Đề thi học sinh giỏi khối 12 năm học 2010 2011 Môn : Toán Thời gian: 180 phút Câu 1: a/ Giải phơng trình: x 2 . 4 4 2 x - 1 = x 4 x 3 b/ Giải hệ phơng trình: =+ = xyyx xxy 6 )9( 22 333 Câu 2: Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt thuộc 2; 2 1 (m 2). x log 2 2 2 + (2m 6).x x log 2 - 2(m + 1) = 0 Câu 3: Cho 2 đa thức f(x) = x 4 (1 + e 2 )x 2 + e 2 và g(x) = x 4 1. Chứng minh rằng với các số dơng a, b phân biệt thỏa mãn a b = b a thì f(a).f(b) < 0 và g(a).g(b) > 0. Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD, tâm O. Điểm M bát kì thuộc mặt (BCD) của tứ diện. Các điểm N, P, Q lần lợt là hình chiếu vuông góc của M lên các mặt (ABC), (ABD), (ACD). a/ Gọi khoảng cách từ M đến CD, DB, BC lần lợt là x, y, z. Tính thể tích của tứ diện OMNP theo x, y, z. b/ Chứng minh rằng đờng thẳng OM đi qua trọng tâm của tam giác NPQ. Câu 5: Cho ABC nhọn và mỗi góc không nhỏ hơn 4 .CMR: cotA + cotB + cotC + 3cotA cotB cotC 4(2 - 2 ) Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 năm học 2010- 2011 Bài 1: (5 điểm) a. Giải phơng trình: x 2 4 4 2 x - 1 = x 4 - x 3 (1) ĐK: 2 - x 4 0 Ta có : (1) x 2 4 4 2 x + x 3 = x 4 +1 (2) VT(2) )2(2 244 xxx + 4 4x = x 2 ; VP(2) = x 4 +1 2 x 2 Vậy: (2) = = 1 2 2 4 4 x xx x = 1 (thỏa mãn ĐK) b. Khi x = 0 y = 0 Khi x 0: Từ pt đầu ta có y 3 = x 3 (9 - x 3 ) x 6 + y 3 = 9x 3 x 3 + 3 3 x y = 9 (x + x y ) 3 3y(x + x y ) = 9 (1) Pt x 2 y = y 2 = 6x y(x + x y ) = 6 (2) Từ (1), (2) (x + x y ) 3 = 27 x + x y = 3 Vậy : =+ = 3 2 2 x x y Tập nghiệm của hệ là: S = {(0;0);(1:2):(2:2)} Bài 2: (5 điểm) Đặt t = 2 x log 3 2 , với x ( 2 1 ;2) t [1;2) Bài toán trở thành: Tìm m để phơng trình: (m 2)t 2 2(m+1)t + 2m 6 = 0 (*) có 2 nghiệm t [1;2) Ta có (*) m(t 2 2t + 2) = 2t 2 + 2t + 6 Do t 2 2t + 2 > 0, t [1;2) suy ra pt trên m = 22 622 2 2 + ++ tt tt = f(t) Xét f(t) trên [1;2): f(t) = 22 2 )22( 1646 + + tt tt ; f(t) = 0 t = -2, t = 3 4 BBT của f(t) trên [1;2) Từ BBT Bài toán thỏa mãn 10 m < 11 Bài 3: (2 điểm) Giả sử a > b. Từ gt a a 1 = b b 1 Xét hàm số h(x) = x x 1 với x > 0 ln h(x) = x xl n h(x) = h(x). 2 ln1 x x ; h(x) = 0 x = e t - 1 3 4 2 + f(t) + 0 - f(t) 11 10 9 BBT: Từ h(a) = h(b) , a > b 1 < b < e < a Mà f(x) = (x 2 1)(x 2 e 2 ) f(b) < 0, f( a) > 0 f(a).f(b) < 0 g(x) = x 4 1 g(b) > 0, g(a) < 0 g(a).g(b) > 0 Bài 4:(4 điểm) (Tự vẽ hình) a. Gọi h là khoảng cách từ O đến (MNP) Ta có: V OMNP = 6 1 MN.MP.h.sin NMP Gọi là góc giữa 2 mặt bất kỳ của tứ diện sin = 3 22 Do (MNP) AB sin NMP = sin . Và MN = z sin , MP = ysin Ta có h = d(M,(OCD)) h = x sin 2 = x 3 3 Vậy: V = 243 68 xyz b. Chứng minh hoàn toàn tơng tự ta có V OMNP = V OMNQ = V OMPQ OM qua trọng tâm của tam giác MNP Bài 5: (2 điểm) Giả sử A = Min{A,B,C} 4 A 3 Ta có: S = cotA + cotB + cotC + 3cotA[1-cotA(cotB+cotC)] = 4cotA + (1-3cot 2 A)(cotB + cotC) Vì A 3 1-3cot 2 A 1-3cot 2 3 = 0 và B.C 2 nên cotB + cotC 2cot 2 CB + = 2tan 2 A Vậy S 4.cotA + (1-3cot 2 A). 2tan 2 A = 2 tan2 ) 2 tan1(34 2 A A Xét hàm số f(x) = x x 2 )1(34 2 trên [ 12 , 3 1 ] = D Ta có:f(x) =- 2 22 2 )1(3 x x < 0 , x D f(x) nghịch biến trên D f(x) f( 12 ), x D. Vì 4 A 3 12 tan 2 A 3 1 S = f(tan 2 A ) f( 12 ) = 4(2 - 2 ) Dấu = xảy ra B = C = 8 3 , A = 4 . x 0 e + h(x) + 0 - h(x) e e 1 0 1 . Đề thi học sinh giỏi khối 12 năm học 2010 2011 Môn : Toán Thời gian: 180 phút Câu 1: a/ Giải phơng trình: x 2 . 4 4 2 x -. nhỏ hơn 4 .CMR: cotA + cotB + cotC + 3cotA cotB cotC 4(2 - 2 ) Đáp án đề thi học sinh giỏi khối 12 năm học 2010- 2011 Bài 1: (5 điểm) a. Giải phơng trình: x 2 4 4 2 x - 1 = x 4 -. b phân biệt thỏa mãn a b = b a thì f(a).f(b) < 0 và g(a).g(b) > 0. Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD, tâm O. Điểm M bát kì thuộc mặt (BCD) của tứ diện. Các điểm N, P, Q lần lợt là hình chiếu