Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu luôn hẳn là công cụ phục vụ tốt nhất cho công việc giảng dạy cũng như nghiên cứu của các nhà khoa học nhà giáo cũng như các em học sinh , sinh viên . Một con người có năng lực tốt để chưa hẳn đã thành công đôi khi một con người khác năng lực thấp hơn một chút lại có hướng đi tốt lại tìm đến thành công nhanh hơn trong khi con người có năng lực kia vẫn loay hay tìm lối đi cho chính mình . Tài liệu là một kim chỉ nang cho chúng ta một hướng đi tốt nhất đến với kết quả nhanh nhất . Tôi xin đóng góp một chút vào kho tàng tài liệu của trang , mọi người cũng có thể tham khảo đánh giá và góp ý để bản thân tôi có động lực đóng góp nhiều hơn những tài liệu mà tôi đã sưu tầm được và up lên ở trang.
20 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC Trong đề thi học sinh giỏi, đề thi vào iớp chun tốn,có tốn xác định đa thức tính giá trị đa thức.Việc tìm tòi lời giải tốn xác định đa thức tường gây lung túng cho sinh.Nguyên nhân học sinh trang bị đầy đủ kiến cần thiết rời rạc khối lớp thường thiếu tập áp dụng Qua nhằm củng cố kiến thức đa thức tong chương trình tốn từ lớp đến lớp rèn kỹ giải số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp mà kiến thức khơng vượt q trình độ THCS A/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY Định lý Bơdu: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a giá trị đa thức x = a Tức là: f(x) = (x - a).g(x) + f(a Chứng minh : Gọi g(x) đa thức thương R số dư thì: f(x) =(x - a).g(x) + R f(a) = (a - a).g(a) + R = R (đpcm) phương pháp hệ số bất định: Giả sử: f x a3x3 a2x2 a1x1 a0 g x b3x3 b2x2 b1x1 b0 Nếu f(x) = g(x) với giá trị phân biệt x thì: a3 b3 ;a2 b2 a1 b1;a0 b0 Chứng minh: Giả sử giá trị phân biệt x1;x2 ;x3;x4 có: f x1 g x1 f x2 g x2 f x3 g x3 f x4 g x4 1 2 3 4 Đặt c3 a3 b3;c2 a2 b2 ;c1 a1 b1;c0 a0 b0 Trừ vế (1) (2) được: c3 x13 x32 c2 x12 x22 c1 x1 x2 Vì x1 x2 �0 nên c3 x12 x1x2 x22 c2 x1 x2 c1 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi 5 TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Tương tự từ (1) (3) có : c3 x12 x1x3 x32 c2 x1 x3 c1 6 Trừ theo vế (5) (6) chia cho x2 x3 �0 được: c2 c3 x1 x2 x3 (7) Tương tự từ (1), (2), (4) có: c2 c3 x1 x2 x4 (8) Trừ theo vế (7) (8) được: c3 x3 x4 � c0 x3 �x4 x3 – x4 Thay c3 = vào (8) c2 = Từ (6) c1 = Thay vào (1) a0 = b0 suy đpcm II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) biết ( n + 1) có giá trị đa thức: Ví dụ Cho đa thức: f x a.x bx c , Xác định hệ số a,b,c biết: f 2; f 1 7; f 2 14 Lời giải Theo ta có: f(0) = � 0 c � c f(1) = � a b � a b f(-2) = -14 � 4a 2b 14 � 2a b 8 (1) (2) Từ (1) (2) suy ra: a = -1 b = Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = -x2 + 6x + Ví dụ Xác định đa thức bậc biết: f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22 Lời giải Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax + bx3 + cx +d Theo ta có: f(0) = d = f(1) = a + b + c = -1 (1) f(2) = 4a + 2b + c = (2) f(3) = 22 9a + 3b + c = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: Giải ta được: a = 1; b = 0; c = -2 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x3 - 2x + Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Ví dụ Cho hàm số: 1)=2012, Tính f(-2) y f x ax bx c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(- Lời giải Theo giả thiết ta có: f (0) 2010 c 2010 , f (1) 2011 a b c 2011 a b f ( 1) 2012 a b c 2012 a b => a = , b 1 hàm số có dạng y f x x x 2010 2 => f(2) = 2017 * Chú ý: Để xác định đa thức bậc n cần biết n + giá trị đa thức, biết n giá trị đa thức tìm có hệ số phụ thuộc tham số * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức bậc biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) = Câu Tìm đa thức bậc biết: f(2) = 47 f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f x a.x2 bx c f 2 0, Câu 3: Cho đa thức: , Xác dịnh a, b, c biết: a số lớn c ba đơn vị f x ax3 bx2 cx d Câu 4: Cho hàm số thỏa mãn: f 1 2, 2 1� 0 1, f� �2 � 3, 1 �� Xác định giá trị a, b, c d P x a.x3 bx2 cx d Câu 5: Xác định đa thức: , biết: P 0 2017, P 1 2, P 1 6, P 2 6033 Dạng 2: Xác định đa thức dư biết số phép tính khác Ví dụ Đa thức f(x) chia cho x –1 số dư 4, chia cho x-3 số dư 14 Tìm đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Lời giải Cách 1: Gọi thương phép chia f(x) cho x – cho x – theo theo thứ tự A(x) B(x) Ta có: f(x) = (x – 1).A(x) + với x (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi x (2) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Gọi thương phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) C(x) dư R(x).Vì bậc R(x) nhỏ bậc số chia nên bậc nhỏ bậc nên R(x) có dạng ax + b Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với x (3) Thay x =1 vào (1) (3) ta : f(1) = a + b Thay x =3 vào (2) (3) ta : f(3) =14; f(3) = 3a + b Vậy đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) 5x – Cách 2: f(x) = (x – 1).A(x) + nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2) Lấy (2) – (1) ta được: [(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3) nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x – f(x) = (x – 1)(x – 3) Ta thấy 5x – có bậc bé bậc số chia số dư cần tìm 5x – Ví dụ Đa thức f(x) chia cho x + dư chia x + dư 2x + Tìm đa thức dư chia f(x) cho (x + 1).(x2 + 1) Lời giải Theo định lý Bơ du ta có f(-1) = (1) Do bậc đa thức chia(x + 1)(x +1) Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c f(x) = (x + 1)(x2 + 1) q(x) +ax2 + bx +c = [(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a (2) mà f(x) chia cho x2 + dư 2x + (3) Từ (1), (2), (3) ta có b = (4) ; c – a = Mà f(-1) = nên (5) a – b + c = hay a – + c = (6) a , c 2 Từ (5) (6) suy ra: Ta đ Ví dụ a thức cần tìm: x2 + 2x + Tìm đa thức dư phép chia: x7 + x5 + x3 + cho x2 –1 Lời giải Cách1: Tách đa thức bị chia thành đa thức chia hết cho đa thức chia Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Ta thấy xn – chia hết cho x – với số tự nhiên n nên x2n – chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – Ta có: x7 + x5 + x3 + = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x + Dư phép chia: x7 + x5 + x3 +1 chia cho x2 – 3x + Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương phép chia Q(x) dư ax + b Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với nên với x = ta được: = a + b (1) Với x = - ta –2 = - a + b Từ (1), (2) (2) a = 3; b = Vậy dư phép chia là: 3x + * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư Chia cho (x + 3)(x – 3) thương 3x dư Câu Tìm đa thức dư phép chia: x99 + x55 + x11 + x +7 cho x2 + Dạng 3: Xác định đa thức biết điều kiện hệ số Ví dụ Tìm đa thức f(x) có tất hệ số số nguyênkhông âm nhỏ thoả mãn: f(8) = 2003 Lời giải Xét đa thức f(x) = a nxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 nguyên không âm nhỏ với a0, a1 an-1, an số Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2003 Ở a0, a1, , an-1, an chữ số 2003 viết hệ ghi số số Thực việc chia 2003 cho dư a0 = lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp ta đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + * Bài tập áp dụng: Câu Tìm đa thức f(x) hệ số số nguyên không âm nhỏ f(5) = 352 Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Ví dụ Tìm đa thức P(x) bậc thỏa điều kiện sau: P(-1) = P x P x 1 x x 1 2x 1 ,x �R Lời giải Với x = P 0 P 1 Với x = - P 1 P 2 Do P(x) nhận -1, 0, -2 nghiệm Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Đặt P x x x 1 x 2 ax b vớ a ≠ Với x = P(1) = P(0) + = Suy ra: a + b = (1) Với x = P(2) = P(1) + 30 = 36 Suy ra: Từ (1) (2) suy ra: Vậy P a b 2a b (2) 2 x x 1 x 2 * Bài tập áp dụng: Tìm tất đa thức P(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau giá trị phân biệt x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x) III PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TỐN TÌM ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC Giới thiệu phương pháp: Các nhiều phương pháp để giải toán xác định đa thức chủ yếu dùng đa thức nhất; hai đa thức đồng nhất; định lý Bơ du; hệ số bất định xác định đa thức bậc n mà biết n + giá trị Song có nhiều tốn khơng thể tìm đa thức cách trực tiếp mà phải dùng phương pháp dùng đa thức phụ để xác định đa thức tính giá trị riêng đa thức Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho đa thức f(x) bậc với hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 Tính: f(12) + f(-8) +15 10 Phân tích tốn: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Thuật tốn tìm đa thức phụ Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc f(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết f(x) Trong đề bậc h(x) nhỏ nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com � = 1+ a + b + c � = 20 + 4a + 2b + c � �0 = 30 + 9a + 3b + c Tức là: � Giải hệ phương trình : a = 0; b = -10; c = Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Lời giải Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x g(1) = g(2) = g(3) = Do bậc f(x) bậc nên bậc g(x) g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – suy ra: g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) f(x) = g(x) + 10x = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) + 10x Ta có f(12) = (12 – 1)(12 – 2)(12 – 3)(12 – x0) + 10.12 = 11.10.9 (12 – x0) + 10.12 = 10.[99.(12 – x0) + 12] f(-8) = (-8 – 1)(-8 – 2)(-8 – 3)(-8 – x0) + 10.(-8) = (-11).(-10).(-9) (-8 – x0) + 10.(-8) = -10.[99.(-8 – x0) + 8] Suy ra: f(12) + f(-8) = 10.[99.(12 – x0) + 12] + (-10).[99.(-8 – x0) + 8] = 10(1200 – 99x0 + 784 + 99x0) = 10.1984 f(12) + f(-8) +15 = 1984 +15 = 1999 10 Ta tính được: Ví dụ Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị f(-2) + 7.f(6) Phân tích tốn: - Đa thức bậc mà biết ba giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Lời giải + Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(5) = a, b, c nghiệm hệ phương trình � = 3+ a + b +c � �0 = 11+ 9a + 3b + c � = 27 + 25a + 5b + c � Giải hệ ta được: a = - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com + Tính giá trị f(x): Bậc f(x) bậc nên g(x) bậc g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) � f (x) g(x) ( x 2) (x 1)(x 3)(x 5)(x x ) x Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 Ví dụ 10 Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x số nguyên, thoả mãn f(1999) = 2000 f(2000) = 2001 Chứng minh f(2001) – f(1998) hợp số Phân tích toán: - Đa thức bậc mà biết hai giá trị đa thức nên phải dùng đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) - Bậc f(x) nên bậc g(x) bậc h(x) nhỏ số giá trị f(x) Lời giải + Tìm đa thức phụ Đặt g(x) = f(x) + ax + b Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = tương đương �0 = 2000 +1999.a + b � = 2001+ 2000.a + b với a, b nghiệm hệ: � Giải hệ ta : a = b = - Nên đặt g(x) = f(x) – x – + Tính giá trị f(x): Giả sử kZ hệ số x đa thức f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0); f(x) = g(x) – (–x – 1) f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) + x + Ta có f(2001) = k 2001 + 2002 = 2k 2001 + 2002 f(1998) = k (-1) (-2) 1998 + 1999 = 2k 1998 + 1999 f(2001) – f(1998) = 2k 2001 + 2002 – 2k 1998 + 1999 Tính f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) Vì 3(2k + 1) hợp số Vậy f(2001) – f(1998) hợp số Ví dụ 11 Tìm đa thức bậc biết cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x – dư f(-1) = -18 Phân tích tốn: - Đa thức cho f(x) chia cho x – 1, x – 2, x –3 dư 6, theo định lý Bơ du ta có f(1) = f(2) = f(3) = Tìm đa thức phụ g(x) = f(x) + h(x) với h(x) có bậc - Bậc f(x) 3, có ba giá trị đa thức nên hệ số f(x) phụ thuộc vào tham số Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Lời giải + Tìm đa thức phụ: Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) = Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) = �0 a b c � 4a 2b c � �0 9a 3b c nghiệm hệ � Giải ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – Với g(1) = g(2) = g(3) = + Xác định f(x): Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 2); (x – 3) � g(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) (n hệ số x3 đa thức f(x)) � f(x) = n(x -1)(x - 2)(x - 3) + Mặt khác f(-1)= -18 � n = � f(x) = x3 – 6x2 + 11x Ví dụ 12 Tìm đa thức bậc biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Lời giải Cách 1: Đã giải dạng Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = a, b, c nghiệm hệ Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10 Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 Với g(x) = g(1) = g(2) = + Xác định f(x) Do bậc f(x) bậc g(x) g(x) chia hết cho x; x – 1; x – Gọi m hệ số x3 đa thức f(x) g(x) = mx(x – 1)(x – 2) � f(x) mx(x 1)(x 2) 5x2 7x 10 Mặt khác; f(3) = 1m = Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = * Bài tập áp dụng: Câu 1: Đa thức f(x) chia cho x + dư chia cho x + dư 2x + Tìm số dư chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) Câu 2: Xác định a, b để đa thức: ax + 12x2 + bx + lũy thừa bậc đa thức khác Câu 3: Tìm số a, b, c để x3 – ax2 + bx – c = (x – a)(x – b)(x – c) Câu 4: Tìm đa thức dư phép chia x30 + x4 + x2015 + 1cho x21 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Câu 5: Tìm giá trị a để đa thức f(x) = x4 + 5x3 – 2x2 + ax + 40 chia hết cho đa thức x2 – 3x + giá trị nhỏ thương bao nhiêu? Câu 6: Tìm đa thừc(x) bậc biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995 Câu 7: Tìm đa thừc(x) bậc bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95 III- CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Câu Cho đa thức P ( x ) ax bx c Chứng minh P 10 P a � * thỏa mãn P P 2019 số lẻ (Trích đề chuyên Phan Bộ Châu năm 2019-2020) P x x4 2x3 3x2 ax b Câu Xác định hệ số a b để đa thức bình phương đa thức (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Câu Cho đa thức P x Biết hệ số P 3P 3 P 2 P x Q x thoả mãn P x Q x Q 1 x x �� số nguyên không âm P 0 Tính (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Câu Cho đa thức P x x3 ax2 bx c; Q x x2 2016x 2017 thỏa mãn P Q x có ba nghiệm thực phân biệt vô nghiệm P 2017 1008 Chứng minh (đề 22) (Trích đề thi HSG lớp tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019) Câu Cho đa thức P( x) ax bx c Biết P( x) chia cho x + dư 3, P( x ) chia cho x dư P ( x) chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c điều kiện P x (Trích đề vào 10 Chuyên Nam Định năm 2015-2016) Câu Tìm số thực a, b, cho đa thức 4x 11x 2ax + 5bx – chia hết cho đa thức x2 – 2x – (Thi học sinh giỏi lớp 9, TP Hà Nội, năm học 2012 – 2013) Câu Tìm đa thức f(x) biết: f(x) chia cho x+3 dư 1; f(x) chia cho x – dư 8; f(x) chia cho (x + 3)(x – 4) 3x dư Câu Tìm đa thức bậc ba, biết P(x) chia cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) dư P(- 1) = - 18 Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Câu thức Chứng minh đa thức f x x 3 200 x 2 100 1 g x x 5x chia hết cho đa Câu 10 P x P x Cho đa thức P(x) ax bx c Biết chia cho x + dưa 3, chia cho x dư Câu 11 Cho đa thức P x chia cho x – dư Tìm hệ số a, b, c f(x) x2 a 3 x a Xác định a để f(x) chia hết cho (x – 2) Câu 12 Cho đa thức f(x) x2 2 a 1 x b Xác định a, b để f(x) chia hết cho (x – 1) và đa thức (x + 2) Câu 13 Cho đa thức bậc dạng: f x =x3 ax2 bx c chia hết cho (x – 2) chia cho (x – 1) dư 2x Câu 14 Cho đa thức f(x) có bậc 2002 thỏa mãn điều kiện: f n n với x = 1; 2; 3; ;2001 Tính giá trị f(2002) Câu 15 Cho đa thức: P x x4 ax3 bx2 cx d thỏa mãn P 1 3,P 3 11,P 5 27 Tính giá trị của: S P 2 7.P 6 g Câu 16 Thì đa thức g(x) h(x) với hệ số nguyên cho: h 7 2 2 Câu 17 Cho f x x3 1 3x 3x2 Hãy tính giá trị biểu thức sau: �1 � �2 � �2010 � �2011� A ff� � ff� � � � � � �2012 � �2012 � �2012 � �2012 � Bài 18 Cho đa thức P(x) thỏa mãn: �1 � P 1 1;P � � P x ,x �0; P x1 x2 P x1 P x2 ,x1,x2 �R �x � x Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com �5 � P� � Tính �7 � P x x3 x Bài 19 Cho đa thức Q x x81 x49 x25 x9 x a) Tìm số dư phép chia Q(x) cho P(x) b) Tìm x để Q x MP x Câu 20 Cho đa thức P x ax2 bx c thỏa mãn điều kiện với số nguyên x P(x) số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn f x Câu 21 Cho hàm số xác định với x thuộc R, biết với x ta có: �1� f x 3f � � x2 f 2 �3� , Tính x P x x 1 P x Câu 22 CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : f x a.x3 4x x2 g x x3 4x bx 1 c Câu 23 Cho , Trong a, b, f x g x c số, Xác định a, b, c để P x a.x bx c P P 1 �0 Cho , CMR nếu: 5a b 2c Câu 24 Câu 25 = Cho hàm số f x 100 x 100 x 10 , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a + b f a f b f x a.x bx c Câu 26 Cho có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : Câu 27 P x x x 10 2008 8x x 10 2009 Câu 28 Cho đa thức : P( x) a x bx c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(2) ; P(2) có số âm, số không dương HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI Câu Ta có: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com P P 2019 � 8ba 9b c 36a 6b c 2019 � 45a 3b 2019 1 Lại có: Đặt P 10 P 100a 10b c 29a 7b c 51a 3b P 10 P t � 51a 3b t Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 6a t 2019 , mà 6a chẵn, 2019 lẻ nên t lẻ, ta có điều phải chứng minh Câu Ta có P(x) bình phương đa thức thì: x 2cx3 c 2d x 2cdx d , x �� = Mà: P(x) = x x x ax b Do ta có hệ phương trình: P(x) x = cx d �2c 2 c 1 � �2 � c 2d �d � �� � a 2 �2cd a � �d b � b 1 � � Vậy: a 2, b Câu Từ giả thiết ta có P 1 Q 1 Q P 0 Q Q 1 1 2 Từ 1 suy P 1 n Giả sử P x a0 a1 x a2 x an x , a0 , a1 , a2 , , an số nguyên không âm Ta có P 1 a0 a1 a2 an a0 , a1 , a2 , , an số nguyên không âm suy a0 a1 a2 an P x x �� Vì P x x ��� P 0, P 3 Câu Gọi x1;x2 ;x3 Suy ra, ba nghiệm P x 3P 3 P � P 3P P ta có P x x x1 x x2 x x3 P Q x Q x x1 Q x x2 Q x x3 P Q x Q x xi 0 i 1,2,3 Do vơ nghiệm nên phương trình vơ nghiệm Hay phương trình Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi x2 2016x 2017 xi 0 i 1,2,3 vơ nghiệm TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Do đó, biệt thức tương ứng Suy Câu 'i 10082 2017 xi � 2017 xi 10082 P 2017 2017 x1 2017 x2 2017 x3 10086 Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x + ⇒ P(x) – = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) = ⇒ P(–1) = (1) Tương tự, P(x) chia cho x dư nên P(0) = (2) P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: � a.(1) b.(1) c � a b c a3 � � � � a.0 b.0 c �� c 1 �� b 1 � � � � a bc � c 1 a.12 b.1 c � � ⇒ P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + x2 2x x2 2x x 1 Câu Ta có x 2 x 2 x 3 x 1 Đặt thương q(x) ta có: 4x4 11x3 2ax2 5bx x 3 x 1 q x Chọn x = ta có: 4.3 11.3 2a.3 5.b.3 15b 18a 21 � 5b 6a 7 (1) 1 11 1 2a 1 5b 1 Chọn x = -1, ta có: 5b+2a = (2) Từ (1) (2) suy : 8a 16 � a Thay vào (2) � 5.b � b Câu Theo định lý Bézout ta có f(3) 1;f(4) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Đặt dư f(x) chia cho Suy x 3 x 4 ax + b f x x 3 x 4 3x ax b Với x =- ta có: Với x = ta có: 3 3 3 4 3 3 a 3 b � b 3a (1) 3 4 3.4 a.4 b � b 4a (2) Từ (1) (2) suy ra: 7a = � a thay vào (2) ta b = Từ ta được: f x x 3 x 4 3x x Hay f (x ) 3x 3x 35x Câu Theo định lý Bézout ta có : P(1) = P(2) P(3) = Do ta đặt P x d c x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 Cho x = ta P(1) = d, suy d = P(x) c x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 Cho x = ta P(2) = + c, suy c = P(x) x 1 b x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 Cho x = ta P(3) = + 2b, suy b = P(x) x 1 x 1 x 2 a x 1 x 2 x 3 Do P(x) = + a x 1 x 2 x 3 Cho x = - ta P(-1) = – 24a, – 18 = – 24a suy a = Vậy P(x) = + Câu Ta có f 3 3 200 1. x 1 x 2 x 3 f 2 3 1 100 200 Rút gọn ta : 2 1 100 1 nên P x x3 6x2 11x f x M x 2 nên f(x) ⋮ (x - 3) Nên f(x) chia hết cho (x – 2)(x – 3) = x2 – 5x + Câu 10 Vì P(x) chia cho x + dư nên P(x) – chia hết cho x + ⇒ P(x) – = f(x).(x + 1) Thay x = –1 vào đẳng thức ta có: P(–1) – = f(–1).( –1 + 1) = ⇒ P(–1) = Tương tự, P(x) chia cho x dư nên P(0) = Tác giả: Nguyễn Công Lợi (1) (2) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com P(x) chia cho x – dư nên P(1) = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: � a.(1)2 b.(1) c � a b c � a � � � a.0 b.0 c �� c � �b � � � � a b c � c a.12 b.1 c � � ⇒ P(x) = 3x2 + x + Thử lại ta thấy P(x) thỏa mãn đề Vậy P(x) = 3x2 + x + Câu 11 Vì Do đó: f(x)M x 2 nên x = nghiệm đa thức f(x) hay f(2) = 22 a 3 a � a 2 Câu 12 Ta có: f x M x 1 ; f x M x 2 nên x = x = -2 nghiệm đa thức f(x) hay f(1) = f(-2) = Do đó: � �2a b 2 � 2 a 1 1 b �� � a ;b 1 � 2 2 2 a 1 2 b �4a b 7 � � (x – 1) và đa thức (x + 2) Câu 13 Ta có f(x) chia hết cho (x – 2) nên x = nghiệm đa thức f(x) hay f(2) = Do đó: 23 a.22 b.2 c � 4a 2b c 8 1 Mặt khác: f(x) chia cho (x2 – 1) dư 2x nên g(x) = f(x) – 2x nhận (x2 – 1) nghiệm hay x = x = -1 nghiệm g(x) Do đó: � � �g 1 �1 a b c �� � g 1 � 1 a b c � Từ (1), (2), (3) ta có: Câu 14 Ta có: f n a 2 (3) 10 10 ;b 1;c 3 1 f n n nên n với x = 1; 2; 3; ;2001 Suy ra: x = 1; 2; 3; ;2001 nghiệm phương trình: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi f x x.f(x) 0 0 x x hay TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Xét phương trình: G x x.f x có nghiệm x = 1; 2; 3; ;2001 G(0) = -1 Do G(x) có dạng: G x a x 1 x 2 x 3 x 2001 Suy ra: G(0) = a.(-1)(-2)(-3) (-2001) = -1 Vì thế: a 1.2.3 2001 Do đó: x 1 x 2 x 3 x 2001 1.2.3 2001 � xf x x 1 x 2 x 3 x 2001 1.2.3 2001 x 1 x 2 x 3 x 2001 1.2.3 2001 � f x 1.2.3 2001.x 2002 1 2002 2 2002 1 1.2.3 2001 2.1.2.3 2001 � f 2002 1.2.3.4 2001.2002 1.2.3 2001.2002 1001 G x Câu 15 Xét đa thức: f x =ax2 bx2 c Khi ta có: �a.12 b.12 c �a � � �a.3 b.3 c 11 � �b � �c a.52 b.5 c 27 � � Suy đa thức thỏa mãn: Q x P x f x f 1 3,f 3 11,f 5 27 Nên f x x2 đa thức bậc có hệ số cao nhận 1,3, nghiệm, Do đó: Q x x 1 x 3 x 5 x m Từ ta tính được: � P 2 Q 2 f 2 216 105m � � �7.P 6 7.Q 6 f(6) 896 105m Vậy: S P 2 7.P 6 216 105m 896 105m 1112 g Câu 16 Thì đa thức g(x) h(x) với hệ số nguyên cho: h 7 2 2 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Lời giải h u Đặt u ta cần xác định đa thức h(x) g(x) cho hay g u h u g u u Xét tích: 2 u u2 7u u2 Do u nghiệm phương trình u 7u nên 2u Mặt khác: Vậy u u u2 u 2u 2u h x u2 5;g x 2x Thử lại thấy h(x) g(x) thỏa điều kiện toán Câu 17 Nhận xét Nếu x y f x f y f x Thật vậy, ta có 1 x � f y f 1 x 1 x x 1 x x3 x3 f x f y f x f 1 x suy 1 x 1 x x 1 x x3 x 3 3 1 �1 � f � � Vậy, nhận xét chứng minh Ta có �2 � Theo nhận xét ta có: �� � �2011� � �� � �2010 � � A � ff� � ff� � � � � � � � � ��2012 � �2012 � � ��2012 � �2012 � � ��1005 � �1007 � � �1006 � �1 � ff� � 1005 f � � 1005,5 � � f � � � � �2 � ��2012 � �2012 � � �2012 � Câu 18 Ta có: P(2) = P(1 + 1) = P(1) + P(1) = + = Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com Tương tự: P(3) = 3; P(5) = 5; P(7) = �1 � 1 �2 � �1 � �1 � P � � P 7 ;P � � P � � P � � �7 � �7 � �7 � Từ đó: �7 � �3 � �5 � P � � ;P � � Tương tự: �7 � �7 � Câu 19 a) Ta có: ; Q x x x P x x x2 80 x x48 x x24 x x8 5x 80 48 Vì đa thức x 1;x 1;x chia hết cho x nên phép chia Q(x) cho P(x) dư 5x + b) Để Q x MP x Câu 20 Do P 0 c 5x � x số phương nên c m với m số nguyên (hiên nhiên c số nguyên) Vì P(1) = a + b + c ; P(-1) = a – b + c số nguyên nên (a + b) (a – b) số nguyên hay 2a 2b số nguyên Đặt 2a n;2b p;P 4 k ; n,p,k �Z hay k m k m 2 4n p 2 Suy ra: k m 16a 4b Nếu k, m khác tính chẵn lẻ (k – m)(k + m) số lẻ vơ lý Do đó: k m k m M4 Do 4n p M2 hay Mà a b �Z � a�Z Đặt P 2 t2 t �Z pM2 Ta có: t2 m2 2 2a b Lập luận tương tự suy b số chẵn Câu 21 �1 � x f 2 � � �2 � Ta có: Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC 20 Website:tailieumontoan.com x Và Câu 22 �1 � 47 f� � 2 f 2 �� 32 x P x x 1 P x với x nên P 1 P P P => nghiệm Khi x = Vì P(x) 1 P x 1 1 P 1 7 P 1 P 1 Khi x = -1 => -1 nghiệm P(x) Câu 23 Ta có : f x a.x3 4x x2 a.x3 4x3 4x a 4 x3 4x Và Do Câu 24 g x x3 4x bx 1 c x3 4bx2 4x c f x g x Ta có : Câu 25 nên ta có : �a � �4b a 3; b 0; c 11 � c 3 � P P 1 5a b 2c P P 1 P P 1 �0 100a 100b 10 100b 100a 10 100a 100b f a f b 100a 10 100b 10 100a 10 100b 10 Ta có : 2.100a b 10 100a 100b 100a b 10 100a 100b 100 = Câu 26 Ta có: f 1 a b c �Q 200 10 100a 100b 200 10 100a 100b 1 f 16a 4b c �Q f 81a 9b c �Q , 16a 4b c a b c 15a 3b 5a b �Q 5a b �Q Từ (1) (2) => 81a 9b c 16a 4b c 65a 5b 13a b �Q 13a b �Q Từ (2) (3) => 13a 5b 5a b �Q 8a �Q a �Q Nên Khi a �Q b �Q c �Q Câu 27 P x an x n an 1 x n1 a1 x a0 Sau bỏ ngoặc ta : P 1 Thay x=1, giấ trị tổng hệ số P(x) P 1 8.12 3.1 10 2008 8.1 10 với n 2.2008 2.2009 2009 1 Ta có Câu 28 Ta có : P(-1) + P(-2) + P(2) = 9a – b + 3c = ba số có số khơng âm, số không dương Tác giả: Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 6x2 + 11x Ví dụ 12 Tìm đa thức bậc biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Lời giải Cách 1: Đã giải dạng Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2)... f(2) =1995 Câu 7: Tìm đa thừc(x) bậc bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95 III- CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI Câu Cho đa thức P ( x ) ax bx c Chứng minh P 10 P a... Ta đ Ví dụ a thức cần tìm: x2 + 2x + Tìm đa thức dư phép chia: x7 + x5 + x3 + cho x2 –1 Lời giải Cách1: Tách đa thức bị chia thành đa thức chia hết cho đa thức chia Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI