Phần 3: Tứ giác nội tiếp DAB + BCD = 1800 ABC + ADC = 180 □ ABCD nội tiếp khi: DAB + BCD = 1800 □ ABCD nội tiếp khi: A1 = B1 (vì nhìn CD góc α khơng đổi) Ta có: A1 + A2 + A3 = 1800 ⇒ A3 = C (bởi cộng với DAB = 1800 ) A1 + A2 + C = 180 (ta hiểu sau: ta chuyển vế góc nhau) (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Ví dụ: Cho đường tròn tâm I đường kính AB Gọi C D hai điểm tùy ý cung AB AC ∩ BD = E , AD ∩ BC = F Chứng minh rằng: a, Tứ giác ECFD nội tiếp b, AEF = ABC Giải a, Lưu ý: (Trên cung AB lấy điểm C tùy ý Khi nối lại ta được: AC ⊥ CB ACB = 900 góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, tương tự cho ADB = 900 ) Ta có: ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ECB = 900 ⇒ EDA = 90 Xét tứ giác ECFD có: ECF + EDF = 1800 Suy ta tứ giác ECFD nội tiếp (tổng số đo hai góc đối = 1800 ) b, Nối EF,CD Chú ý rằng: (tứ giác ECFD nội tiếp đường tròn đường kính EF) (Các góc nội tiếp: CBA , CAD , ACB , ADB ) Ta có: CEF = CDF (cùng chắn cung CF ) ABC = ADC (cùng chắn cung AC ) (góc ADC CDF Như ADC = CDF ) (góc AEF CEF Như AEF = CEF ) ADC = CEF Viết lại ta được: ADC = ABC Suy ra: ABC = AEF (vì ADC ) (đpcm) Ví dụ 2: Cho ∆ABC vuông A ( AB < AC ) Đường cao AH Trên cạnh HC lấy điểm D cho HB = HD Vẽ CE ⊥ AD Chứng minh rằng: a, Tứ giác AHEC nội tiếp b, CB tia phân giác ACE c, ∆AHE cân H Giải a, AH ⊥ HC → AHC = 900 Vì AE ⊥ EC → AEC = 90 Tứ giác AHEC có: AHC = AEC = 900 góc AHC , AEC (cùng nhìn AC góc = 90 ) Suy tứ giác AHEC nội tiếp đường tròn đường kính AC (hai đỉnh E H liên tiếp nhìn hai cạnh lại góc = 90 ) b, Tư duy: ta C1 = C2 Nhận thấy ∆ABD cân A ⇒ AH phân giác BAD ⇒ A1 = A2 ⇒ ∆ABH ⊥ H ⇒ B + A1 = 900 Ta có: ∆ABC ⊥ A ⇒ B + C1 = 900 Suy ra: C1 = A1 (cùng phụ B ) (1) Lại có: A2 = C2 (cùng chắn cung HE ) Mà A1 = A2 Nên: A1 = C2 ( ) Từ (1) ( ) Suy C1 = C2 ⇒ CB tia phân giác ACE c, Ta có: C1 = AEH (vì chắn cung AH) A2 = C1 Suy ra: A2 = AEH (vì ACH ) Suy ra: ∆AHE cân H Ví dụ 3: Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định, I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, kẻ Ax ⊥ MI H cắt BM C Chứng minh rằng: ∆AIB cân ∆AMC cân (trường chuyên Chu Văn An_Ams) Giải Với M thuộc IB I điểm cung AB IA = IB ⇒ cung IA = cung IB Xét ∆AIB có: AI = BI ⇒ AI = BI (quan hệ cung dây cung) ⇒ ∆AIB cân I Tứ giác ABMI nội tiếp ⇒ M = B1 (cùng chắn cung AI ) Mà ∆AIB cân I ⇒ IAB = B1 Suy ra: M = IAB (1) IAB + IMB = 1800 ⇒ IAB = M Mà: M + IMB = 180 Ta có: IAB = M (góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện) Từ (1) ( ) ⇒ M = M ⇒ MH phân giác AMC Lại có: MH ⊥ AC Nên: MH trung trực AC ( 2) ⇒ MA = MC ⇒ ∆AMC cân M Trường hợp M thuộc IA chứng minh tương tự Ví dụ 4: Cho ∆ABC đường tròn bàng tiếp góc A điểm K Đường thẳng qua K vng góc với AK cắt cá đường thẳng AB,AC D,E Chứng minh rằng: ∆DBK ∼ ∆EKC Giải Đường tròn nội tiếp ∆ABC có ba đường phân giác AI,BI,CI Khi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Kéo dài AI Trên tia AI lấy điểm K cho KC ⊥ CI Lúc đường AI kéo dài cắt K Suy K tâm đường tròn bàng tiếp Hay nói cách khác phân giác ngồi góc B C cắt K Khi K tâm đường tròn bàng tiếp góc A Nhận thấy rằng: ∆ADE cân A Khi đó: AK ⊥ DE ⇒ D = E (1) Trong tứ giác BDEC có: DBC + BCE + E + D = 3600 ⇒ DBC + BCE + E = 3600 Mà BK phân giác DBC ,CK phân giác BCE Khi đó: DBK = CBK BCK = ECK Mà: B1 + B2 + C1 + C2 + E + D = 3600 Suy ra: DBK + ECK + E = 3600 → DBK + ECK + E = 1800 Trong ∆KCE có: E + ECK + EKC = 1800 Khi đó: DBK = EKC ( ) Từ (1) ( ) ⇒ ∆DBK ∼ ∆EKC Từ đó, suy tỉ số: (g − g) DB DK ⇒ BD.CE = EK DK = DK = EK CE Ví dụ 5: Cho ∆ABC Gọi D,E hình chiếu vng góc B lên AC,AI; với I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ;M trung điểm BC Chứng minh rằng: D , E , M thẳng hàng Giải - Tứ giác ADEB nội tiếp đường tròn đường kính AB (đỉnh D E nhìn cạnh AB góc nhau) - Tứ giác BEIM nội tiếp đường tròn đường kính BI (góc E góc M nhìn cạnh BI) Ta có: BAD + BED = 1800 Ta lại có: BEM = BIM (cùng chắn BM ) Ta lại có: BIC = BAD Mà: BIC = BIM Suy ra: BAD = BIM ⇒ BAD = BEM Suy ra: BEM + BED = 1800 ⇒ D, E , M thẳng hàng Ví dụ 6: Cho hình thang cân ABCD ( AB / / CD ) Gọi H,I hình chiếu vng góc B AC,CD Gọi M,N trung điểm AD,HI Chứng minh rằng: BN ⊥ NM Giải Ta có: HBI = HCI (cùng chắn HI ) Suy ra: HCI = ACD Ta lại có: ABD = ACD (cùng chắn AD ) ⇒ HBI = ABD (1) Lại có: ADB = ACB (cùng chắn AB ) Suy ra: ACB = HCB Ta lại có: HIB = HCB (cùng chắn HB ) ⇒ HIB = ADB ( ) Từ (1) ( ) ⇒ ∆ABD ∼ ∆HBI (g − g) Ta có: BM , BN đường trung tuyến ∆ABD, ∆HBI BM BA = (1) BN BH Lại có: ABM = HBN ⇒ MBN = ABH Do đó: ( 2) Từ (1) ( ) ⇒ ∆ABH ∼ ∆MBN Do đó: MNB = AHB = 900 ⇒ MN ⊥ NB Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100004114337323 Hà Nội ngày 6/12/2015 ... cân M Trường hợp M thuộc IA chứng minh tương tự Ví dụ 4: Cho ∆ABC đường tròn bàng tiếp góc A điểm K Đường thẳng qua K vng góc với AK cắt cá đường thẳng AB,AC D,E Chứng minh rằng: ∆DBK ∼ ∆EKC Giải... DBC + BCE + E + D = 36 00 ⇒ DBC + BCE + E = 36 00 Mà BK phân giác DBC ,CK phân giác BCE Khi đó: DBK = CBK BCK = ECK Mà: B1 + B2 + C1 + C2 + E + D = 36 00 Suy ra: DBK + ECK + E = 36 00 → DBK + ECK +... = 900 ⇒ MN ⊥ NB Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=10000411 433 732 3 Hà Nội ngày 6/12/2015