www.facebook.com/toihoctoan
http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 PHỔ THÔNG Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (5 điểm) Giải các phương trình sau: 1) 4 2 os 2cos2 2sin 3c x x x+ − = , (x ∈ ℝ ). 2) 2 sin 2 cos2 4sin cos 3sin 2 os2 2cos 3 0, x x x x x c x x+ − − − + = (x ∈ ℝ ). Câu 2. (4 điểm) 1) Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện hai lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá một lần. 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1 2 3 1 2 3 . 128 . n n n n n C C C nC n+ + + + = Tìm hệ số của x 6 trong khai triển thành đa thức của 1 ( ) 2(1 ) (2 ) n n f x x x x + = + + + . Câu 3. (3 điểm) 1) Cho dãy số (u n ) được xác định như sau 1 1 1 1 2013 , 1. 2 n n n x x x n x + = = + ≥ Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim n n x →+∞ . 2) Tính giới hạn 3 0 4 . 1 2 2 lim x x x x → + + − . Câu 4. (6 điểm) 1) Trong mặt phẳng, cho ba điểm A, B, C di động sao cho chúng luôn tạo thành một tam giác có trọng tâm G cố định và trực tâm H luôn chạy trên đường thẳng ∆ cố định. Tìm tập hợp tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SB và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi N là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC. a. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SD và AN. b. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD. Câu 5. (2 điểm) Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng 2 sin sin cos 2. 2 A B C+ − ≤ --------------------------------Hết------------------------------- Cán b ộ coi thi không gi ả i thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31/3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 PHỔ THÔNG Bản hướng dẫn chấm có 03 trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu I 1) Phương trình tương đương với 2 2 (1 cos2 ) 2cos2 (1 cos2 ) 3 4 os 2 14cos2 15 0 os2 1 os2 1 os2 15 , . x x x c x x c x c x c x x k k π + + − − = ⇔ + − = = ⇔ ⇔ = = − ⇔ = ∈ ℤ 2) Phương trình đã cho tương đương với sin 2x(2cos 2 x -1) + 4sin x cos 2 x –3sin2x –(2cos 2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0 ⇔ (2sin2xcos 2 x – 2cos 2 x) + (4sinxcos 2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0 ⇔ 2cos 2 x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0 ⇔ (sin 2x - 1)(cos 2 x + cos x - 2) = 0 ⇔ sin 2 1 cos 1 4 2 , cos 2 x x k x x k x π π π = = + = ⇔ = = − .k ∈ ℤ 0,5 0,5 0,5 0,5 1 1 Câu II 1) Trường hợp 1: Chữ số 0 xuất hiện 2 lần Có 2 3 C cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0. Có 2 9 A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại Vậy có 2 3 C 2 9 A số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này. TH2: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a ở vị trí đầu tiên (vị trí hàng nghìn). Có 9 cách chọn a Có 3 cách chọn thêm một vị trí nữa cho a. Có 2 9 A cách xếp 2 chữ số trong 9 chữ số vào 2 vị trí còn lại Vậy có 9.3 2 9 A số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này. TH3: Chữ số a (khác 0) xuất hiện 2 lần và a không xuất hiện ở vị trí hàng nghìn Có 9 cách chọn a Có 2 3 C cách chọn 2 vị trí cho chữ số a. Có 8 cách chọn một chữ số (khác 0 và khác a) vào vị trí hàng nghìn. Có 8 cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại. Vậy có 9.8.8. 2 3 C số có 4 chữ số thoả mãn trường hợp này Theo quy tắc cộng, có 2 3 C 2 9 A + 9.3 2 9 A + 9.8.8. 2 3 C = 3888 số thoả mãn đầu bài. 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Chứng minh được 1 2 3 1 1 2 3 . .2 n n n n n n C C C nC n − + + + + = Từ đó suy ra 2 n – 1 = 128 ⇔ n = 8. Vậy 8 9 8 9 9 1 8 9 0 0 ( ) 2(1 ) (2 ) 2 2 k k i i i k i f x x x x C x C x − + = = = + + + = + ∑ ∑ Từ đó tìm được hệ số cần tìm là 6 5 4 8 9 2 .2C C+ = 2072 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu III 1) Dễ thấy x n > 0 với mọi n Ta có 1 1 2013 1 2013 .2 . 2013 2 2 n n n n n x x x x x + = + ≥ = Do đó x n ≥ 2013 với mọi n ≥ 1.nên (x n ) là dãy bị chăn dưới Mặt khác 2 1 2013 1 2013 ( ) 0 2 2 n n n n n n x x x x x x + − − = − = ≤ do x n ≥ 2013 với n ≥ 2. Do đó dãy (x n ) giảm kể từ số hạng thứ 3. Từ đó suy ra dãy (x n ) có giới hạn hữu hạn. Đặt a = lim n n x →+∞ suy ra 1 2013 2013 2013 2 a a a a a a = + ⇔ = ⇔ = ± Suy ra lim n n x →+∞ = 2013 vì x n > 0 với mọi n. 2) Ta có 3 3 0 0 4 . 1 2 2 4 .( 1 2 1) 4 2 lim lim x x x x x x x x x → → + + − + + − + + − = 3 0 2 0 3 3 4 .( 1 2 1) 4 2 lim 2 4 1 lim 4 2 (1 2 ) 1 2 1 4 1 19 . 3 4 12 x x x x x x x x x x x → → + + − + − = + + = + + + + + + + = + = 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu IV 1) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khi đó O là trực tâm tam giác A’B’C’. Phép vị tự 1 2 G V − biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Do đó 1 2 : G V H O − → Gọi ∆ ’ là ảnh của ∆ qua 1 2 G V − Khi đó tập hợp O chính là đường thẳng ∆ ’. 2) Góc giữa SB và (ABCD) là 0 60SBA = Từ đó tính được SA = 3a Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK Tính được 5 11 , , 2 2 a a CK KL a LC = = = Do đó 2 2 2 5 cos 2 . 10 CK KL LC CKL CK KL + − = = − 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn Suy ra 5 cos 10 α = . 2) (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’C’D’ Dễ chứng minh được AC’ ⊥ B’D’ Từ đó suy ra ' ' ' ' . ' ' 2 AB C D AC B D S = ∆ SAC vuông tại A, AC’ ⊥ SC nên tính được 30 ' 5 3 5 ' 5 a AC a SC = = ∆ SD’C’ đồng dạng với ∆ SCA nên ' ' 3 5 3 ' 10 2 SD SC a SD SC SD = = ⇒ = Ta có ' ' ' 3 3 2 ' ' 4 4 B D SD a B D BD SD = = ⇒ = Vậy ' 2 ' ' ' . ' ' 3 15 2 20 AB C D AC B D a S = = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu V Ta có 2 2 2 sin sin cos 2sin os cos 2 2 2 2 2 2cos . (2cos 1) 2 2 2 A B A B A B C c C C C + − + − ≤ − ≤ − − Đặt t = os 2 C c Ta sẽ chứng minh 2 2 2 (2 1) 2 2 t t − − ≤ (*) Thật vậy 2 2 (*) 2 2 2 1 0 ( 2 1) 0t t t⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ (luôn đúng) Từ đó suy ra (*) đúng Vậy có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại C. 1 1 Lưu ý khi chấm bài: Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên.