Bài tập ôn thi HSG toán 9 Dạng Xác định đa thức 1. Tìm một đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 1995 2. Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1 3. Tìm một đa thức bậc hai, cho biết P(0) = 19, P(1) =85, P(2) = 1985 4. Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi chia P(x) cho các đa thức (x 1), (x 2), (x 3) đều đợc d là 6 và P(-1) = -18 5. Cho đa thức: P(x) = x 4 + x 3 + x 2 + ax + b và Q(x) = x 2 + x 2. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). 6. Xác định a và b sao cho đa thức P(x) = ax 4 + bx 3 + 1 chia hết cho đa thức Q(x) = (x 1) 2 7. Cho đa thức: P(x) = 6x 4 - 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 và Q(x) = x 2 x + b. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). 8. Cho đa thức: P(x) = x 3 + ax 2 + 2x + b và Q(x) = x 2 + x + 1. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). 9. Cho đa thức: P(x) = x 4 + ax 2 + 1 và Q(x) = x 3 + ax + 1. Xác định a để P(x) và Q(x) có nghiệm chung. 10. Xác định d của phép chia đa thức P(x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 1 11. Xác định đa thức d của phép chia đa thức P(x) = x + x 3 + x 9 + x 27 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 2 1 12. Xác định d của phép chia đa thức P(x) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 3 1 Dạng Chứng Minh số hữu tỷ 1. Cho a, b, c là những số hữu tỷ khác 0 và a = b + c Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 a b (a b) + + + là một số hữu tỷ. 2. Cho ba số a, b, c là ba số hữu tỷ khác nhau đôi một. Chứng minh rằng: A = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 a b b c c a + + là một số hữu tỷ. 3. Cho a, b, c là ba số hữu tỷ thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1a b c là một số hữu tỷ. Dạng rút gọn biểu thức 4. Rút gọn B = 2 5 6 9x x x+ + + 8. Rút gọn biểu thức M = 4 7 4 7+ 9. Rút gọn biểu thức: M = 7 3 7 3 7 2 + 10. Rút gọn biểu thức: a) A = 6 2 2. 3 4 2 3+ + b) B = 5 3 29 12 5 c) C = ( ) ( ) 3 5. 10 2 3 5 + Dạng toán cực trị 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = (x 1) 2 + (x 3) 2 2. Cho 2x + y = 6 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = (3x x 2 )(x 2 + 5x + 4) 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: A 2 2 3 2 3 1 x x x + = + 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 3 2 1x x + 6. Rút gọn rồi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 4 3 2 4 2 2 2 2 1 3 2 x x x x x x + + + + = + + 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: A = 4x 4 4x 3 B = x 2 5x + 1 C = (x + 3) 2 + (x 5) 2 D = (x 2 3x)(x 2 11x + 28) 8. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: A = 6 x 2 6x B = 1 x 2 + 3x 9. Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = a 2 + b 2 B = a 4 + b 4 C = a 8 + b 8 10. Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 + z 2 11. Cho x + 3y = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 12. Cho x +2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của: B = xy 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = 2 (3 1) 4 3 1 5x x + B = 3 7x x + C = 2 2 3 6x x x x+ + + + 14. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 3 + y 3 + 2xy 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của: a) A = 2 2 6 5 9x x b) B = 2 2 2 2 x x + c) C = 2 2 1 2 1 x x x x + + + + d) D = 4 2 1x x + 16. Tìm giá trị lớn nhất của: a) A = 2 2 3 6 17 2 5 x x x x + + b) B = 2 ( 100) x x + 17. a) Chứng minh rằng nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau. b) áp dụng tìm giá trịn nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = ( ) ( ) 2 8x x x + + B = 2 ( 100)x x + 18. Tìm giá trịn nhỏ nhất và giá trin lớn nhất của: A = ( ) 2 2 2 x y x y + + B = 2 2 2 4 1 1 x x x + + C = 2 2 2 2 4 2 4x xy y x y + + D = 2 1 1 x x x + + + 19. Cho các số dơng a, b, c, d có tích bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = ab + cd B = a 2 + b 2 +c 2 + d 2 20. a)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 3 4 x x + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = ( ) ( ) 2 2 2 4 4 1 1 9x x x x + + + + c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 2 2 25 20 4 25x x x + + 21. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 5 13x x + Dạng chứng minh bất đẳng thức 1. Với mọi x, y, z chứng minh rằng: a) x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + xz b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 + 3 2(x + y + z) 2. Chứng minh rằng: a) 2 2 2 ( ) 2 2 a b a b+ + b) 2 2 2 2 ( ) 3 3 a b c a b c+ + + + 3. Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: a) 2 2 4 b a ab+ b) a 2 +b 2 + 1 ab + a + b c) a 2 +b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) 4. Chứng minh rằng: (a 10 +b 10 )(a 2 + b 2 ) > (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) 5. Dạng chứng Minh đẳng thức Dạng Tìm nghiệm của phơng trình Dạng Giải phơng trình 1. a) x 6 7x 3 + 6 = 0 b) x 8 + x 4 + 2 = 0 c) x 8 17x 4 + 16 = 0 2. a) x 12 x 6 1 = 0 b) x 10 + x 5 6 = 0 c) x 6 + x 4 + x 2 = 0 3. a) x 4 +5x 3 12x 2 + 5x +1 = 0 b) 6x 4 +5x 3 38x 2 + 5x +6 = 0 c) 6x 4 +7x 3 36x 2 7x +6 = 0 4. a) 6x 5 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 29x +6 = 0 b) x 7 2x 6 + 3x 5 x 4 x 3 + 3x 2 2x + 1 = 0 5. a) 1 13x x+ = b) 2 2 2 3 2 3 9 33x x x x+ + + + = c) ( ) 1 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x + + + = d) 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = 6. a) 2 5 3 5 2x x+ = b) 2 1 4 1x x x+ + = + 7. a) 2 3 1 1 4 2 3 9 9 x x x x + = + + b) 3 3 45 16 1x x+ = 8. a) 3 2 4 4 4 1x x x x + = b) 2 2 5 6 7x x + = 9. a) 4 12x x+ = b) 2 3 3 2 3 20x x = 10. a) 2 2 2 7 2 2 2 2 x x x x + + = + + b) 2 3 3 3 2 3 1 1 4 1 1 x x x x x = + 11. Giải phơng trình: a) 2 2 2 4 5 4 8 4 9 3 5x x x x x x + + + + + = + b) 2 2 2 2 6 8 1 3x x x x + + = + c) 2 2 2 9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x + + + = + 12. Giải các phơng trình: a) 2 2 1 1x x x+ + = + b) 2 2 9 6 9 0x x x + + = c) 2 2 4 4 0x x + = Dạng Rút gọn biểu thức 1. a) A = 6 2 2. 3 4 2 3+ + b) B = 5 3 29 12 5 c) C = ( ) ( ) 3 5. 10 2 3 5 + 2. a) 4 10 2 5 4 10 2 5 + + + + b) x 2 2x 4 x 2 2x 4+ + Dạng chứng minh đẳng thức 1. Cho a+b+c =1 và 1 1 1 0 a b c + + = chứng minh: a 2 +b 2 +c 2 =1 2. Chứng minh 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b a ba b (a b) + + = + ++ 3. Với x>0, y>0 và x 2 >y Chứng minh: 2 2 x x y x x y x y 2 2 + + = + 4. Cho a>0, b>0 và 1 1 1 a b + = Chứng minh: a b a 1 b 1+ = + Dạng Chứng minh bất đẳng thức 1. Cho a 1,b 1 chứng minh: a b 1 b a 1 ab + 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh: 2 2 2 a b c 2(ab bc ca) + + < + + 3. Cho x, y, z, t là các số dơng t/mãn: x+y+z+t = 1Cm: 1 1 1 1 16 x y z t + + + 4. Cho a>0, b>0, c>0 thoả mãn a+b+c = 1 cm: 1 1 1 9 a b c + + 5. Chứng minh rằng: (a 10 +b 10 )(a 2 + b 2 ) > (a 8 + b 8 )(a 4 + b 4 ) Dạng Toán cực trị 1. Cho 2x + y = 6 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy 2.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:A 2 2 3 2 3 1 x x x + = + 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 3 2 1x x + 4.Cho x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x 2 + y 2 + z 2 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của:A = 2 (3 1) 4 3 1 5x x + ; B = 3 7x x + ; C = 2 2 3 6x x x x + + + + 6.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: A = ( ) 2 2 2 x y x y + + ; B = 2 2 2 4 1 1 x x x + + ; C = 2 2 2 2 4 2 4x xy y x y + + ; D = 2 1 1 x x x + + + 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 A x 2y 2xy 2x 10y = + + 2 2 2 2 x 2xy 6y 12x 2y 45 C x 2xy 3y 2x 10y 20 = + + + = + + B 8. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 3 4 x x + + Dạng Giải phơng trình 1. a) x 4 +5x 3 12x 2 + 5x +1 = 0 b) 6x 4 +5x 3 38x 2 + 5x +6 = 0 c) 6x 4 +7x 3 36x 2 7x +6 = 0 2.a) 6x 5 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 29x +6 = 0 b) x 7 2x 6 + 3x 5 x 4 x 3 + 3x 2 2x + 1 = 0 3.a) ( ) 1 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x + + + = b) 2 5 3 5 2x x + = c) 2 1 4 1x x x + + = + d) 3 2 4 4 4 1x x x x + = 4.a) 1 13x x + = b) 2 2 2 3 2 3 9 33x x x x + + + + = 5. a) 2 2 5 6 7x x + = b) 2 2 9 6 9 0x x x + + = c) 2 2 4 4 0x x + = d) 2 2 1 1x x x + + = + e) 2 2 2 7 2 2 2 2 + + = + + x x x x Dạng Xác định đa thức 1.Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10, P(1) = 12, P(2) = 4, P(3) = 1 2.Cho đa thức: P(x) = 6x 4 - 7x 3 + ax 2 + 3x + 2 và Q(x) = x 2 x + b. Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). 3.Tìm một đa thức bậc ba P(x), cho biết khi chia P(x) cho các đa thức (x 1), (x 2), (x 3) đều đợc d là 6 và P(-1) = -18 4. Xác định d của phép chia đa thức P(x) = 1 + x + x 9 + x 25 + x 49 + x 81 cho đa thức Q(x) = x 3 1 5. Tìm các số nguyên m, n để cho đa thức P(x) = 4 3 2 x mx 29x nx 4+ + + + là một số chính phơng Dạng giải hệ phơng trình 1. a) 2 2 2( 2) 6 x y xy x y + = + + = b) 2 2 1 0 22 x y xy x y x y + + + = + = 2. a) 3 3 5 5 x x y y x y = + = + b) 2 2 2 0 2 2 0 x x xy y x y xy x + = + = 3. a) 2 2 2 2 4 4 x y x y y x y 144 + = = b) =+ =++++ 8 3)1(1 yx xyyx c) = =+ 1 11315 yx xyx 4. a) =++ =++ 3632 332 yzxzxy zyx b) =+ =+ =+ 122 122 122 yxz xzy zyx 5. Tìm các số x, y, z dơng thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 332 =++ zyx và 3632 =++ yzxzxy Dạng tìm nghiệm của phơng trình 1. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 5x + 7y = 112 2. Tìm nghiệm nguyên dơng nhỏ nhất của phơng trình: a) 16x - 25y = 1 b) 41x - 37y = 187 3. Cho 3 là một nghiệm của phơng trình x 3 + ax 2 + bx + c = 0 (với a, b, c là các số hữu tỉ). Tìm các nghiệm còn lại . Dạng khác 1. Trong mặt phẳng tọa độ xét đờng thẳng (d m ) có phơng trình: 2mx +(m - 1)y = 2 với m là tham số. a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó. b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d m ). 2. Tìm x biết: 3 14 5 1 x + 3 1 5 4 x + ( ) 3 15 x = 0 3. a) Có hay không các số tự nhiên n thoả mãn: n 2 + n + 1 chia hết cho 2005 ? b) Cho x và y là hai số thực sao cho y x 1 + và x y 1 + đều là các số nguyên. CM rằng 22 22 1 yx yx + là số nguyên. Lời giải dạng khác: Bài 1 a) Giả sử khi m thay đổi, các đờng thẳng (d m ) luôn đi qua điểm cố định M 0 (x 0 ;y 0 ). Trong các đờng thẳng (d m ) lấy 2 đờng thẳng d 1 : y = -2 (ứng với m = 0) và d 2 : x = 1 (ứng với m = 1) => M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc d 1 và d 2 => x 0 = 1; y 0 = -2 Thử lại thấy điểm M 0 (1;-2) luôn thuộc d m với mọi m. (đpcm !) Khi m = 0, ta đợc đờng thẳng d 1 : y = -2 => khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d 1 bằng b) Khi m = 1, đợc đ.thẳng d 2 : x = 1 => khoảng cách từ O đến d 2 bằng 1. Với m 0, 1 tìm đợc d m cắt Ox tại A(1/m;0) , cắt Oy tại B(0;2/m-1). Trong AOB kẻ đờng cao OH => khoảng cách từ O đến d m bằng OH. áp dụng hệ thức lợng trong AOB , tính đợc OH = 2/ 125 2 + mm . Bài 2 Đặt: 14 5 1 x = a ; 1 5 4 x = b ; ( ) x 15 = c => a + b + c = 0 Chứng minh đợc với a+b+c = 0 thì a 3 + b 3 + c 3 = 3 abc Khi đó giả thiết 3 14 5 1 x + 3 1 5 4 x + ( ) 3 15 x = 0 <=> 14 5 1 x 1 5 4 x ( ) x 15 = 0 <=> x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 Vậy các giá trị cần tìm của x là: x = 70 hoặc x = 5/4 hoặc x = 15 Bài 3 a) Ta sẽ chứng minh n 2 + n + 1 không chia hết cho 5 với n N. Xét n = 5k + r với 0 n 4 => n 2 + n + 1 = 5p + r 2 + r + 1 Thử trực tiếp từng trờng hợp của r => r 2 + r + 1 1;2;3 => n 2 + n + 1 chia 5 cho d là 1;2;3 => n 2 + n + 1 không chiahếtcho 5 Mặt khác thấy 2005 chia hết cho 5. Vậy không có số tự nhiên n nào thoả mãn: n 2 +n+1 chia hết cho 2005 b)Từ giả thiết => ( y x 1 + )( x y 1 + ) Z => xy xy 1 + Z => ( xy xy 1 + ) 2 Z => 22 22 1 yx yx + Z (đpcm !) . Bài tập ôn thi HSG toán 9 Dạng Xác định đa thức 1. Tìm một đa thức bậc hai biết: P(0) = 19, P(1) = 5, P(2) = 199 5 2. Tìm một đa thức bậc ba biết: P(0) = 10,. 4 9 3 5x x x x x x + + + + + = + b) 2 2 2 2 6 8 1 3x x x x + + = + c) 2 2 2 9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x + + + = + 12. Giải các phơng trình: a) 2 2 1 1x x x+ + = + b) 2 2 9 6 9. a) 6x 5 29x 4 + 27x 3 + 27x 2 29x +6 = 0 b) x 7 2x 6 + 3x 5 x 4 x 3 + 3x 2 2x + 1 = 0 5. a) 1 13x x+ = b) 2 2 2 3 2 3 9 33x x x x+ + + + = c) ( ) 1 4 4 1 1 6 1 9 1x x x x