của dãy ta được ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 n n n u u u u n n n n n − − ÷ ÷ = − = − − = = − − − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ − − 0,5 Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 4.2 3.1 1 . . .2011 .2011 2 3 2 1 n n n n n n u n n n + − − + = = − . Từ đó 2011 lim 2 n u = 0,5 2. (1,5 điểm) Ta có 3 3 2 2 1 1 2 1 3 2 2 2 1 1 3 2 1 1 1 x x x x x x x x lim lim x x → → − + − − − − + − − = − − 0,5 3 2 2 1 2 1 1 3 2 1 1 1 x x x x lim x x → − − − − = + − − 0,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 2 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1 2 1 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 3 2 3 2 1 4 3 3 4 6 2 x x x x x lim x x x x x x x x lim x x x x x x → → − − − = + − − + − − + − + + + = + + − + + − + − + = + = 0,5 IV (3 điểm) 1. (1,5 điểm) Ta có BD AC ⊥ và 'BD AA⊥ nên ( ) ' ' 'BD ACC A AC BD⊥ ⇒ ⊥ . 0,25 Tương tự ta chứng minh được ' 'AC A D ⊥ . Từ đó ta suy ra ( ) ' 'AC A BD⊥ . 0,5 Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đó ' 'G AC A I= ∩ chính là giao điểm của 'AC và mặt phẳng ( ) 'A BD . 0,25 Do // ' ' 2 ' ' ' GI AI AC A C GA A C ⇒ = = suy ra G là trọng tâm của tam giác 'A BD . 0,5 2. (1,5 điểm) Đặt ' , ' ' , ' ' ; . . . 0A A m A D n A B p m n p a m n n p p m= = = ⇒ = = = = = = uuuur ur uuuuur r uuuuur ur ur r ur ur r r ur ur ur 0,25 và ' . ' ; ' . 'A M x A D D N y D C= = uuuuur uuuur uuuuur uuuur Ta có ' . . ; ' . . ' ' ' 'A M x m x n D N y m y p MN MA A D D N= + = + ⇒ = + + uuuuur ur r uuuuur ur ur uuuur uuuur uuuuur uuuuur ( ) ( ) 1y x m x n y p= − + − + ur r ur 0,25 Do đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (CB’D’) nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 . ' 0 1 2 0 3 2 0 1 . ' 0 1 0 3 x y x m x n y p m n MN B C y x y x MN D C y x m x n y p m p y = − + − + + = = + − = ⇔ ⇔ ⇔ − = = − + − + + = = ur r ur ur r uuuur uuuur uuuur uuuur ur r ur ur ur Vậy M, N là các điểm sao cho 2 1 ' ' ; ' ' 3 3 A M A D D N D C= = uuuuur uuuur uuuuur uuuur 0,5 Do đó ta có 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 a a MN m n p MN MN= − + + ⇒ = ⇒ = uuuur ur r ur 0,5 G I C' B' A' C A D B D' M N . 2 011 2 011 2 011 2 011 2010 2 011 2009 2 011 2008 2 011 1 2 011 0 C a C a C a C a C a C a− + − + + − Từ đó ta có đẳng thức 0,25 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2 011 2 011 2010 2 011 2009 2 011 2008 2 011 1 2 011 0 2011C. ) 2 011 2 011 2 011 2 404 2110 0 1 2 404 2110 1 1 x x a a x a x a x− = − + + + + Hệ số của 2 011 x trong vế trái bằng 1 2 011 2011C− = − 0,25 Hệ số của 2 011 x trong vế phải bằng 0 1 2 3 2010 2 011 2 011. ) 2 011 2 3 2010 2 3 404 2110 0 1 2 3 404 2110 1 x x x x a a x a x a x a x+ + + + + = + + + + + a. Tính tổng 0 2 4 404 2110 a a a a+ + + + b. Chứng minh đẳng thức sau: 0 1 2 3 2010 2 011 2 011 2011