Thông tin tài liệu
Câu f x Cho hàm số 1;1 liên tục đoạn f x 2019 f x x , x � 1;1 Giá trị �f x dx 1 A 2019 ln B 4040 ln Chọn B D 2018ln C Lời giải f x 2019 f x x 1 Xét phương trình f u 2019 f u 2 u u x Đặt , phương trình cho trở thành � f x 2019 f x 2 x Từ 1 � f x f x 2019 2 x f x 2019 f x x 2019 vào phương trình 2 ta 2019.2 x 2 x 2019 2 x � f x Ta có � 1 x 2 x � x x f x dx 2019.2 dx 2019 � � 2019 20192 � ln ln � � �1 1 1 1 � 2019 � � �1 � 2018.3 � � � � � 2� � 2019 �ln � � ln �2 � � 2020.2018 2.ln 4040.ln Câu Cho hàm số f x dx � y f x có đạo hàm liên tục đoạn 1 ,� f ' x cosxdx 2 f f 1 Tính f x dx � C Lời giải Đáp án A Phương pháp: +) Sử dụng phương pháp phần tích phân +) Sử dụng kết � f x k.sin x � � �dx � tính f ' x cosxdx � f x +) Lấy tích phân từ đến vế tính Cách giải: Đặt f x dx � du sin xdx �u cosx � �� � �dv f ' x dx �v f x Ta có Biết 3 B 2 A 0;1 1 0 f ' x cosxdx f x cosx 01 � f x sin xdx � D 1 � f 1 f � f x sin xdx � � f x sin dx � � � 2 0 1 1 � f x k.sin x � f x dx 2k.� f x sin xdx k � sin x dx � �dx � � � Xét 2 0 � � f x sin x � � �dx � 1 k 2k � k 1 � k 1 2 Suy Vậy 1 0 Xét hàm số f x liên tục đoạn cosx 1 x f x sin x � � f x dx � sin xdx Câu 0;1 thỏa mãn điều kiện x f x f x x I � f x dx Tích phân A I 20 B I 16 C Lời giải I D I Chọn A I1 � x f x dx - Xét t x � d t x d x Đặt Đổi cận: x � t ; x � t 1 � I1 � f t dt 2� f x dx 0 2I I2 � f x dx - Xét Đặt t x � dt dx Đổi cận: x � t ; x � t 0 1 0 f t dt 3.� f x dx � I 3.� f t dt 3.� 3I - Tính I �1 x dx x 1� t Đặt x sin t � dx cos t.dt Đổi cận: x � t ; 1� �2 � I3 � cos t.dt � cos 2t dt �t sin 2t � 2� 20 �0 - Lại có: x f x f x x � I1 I I Câu � 5.I Cho hàm số 0 �I 20 y f x có đạo hàm 0; 4 thỏa mãn đẳng thức sau x 2019 f x 2020 f x 6059 Tính tích phân A Chọn B �� x f x f x dx �1 x dx B f� x dx � C D Ta có f� x dx f x � f 4 f 0 � �2019 f 2020 f 6059 � �f �� � 2020 f 2019 f 6058 �f Với x x ta có hệ phương trình � Do Câu f� x dx f f � Cho hàm số y = f ( x) f� x hình vẽ sau có đồ thị � � x3 � y = g ( x ) = f ( x +1) - � - x2 � � � � � � � Hàm số đồng biến khoảng đây? A 1; B 4;� C Lời giải 2;4 D 0;2 Chọn D y� g� x f � x 1 x x Ta có: Dựa vào đồ thị f� x x0 � � f� x 1 � �x � x4 � ta có x 1 0 x2 � � f� �� x 1 � � x 1 x4 � � y� g� x Bảng xét dấu Vậy hàm số đồng biến 0;2 � � , 2� f ( x ) f ( ) 3x � f ( x ) � � x Câu Cho hàm số liên tục thỏa mãn Tính tích phân f ( x) I � dx x A B C D Lời giải Chọn B Từ giả thiết, thay � � � � � � 1� 1� � �f ( x) + f � � � f ( x) + f � = 3x � = 3x � � � � � � � � � � � � � x x � � -=�� � � � � � � 1� 1� � � � � � ff + x = f ( x) + f � = � � ( ) � �� �� � � � � � � x� x x� x �� � Do ta có hệ f ( x) I =� Khi x � 1� � ff� + ( x) = � � � � x x ta �x� �2 � dx = � � �x2 � x Cách khác Từ x � �2 � � � 1� dx = x � � � � � �1 = �x � � 2 � � 1� 1� � � f ( x) + f � = 3x �� � f ( x) = 3x - f � � � � � � � � � � � x� x� � � � 1� � � � ff� � � � 2 � � � � � f ( x) � � x� � � � I =� dx = � d x = d x � � � � x � x � � 1 � 1 � � � � 2 � 2 � � Khi x f ( x) � � 1� f� � � � � � x� J =� dx x � � 1� � � � � � � x� dx x Xét Đổi cận: Vậy Câu Đặt � � x= � t=2 � � � � � � x = 2� t = � � � t= 1 dt = - dx = - t2dx �� � dx = - dt x , suy x t Khi 2 2 2 f ( t) f ( x) � 1� � J =� tf ( t) � - 2� d t = dt = dx = I � � � � � �t � t x 1 2 I = 3� dx - 2I �� �I = � dx = 1 f x f x x 1 e x Cho hàm số y f ( x ) liên tục thỏa mãn x 1 4 Tính tích phân I � f x dx A I e ta kết quả: B I C I Lời giải D I e Chọn C Vì 0 � � f x f x � dx � x 1 e � � � � Theo giả thuyết ta có Ta tính 2 2 0 f x dx � f x d x � f x dx � 2 0 � f x f x � f x dx � �dx � � Hơn x 1 e x � 2 4� dx * � dx � e x x 1d x x 1 e x x 1 x x 1 x 1 2 0 4dx � f x f x x 1 e x Cho hàm số y f ( x ) liên tục thỏa mãn Câu x 1 4 Tính tích phân I � f x dx A I e ta kết quả: B I C I Lời giải D I e Chọn C Theo giả thuyết ta có Ta tính 2 0 � � f x f x � dx � x 1 e x � � � � 2 0 f x dx � f x d x � f x dx � Vì 0 Câu x 1 4� dx * � � f x f x � f x dx � �dx � � Hơn 2 x 1 e � x x 1 d x x 1 e x x 1 dx � e Cho hàm số 2 x x 1 2 0 4dx � f ( x ) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) f ( x) f (2 x) x x 2, x �R Tích phân A B 10 xf � ( x)dx � C Lời giải D Chọn B 2 xf � ( x )dx xf ( x) � f ( x)dx � Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: f ( x) f (2 x) x x 2, x �R 1 Từ 1 ta f (0) f (2) � f (2) f (0) 1 Thay x vào Xét I � f ( x)dx �x � t � Đặt x t � dx dt , đổi cận: �x � t Khi 2 0 I � f (2 t )dt � f (2 t )dt � I � f (2 x)dx 2 Do ta có Vậy f ( x) f (2 x) dx � x x dx � 2�f ( x)dx 83 � �f ( x)dx 34 � 0 0 2 10 xf � ( x )dx xf ( x) � f ( x )dx 2.(1) � 3 0 Câu 10 Cho hàm số f x liên tục � thỏa mãn: xf x f x x11 x 3x x x 1, x �� 21 I A 17 I B I Tính �f ( x)dx 1 I C D I 21 Lời giải Chọn B Ta có: xf x f x x11 x8 3x x x 1, x �� � x f x x3 f x x14 x11 x9 x x x 1; 0 , ta được: + Lấy tích phân hai vếtrên đoạn 0 x f x dx � x f x dx � x � 44 43 14 4 43 1 tx 1 t 1 x 1 x11 x9 x x x3 dx 1 21 � � f t dt � f t dt 1 1 40 40 + Lấy tích phân hai vế đoạn 0;1 , ta được: 1 x f x dx � x f x dx � x � 14 44 43 4 43 t x5 t 1 x 1 x11 x9 x x x dx 1 1 � � f t dt � f t dt �� f t dt 50 120 Thế vào f t dt � 1 ta được: 1 17 Câu 11 Cho hàm số f � A x dx I f x có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 Tính tích phân B I � f x dx I I C Hướng dẫn giải Đặt t x � t x � dx 2tdt Đổi cận x � t 0; x � t 1 1 1 f x d x t f t d t � t f t d t � x f x dx � � � � 5 0 Suy Do 1 x2 x2 x � x f x d x f x f x d x f� x dx � � � 2 2 0 0 Mặt khác Suy Chọn B , x2 1 3 f� x2 f � x dx � � x dx � 2 10 0 � x � �f � �dx � D I 3x � Ta tính 2 Do dx 1 0 � 3x f � x � x dx � x dx � �f � �dx � � 2 � f� x 3x2 � f � x 3x � f x x3 C Vì f 1 Vậy nên f x x3 1 0 I � f x dx � x dx Câu 12 Cho hàm số f x f � x 3x � 2 dx 0 f x f x cos x x �� liên tục � thoả mãn , Tính 3 I �f x dx 3 A I 6 C I 2 Lời giải B I D I Chọn D Đặt x t Khi 0 3 � f x dx � f t d t � f t dt � f x dx 3 I Ta có: Hay I 0 3 3 3 0 � f x d x � f x d x � f x d x � f x d x � f x d x 3 3 3 0 � f x f x d x �2 cos xd x �2(1 cos x)d x 3 �I 3 �4 cos xd x 3 0 �cos x d x � cos xd x � cos xd x 3 I 2sin x | 2sin x | Vậy f x I � dx x �1 � f x f � � 3x f x �x � Câu 13 Cho hàm số liên tục � Tính tích phân I I I I 2 2 A B C D Lời giải Chọn C Đặt t Đổi cận �1 � 1 dt d � � dx � dx 12 dt �x � x x Suy t x 1 �t x 2�t 2 2 �� �� �1 � �1 � f �� dt � f�� dx �1 � � �� �� �� I � tf �� dt �� t �� t �x � �x � �2 � t �t � �� 2 Ta có 2 f x 1� � �1 � �1 � �1 � 3I � dx � f�� dx ��f x f � � dx � 3dx �� � x �x � �x � �x � 3x � 1 x� 2 2 2 Suy Vậy I Câu 14 Cho hàm số y f x có đạo hàm 0; 4 thỏa mãn đẳng thức sau x 2019 f x 2020 f x 6059 Tính tích phân A Chọn B B Ta có f� x dx f x � 4 f� x dx � C f 4 f 0 D � �2019 f 2020 f 6059 � �f �� � 2020 f 2019 f 6058 �f Với x x ta có hệ phương trình � Do f� x dx f f � Câu 15 Cho hàm số y f x có đạo hàm 0;3 ; f x f x 1, f x �1 với x f � x I dx � f 0 � � f x � f x � Tính tích phân: B A C Lời giải Chọn B f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x 1 x f � x I � dx 1 f x 2 ux � du dx � � � f� x dx � � �dv v � � 1 f x 1 f x � Đặt � 3 x dx 3 I � I1 f x 0 f x f 3 f 0 � f 3 2 Đặt t x � dt dx Đổi cận x � t 3 D x � 0;3 x 3�t 3 f x dx dt dx I1 � � � 1 f t f x 0 1 f x 3 f x I1 � dx � I1 f x I 1 2 Vậy Câu 16 Cho hàm số f x liên tục � cho xf x 1 f x x13 x x x x x 2, x �� Khi tích phân A 15 42 B 15 54 C f x dx � D Lời giải Chọn C (1) � x f x 1 xf x x14 x x x x x x, x �� Lấy TP hai vế từ đến 1: 1 �� x f x 1 dx � xf x dx 0 1 1 � � f x 1 d ( x 1) � f x2 d ( x2 ) 30 20 � 1 F (2) F (1) F (1) F (0) 0 1 7 3 f x d ( x 1) � f x2 d ( x2 ) � 1 1 15 Lấy TP hai vế từ -1 đến 0: 1 7 42 F (1) F (0) F (0) F (1) � F (1) F (0) 15 15 1 42 54 F (2) F (1) � F (2) F (1) 15 - Thay lên: � Câu 17 Xét hàm số 0;1 liên tục đoạn f x thỏa mãn f x xf x f x Tính giá trị tích phân A I I � f x dx ln 2 B I ln C Lời giải I D Chọn B f x x f x f x 1 x 1 1 dx �� f x dx � xf x dx 3� f x dx � ln x ln x 1 0 0 2 Đặt u x � du 2 xdx ; với x � u 1; x � u I x 1 1 1 xf x dx � f u du � f x dx � 1 20 20 Khi x � t 1; x � t t x � d t d x Đặt ; với 1 0 f x dx � f t dt � f x dx � 2 Khi 1 vào ta được: Thay , f x dx � 1 1 f x dx 3� f x dx ln � � f x dx ln � � f x dx ln � 20 20 0 Câu 18 Cho hàm số f x f x f x 1 x x liên tục �, thỏa mãn f 2a x � 10;10 �f 3x Giá trị nhỏ tích phân 15 A 1 dx a B bao nhiêu? Với số thực C 10 15 với a � 1; 6 D 6 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức: 2a �f x dx a a 2a �f x dx a � a 2a �f 3x a 2 a � b f x dx � f a b x dx � 15 � f x f x f 3x 1 3x Từ � b �f 3x a 2 2a �f 3x a Suy ra: 2a 2a a a a �f x dx �f x dx �f x f x f 3x 1 dx a 1 dx 2a 6a a 2 1 dx 2a 6a a 2 1 dx 2a 6a a h a 2 Khảo sát nhanh hàm số h a 2a 6a Giá trị nhỏ hàm số a 2 đoạn ; 6 ta được: h a 2a 6a 2a Suy giá trị nhỏ tích phân �f 3x a �3 � h a h � � a �2 � 2 1; 6 1 dx 0;� thỏa mãn Câu 19 Cho hàm số y f ( x) liên tục f x x 1 f x x 1 x x x 32 A 13 B Tính tích phân 23 C Lời giải f x dx � D 2a � 3x �� � a 15 � dx � 4� � 16a 24a 40 � 16ab 24b 4a 44 a 1 � � �� � b 1 �4b 24c 4b 32 � � � �4c 4 c 1 � � � f x x4 x2 Cách 2: x f� Ta có: 1 0 �� f x dx � x x 1 dx 13 x 1 f x 40 x 44 x 32 x 1 �� x 1 f x dx � f � x dx � 40 x 44 x 32 x dx. 1 2 Xét 0 1 0 I� x 1 f x dx � 24 x f x dx � u f x � du f � x dx � � � � � dv 24 x dx � v x3 x Đặt � � I 8x x f x � 8x 4x f � x dx = 2� x3 x f � x dx 3 0 Do đó: 1 � � x f� 1 0 dx 2� x3 x f � x dx � x3 x dx � 56 x 60 x 36 x 8 dx 3 �f � � � �� � x x x �dx � f x x x � f x x x c Mà f 1 � c � f x x x Do 1 0 f x dx � x x 1 dx � 13 15 f x Câu 88 Cho hàm số f 2x I � dx x Tính e f ln x cot x f 2sin x dx ; � dx � x ln x e liên tục �và I B A I 2 C Lời giải I Chọn A + Xét tích phân A � cot x f 2sin x dx : Đặt t sin x f 2t � A� 2t 1 f 2t f 2t dx � dx � � dx 1 23 t t 4 D I e2 B + Xét tích phân f ln x � x ln x dx : f 2t f 2t f 2t �B� dx � dx � � dx 2 t t t t ln x 1 Đặt e 2 f 2x I � dx x Cộng vế theo vế với, ta Câu 89 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) f ( x) f (2 x) x x 2, x �R Tích A phân x f � ( x) dx � 10 B C D Lời giải Chọn B 2 xf � ( x)dx x f ( x) � f ( x )dx � Áp dụng công thức tích phân phần, ta có: Từ f ( x ) f (2 x ) x x 2, x �R (1) Thay x vào ta f (0) f (2) � f (2) f (0) 1 Xét I � f ( x) dx �x � t � Đặt x t � dx dt , đổi cận: �x � t Khi 2 0 I � f (2 t )dt � f (2 t )dt � f (2 x )dx 2 2I � f ( x )dx f ( x) f (2 x) dx � x x 2 dx 83 � I � 0 Do ta có Vậy x f � ( x) dx xf ( x ) � f ( x)dx 2.(1) � 10 3 0;1 thỏa mãn 0 Câu 90 Xét hàm số f x liên tục đoạn f x f 1 x 1 x Tích phân f x dx � A B C 15 D Lời giải: Chọn A Thay x x ta có: f x f 1 x 1 x � f x f x x � f 1 x f x x � � f 1 x f x 1 x � f x x 1 x � f x x 1 x � Ta có hệ: 1 f x dx x x dx � � 50 Do Câu 91 Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị f� x hình vẽ sau � � x3 � y = g ( x ) = f ( x +1) - � - x2 � � � � � � � Hàm số đồng biến khoảng đây? A 1; B 4;� C Lời giải 2;4 D 0;2 Chọn D y� g� x f � x 1 x x Ta có: Dựa vào đồ thị x0 � � f� x 1 � �x � x4 � f� x ta có x 1 0 x2 � � f� �� x 1 � � x 1 x4 � � y� g� x Bảng xét dấu Vậy hàm số đồng biến 0;2 � � �1 � ;3 f ( x ) x f � � x x � � y f ( x ) � � �x � Câu 92 Cho hàm số liên tục thỏa mãn Giá trị tích phân f ( x) I� dx x x 3 A bằng: B 16 C D Lời giải Chọn B �1 � f �� f ( x) x �1 � f ( x) x f � � x3 x � � � x �x � x2 x x �1 � 16 x �� dx �� �dx � (x 1)dx x 1 x x 1 3 f �� f ( x) 3 �1 � f �� x I ' �� �dx x 1 Xét 1 dt t � dx dt � dx x2 t Đặt x �1 � 3 f (t ) dt f (t ) f ( x) x� � I' � dx � � dt � dx I 2 t x t t x x 1 1 t 3 3 f�� 16 2I �I 9 Suy Câu 93 Cho hàm số f � A x dx I có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 , Tính tích phân B I � f x dx f � I C Lời giải I D Đổi cận x � t 0; x � t 1 1 1 x dx � t f t dt � � t f t dt �� x f x dx 5 0 Do 1 1 x2 x2 x � x f x d x f x f x d x � � f� x dx � 2 2 0 Mặt khác Suy x2 1 3 f� x2 f � x dx � � x dx � 2 10 0 Ta tính 3x � 2 dx Do 1 � 3x f � x � x dx � 3x �f � �dx � � 2 2 dx � � f� x 3x2 � f � x 3x � f x x3 C Vì f 1 x � t x � dx 2tdt Chọn B Đặt t Suy f x nên f x x f � x 3x � 2 dx � x � �f � �dx � I Vậy 1 0 I � f x dx � x dx Câu 94 y f x Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn 0;1 thỏa mãn f x xf x f ' x x 4, x � 0;1 Biết f 1 19 B A 13 , tích phân I � f x dx 13 C bằng: D 19 Lời giải Chọn B f x xf x f ' x x Ta có: 1 0 �I � f x dx � � xf x f ' x x 4� dx � � 1 � xf x f ' x dx � (2 x 4)dx A (*) 0 A� xf x f ' x dx Tính � � u xf x du f x xf ' x dx � � � � � dv f ' x dx � v f x Đặt � 1 0 � A xf x � f x f x xf ' x dx � f x dx � xf x f ' x dx 9I 9 I 19 � A I 5 � I ** 2 Thay vào, ta được: Câu 95 Cho hàm số y f x 4; 4 hàm lẻ liên tục biết f 2 x dx �f x dx � , 2 Tính I � f x dx A I 10 B I 6 C I Lời giải D I 10 Chọn B �f x dx + Xét tích phân 2 Đặt x t � dx dt Đổi cận: x 2 t x t 0 2 2 0 f t dt � � f t dt � � f x dx f t dt � �f x dx � Do đó: Do hàm số Do y f x 2 1 f 2 x f x f 2 x dx � f x dx � � f x dx 4 � + Xét hàm số lẻ nên f x dx � � dx dt Đặt 2x t Đổi cận: x t x t Do đó: f x dx � 4 f t dt 4 2� �� f t dt 8 � � f x dx 8 2 Suy ra: 4 0 I � f x dx � f x dx � f x dx Câu 96 Cho hàm số f x 6 0;1 liên tục đoạn thỏa mãn x f x f x x f x dx � Tính A D 16 C 20 Lời giải B Chọn C x f x f x x 1 1 � 2.� x f x dx 3� f x dx �1 x dx � A 3B �1 x dx 2 0 * , A� x f x dx 1 0 Đặt t x � dt xdx ; x � t 0; x � t A� f t dt � f x dx B� f x dx Đặt t x � dt dx; x � t 1, x � t 1 0 B� f t dt � f x dx 1 1 0 0 f x dx 3� f x dx �1 x dx � 5.� f x dx �1 x dx * � � � � x sin t � dx cos tdt , t �� ; �; x � t 0, x � t � 2� Đặt: cos 2t � � � �1 x dx �1 sin t cos t dt � dt � t sin 2t �2 2 � �0 0 Vậy f x dx � 20 Câu 97 Cho hàm số f x f x f x x x , x �� f 0 liên tục �và thoả mãn �x � I � xf ' � � dx 2� � Tính A 10 B 20 C 10 D 20 Lời giải Chọn A Từ giả thiết f x f x x x , x ��� f 1 1 1 f x dx � f x dx � x x dx �� f x dx � 20 40 0 0 Ta có: ux � �du dx � � �� �x� x � � � �x � �x � � � I =� xf � dx dv f ' � � dx � v 2f � � I � xf ' � � dx � � � � � 2� �2 � , đặt �2 � �2 � � 0 , đặt � 2 Nên Câu 98 Cho hàm số C 2 1 �x � �x � �x � �x � I xf � � � f�� dx f 1 � f�� dx 2 � f�� dx 4 � f t dt 10 �2 � �2 � �2 � �2 � 0 0 y f x ax bx cx d qua gốc toạ độ có đồ thị y f� x , a ,b,c ,d �, a 0 cho thình vẽ Tính giá trị có đồ thị C Biết đồ thi H f 4 f 2 y 1 O x A H 58 B H 51 Chọn A Do f x hàm số bậc ba nên Dựa vào đồ thị hàm số Đồ thị qua điểm Vậy f� x A 1; C H 45 Lời giải f� x f� x có dạng f� x ax f� x 3x nên a 4 2 D H 64 hàm số bậc hai H f 4 f 2 � f� x dx � 3x 1 dx 58 với a y f x Câu 99 Cho hàm số có đạo hàm giới hạn đồ thị hàm số y f� x f� x trục hồnh đồng thời có diện tích S a Biết x 1 f � x dx b � f 3 c A a b c Giải Đặt liên tục � Miền hình phẳng hình vẽ Giá trị �f x dx B a b c C a b c D a b c u x 1 du dx � � � � dv f � v f x x dx � � � Khi 1 0 b� f x dx f 1 f I x 1 f � x dx x 1 f x � aS� f� f� x dx � x dx f 1 f � �f 3 f 1 � � Mặt khác, ta có f 1 f f 3 f 1 f c f 1 f a c Suy Câu 100 A 10 Biết Vậy I f 1 f b a c b x 1 dx ln ln a b � x x ln x B 2 với a , b số nguyên dương Tính P a b ab C 12 D Lời giải Chọn B x 1 x 1 dx d x � � x x ln x x x ln x Ta có � 1� � dt � �dx x dx x� � t x ln x x Đặt Khi x � t ; x � t ln I Khi ln dt �t ln t ln a2 � � ln ln b2 Suy � 6 2 Câu 101 Biết tích phân 4 x x d x a b c 4 � x với a, b, c số nguyên Tính giá trị biểu thức a b c A 20 B 241 C 196 Lời giải D 48 Chọn B 6 2 Ta có 6 2 �dx 4 x I 4 Tính � x2 � dx 4 �4 � � x � � 6 2 6 2 �dx 6 2 x2 1 dx I J � x 1 2 2 1 1 2 x 1 x dx J �4 dx � x 1 x x 6 2 Tính 6 2 4 x x dx � x 1 6 2 x2 dx � � 1� �x � � x� 6 2 1 � � t x � dt � 1 � dx x � x � Đặt Đổi cận x 1� t x 6 �t 2 J � Khi Đổi cận t 0�u t �u t2 dt 2 Đặt t tan u � dt tan u du tan u 6 2 Vậy 2 J � du du u � 2 tan u Suy �a b 16 4 x x d x 16 16 � � � x4 �c 1 Vậy a b c 241 Câu 102 Cho hàm số y f x liên tục � thỏa mãn f x f x Biết xf x dx � Tính A I � f x dx I B I C Lời giải I Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số b xf x dx � a f x b liên tục a b f x dx � a a; b thỏa mãn điều kiện D I 11 f a b x f x , x a; b Khi Chứng minh: x � a; b Đặt t a b x � dx dt , với Đổi cận: x a � t b ; x b � t b Ta có b b a a a b xf x dx � xf a b x dx � a b t f t dt � b b b b b a a � f t dt � tf t dt a b � f x dx � xf x dx a b t f t dt a b � a a b b a a a b � 2� xf x dx a b � f x dx � xf x dx � a b ab f x dx � a Áp dụng tính chất với a , b f x a; b liên tục xf x dx � thỏa mãn f 1 x f x 1 f x dx � � f x dx � Khi Cách 2: Đổi biến trực tiếp: x � 1;3 Đặt t x , với Ta có 3 3 1 1 xf x dx � xf x dx � f t dt � t f t dt t f t dt 4� � 3 1 � 4� f t dt � � f t dt e � dx ae b x � �f x f � � � x Cho hàm số y f ( x ) với f (0) f (1) Biết rằng: Câu 103 Tính Q a 2020 b 2020 A Q 22020 B Q 22020 C Q Lời giải D Q Chọn D � � x dx �u f x �du f � � � � dv e xdx �v e x Đặt � 1 1 e � dx e x f x � ex f � ex f � x � x dx � x dx ef f �f x f � � � e 1 0 x Do a , b 1 Suy Q a 2020 b 2020 12020 1 2020 Vậy Q Câu 104 Cho hàm số y f x f x3 3x x 1, x �� xác định liên tục � thỏa mãn Tích phân 25 A Chọn A f x dx � bằng: B 88 C 25 Lời giải D Đặt x t 3t Khi đó: Với x � t x � t 1 Vậy: dx 3t 3 dt 1 0 f x dx � f t 3t 3t dt � t 1 3t 3 dt � 25 3x x � x dx a ln b ln c; a, b, c �� Giả sử 1 Khi 3a 2b 2c bằng? B 50 C 40 D 60 Câu 105 A 30 Lời giải Đáp án C 3x x � x dx 1 x 3x 11 21 dx � x2 1 21 � � � x 11 dx � � x2� 1 � �3 �0 19 � x 11x � 21.ln x 11 21.ln 21.ln 21.ln 21.ln � � 2 a 21; b 21; c Suy ra: Vậy 3a 2b 2c 40 19 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục ( 0;+�) , biết Câu 106 f '( x) +( 2x + 3) f ( x) = 0, f ( x) > f ( 1) = Tính P = 1+ ff( 1) + ( 2) + + f ( 2018) x > A P= 1009 2020 B P= Chọn C f '( x) �� �� dx = f ( x) Mà f '( x) f '( x) +( 2x + 3) f ( x) = � Ta có f ( 1) = Suy 2019 2020 f ( x) �( 2x + 3) dx � - n 1 Giá trị n �� A 1 1 = - x2 - 3x +C �� � f ( x) = f ( x) x + 3x - C x n C e Lời giải Chọn D n 1 dx I � x 1 e n Chọn C dx � 1 e B n 1 e x dx � x x n e 1 e Đặt t e � dt e dx x D P= = - ( 2x + 3) � � �1 � 3029 1� 1� � P = 1+� - � +� - � + +� = � � � � � � � � � � � � � � 3� � 4� 2019 2020� 2020 Câu 107 3029 2020 1 1 1 �� � = � C = - �� � f ( x) = = 6 + 3.1- C x + 3x + x +1 x + lim Tính C Lời giải P= x n n 1 Đổi cận: x n � t e , x n � t e D 4039 2020 với en1 en1 dt � � dt ln t ln t 1 � � �t t 1 � �t t � I en en en1 en Khi � � dx en lim � x lim I lim � ln n �� 1 e n�� n ��� n e n e � Suy n 1 en ln e n e 1 � � � ln e � � Câu 108 Cho hàm số y f x f 2 liên tục có đạo hàm � thỏa mãn ; f x dx � I Tính tích phân A I 5 Chọn D Đặt t �f � x dx B I 1 x � t x � 2tdt C I 18 Lời giải D I 10 xdx Đổi cận: x 1 � t ; x � t I Khi đó: Câu 109 A 2 0 2t f � f t dt f � f x dx t dt 2t f t 2� �f � x dx � 1 Xét hàm số liên tục đoạn thỏa mãn Tính giá trị tích phân B C Lời giải 8 10 D Chọn C Đặt ; với Khi Đặt ; với Khi Thay vào ta Câu 110 Cho hàm số x f x dx 2 � y f x liên tục đoạn, thỏa mãn f x f x , x � 1;3 Giá trị 2� f x dx A 2 bằng: C 1 Lời giải B Chọn A Sử dụng tính chất b b a a I � x f x dx � t f t dt Áp dụng phương pháp đổi biến, đặt t x Sử dụng công thức b b b a a a f x dx � g x dx � � �f x g x � �dx � D 3 1 I � x f x dx � t f t dt 2 Ta có: �x � t � Đặt t x � dt dx Đổi cận �x � t 1 3 3 1 � I � x f x dx � x f x dx � x f x dx 2 � I � x f x dx 4 3 1 �� f x dx 4 � � f x dx 1 x x f x dx 4 � � Vậy 2� f x dx 2 Câu 111 Cho hàm số y f x f x3 3x x 1, x �� � xác định liên tục thỏa mãn f x dx � Tích phân bằng: 25 A B 88 Chọn A dx 3t 3 dt Đặt x t 3t Khi đó: Với x � t x � t 1 Vậy: D C 25 Lời giải 1 0 f x dx � f t 3t 3t dt � t 1 3t 3 dt � 25 Câu 112 hàm số f ( x) [ 0;1] thỏa liên tục có đạo hàm cấp hai �x f ��( x) dx = 12 2 ff( 1) - � ( 1) =- A 10 Tính �f ( x) dx B 14 Chọn D x f ''( x )dx 12 � Ta có: du xdx � u x2 � �� � v f '( x ) dv f ''( x)dx � Đặt: � 12 x f '( x ) | 2 � x f '( x)dx 0 Suy ra: � 12 f '(1) � x f '( x) dx * tx dt dx � � �� � dz f '( x) dx �z f ( x) Lại đặt: � C Lời giải D � � 12 f '(1) � x f ( x) |10 � f ( x) dx � � � Thay vào: �� f ( x)dx 12 f (1) f '(1) e Câu 113 Cho hàm số f x 1;e , biết liên tục đoạn f x �x dx , f e Khi e I � f� x ln xdx A I C I B I D I Lời giải Chọn D e e I � f� f x dx f e x ln xdx f x ln x � x 1 Cách 1: Ta có e � dx �u ln x �du x �� � x dx �v f x �dv f � � Cách 2: Đặt e e f x e I � f� x ln x d x f x ln x � dx f e x 1 Suy Câu 114 Cho f x f 1 hàm liên tục R thỏa f t dt � Tính I� sin x f � sin x dx A I B I C Lời giải I D Chọn C sin x t � f sin x f t � cos x f � sin x dx f � t dt Đặt Đổi cận: x � t ; x �t 1 0 I � sin x f � sin x.cos x f � t f � sin x dx � sin x dx 2� t dt Đặt: u t du dt � � �� � dv f � t dt �v f t � � I 2� t f t � � � 1� � f t dt � � � 0 3� � � I Câu 115 Biết tích phân A T x 1 e x dx ae4 b �2 x B T 2 Tính T a b C T D T Lời giải Chọn B 4 4 � x 1 x 2x x 1� ex I � e dx � e dx ��2 x 1.e x dx � dx � 2x �0 2x 1 x � 0 Ta có ex I1 � dx x Xét �du e x dx � � � u ex 2 x dx � �v � 2x 1 dx � � �2 x dv � 2x 1 � � Đặt � 4 Do Suy I1 e x x � e x x 1dx I 3e 1 a ,b �T 2 Khi 2 4 Câu 116 1 2x � Cho f ' x dx f f 2020 A 2020 B 4040 Tích phân f x dx � C 1010 Lời giải: D 2022 Chọn C Theo ta có 1 2x � 3 f f � f x 2 dx �� f x 1010 f ' x dx � 2x d f x 2x f x 3 f f � f x 2 � f x d 2x � 2� f x f f 2020 ... = �( - x14 - x 11 + x9 + x7 + x4 + x3)dx - - 0 � - 1 31 f (x5)dx5 - �f ( 1- x4 )d( 1- x4 ) =� 5- 4- 12 0 1 31 � �f (x)dx - �f (x)dx =(2) 5- 12 0 Thế vào ta �f (x)dx = - f ( 1) = g( 1) = Câu 24 Cho... ( - x ) = - x15 + x 11 - 3x - x , " x ��( *) ( *) ta được: + Lấy tích phân cận từ ? ?1 đến hai vế 0 - - - 3 15 11 �x f ( x )dx + �x f ( - x )dx = �( - x + x - 3x - x )dx = - 11 48 �x3 = u 1 11 �... (x)dx = (1) � � 50 40 20 40 Mặt khác từ suy 0 �� ( x f (x ))dx + �( x f ( 1- x ))dx = �( - x14 - x 11 + x9 + x7 + x4 + x3)dx - - 0 � - 1 31 f (x5)dx5 - �f ( 1- x4 )d( 1- x4 ) =� 5- 4- 12 0 1 31 � �f
Ngày đăng: 24/10/2020, 11:07
Xem thêm:
