Chuyên đề đa thức

trang 1 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 1. Định nghĩa Biểu thức đại số là một tập hợp các số hoặc viết rõ hẳn hoặc biểu thị bằng chữ được nối liền với nhau bởi dấu của các phép tính, ( cộng, trừ, nhân, chia và luỹ thừa). Chẳng hạn : 9 hoặc 9a hoặc 2 9 2a b− hoặc 2 9 2a x by c− + .  Các chữ đại diện cho một số xác định được gọi là hằng số.  Các chữ đại diện cho một số không xác định được gọi là biến số. 2. Giá trị của biểu thức Giá trị của biểu thức đại số là kết quả khi thay các chữ trong biểu thức đại số bằng giá trị cụ thể và thực hiện các phép tính. Chẳng hạn : Biểu thức 9a khi 1a = thì 9 9.1 9a = = . Biểu thức 2 9 2a b− khi 2a = − , 3b = thì ( ) 2 2 9 2 9. 2 2.3 9.4 6 36 6 30a b− = − − = − = − = Biểu thức 2 9 2a x by c− + khi 1a = − , 2b = , 3c = − , 3x = , 5y = thì ( ) ( ) 2 2 9 2 9. 1 .3 2.2.5 3 27 20 3 4a x by c− + = − − + − = − − = ĐƠN THỨC 1. Định nghĩa : Đơn thức là một biểu thức đại số gồm một số, hoặc một biến, hoặc tích giữa các số và các biến. Chẳng hạn : 3 hoặc 3a hoặc 2 3a x hoặc 3 3a xy .  Bậc của đơn thức có hệ số khác 0 là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức.  Số thực khác 0 là đơn thức bậc không.  Số 0 được gọi là đơn thức không, không có bậc. 2. Đơn thức đồng dạng : Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0, có cùng phần biến và mỗi biến có cùng phần số mũ. Chẳng hạn : 3ax và 5ax− ; 2 3 2a y và 2 3 7 2 a y− . Muốn cộng ( trừ ) các đơn thức đồng dạng ta cộng ( trừ ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) 2 2 2 3 2a x a x a x− + c) 2 3 2 3 2 3 5 4 3a m x a m x a m x− − b) 1 1 5 2 3 6 xy xy xy− + d) 2 2 2 4 3 5 3 2 6 ax y ax y ax y− + Bài giải a) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 2a x a x a x a x a x− + = − + = b) 1 1 5 1 1 5 3 2 5 2 3 6 2 3 6 6 xy xy xy xy xy xy − +   − + = − + = =  ÷   c) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 4 3 5 4 3 2a m x a m x a m x a m x a m x− − = − − = − trang 2 d) 2 2 2 2 2 4 3 5 4 3 5 2 3 2 6 3 2 6 3 ax y ax y ax y ax y ax y   − + = − + =  ÷   Ví dụ 2 : Tìm đơn thức A biết a) 4 3 5 2 xy xy A= + b) 2 2 2 5 7 4a xy A a xy a xy− = + c) 3 2 3 2 3 2 5 2 11 9 7 3 21 7 x y A x y x y− = − d) 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 4 2 am y am y A am y− = + Bài giải a) 4 3 5 2 xy xy A= + ⇔ 4 3 7 5 2 10 A xy xy −   = − =  ÷   b) 2 2 2 5 7 4a xy A a xy a xy− = + ⇔ ( ) 2 2 7 4 5 6A a xy a xy= + − = c) 3 2 3 2 3 2 5 2 11 9 7 3 21 7 x y A x y x y− = − ⇔ 3 2 2 5 11 9 3 7 21 7 A x y   = − +  ÷   ⇔ 3 2 3 2 3 31 31 . 2 21 14 A x y x y= = d) 2 3 2 3 2 3 2 3 5 3 4 2 am y am y A am y− = + ⇔ 2 3 3 2 5 1 4 3 2 A am y   = − −  ÷   ⇔ 2 3 2 3 4 6 4 15 26 . 3 6 9 A am y am y − − − = = Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức A biết a) 3 5 6x x x A= − + với 3x = b) 4 3 2 5 2 3 xy A xy xy− = − với 1 2 x = , 1 3 y = − c) 2 2 2 7 2 14 9 5 3 15 5 a x A a x a x− = − với 2a = − , 1 3 x = d) 2 3 2 3 2 3 1 3 5 3 2 4 3 am y am y A am y− = − với 2 3 a = , 3m = − , 2y = − . Bài giải a) 3 5 6x x x A = − + ⇔ với 3x = b) 4 3 2 5 2 3 xy A xy xy− = − với 1 2 x = , 1 3 y = − c) 2 2 2 7 2 14 9 5 3 15 5 a x A a x a x− = − với 2a = − , 1 3 x = d) 2 3 2 3 2 3 1 3 5 3 2 4 3 am y am y A am y− = − với 2 3 a = , 3m = − , 2y = − . 3. Nhân đơn thức Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau và nhân phần biến với nhau. ( với số mũ bằng tổng các số mũ ). Muốn chia hai đơn thức, ta nhân đơn thức bị chia với nghịch đảo đơn thức chia. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) ( ) 2 2 3 . 2a x m x− c) ( ) 2 2 3 5 . . 3am x a mx amx− b) 2 1 2 6 . . 2 3 5 xy xy xy   −  ÷   d) 2 2 2 4 3 5 . . 3 2 6 m y ax y a y trang 3 Bài giải a) ( ) 2 2 2 2 2 3 . 2 6a x m x a m x− = − b) ( ) 2 2 2 2 1. 2 .6 1 2 6 2 . . 2 3 5 2.3.5 5 x y x xy xy xy xy −   − = = −  ÷   c) ( ) 2 2 3 4 4 5 5 . . 3 15am x a mx amx a m x− = − d) 3 2 3 2 2 2 3 2 3 4 3 5 4.3.5 5 . . 3 2 6 3.2.6 3 a m y m y ax y a y a m y= = Ví dụ 2 : Tìm đơn thức A biết a) 2 4 2 . 5 3 xy x y A= b) 2 2 2 .5 7 4A ax y a xy a xy= + c) 3 2 3 2 3 2 5 2 11 9 . 7 3 21 7 x y xy A x y x y− = + d) 2 3 2 3 2 3 3 2 5 . 4 3 2 my A am y am y am y− + = Bài giải a) 2 2 2 4 2 4 2 4 3 6 . : . 5 3 5 3 5 2 5 xy x y A A xy x y xy x y x = ⇔ = = = b) 2 2 2 2 2 2 11 11 .5 7 4 11 5 5 a xy a A ax y a xy a xy a xy A ax y x = + = ⇔ = = c) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 11 9 2 5 11 9 . . 7 3 21 7 3 7 21 7 x y xy A x y x y xy A x y x y x y− = + ⇔ = − − 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 5 11 9 15 11 27 23 . 3 7 21 7 21 21 xy A x y x y x y x y x y − − ⇔ = − − = = ⇔ 3 2 2 23 2 23 : 21 3 14 A x y xy x y= = . d) 2 3 2 3 2 3 3 2 5 . 4 3 2 my A am y am y am y− + = ⇔ 2 3 2 3 2 3 3 5 2 . 4 2 3 my A am y am y am y= − − ⇔ 2 3 2 3 2 3 3 5 2 5 6 2 1 . 1 4 2 3 2.3 2 my A am y am y am y − − −   = − − = =  ÷   ⇔ 2 3 2 2 1 3 1.4 2 : 2 4 2.3 3 A am y my amy amy − − − = = = . Ví dụ 3 : Rút gọn rồi tính trị của biểu thức A biết a) 3 5 6 .mx mx x A = − với 2m = − b) 2 3 2 . 5 2 3 xy A xy xy= − với 1 2 x = , 1 3 y = − c) 2 2 2 7 2 14 9 : . 5 3 15 5 a x ax A a x a x= + với 2a = − , 1 3 x = d) 2 3 2 3 2 2 3 1 3 5 3 . 2 4 3 am y am y a my A am y− = + với 2 3 a = , 3m = − , 2y = − . Bài giải a) 3 5 6 .mx mx x A = − ⇔ 6 . 5 3 2x A mx mx mx = − = trang 4 ⇔ 1 2 : 6 3 A mx x m= = ; với 2m = − thì ( ) 1 2 . 2 3 3 A = − = − . b) 2 3 2 . 5 2 3 xy A xy xy= − ⇔ 2 9 4 5 . 5 2.3 6 xy A xy xy − = = ⇔ 5 2 25 : 6 5 12 A xy xy= = với 1 2 x = , 1 3 y = − thì 25 12 A = . c) 2 2 2 7 2 14 9 : . 5 3 15 5 a x ax A a x a x= + với 2a = − , 1 3 x = d) 2 3 2 3 2 2 3 1 3 5 3 . 2 4 3 am y am y a my A am y− = + ⇔ 2 2 3 2 3 2 3 3 1 5 . 3 4 2 3 a my A am y am y am y= − − ⇔ 2 2 3 2 3 2 3 3 1 5 18 3 10 5 . 3 4 2 3 2.3 6 a my A am y am y am y − −   = − − = =  ÷   ⇔ 2 2 3 2 5 3 10 : 6 4 9 my A am y a my a = = với 2 3 a = , 3m = − , 2y = − thì ( ) ( ) ( ) 2 2 10. 3 2 10. 3 .4 10 20 2 9 3.2 9. 3 my A a − − − = = = = − . trang 5 ĐA THỨC 1. Định nghĩa : Đa thức là tổng của nhiều đơn thức. Chẳng hạn : 2 3ax hoặc 2 2 3a x xy+ hoặc 2 3 2 3 5ax bx a y+ − hoặc 3 2 2 3 5 7x x x+ − +  Bản thân đơn thức cũng là một đa thức.  Mỗi đơn thức trong đa thức gọi là một hạng tử của đa thức.  Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức đó. 2. Cộng trừ đa thức  Muốn cộng hai đa thức với nhau ta viết đa thức nọ sau đa thức kia với dấu của chúng.  Muốn trừ hai đa thức với nhau ta viết đa thức bị trừ và đa thức trừ với dấu ngược lại. 3. Nhân đơn thức với đa thức ( ) a b c d ab ac ad + + = + + Quy tắc : Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) ( ) 2 3 2 2 3 4 5 3x x x x− + − b) ( ) ( ) 2 2 2 8 3 4 3m x my y ny mxy− + − − c) 2 3 1 3 6 1 3 2 xy xy x y   + −  ÷   d) 2 2 3 3 2 4 2 4 3 5 a x ax a x ax   − + −  ÷   Bài giải a) ( ) 2 3 2 5 4 3 2 2 3 4 5 3 6 8 10 6x x x x x x x x− + − = − + − b) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 4 3 8 3 4 3 24 9 3 12m x my y ny mxy m x y m xy mxy mnxy− + − − = − + − + c) 2 3 2 3 4 3 2 1 3 1 1 6 1 2 3 2 2 3 xy xy x y x y x y xy   + − = + −  ÷   d) 2 2 3 3 3 5 2 3 2 3 2 4 1 3 3 2 4 3 5 2 5 2 a x ax a x ax a x a x a x   − + − = − − +  ÷   Ví dụ 2 : Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức a) ( ) ( ) A x x y x y x= + − − với 3x = − ; 2y = . b) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2B x x y y x y y y x= + + + − + với 1 2 x = ; 3 4 y = − . c) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 5 1 8 2C x x x x x x= − − + + − − với 1x = − . Bài giải a) ( ) ( ) 2 2 0A x x y x y x x xy xy x= + − − = + − − = với 3x = − ; 2y = thì 0A = . b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 2 2 8 4 4 2 2B x x y y x y y y x x xy xy y y xy= + + + − + = + + + − − 2 2 8 6B x xy y= + + với 1 2 x = ; 3 4 y = − thì 2 2 1 1 3 3 9 9 5 8 6 2 2 2 4 4 4 16 16 B       = + − + − = − + =  ÷  ÷  ÷       c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 5 1 8 2 9 3 5 5 8 8 16C x x x x x x x x x x x x= − − + + − − = − − − + − − 2 2 2 9 3 5 5 8 8 16 4 16C x x x x x x x= − − − + − − = − − , với 1x = − thì ( ) 4 1 16 12C = − − − = − . trang 6 Ví dụ 3 : Tìm x biết a) ( ) ( ) 3 4 3 2 5 6 0x x x x− − − = b) ( ) ( ) ( ) 5 2 3 4 2 2 3 2 0x x x x x− + − + − = c) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 5 3x x x x x x− + − = + d) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 5 3 6 2 3 0x x x x x x+ − − + + + = Bài giải a) ( ) ( ) 3 4 3 2 6 5 0x x x x− − + = ⇔ 2 2 12 9 12 10 0x x x x− − − = ⇔ 19 0x − = ⇔ 0x = . b) ( ) ( ) ( ) 5 2 3 4 2 2 3 2 0x x x x x− + − + − = ⇔ 2 2 10 15 4 8 6 4 0x x x x x− + − + − = ⇔ 8 15 0x − = ⇔ 15 8 x = . c) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 5 3x x x x x x− + − = + ⇔ 2 2 2 6 3 2 2 5 15x x x x x x− + − = + ⇔ 2 6 11 0x x+ = ⇔ ( ) 6 11 0x x + = ⇔ 1 0x = ; 2 11 6 x = − . d) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 5 3 6 2 3 0x x x x x x+ − − + + + = ⇔ 2 2 2 3 3 15 5 6 12 18 0x x x x x x+ − + + + + = ⇔ 2 14 18 0x + = ⇔ 2 7 9 0x + = vô nghiệm x . 4. Nhân đa thức với đa thức ( ) ( ) a b c d e ac ad ae bc bd be + + + = + + + + + Quy tắc : Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính a) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 3 4 2 3m x my y ny nx my− + − − b) 2 3 1 3 2 3 6 1 3 2 ax ax ax a x    − + + −  ÷ ÷    c) 1 1 2 2 2 2 x y x y    − +  ÷ ÷    d) ( ) ( ) 2 2 3 4 5 1x x x− − + Bài giải a) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 3 4 2 3m x my y ny nx my− + − − 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 3 16 6 2 8 24 9 3 12m nx mnx y nx y n x y m xy m y my mny= − + − − + − + . b) 2 3 1 3 2 3 6 1 3 2 ax ax ax a x    − + + −  ÷ ÷    2 3 4 3 2 2 2 4 2 3 1 1 9 2 12 3 2 18 3 2 3 2 a x a x ax a x a x ax ax a x= + − − − + + + − 2 3 4 3 2 2 2 4 2 3 1 1 9 2 12 3 20 3 2 3 2 a x a x ax a x a x ax a x= + − − − + + − . c) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 4 2 2 4 4 x y x y x xy xy y x y    − + = + − − = −  ÷ ÷    . d) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 3 4 5 1 8 10 2 12 15 3 8 22 17 3x x x x x x x x x x x− − + = − + − + − = − + − . Ví dụ 2 : Tìm x biết a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 2 4 1x x x x x+ − + + − = + b) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 9 4x x x x x+ − + − − = − c) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 7 1x x x x x x+ − − + = − d) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 3 0x x x x− + + + − = trang 7 Bài giải a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 2 3 2 4 1x x x x x+ − + + − = + ⇔ 2 2 2 6 3 3 2 6 4 4 1x x x x x x x− + − + − + − = + ⇔ 10 2x = ⇔ 2 1 10 5 x = = . b) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 9 4x x x x x+ − + − − = − ⇔ 2 2 2 3 6 3 2 3 2 9 4x x x x x x x− + − + − − + = − ⇔ 2 3 12x = ⇔ 2 4x = ⇔ 1 2x = − ; 2 2x = . c) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 3 7 1x x x x x x+ − − + = − ⇔ 3 2 3 2 3 3 9 2 3 0x x x x x+ − − − = ⇔ 3 9 0x x− = ⇔ ( ) 2 9 0x x − = ⇔ 1 0x = ; 2 3x = − ; 3 3x = . d) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 2 3 0x x x x− + + + − = ⇔ 2 2 3 2 3 2 3 6 2 0x x x x x x+ − − + − + − = ⇔ 2 2 6 0x + = vô nghiệm x . trang 8 HẰNG ĐẲNG THỨC “ ĐÁNG NHỚ ” 1. Bình phương của một tổng Vì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . 2a b a b a b a ab ba b a ab b+ = + + = + + + = + + nên ( ) 2 2 2 2a b a ab b + = + + Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) ( ) 2 x y+ b) ( ) 2 2a b+ c) ( ) 2 2 3a b+ d) ( ) 2 3 2x + e) ( ) 2 5 3y+ f) 2 1 2 x   +  ÷   g) 2 3 2 x y   +  ÷   h) ( ) 2 2 3 2a b+ Bài giải a) ( ) 2 2 2 2x y x xy y+ = + + . b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2.2 . 4 4a b a a b b a ab b+ = + + = + + c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 2 2.2 .3 3 4 12 9a b a a b b a ab b+ = + + = + + d) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4x x x x x+ = + + = + + e) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 5 2.5.3 3 25 30 9y y y y y+ = + + = + + f) 2 2 2 2 1 1 1 1 2. . 2 2 2 4 x x x x x     + = + + = + +  ÷  ÷     g) 2 2 2 2 2 2. . 3 2 3 3 2 2 9 3 4 x y x x y y x xy y       + = + + = + +  ÷  ÷  ÷       h) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 3 4 2 3 6 2 2 2.2 4 4a b a a b b a a b b+ = + + = + + Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) 2 2 2x xy y+ + b) 2 2 9 6a ab b+ + c) 2 2 16 40 25a ab b+ + d) 2 9 12 4x x+ + e) 2 49 70 25y y+ + f) 2 1 2 9 3 y y+ + g) 2 2 4 3 9 a ay y + + h) 3 2 4 6 2 3 9 a y y a + + i) ( ) 2 2 4 12 9 2. 2 3 1a ax x a x+ + + + + Bài giải a) ( ) 2 2 2 2x xy y x y+ + = + . b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 6 3 2.3 . 3a ab b a a b b a b+ + = + + = + c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 16 40 25 4 2.4 .5 5 4 5a ab b a a b b a b+ + = + + = + d) ( ) ( ) 2 2 2 2 9 12 4 3 2.3 .2 2 3 2x x x x x+ + = + + = + e) ( ) ( ) 2 2 2 2 49 70 25 7 2.7.5 5 7 5y y y y y+ + = + + = + trang 9 f) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2. . 9 3 3 3 3 y y y y y     + + = + + = +  ÷  ÷     g) 2 2 2 2 2 2. . 4 3 9 2 2 3 3 2 3 a ay y a a y y a y       + + = + + = +  ÷  ÷  ÷       h) ( ) 2 2 3 2 4 2 2 2 2 6 3 3 3 2 2. . 3 9 3 3 3 a y y y y y a a a a     + + = + + = +  ÷  ÷     i) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 12 9 2. 2 3 1 2 3 2. 2 3 1 2 3 1a ax x a x a x a x a x+ + + + + = + + + + = + + Ví dụ 3 : Tính ( ) ( ) 2 2 2 2 10 1 10 2.10 .1 1 .100 2 .10 1a a a a a+ = + + = + + . ( ) 2 2 2 2 51 50 1 50 2.50.1 1 2500 100 1 2601= + = + + = + + = . ( ) 2 2 2 2 301 300 1 300 2.300.1 1 90000 600 1 90601= + = + + = + + = Ví dụ 4 : Tính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 10 5 100 2.10 .5 5 1 .100 25 1 25a a a a a a a+ = + + = + + = + . Muốn bình phương một số có tận cùng là 5 ta nhân số hàng chục với số tự nhiên kề sau nó, được bao nhiêu gán thêm vào số 25. 2 15 1.2.100 25 225= + = , ., 2 35 3.4.100 25 1225= + = , ., 2 95 9.10.100 25 9025= + = . 2. Bình phương của một hiệu Mặt khác ta có thể tính ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2. . 2a b a b a a b b a ab b− =  + −  = + − + − = − +   . Hoặc ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 . 2a b a b a b a ab ba b a ab b− = − − = − − + = − + nên ( ) 2 2 2 2a b a ab b − = − + Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất, trừ hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai, cộng bình phương số thứ hai. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) ( ) 2 m n− b) ( ) 2 3a b− c) ( ) 2 3 2a b− d) ( ) 2 5 3x − e) ( ) 2 4 3y− f) 2 1 2 x   −  ÷   g) 2 3 2 x y   −  ÷   h) ( ) 2 2 3 3a m− Bài giải a) ( ) 2 2 2 2m n m mn n− = − + b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2. .3 3 6 9a b a a b b a ab b− = − + = − + c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2.3 .2 2 9 12 4a b a a b b a ab b− = − + = − + d) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 3 5 2.5 .3 3 25 30 9x x x x x− = − + = − + e) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 4 2.4.3 3 16 24 9y y y y y− = − + = − + f) 2 2 2 2 1 1 1 1 2. . 2 2 2 4 x x x x x     − = − + = − +  ÷  ÷     trang 10 g) 2 2 2 2 2 2. . 3 2 3 3 2 2 9 3 4 x y x x y y x xy y       − = − + = − +  ÷  ÷  ÷       h) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 2 3 3 4 2 3 6 3 3 2.3 . 9 6a m a a m m a a m m− = − + = − + . Ví dụ 2 : Áp dụng tính a) 2 2 2x xn n− + b) 2 2 9 6a ay y− + c) 2 2 9 12 4m am a− + d) 2 16 40 25n n− + e) 2 36 84 49y y− + f) 2 1 2 4 4 m m− + g) 2 2 25 10 16 x xy y − + h) 4 2 2 9 3 4 x x y y − + Bài giải a) ( ) 2 2 2 2x xn n x n− + = − b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 6 3 2.3 . 3a ay y a a y y a y− + = − + = − c) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 9 12 4 3 2.3 .2 2 3 2m am a m m a a m a− + = − + = − d) ( ) ( ) 2 2 2 2 16 40 25 4 2.4 .5 5 4 5n n n n n− + = − + = − e) ( ) ( ) 2 2 2 2 36 84 49 6 2.6.7 7 6 7y y y y y− + = − + = − f) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 2. .2 2 2 4 2 2 2 m m m m m     − + = − + = −  ÷  ÷     g) 2 2 2 2 2 2. . 25 10 16 5 5 4 4 5 4 x xy y x x y y x y       − + = − + = −  ÷  ÷  ÷       h) 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2. . 9 3 4 3 3 2 2 3 2 x x y y x x y y x y       − + = − + = −  ÷  ÷  ÷       Ví dụ 3 : Áp dụng tính ( ) 2 2 2 2 99 100 1 100 2.100.1 1 10000 200 1 10801= − = − + = − + = . 3. Hiệu các bình phương của hai số Vì ( ) ( ) 2 2 2 2 .a b a b a ab ba b a b− + = + − − = − nên ( ) ( ) 2 2 a b a b a b − = − + Hiệu các bình phương hai số bằng hiệu hai số đó nhân với tổng của chúng. Ví dụ 1 : Áp dụng tính a) 2 2 x y− b) 2 2 4a b− c) 2 2 9 4a b− d) 2 9 4x − e) 2 25 16y− f) 2 4 9 a − g) 2 2 49 25 x y − h) 4 6 36 25a b− Bài giải a) ( ) ( ) 2 2 .x y x y x y− = − + b) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 . 2a b a b a b a b− = − = − + c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 9 4 3 2 3 2 . 3 2a b a b a b a b− = − = − + d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 4 3 2 3 2 . 3 2x x x x− = − = − + [...]... 0 Cho hai đa thức f ( x ) và g ( x ) tìm các đa thức h ( x ) và r ( x ) : f ( x ) = g ( x ) h ( x ) + r ( x )  Với bậc của đa thức r ( x ) bao giờ cũng nhỏ hơn bậc của đa thức g ( x ) Ta gọi f ( x ) là đa thức bị chia; g ( x ) là đa thức chia; h ( x ) là đa thức thương; r ( x ) là đa thức dư  Khi r ( x ) ≡ 0 thì ta bảo đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) Ví dụ 3 : Cho hai đa thức f ( x... Tìm các giá trị nguyên của n để đa thức f ( n ) chia hết cho đa thức g ( n ) f ( n ) = 2n 2 + n + 5 và g ( n ) = 2n − 1 Bài 6 : Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức f ( x ) cho đa thức g ( x ) f ( x ) = x93 + x 48 + x 20 + x 4 − x và g ( x ) = x 2 − 1 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A , trong đó A, B là những đa B thức và đa thức B khác đa thức O A thường gọi là tử thức; B gọi là mẫu thức 2 Tình chất : Nếu ta nhân... Nếu ta nhân ( hoặc ) cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức O thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho 1 Định nghĩa : Một phân thức đại số là một biểu thức có dạng A A.M = B B.M Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức mới bằng phân thức đã cho A −A A −A =− =− = B B −B −B 3 Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau :  Phân tích tử và mẫu thành... Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta làm như sau :  Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và tìm mẫu thức chung;  Tìm nhân tử phụ cho mỗi mẫu thức; ( bằng cách chia mẫu thức chung cho từng mẫu thức );  Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng 5 Muốn cộng ( trừ) hai phân thức : Muốn cộng ( hay trừ ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng ( hay trừ ) các tử thức với nhau và... x 2 − 4 x = 4 ĐA THỨC 1 Chia đơn thức cho đơn thức Quy tắc : Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau :  Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B  Chia từng biến của đơn thức A cho biến cùng tên với nó trong đơn thức B  Nhân các kết quả tìm được với nhau am  = a m−n , m ≥ n n a  a ≠ 0 : a0 = 1 2n 2 n+1  ( −1) = 1 , ( −1) = −1 Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức P = A biết... y ( a − b ) = c) P = = ; 2 B −10 x y ( b − a ) 2  1  2  1 2 −1  −  − ÷÷ với a = ; b = − ; x = −1 thì  3  3  = − 1 P= 3 3 2 2 2 Chia đa thức cho đơn thức, đa thức Quy tắc : Muốn chia đa thức A cho đơn thức B ta chia mỗi hạng tử của đa thức A cho đơn thức B, rồi cộng các kết quả với nhau trang 23 A + B +C A B C = + + D D D D Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính 4 2 3 3 2 2 2 2 a) A = ( 8 x y − 2... x + 10 0 2 Đa thức thương h ( x ) = 2 x + 3x + 2 ; đa thức dư r ( x ) ≡ 0 Ví dụ 4 : Tìm m để đa thức f ( x ) chia hết cho đa thức g ( x ) 3 2 a) f ( x ) = x + x − x + m và g ( x ) = ( x + 1) Bài giải 2 3 2 a) f ( x ) = x + x − x + m = ( x + 1) ( x − 1) + m + 1 muốn f ( x ) Mg ( x ) thì m + 1 = 0 2 ⇔ m = −1 : Vậy m = −1 thì f ( x ) Mg ( x ) Ví dụ 5 : Tìm các giá trị nguyên của n để đa thức f ( n )... 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + = a a +1 a +1 a + 2 a + 2 a + 3 a + 3 a 6 Muốn nhân hai phân thức : Muốn nhân hai phân thức với nhau ta nhân tử thức với tử thức; mẫu thức với mẫu thức ⇔S = A C A.C = B D B.D trang 31 7 Muốn chia hai phân thức : Muốn chia hai phân thức với nhau ta nhân phân thức bị chia với phân thức chia đảo ngược A C A D A.D : = = B D B C B.C Ví dụ 1 : Thực hiện phép tính x 2 y 2 −... + c ) ( *) bằng tích của 2 tam thức bậc hai ( 2) 2 Với a, b, c tìm được ở câu 1 Giải phương trình f ( x ) = 0 HD: Dùng phương pháp đồng nhất thức để tìm a = −5; b = 7; c = 6 ∨ a = 7; b = −5; c = 6 1992 1993 1994 1995 2 Bi 12: Tìm số dư cuối cùng của phép chia đa thức ( 1 + x + x + x + x ) cho ( 1 − x ) HD: Vì đa thức chia là đa thức bậc 2 nên dư của phép chia là đa thức có bậc bé hơn 2 là ax + b... 2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x − 3) 2/ Tìm a, b để đa thức 6 x 4 − 7 x3 + ax 2 + 3x + 2 chia hết cho đa thức x 2 − x + b HD: 3 3 1/ Vì ( x − 3) = x3 − 9 x 2 + 27 x − 27 Thực hiện phép chia x 4 + ax 2 + bx + c cho đa thức ( x − 3) được thương là x + 9 và dư là ax 2 + 54 x 2 + bx − 216 x + 243 + c từ giả thiết ta suy ra 54, 243 ax 2 + 54 x 2 + bx − 216 x + 243 + c là đa thức không Từ đó suy ra . đơn thức cũng là một đa thức.  Mỗi đơn thức trong đa thức gọi là một hạng tử của đa thức.  Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức. Cộng trừ đa thức  Muốn cộng hai đa thức với nhau ta viết đa thức nọ sau đa thức kia với dấu của chúng.  Muốn trừ hai đa thức với nhau ta viết đa thức bị