D48 - Câu 48-TÍCH-PHÂN-LIÊN-QUAN-ĐẾN-HÀM-ẨN- - Muc do 1

Câu f  x Cho hàm số  1;1 liên tục đoạn f   x   2019 f  x   x , x � 1;1 Giá trị �f  x  dx 1 A 2019 ln B 4040 ln Chọn B D 2018ln C Lời giải f   x   2019 f  x   x  1 Xét phương trình f  u   2019 f  u   2 u u   x Đặt , phương trình cho trở thành � f  x   2019 f   x   2 x   Từ  1 � f   x   f  x   2019 2 x  f  x  2019  f  x x 2019 vào phương trình  2 ta 2019.2 x  2 x   2019   2 x � f  x   Ta có � 1 x 2 x � x x f x dx  2019.2  dx  2019      � � 2019  20192  � ln ln � � �1 1 1  1 � 2019 � � �1 � 2018.3 � �  �   � �  2� � 2019  �ln � � ln �2 � � 2020.2018 2.ln 4040.ln Câu Cho hàm số f  x  dx  � y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn 1  ,� f '  x  cosxdx  2 f    f  1  Tính f  x  dx � C Lời giải  Đáp án A Phương pháp: +) Sử dụng phương pháp phần tích phân +) Sử dụng kết � f  x   k.sin x � � �dx  � tính f '  x  cosxdx � f  x +) Lấy tích phân từ đến vế tính Cách giải: Đặt f  x  dx � du   sin xdx �u  cosx � �� � �dv  f '  x  dx �v  f  x  Ta có Biết 3 B 2 A   0;1 1 0 f '  x  cosxdx  f  x  cosx 01  � f  x  sin xdx � D  1   � f  1  f   � f  x  sin xdx  � � f  x  sin dx  � �  � 2 0 1 1 � f  x   k.sin x � f  x  dx  2k.� f  x  sin xdx  k � sin  x  dx  � �dx  � � � Xét 2 0 � � f  x   sin x � � �dx  � 1 k  2k   �  k  1  � k  1 2 Suy Vậy 1 0 Xét hàm số f  x liên tục đoạn cosx 1    x    f  x   sin x � � f  x  dx  � sin xdx   Câu  0;1 thỏa mãn điều kiện x f  x   f   x    x I � f  x  dx Tích phân A I  20 B I  16 C Lời giải I  D I Chọn A I1  � x f  x  dx - Xét t  x � d t  x d x Đặt Đổi cận: x  � t  ; x  � t  1 � I1  � f  t  dt  2� f  x  dx 0  2I I2  � f   x  dx - Xét Đặt t   x � dt  dx Đổi cận: x  � t  ; x  � t  0 1 0 f  t  dt  3.� f  x  dx � I  3.� f  t  dt  3.�  3I - Tính I  �1  x dx x 1� t  Đặt x  sin t � dx  cos t.dt Đổi cận: x  � t  ;     1� �2 � I3  � cos t.dt  �   cos 2t  dt  �t  sin 2t �   2� 20 �0 - Lại có: x f  x   f   x    x � I1  I  I Câu � 5.I  Cho hàm số   0   �I  20 y  f  x có đạo hàm  0; 4 thỏa mãn đẳng thức sau x 2019 f  x   2020 f   x   6059  Tính tích phân A Chọn B �� x f  x   f   x  dx  �1  x dx B f�  x  dx � C D  Ta có f�  x  dx  f  x  �  f  4  f  0 � �2019 f    2020 f    6059 � �f    �� � 2020 f    2019 f    6058 �f    Với x  x  ta có hệ phương trình � Do Câu f�  x  dx  f    f      � Cho hàm số y = f ( x) f�  x  hình vẽ sau có đồ thị � � x3 � y = g ( x ) = f ( x +1) - � - x2 � � � � � � � Hàm số đồng biến khoảng đây? A  1;  B  4;� C Lời giải  2;4  D  0;2  Chọn D y�  g�  x  f �  x  1   x  x  Ta có: Dựa vào đồ thị f�  x x0 � � f�  x  1  � �x  � x4 � ta có  x 1  0 x2 � � f� ��  x  1  � � x 1  x4 � � y�  g�  x Bảng xét dấu Vậy hàm số đồng biến  0;2  � � , 2� f ( x )  f ( )  3x � f ( x ) � � x Câu Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính tích phân f ( x) I  � dx x A B C D Lời giải Chọn B Từ giả thiết, thay � � � � � � 1� 1� � �f ( x) + f � � � f ( x) + f � = 3x � = 3x � � � � � � � � � � � � � x x � � -=�� � � � � � � 1� 1� � � � � � ff + x = f ( x) + f � = � � ( ) � �� �� � � � � � � x� x x� x �� � Do ta có hệ f ( x) I =� Khi x � 1� � ff� + ( x) = � � � � x x ta �x� �2 � dx = � � �x2 � x Cách khác Từ x � �2 � � � 1� dx = x � � � � � �1 = �x � � 2 � � 1� 1� � � f ( x) + f � = 3x �� � f ( x) = 3x - f � � � � � � � � � � � x� x� � � � 1� � � � ff� � � � 2 � � � � � f ( x) � � x� � � � I =� dx = � d x = d x � � � � x � x � � 1 � 1 � � � � 2 � 2 � � Khi x f ( x) � � 1� f� � � � � � x� J =� dx x � � 1� � � � � � � x� dx x Xét Đổi cận: Vậy Câu Đặt � � x= � t=2 � � � � � � x = 2� t = � � � t= 1 dt = - dx = - t2dx �� � dx = - dt x , suy x t Khi 2 2 2 f ( t) f ( x) � 1� � J =� tf ( t) � - 2� d t = dt = dx = I � � � � � �t � t x 1 2 I = 3� dx - 2I �� �I = � dx = 1 f  x   f   x    x  1 e x Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  thỏa mãn  x 1 4 Tính tích phân I � f  x  dx A I  e  ta kết quả: B I  C I  Lời giải D I  e  Chọn C Vì 0 � � f  x  f   x � dx  � x  1 e � � � � Theo giả thuyết ta có Ta tính 2 2 0 f   x  dx   � f   x d   x  � f  x  dx � 2 0 � f  x  f   x � f  x  dx � �dx  � � Hơn  x  1 e x � 2  4� dx * �   dx  � e x  x 1d  x  x  1  e x  x 1 x  x 1  x 1 2 0 4dx  � f  x   f   x    x  1 e x Cho hàm số y  f ( x ) liên tục  thỏa mãn Câu  x 1 4 Tính tích phân I � f  x  dx A I  e  ta kết quả: B I  C I  Lời giải D I  e  Chọn C Theo giả thuyết ta có Ta tính 2 0 � � f  x  f   x � dx  � x  1 e x � � � � 2 0 f   x  dx   � f   x d   x  � f  x  dx � Vì 0 Câu  x 1  4� dx * �   � f  x  f   x � f  x  dx � �dx  � � Hơn 2  x  1 e � x  x 1 d  x  x  1  e x  x 1 dx  � e Cho hàm số 2 x  x 1 2 0 4dx  � f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0)  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x �R Tích phân A  B  10 xf � ( x)dx � C Lời giải D Chọn B 2 xf � ( x )dx  xf ( x)  � f ( x)dx � Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x �R  1 Từ  1 ta f (0)  f (2)  � f (2)   f (0)    1 Thay x  vào Xét I � f ( x)dx �x  � t  � Đặt x   t � dx  dt , đổi cận: �x  � t  Khi 2 0 I  � f (2  t )dt  � f (2  t )dt � I  � f (2  x)dx 2 Do ta có Vậy  f ( x)  f (2  x)  dx  �  x  x   dx � 2�f ( x)dx  83 � �f ( x)dx  34 � 0 0 2 10 xf � ( x )dx  xf ( x)  � f ( x )dx  2.(1)    � 3 0 Câu 10 Cho hàm số f  x liên tục � thỏa mãn: xf  x   f   x   x11  x  3x  x  x  1, x �� 21 I  A 17 I B I Tính �f ( x)dx 1 I C D I 21 Lời giải Chọn B Ta có: xf  x   f   x   x11  x8  3x  x  x  1, x �� � x f  x   x3 f   x   x14  x11  x9  x  x  x  1; 0 , ta được: + Lấy tích phân hai vếtrên đoạn 0 x f  x  dx  � x f   x  dx  � x � 44 43 14 4 43 1 tx 1 t 1 x 1  x11  x9  x  x  x3  dx 1 21 � � f  t  dt  � f  t  dt   1 1 40 40 + Lấy tích phân hai vế đoạn  0;1 , ta được: 1 x f  x  dx  � x f   x  dx  � x � 14 44 43 4 43 t  x5 t 1 x 1  x11  x9  x  x  x  dx 1 1 � � f  t  dt  � f  t  dt  �� f  t  dt     50 120 Thế vào f  t  dt  �  1 ta được: 1 17 Câu 11 Cho hàm số   f � A x dx  I f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  Tính tích phân B I � f  x  dx I I C Hướng dẫn giải Đặt t  x � t  x � dx  2tdt Đổi cận x  � t  0; x  � t  1 1 1 f x d x  t f t d t � t f t d t  � x f  x  dx      � � � � 5 0 Suy Do   1 x2 x2 x � x f x d x  f x  f x d x         f�  x  dx � � � 2 2 0 0 Mặt khác Suy Chọn B , x2 1 3 f� x2 f �  x  dx    � �  x  dx  � 2 10 0 �  x � �f � �dx  � D I  3x  � Ta tính 2 Do dx  1 0 � 3x f �  x �  x  dx  �  x  dx  � �f � �dx  � � 2 � f�  x   3x2  � f � x   3x � f  x   x3  C Vì f  1  Vậy nên f  x   x3 1 0 I � f  x  dx  � x dx  Câu 12 Cho hàm số f  x  f � x   3x  � 2 dx  0 f  x   f   x    cos x x �� liên tục � thoả mãn , Tính 3 I  �f  x  dx 3 A I  6 C I  2 Lời giải B I  D I  Chọn D Đặt x  t Khi  0 3 � f  x  dx  � f  t  d  t    � f  t  dt  � f   x  dx    3 I  Ta có: Hay I 0 3 3 3 0 � f  x d  x  � f  x d  x  � f  x d  x  � f  x  d  x   � f  x d  x    3 3 3 0 �  f   x   f  x   d  x   �2  cos xd  x   �2(1  cos x)d  x  3 �I 3 �4 cos xd  x   3  0  �cos x d  x   � cos xd  x   � cos xd  x    3  I  2sin x | 2sin x |  Vậy f  x I  � dx x �1 � f  x   f � � 3x f x �x � Câu 13 Cho hàm số   liên tục � Tính tích phân I I I I 2 2 A B C D Lời giải Chọn C Đặt t Đổi cận �1 � 1 dt  d � � dx � dx   12 dt �x � x x Suy t x 1 �t  x  2�t  2 2 �� �� �1 � �1 � f �� dt  � f�� dx �1 �  � �� �� �� I � tf �� dt �� t �� t �x � �x � �2 � t �t � �� 2 Ta có 2 f  x 1� � �1 � �1 � �1 � 3I  � dx  � f�� dx  ��f  x   f � � dx  � 3dx �� � x �x � �x � �x �  3x  � 1 x� 2 2 2 Suy Vậy I Câu 14 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  0; 4 thỏa mãn đẳng thức sau x 2019 f  x   2020 f   x   6059  Tính tích phân A Chọn B B Ta có f�  x  dx  f  x  � 4 f�  x  dx � C  f  4  f  0 D � �2019 f    2020 f    6059 � �f    �� � 2020 f    2019 f    6058 �f    Với x  x  ta có hệ phương trình � Do f�  x  dx  f    f      � Câu 15 Cho hàm số y  f  x có đạo hàm  0;3 ; f   x  f  x   1, f  x  �1 với x f �  x I  dx � f  0  � �  f   x  � f  x  � Tính tích phân: B A C Lời giải Chọn B   f   x   f  x   f  x   f   x  f  x   f   x  f  x   f  x   f  x     f  x   1 x f �  x I � dx 1 f  x  2 ux � du  dx � � � f�  x  dx � � �dv  v � � 1 f  x 1 f  x  � Đặt � 3 x dx 3 I �   I1  f  x  0  f  x   f  3 f  0  � f  3  2 Đặt t   x � dt  dx Đổi cận x  � t  3 D x � 0;3 x  3�t  3 f  x  dx dt dx I1  � � � 1 f   t  f  x 0 1 f  x 3  f  x I1  � dx  � I1   f  x I  1   2 Vậy Câu 16 Cho hàm số f  x liên tục � cho xf  x  1  f  x    x13  x  x  x  x  x  2, x �� Khi tích phân A  15 42 B 15 54 C f  x  dx � D Lời giải Chọn C (1) � x f  x  1  xf  x    x14  x  x  x  x  x  x, x �� Lấy TP hai vế từ đến 1: 1 �� x f  x  1 dx  � xf  x  dx  0 1 1 � � f  x  1 d ( x  1)  � f  x2  d ( x2 )  30 20 � 1  F (2)  F (1)   F (1)  F (0)  0 1 7 3 f x  d ( x  1)  � f x2 d ( x2 )  � 1 1 15  Lấy TP hai vế từ -1 đến 0:    1 7 42  F (1)  F (0)   F (0)  F (1)   �  F (1)  F (0)   15 15 1 42 54  F (2)  F (1)   �  F (2)  F (1)   15 - Thay lên: � Câu 17 Xét hàm số  0;1 liên tục đoạn f  x thỏa mãn f  x   xf   x   f   x   Tính giá trị tích phân A I I � f  x  dx ln 2 B I ln C Lời giải I D Chọn B f  x   x f   x   f   x   1 x 1 1 dx �� f  x  dx  � xf   x  dx  3� f   x  dx  �  ln x   ln x 1 0 0 2 Đặt u   x � du  2 xdx ; với x  � u  1; x  � u    I x 1 1 1 xf   x  dx  � f  u  du  � f  x  dx �  1 20 20 Khi x  � t  1; x  � t  t   x � d t   d x Đặt ; với 1 0 f   x  dx  � f  t  dt  � f  x  dx �  2 Khi  1   vào   ta được: Thay , f  x  dx  � 1 1 f  x  dx  3� f  x  dx  ln � � f  x  dx  ln � � f  x  dx  ln � 20 20 0 Câu 18 Cho hàm số f  x   f   x   f  x  1  x   x  liên tục �, thỏa mãn f 2a x � 10;10 �f  3x Giá trị nhỏ tích phân 15  A  1 dx a  B bao nhiêu? Với số thực C 10 15 với a � 1; 6 D 6 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức: 2a �f  x  dx  a a 2a �f   x  dx  a � a 2a �f  3x a 2 a � b f  x  dx  � f  a  b  x  dx � 15 � f  x   f   x   f  3x  1  3x  Từ � b �f  3x a 2 2a �f  3x a Suy ra: 2a 2a a a a �f  x  dx  �f   x  dx   �f  x   f   x   f  3x  1 dx  a  1 dx  2a  6a  a  2  1 dx  2a  6a  a  2  1 dx  2a  6a  a   h  a  2 Khảo sát nhanh hàm số h  a   2a  6a  Giá trị nhỏ hàm số a 2 đoạn  ; 6 ta được: h  a   2a  6a  2a Suy giá trị nhỏ tích phân �f  3x a �3 � h  a   h � �  a �2 � 2  1; 6  1 dx   0;� thỏa mãn Câu 19 Cho hàm số y  f ( x) liên tục f  x    x  1 f  x  x  1  x  x  x  32 A 13 B Tính tích phân 23 C Lời giải f  x  dx � D 2a � 3x �� � a  15 � dx � 4� � 16a  24a  40 � 16ab  24b  4a  44 a 1 � � �� � b  1 �4b  24c  4b  32 � � � �4c  4 c 1 � � � f  x   x4  x2  Cách 2:  x   f� Ta có: 1 0 �� f  x  dx  �  x  x  1 dx  13   x  1 f  x   40 x  44 x  32 x  1 ��  x  1 f  x  dx  �  f � x   dx  �  40 x  44 x  32 x   dx.    1 2 Xét 0 1 0 I�  x  1 f  x  dx  �  24 x   f  x  dx � u  f  x � du  f �  x  dx � � � � � dv   24 x   dx � v  x3  x Đặt � � I   8x  x  f  x   �  8x  4x  f � x  dx =  2�  x3  x  f � x  dx 3 0 Do đó:  1 � �  x   f� 1 0 dx  2�  x3  x  f � x  dx  �  x3  x  dx  �  56 x  60 x  36 x  8 dx 3 �f � � � �� �  x    x  x  �dx  � f  x   x  x � f  x   x  x  c Mà f  1  � c  � f  x   x  x  Do 1 0 f  x  dx  �  x  x  1 dx  � 13 15  f  x Câu 88 Cho hàm số f  2x I � dx x Tính e f  ln x  cot x f  2sin x  dx  ; � dx  � x ln x  e liên tục �và I B A I  2 C Lời giải I  Chọn A  + Xét tích phân A � cot x f  2sin x  dx  :  Đặt t  sin x f  2t  � A� 2t 1 f  2t  f  2t  dx  � dx  � � dx   1 23 t t 4 D I  e2 B + Xét tích phân f  ln x  � x ln x dx  : f  2t  f  2t  f  2t  �B� dx  � dx  � � dx    2 t t t t  ln x 1 Đặt e 2 f  2x  I � dx    x Cộng vế theo vế với, ta Câu 89 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0)  f ( x)  f (2  x)  x  x  2, x �R Tích  A phân x f � ( x) dx � 10  B C D Lời giải Chọn B 2 xf � ( x)dx  x f ( x)  � f ( x )dx � Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: Từ f ( x )  f (2  x )  x  x  2, x �R (1) Thay x  vào ta f (0)  f (2)  � f (2)   f (0)    1 Xét I � f ( x) dx �x  � t  � Đặt x   t � dx  dt , đổi cận: �x  � t  Khi 2 0 I  � f (2  t )dt  � f (2  t )dt  � f (2  x )dx 2 2I  � f ( x )dx   f ( x)  f (2  x)  dx  �  x  x  2 dx  83 � I  � 0 Do ta có Vậy x f � ( x) dx  xf ( x )  � f ( x)dx  2.(1)  � 10  3  0;1 thỏa mãn 0 Câu 90 Xét hàm số f  x liên tục đoạn f  x  f  1 x  1 x Tích phân f  x  dx � A B C 15 D Lời giải: Chọn A Thay x  x ta có: f   x   f  1  x  1  x � f   x   f  x   x � f  1 x  f  x  x � � f  1 x  f  x  1 x � f  x  x  1 x � f  x  x  1 x � Ta có hệ: 1 f x dx  x   x dx    � � 50 Do   Câu 91 Cho hàm số  y = f ( x) có đồ thị f�  x hình vẽ sau � � x3 � y = g ( x ) = f ( x +1) - � - x2 � � � � � � � Hàm số đồng biến khoảng đây? A  1;   B  4;� C Lời giải  2;4  D  0;2  Chọn D y�  g�  x  f �  x  1   x  x  Ta có: Dựa vào đồ thị x0 � � f�  x  1  � �x  � x4 � f�  x ta có  x 1  0 x2 � � f� ��  x  1  � � x 1  x4 � � y�  g�  x Bảng xét dấu Vậy hàm số đồng biến  0;2  � � �1 � ;3 f ( x )  x f � � x  x � � y  f ( x ) � � �x � Câu 92 Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị tích phân f ( x) I� dx x  x 3 A bằng: B 16 C D Lời giải Chọn B �1 � f �� f ( x) x �1 � f ( x)  x f � � x3  x �  � � x  �x � x2  x x  �1 � 16 x �� dx  �� �dx  � (x  1)dx  x 1 x x 1 3 f �� f ( x) 3 �1 � f �� x I '  �� �dx x 1 Xét 1 dt  t � dx  dt � dx  x2 t Đặt x �1 � 3 f (t ) dt f (t ) f ( x) x� � I' � dx  �  � dt  � dx  I 2 t x  t  t x  x 1 1 t 3 3 f�� 16 2I  �I  9 Suy Câu 93 Cho hàm số   f � A x dx  I có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1  , Tính tích phân B I � f  x  dx f � I C Lời giải I D Đổi cận x  � t  0; x  � t  1 1 1 x dx  � t f  t  dt � � t f  t  dt  �� x f  x  dx  5 0 Do  1 1 x2 x2 x � x f x d x  f x  f x d x     �    � f�  x  dx � 2 2 0 Mặt khác Suy x2 1 3 f� x2 f �  x  dx    � �  x  dx  � 2 10 0 Ta tính  3x  � 2 dx  Do 1 � 3x f �  x �  x  dx  �  3x  �f � �dx  � � 2 2 dx  � � f�  x   3x2  � f � x   3x � f  x   x3  C Vì f  1  x � t  x � dx  2tdt Chọn B Đặt t  Suy f  x nên f  x  x  f � x   3x  � 2 dx  �  x � �f � �dx  � I Vậy 1 0 I � f  x  dx  � x dx  Câu 94 y  f  x Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  x   xf  x  f '  x   x  4, x � 0;1 Biết f  1  19 B A 13 , tích phân I � f  x  dx 13 C bằng: D 19 Lời giải Chọn B f  x   xf  x  f '  x   x  Ta có: 1 0 �I � f  x  dx  � � xf  x  f '  x   x  4� dx � � 1 � xf  x  f '  x  dx  � (2 x  4)dx  A  (*) 0 A� xf  x  f '  x  dx Tính � � u  xf  x  du   f  x   xf '  x   dx � � � � � dv  f '  x  dx � v  f  x Đặt � 1 0 � A  xf  x   � f  x   f  x   xf '  x   dx   � f  x  dx  � xf  x  f '  x  dx 9I 9 I 19 � A I 5 � I   ** 2 Thay vào, ta được: Câu 95 Cho hàm số y  f  x 4; 4 hàm lẻ liên tục  biết f  2 x  dx  �f   x  dx  � , 2 Tính I � f  x  dx A I  10 B I  6 C I  Lời giải D I  10 Chọn B �f   x  dx  + Xét tích phân 2 Đặt  x  t � dx  dt Đổi cận: x  2 t  x  t  0 2 2 0 f  t  dt � � f  t  dt  � � f  x  dx  f  t  dt  � �f   x  dx   � Do đó: Do hàm số Do y  f  x 2 1 f  2 x    f  x  f  2 x  dx   � f  x  dx � � f  x  dx  4 � + Xét hàm số lẻ nên f  x  dx � � dx  dt Đặt 2x  t Đổi cận: x  t  x  t  Do đó: f  x  dx  � 4 f  t  dt  4 2� �� f  t  dt  8 � � f  x  dx  8 2 Suy ra: 4 0 I � f  x  dx  � f  x  dx  � f  x  dx Câu 96 Cho hàm số f  x    6  0;1 liên tục đoạn thỏa mãn x f  x   f   x    x f  x  dx � Tính  A  D 16  C 20 Lời giải  B Chọn C x f  x   f   x    x 1 1 � 2.� x f  x  dx  3� f   x  dx  �1  x dx � A  3B  �1  x dx 2 0  * , A� x f  x  dx 1 0 Đặt t  x � dt  xdx ; x  � t  0; x  � t  A� f  t  dt  � f  x  dx B� f   x  dx Đặt t   x � dt  dx; x  � t  1, x  � t  1 0 B� f  t  dt  � f  x  dx 1 1 0 0 f  x  dx  3� f  x  dx  �1  x dx � 5.� f  x  dx  �1  x dx  * � �  �  � x  sin t � dx  cos tdt , t �� ; �; x  � t  0, x  � t  � 2� Đặt:     cos 2t � �  � �1  x dx  �1  sin t cos t dt  � dt  � t  sin 2t �2  2 � �0 0 Vậy  f  x  dx  � 20 Câu 97 Cho hàm số f  x f  x   f   x   x   x  , x �� f  0  liên tục �và thoả mãn �x � I � xf ' � � dx 2� � Tính A  10 B 20 C 10 D  20 Lời giải Chọn A Từ giả thiết f  x   f   x   x   x  , x ��� f  1  1 1 f  x  dx  � f   x  dx  � x   x  dx  �� f  x  dx  � 20 40 0 0 Ta có: ux � �du  dx � � �� �x� x � � � �x � �x � � � I =� xf � dx dv  f ' � � dx � v 2f � � I � xf ' � � dx � � � � � 2� �2 � , đặt �2 � �2 � � 0 , đặt � 2 Nên Câu 98 Cho hàm số  C 2 1 �x � �x � �x � �x � I  xf � �  � f�� dx  f  1  � f�� dx  2 � f�� dx  4 � f  t  dt   10 �2 � �2 � �2 � �2 � 0 0 y  f  x   ax  bx  cx  d qua gốc toạ độ có đồ thị y f�  x ,  a ,b,c ,d  �, a 0 cho thình vẽ Tính giá trị có đồ thị  C  Biết đồ thi H  f  4  f  2 y 1 O x A H  58 B H  51 Chọn A Do f  x hàm số bậc ba nên Dựa vào đồ thị hàm số Đồ thị qua điểm Vậy f�  x A  1;  C H  45 Lời giải f�  x f�  x có dạng f�  x   ax  f�  x   3x  nên a  4 2 D H  64 hàm số bậc hai H  f  4  f  2  � f�  x  dx  �  3x  1 dx  58 với a  y  f  x Câu 99 Cho hàm số có đạo hàm giới hạn đồ thị hàm số y f�  x f�  x trục hồnh đồng thời có diện tích S  a Biết  x  1 f �  x  dx  b � f  3  c A a  b  c Giải Đặt liên tục � Miền hình phẳng hình vẽ Giá trị �f  x  dx B a  b  c C  a  b  c D a  b  c u  x 1 du  dx � � � � dv  f � v  f  x  x  dx � � � Khi 1 0 b� f  x  dx  f  1  f    I  x  1 f �  x  dx   x  1 f  x   � aS� f� f�  x  dx  �  x  dx  f  1  f    � �f  3  f  1 � � Mặt khác, ta có  f  1  f    f  3  f  1  f    c f  1  f    a  c Suy Câu 100 A 10 Biết Vậy I  f  1  f    b  a  c  b x 1 dx  ln  ln a  b  � x  x ln x B 2 với a , b số nguyên dương Tính P  a  b  ab C 12 D Lời giải Chọn B x 1 x 1  dx d x � � x x  ln x x  x ln x   Ta có � 1� � dt  �  �dx  x  dx x� � t  x  ln x x Đặt Khi x  � t  ; x  � t   ln I Khi  ln dt �t  ln t  ln a2 � �  ln  ln   b2 Suy � 6 2 Câu 101 Biết tích phân 4 x  x  d x  a  b  c  4 � x  với a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức a  b  c A 20 B 241  C 196 Lời giải  D 48 Chọn B 6 2 Ta có 6 2 �dx  4 x I  4 Tính � x2  � dx  4 �4  � � x  � � 6 2 6 2 �dx  6 2 x2 1 dx  I  J � x  1  2  2  1 1 2 x 1 x dx  J �4 dx  � x  1 x  x 6 2 Tính 6 2 4 x  x  dx  � x  1 6 2 x2 dx � � 1� �x  � � x� 6 2 1 � � t  x  � dt  � 1 � dx x � x � Đặt Đổi cận x 1� t  x 6 �t  2 J � Khi Đổi cận t  0�u  t  �u   t2  dt  2 Đặt t  tan u � dt    tan u  du     tan u  6 2 Vậy  2 J � du  du  u   � 2   tan u  Suy �a  b  16 4 x  x  d x   16  16    � � � x4  �c  1   Vậy a  b  c  241 Câu 102 Cho hàm số y  f  x liên tục � thỏa mãn f   x  f  x Biết xf  x  dx  � Tính A I � f  x  dx I B I C Lời giải I Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số b xf  x  dx  � a f  x b liên tục a b f  x  dx � a  a; b  thỏa mãn điều kiện D I  11 f  a  b  x   f  x  , x  a; b Khi Chứng minh: x � a; b Đặt t  a  b  x � dx  dt , với Đổi cận: x  a � t  b ; x  b � t  b Ta có b b a a a b xf  x  dx  � xf  a  b  x  dx   �  a  b  t  f  t  dt � b b b b b a a � f  t  dt  � tf  t  dt   a  b  � f  x  dx  � xf  x  dx  a  b  t  f  t  dt   a  b  � a a b b a a a b � 2� xf  x  dx   a  b  � f  x  dx � xf  x  dx  � a b ab f  x  dx � a Áp dụng tính chất với a  , b  f  x  a; b liên tục xf  x  dx  � thỏa mãn f  1  x  f  x 1 f  x  dx � � f  x  dx  � Khi Cách 2: Đổi biến trực tiếp: x � 1;3 Đặt t   x , với Ta có 3 3 1 1 xf  x  dx  � xf   x  dx  � f  t  dt  � t f  t  dt   t  f  t  dt  4� � 3 1 �  4� f  t  dt  � � f  t  dt  e � dx  ae  b  x � �f  x   f � � � x Cho hàm số y  f ( x ) với f (0)  f (1)  Biết rằng: Câu 103 Tính Q  a 2020  b 2020 A Q  22020  B Q  22020  C Q  Lời giải D Q  Chọn D � �  x  dx �u  f  x  �du  f � � � � dv  e xdx �v  e x Đặt � 1 1 e � dx  e x f  x   � ex f � ex f �  x �  x  dx  �  x  dx  ef  f �f  x   f � � �      e 1 0 x Do a  , b  1 Suy Q  a 2020  b 2020  12020   1 2020  Vậy Q  Câu 104 Cho hàm số y  f  x f  x3  3x   x  1, x �� xác định liên tục � thỏa mãn Tích phân 25 A Chọn A f  x  dx � bằng: B 88 C 25 Lời giải D Đặt x  t  3t Khi đó: Với x  � t  x  � t 1 Vậy: dx   3t  3 dt 1 0 f  x  dx  � f  t  3t   3t   dt  �  t  1  3t  3 dt  � 25 3x  x  � x  dx  a ln  b ln  c;  a, b, c �� Giả sử 1 Khi 3a  2b  2c bằng? B 50 C 40 D 60 Câu 105 A 30 Lời giải Đáp án C 3x  x  � x  dx  1  x    3x  11  21 dx � x2 1 21 � � � x  11  dx � � x2� 1 � �3 �0 19  � x  11x �  21.ln x     11  21.ln  21.ln  21.ln  21.ln    � � 2 a  21; b  21; c  Suy ra: Vậy 3a  2b  2c  40 19 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ( 0;+�) , biết Câu 106 f '( x) +( 2x + 3) f ( x) = 0, f ( x) > f ( 1) = Tính P = 1+ ff( 1) + ( 2) + + f ( 2018) x > A P= 1009 2020 B P= Chọn C f '( x) �� �� dx = f ( x) Mà f '( x) f '( x) +( 2x + 3) f ( x) = � Ta có f ( 1) = Suy 2019 2020 f ( x) �( 2x + 3) dx � - n 1 Giá trị n �� A 1 1 = - x2 - 3x +C �� � f ( x) = f ( x) x + 3x - C x n C e Lời giải Chọn D n 1 dx I � x 1 e n Chọn C dx � 1 e B n 1 e x dx � x x n e  1 e  Đặt t  e � dt  e dx x D P= = - ( 2x + 3) � � �1 � 3029 1� 1� � P = 1+� - � +� - � + +� = � � � � � � � � � � � � � � 3� � 4� 2019 2020� 2020 Câu 107 3029 2020 1 1 1 �� � = � C = - �� � f ( x) = = 6 + 3.1- C x + 3x + x +1 x + lim Tính C Lời giải P= x n n 1 Đổi cận: x  n � t  e , x  n  � t  e D 4039 2020 với en1 en1 dt � � dt   ln t  ln  t  1  � � �t  t  1  � �t t  � I en en en1 en Khi �  � dx en lim � x  lim I  lim �  ln n �� 1  e n�� n ��� n e n e � Suy n 1 en   ln e n e 1 � � �  ln    e � � Câu 108 Cho hàm số y  f  x f    2 liên tục có đạo hàm � thỏa mãn ; f  x  dx  � I Tính tích phân A I  5 Chọn D Đặt t �f � x   dx B I  1 x  � t  x  � 2tdt C I  18 Lời giải D I  10  xdx Đổi cận: x  1 � t  ; x  � t  I Khi đó: Câu 109 A   2 0 2t f � f  t  dt  f    � f  x  dx  t  dt  2t f  t   2� �f � x  dx  � 1 Xét hàm số liên tục đoạn thỏa mãn Tính giá trị tích phân B C Lời giải  8   10 D Chọn C Đặt ; với Khi Đặt ; với Khi Thay vào ta Câu 110 Cho hàm số x f  x  dx  2 � y  f  x liên tục đoạn, thỏa mãn f   x   f  x  , x � 1;3 Giá trị 2� f  x  dx A 2 bằng: C 1 Lời giải B Chọn A Sử dụng tính chất b b a a I � x f  x  dx  � t f  t  dt Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt t   x Sử dụng công thức b b b a a a f  x  dx  � g  x  dx  � � �f  x   g  x  � �dx � D 3 1 I � x f  x  dx  � t f  t  dt  2 Ta có: �x  � t  � Đặt t   x � dt   dx Đổi cận �x  � t  1 3 3 1 � I  � x f  x  dx  �   x  f   x  dx  �   x  f  x  dx  2 � I  �   x  f  x  dx  4 3 1 �� f  x  dx  4 � � f  x  dx  1   x  x  f  x  dx  4 � � Vậy 2� f  x  dx  2 Câu 111 Cho hàm số y  f  x f  x3  3x   x  1, x �� � xác định liên tục thỏa mãn f  x  dx � Tích phân bằng: 25 A B 88 Chọn A dx   3t  3 dt Đặt x  t  3t Khi đó: Với x  � t  x  � t 1 Vậy: D C 25 Lời giải 1 0 f  x  dx  � f  t  3t   3t   dt  �  t  1  3t  3 dt  � 25 Câu 112 hàm số f ( x) [ 0;1] thỏa liên tục có đạo hàm cấp hai �x f ��( x) dx = 12 2 ff( 1) - � ( 1) =- A 10 Tính �f ( x) dx B 14 Chọn D x f ''( x )dx  12 � Ta có: du  xdx � u  x2 � �� � v  f '( x ) dv  f ''( x)dx � Đặt: � 12  x f '( x ) | 2 � x f '( x)dx 0 Suy ra: � 12  f '(1)  � x f '( x) dx  * tx dt  dx � � �� � dz  f '( x) dx �z  f ( x) Lại đặt: � C Lời giải D � � 12  f '(1)  � x f ( x) |10  � f ( x) dx � � � Thay vào: �� f ( x)dx   12  f (1)  f '(1)   e Câu 113 Cho hàm số f  x  1;e , biết liên tục đoạn f  x �x dx  , f  e  Khi e I � f�  x  ln xdx A I  C I  B I  D I  Lời giải Chọn D e e I � f� f  x  dx  f  e       x  ln xdx  f  x  ln x  � x 1 Cách 1: Ta có e � dx �u  ln x �du  x �� �  x  dx �v  f  x  �dv  f � � Cách 2: Đặt e e f  x e I � f� x ln x d x  f x ln x      � dx  f  e      x 1 Suy Câu 114 Cho f  x f  1  hàm liên tục R thỏa f  t  dt  � Tính  I� sin x f �  sin x  dx A I B I  C Lời giải I D Chọn C sin x  t � f  sin x   f  t  � cos x f �  sin x  dx  f �  t  dt Đặt Đổi cận: x  � t  ; x  �t 1   0 I � sin x f � sin x.cos x f � t f �  sin x  dx  �  sin x  dx  2�  t  dt Đặt: u t du  dt � � �� � dv  f �  t  dt �v  f  t  � � I  2�  t f  t   � � � 1� � f  t  dt � �  � 0 3� � � I Câu 115 Biết tích phân A T   x  1 e x dx  ae4  b �2 x  B T  2 Tính T  a  b C T D T Lời giải Chọn B 4 4 � x 1 x 2x  x 1� ex I � e dx  � e dx  ��2 x  1.e x dx  � dx � 2x  �0 2x 1 x  � 0 Ta có ex I1  � dx x  Xét �du  e x dx � � � u  ex 2 x    dx � �v  �   2x 1 dx � � �2 x  dv  � 2x 1 � � Đặt � 4 Do Suy I1  e x x   � e x x  1dx I 3e  1 a  ,b  �T    2 Khi 2 4 Câu 116  1 2x  � Cho f '  x  dx  f    f    2020 A 2020 B 4040 Tích phân f  x  dx � C 1010 Lời giải: D 2022 Chọn C Theo ta có  1 2x �  3 f    f    � f  x   2  dx �� f  x   1010 f '  x  dx  �   2x  d  f  x      2x  f  x   3 f    f    � f  x 2 � f  x  d   2x  � 2� f  x   f    f    2020 ... = �( - x14 - x 11 + x9 + x7 + x4 + x3)dx - - 0 � - 1 31 f (x5)dx5 - �f ( 1- x4 )d( 1- x4 ) =� 5- 4- 12 0 1 31 � �f (x)dx - �f (x)dx =(2) 5- 12 0 Thế vào ta �f (x)dx = - f ( 1) = g( 1) = Câu 24 Cho... ( - x ) = - x15 + x 11 - 3x - x , " x ��( *) ( *) ta được: + Lấy tích phân cận từ ? ?1 đến hai vế 0 - - - 3 15 11 �x f ( x )dx + �x f ( - x )dx = �( - x + x - 3x - x )dx = - 11 48 �x3 = u 1 11 �... (x)dx = (1) � � 50 40 20 40 Mặt khác từ suy 0 �� ( x f (x ))dx + �( x f ( 1- x ))dx = �( - x14 - x 11 + x9 + x7 + x4 + x3)dx - - 0 � - 1 31 f (x5)dx5 - �f ( 1- x4 )d( 1- x4 ) =� 5- 4- 12 0 1 31 � �f