SỞ GD-ĐT HÀ NAM ĐỀ THI HSG TOÁN 11 (Thời gian làm bài :180 phút ) Câu 1 : (4 điểm) Cho 3 n N ≤ ∈ .Tìm nghiệm x ∈ (0, / 2 Π ) của PT 2 2 sin os .2 n n n x c x n − + = Câu 2: (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c(a + b). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 1 a b c P a b c = + + + + + Câu 3: ( 4 điểm) GPT 3 2 1 2 2 5 x x + = + Câu 4: (4 điểm) Cho thập giac lồi . a) tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó. b) số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác đó. Câu 5 (2điểm) Cho tam giác ABC nhọn ,phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN.Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN Câu 6 (2 điểm) Giải HPT: 2 2 2 2 2 2 x y x y x y y x + − − = − + − = …………………………… Hết…………………………………………… ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Ta có : (2 ) (2 ) 2 2 2 2 2 ( 2) ô (2 ) (2 ) 2 2 2 2 2 ( 2) ô sin sin 2 2 . 2 .(sin ) .2 sin os os 2 2 . 2 .( os ) .2 os n n n n n n n n n n n n s n n n n n n n n n n n n s x x n x n x c x c x n c x n c x − − − − − − − − − − + + + ≥ = + + + ≥ = 1 4 2 4 3 1 4 2 4 3 Cộng vế ta được 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(sin os ) ( 2).2 .2 .(sin os ) .2 sin os 2 . n n n n n n n n x c x n n x c x n x c x − − − − + + − ≥ + = ⇒ + ≥ Dấu bằng xẩy ra sinx=cosx= 1/ 2 / 4x π ⇒ = Câu 2 (4 điểm) đặt tan , tan , tana b c α β δ = = = − với , 0; , ;0 2 2 π π α β δ ∈ ∈ − ÷ ÷ Từ giả thiết ta có 1 ( ) tan .tan 1 tan (tan tan ) 1 tan tan tan 1 tan tan tan( ) tan( ) 2 ab c a b α β δ α β α β δ α β π δ α β = + + ⇔ = − + + ⇔ = − ⇔ − = + 2 k π α β δ π ⇔ + + = + vì 2 π α β δ π − < + + < nên 2 π α β δ + + = mà 2 2 2 2 2 1 tan . os tan . os tan . os (sin 2 sin 2 2sin ) 2 P c c c α α β β δ δ α β δ = + + = + + 2 2 1 [2sin( ) os( ) 2sin ] = cos os os( ) +1 2 P c c c α β α β δ δ δ α β = + − + − + − 2 2 cos( ) os ( ) 5 os 1 2 4 4 c P c α β α β δ − − = − − + + ≤ ÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 5 os ( )=1 12 1 cos( ) os = cos 0 2 2 3 c c π α β α β α β α β π δ δ δ = = = − ⇔ ⇔ − − = = − ⇒ 2 3, 3a b c= = + = Vậy GTLN của P bằng 5 4 khi và chỉ khi 2 3, 3a b c= = + = Câu 3: (4 điểm) GPT Đặt u= 1x + và v= 2 1x x− + (u,v không âm) ta đc 2 2 5 2( )uv u v= + ⇔ 2 2 5 2( ) 2 1 2 u u u v u v v v = = + ⇔ = TH1 2 u v = vô nghiệm TH2 1/ 2 u v = 2 1 5 37 2 1 1 2 5 37 2 x x x x x x − + ⇔ + = − + ⇔ = − = f Nghiệm của PT là 5 37 5 37 ; 2 2 x x + − = = Câu 4 :(4 điểm) a) TH1 : số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của thập giác là 6 x 10 = 60 tam giác TH2 số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là 10 tam giác vi với mối đỉnh cùng hai cạnh chứa đỉnh đó tạo thành 1 tam giác Vậy số tam giác ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác là :60+10= 70 tam giác b) Tổng số tam giác tạo thành từ 10 đỉnh là: 3 10 120c = Vậy số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác là:120-70 =50 tam giác Câu 5 Qua phép quay 0 ( ;60 )A Q thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua phép quay 0 ( ;60 )A Q thì đoạn MN biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN . SỞ GD-ĐT HÀ NAM ĐỀ THI HSG TOÁN 11 (Thời gian làm bài :180 phút ) Câu 1 : (4 điểm) Cho 3 n N ≤ ∈ .Tìm nghiệm x ∈ (0, / 2 Π )