BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN DỤNG CAO NGUN HÀM, TÍCH PHÂN CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM Đầu tiên xin nhắc lại khái niệm định lí để quý bạn đọc có kiến thức tảng trước vào toán cụ thể Định nghĩa y = f ( x) Cho hàm số xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R) Nếu Ta có hàm số F ( x) F '( x ) = f ( x ) F ( x) f ( x) xác định K cho gọi nguyên hàm hàm số K F ( x) f ( x) Định lí Nếu nguyên hàm hàm số K với số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C f ( x) nguyên hàm hàm số K F ( x) f ( x) f ( x) Định lí Nếu nguyên hàm hàm số K nguyên hàm K có dạng G ( x) = F ( x) + C f ( x) với C số Định lí Mọi hàm số liên tục K có ngun hàm K Tính chất nguyên hàm: ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C với C số ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác ∫  f ( x ) ± g ( x )  f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Bảng nguyên hàm Chú ý: công thức tính vi phân ∫ 0dx = C f ( x) d  f ( x )  = f ' ( x ) dx Với u hàm số ∫ 0du = C Trang ∫ dx = x + C ∫x α dx = ∫ du = u + C α +1 x + C ( α ≠ −1) α +1 ∫u α du = α +1 u + C ( α ≠ −1) α +1 1 ∫ x dx = ln x + C ∫ u du = ln u + C ∫ e dx = e ∫ e du = e x x +C u u +C ax ∫ a dx = ln a + C au ∫ a dx = ln a + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cosu + C x ∫ cos x ∫ sin x u dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin u u du = tan u + C du = − cot u + C Chúng ta tìm hiểu số toán Nguyên Hàm mức độ vận dụng sau đây: BÀI TẬP VẬN DỤNG ∫ ( cos Bài 1: Biết a = A Giải: x − sin x ) sin xdx = − B a = 12 cos x +C a C a = f ( x ) = ∫ ( cos x − sin x ) sin xdx Với a số nguyên Tìm a? a = 14 D Đặt , Ta có: f ( x ) = ∫ ( cos x − sin x ) sin xdx = ∫ ( cos x ) 2sin x.cos x 5 = ∫ cos x.sin xdx Đặt t = cos x ⇒ dt = −2sin xdx F ( x ) = − ∫ t dt = Vậy −t cos7 x +C = − +C 7 Trang Chọn C sin x + cos x ∫ sin x − cos x dx = a ln sin x − cos x + C Bài 2: Biết a = A Giải: Vì B a = Với a số nguyên Tìm a? a = a = C D ′ ′ = ( sin x − cos x ) = sin x + cos x a  ln sin x − cos x + C   ∫  sin x − cos x sin x − cos x Nguyên hàm của: CHọn A sin x + cos x sin x − cos x nên ln sin x − cos x + C là: + tan x 2  2x   tan − 1÷   Bài 3: Tìm nguyên hàm của: 1 + + cos x sin x A B Giải: x= biết nguyên hàm C tan x + D cot x + π x x   tan tan  2 ÷ = + tan x = f ( x ) = + = 1+  ÷ cos x x  2x   ÷ + tan  tan − 1÷  2   F ( x ) = tan x + C Nguyên hàm π π  F  ÷ = ⇒ tan + C = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = tan x + 4 Ta có: Chọn C F ( x ) = x + ln 2sin x − cos x Bài 4: nguyên hàm của: sin x − cos x sin x + 2cos x sin x − cos x sin x + 3cos x 2sin x − cos x sin x + 3cos x A B C Giải: Trang D 3sin x + cos x 2sin x − cos x Ta cần đạo hàm F(x), sau quan sát kết ( 2sin x − cos x ) ' = + 2sin x + cos x = 3sin x + cos x F '( x ) = + 2sin x − cos x 2sin x − cos x 2sin x − cos x Ta có: 3sin x + cos x ⇒ F ( x) 2sin x − cos x nguyên hàm Chọn D ∫ ( 25 x 1 dx = − +C − 20 x + ) a ( 5x − ) Bài 5: Biết a = a = 100 A B Giải: Chú ý biến đổi: ∫ ( 25 x − 20 x + ) dx = ∫ ( 25 x − 20 x + ) −3 Với a số nguyên Tìm a? a = a = 25 C D ( 25 x dx = − 20 x + ) −4 −4 +C Là sai ∫ ( 25x − 20 x + ) d ( 25 x − 20 x + ) −3 ( 25x = −4 Điều sau đúng: ( 25 x − 20 x + ) Trở lại bài, ta biến đổi biểu thức dạng 1 −6 ∫ 25 x − 20 x + dx = ∫ ( x − ) dx = ∫ ( 5x − ) dx ( ) ( 5x − 2) = −5 −5 +C = − 25 ( x − ) ( ax + b ) − 20 x + ) n sau: +C Chọn D 1+ x a dx = ln x − + C ∫ x2 − 5x − b Bài 6: Biết S = A Giải: B S = , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? S = S = C D Trang −4 +C Ta quan sát mẫu cso thể phân tích thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2: x = −1, x = 2 x − 5x − = thấy có hai nghiệm là: ax + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) x1 , x2 Áp dụng cơng thức với hai nghiệm ta có: x − x − = ( x + 1) ( x − ) Do đó: 1+ x x +1 1 ∫ x − 5x − dx = ∫ ( x + 1) ( x − ) dx = ∫ x + dx = ln x − + C Chọn C ∫ ( sin x − cos x ) Bài 7: Biết S = A B a dx = x + cos x + C b , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? S = S = C D S = Giải: n ∫ t dt = Nếu áp dụng ngay: ∫ ( sin x − cos x ) Ta phải khai triển t n+1 +C n +1 ta có: ( sin x − cos x ) dx = ( sin x − cos x ) +C Là sai để xem thử sin x − cos x dx = − sin x dx = x cos x + C ( ) ( ) ∫ ∫ Chọn D Bài 8: Biết S = A x dx = a tan +C ∫ + cos x b B S = , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? S = S = C D Giải: Trang Chưa áp dụng công thwucs nguyên hàm bản, ta quan sát mẫu thấy + cos x = 2cos x cos α = biến đổi dựa công thức hạ bậc: 1 x ∫ + cos x dx = ∫ x dx = tan + C 2cos a = 1, b = Ta thấy S=3 Chọn C a  + cos 2α Do đó: π ∫ + sin x dx = b tan  x − ÷ + C Bài 9: Biết S = A Giải: B S = ∫ + sin x dx = ∫ , với a, b cá số nguyên Tính S = a + b? S = S = C D 1 dx = ∫ dx = π   2π + cos  − x ÷ 2cos  − x ÷ 2  4  1 π π   = − tan  − x ÷+ C = tan  x − ÷+ C 2 4 4   Ta thấy a=1,b=2 suy S=3 Chọn C π   f ( x ) = 8sin  x + ÷ F ( x) f ( x) F ( 0) = 12   Bài 10: Cho Một nguyên hàm thỏa là: π π   x + 2sin  x + ÷+ x − 2sin  x + ÷+ 6 6   A B π π   x + 2sin  x + ÷+ x − 2sin  x + ÷+ 6 6   C D Giải: Trang ∫ Ta cần phải tính f ( x) π   f ( x ) dx = ∫ 8sin  x + ÷dx 12   Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi sau:  π   − cos  x + ÷÷  π  ÷   f ( x ) = 8sin  x + ÷ =  12    ÷  ÷   π π   f ( x ) = − 4cos  x + ÷ ⇒ F ( x ) = x − 2sin  x + ÷+ C 6 6   π  f ( ) = ⇔ −2sin  ÷+ C = ⇔ C = 6 Chọn B Bài 11: Cho A C f ( x) = 1+ x Một nguyên hàm x2 + x + B  x2  − x + C1 x ≥   x − x + C x <  D F ( x)   x +  x −  f ( x) thỏa F ( 1) = x2 − x ≥ 2 x2 + C2 x < − x + x + C1 x ≥   x2  x − + C2 x <  Giải: Ta có:   x + ⇒ F ( x) =  1 + x x ≥ x − f ( x) =   1 − x x < Trang x2 + C1 x ≥ x2 + C2 x < là: F ( 1) = ⇒ C1 = − Theo đề Chọn B   x +  x −  đó: ∫ F ( x) x2 − x ≥ 2 x2 + C2 x < 5x2 + 8x − x ( 1− x) 2 dx Bài 12: Biết nguyên hàm F ( x) là: 24 20 25 A B C Giải: Ta có: F ( x) = ∫ 5x2 + 8x − x2 ( − x ) dx = ∫ với < x