Kiến thức THCS phần 2 liên quan đến chứng minh oxy

Phần 2: Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác BAD cắt CD I , cắt BC E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI Chứng minh rằng: tứ giác BDKC nội tiếp Giải Vì AE phân giác BAD nên: A1 = A2 Trong ∆ADI ∆ICE có:  A1 = AEC ( soletrong )   AID = CIE ( doidinh ) Mà A1 = A2 nên: A2 = AEC ⇒ ∆ABE cân B Trong ∆ABE ∆ICE có:  A2 = CIE ( dong vi )   A2 = AEC ( chung minh tren ) Suy ra: CIE = AEC ⇒ ∆CIE cân C Suy ra: CI = CE Ta lại có: AID = CIE ( doidinh ) mà A2 = CIE ( dong vi ) ⇒ AID = A2 ⇒ AID = A1 ⇒ ∆ADI cân D Suy ra: DI = DA = BC Theo đề bài: K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên: KC = KE = KI (Để ý rằng: kẻ tia phân giác tam giác CEI K tâm đường tròn) Thật ta có: KCE = KEC = KIC 0  DIK + CIK = 180 ⇒ DIK = 180 − CIK  DIK = 180 − CIK ⇒ 0  KCE + KCB = 180 ⇒ KCB = 180 − KCE  KCB = 180 − CIK Ta có:  ⇒ DIK = KCB Xét ∆IDK ∆CKB có:  DI = BC  ⇒ ∆IDK = ∆CKB ⇒ KBC = KDI  KC = KI   DIK = BCK ( cmt ) Suy tứ giác BDKC nội tiếp (vì nhìn KC góc nhau) Chú ý1: Với K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI, tia đối tia CE lấy điểm B cho, tia đối tia CE lấy điểm B, tia đối tia IC lấy điểm D cho: DI = BC Chứng minh rằng: ∆IDK = ∆CKB Từ suy góc tương ứng nhau, cạnh tương ứng Giải Theo đề bài: K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEI nên: KC = KE = KI (Để ý rằng: kẻ tia phân giác tam giác CEI K tâm đường tròn) Thật ta có: KCE = KEC = KIC 0  DIK + CIK = 180 ⇒ DIK = 180 − CIK  DIK = 180 − CIK ⇒ Ta có:  0  KCE + KCB = 180 ⇒ KCB = 180 − KCE  KCB = 180 − CIK ⇒ DIK = KCB Xét ∆IDK ∆CKB có:  DI = BC  ⇒ ∆IDK = ∆CKB ⇒ KBC = KDI  KC = KI   DIK = BCK ( cmt ) Bài tập 2: Cho ∆ABC ( AC > AB ) Phân giác AD E ∈ AC cho AB = AE I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh : AI ⊥ DE Giải Gọi H = AI ∩ DE Khi đó: Xét ∆ABD AED có:  AB = AE ( gt )   BAD = EAD ⇒ ∆ABD = ∆AED ( c − g − c ) ⇒ AED = ABC  AD chung  Vì I tâm đường tròn nên: ∆AIC cân I ⇒ IA = IC ⇒ IAC = ICA ( IAC HAE ) Tacó: ICA + IAC + AIC = 1800 Mà IAC = ICA nên: ICA + ICA + AIC = 1800 ⇔ ICA + AIC = 1800 ⇒ HAE = ICA = 1800 − AIC AIC Mà: ABC = nên: ⇒ ICA = 900 − ABC 2 ( ) 0 Suy ra: AHE = AED + HAE = ABC + 90 − ABC = 90 Suy ra: AI ⊥ DE Bài tập 3: Cho ∆ABC có AB = AC Từ A kẻ AM ⊥ BC Chứng minh rằng: B = C Từ suy ra: AB = AC Giải Xét ∆ABM ∆ACM có:  AM chung ⇒ ∆ABM = ∆ACM   AB = AC ( gt ) ( c.h − cgv ) ⇒ B = C ( cap goc tuong ung ) Ta có: BAM + B + AMB = 1800 ⇔ BAM = 1800 − B − AMB = 1800 − 900 − B = 900 − B Ta lại có: MAC + C + AMC = 1800 ⇔ MAC = 1800 − C − AMC = 1800 − 900 − C = 900 − C Mà B = C ⇒ BAM = MAC Xét ∆ABM ∆ACM có:  BAM = MAC ( cmt )  ⇒ ∆ABM = ∆ACM ( g c.g ) ⇒ AB = AC ( canh tuong ung )  AM chung   AMB = AMC = 90 ( gt _ AM ⊥ BC ) Cách 2: Để ý tam giác ABC cân A, AM vừa đường trung tuyến, vừa đường cao Suy M trung điểm BC Xét ∆AMB ∆AMC có:  AB = AC ( gt )   BM = CM ( gt ) ⇒ ∆AMB = ∆AMC ( c.c.c ) ⇒ B = C  AM chung  Trong ∆AMB ∆AMC có: Để ý tam giác ABC cân A nên AM tia phân giác Suy ra: BAM = CAM Xét ∆AMB ∆AMC có:  AMB = AMC = 900  ⇒ ∆ABM = ∆ACM ( g.c.g ) ⇒ AB = AC  AM chung   BAM = CAM Bài tập 4:Cho ∆ABC ( AB < AC ) M trung điểm BC Vẽ AH ⊥ BC , ME ⊥ AC ; AH,AM chia BAC thành phần Chứng minh rằng: MC = ME Giải Theo giả thiết, ta nhận thấy rằng: ∆ABM cân A Khi đó, xét ∆BAH ∆MAH có:  AHB = MHA = 900  ⇒ ∆BAH = ∆MAH ( g c.g )  AH chung   ABC = AMB ( ∆ABM can ) ⇒ BH = HM ⇒ H trung điểm BM Khi đó: ∆AME = ∆AHM (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ME = MH = BM MC (vì M trung điểm BC) = 2 Suy ra: ∆MEC ⊥ tai E ⇒ ME = MC ⇒ MC = ME Bài tập 5:Cho ∆ABC ( AB > AC ) M trung điểm BC, phân giác Ax, đường thẳng qua M vng góc Ax H cắt AB,AC E F a, Chứng minh HE = HF b, ACB = BME + B c, BE = CF Giải a, Xét ∆AHF ∆AHE có:  FAH = HAE  ⇒ ∆AHF = ∆AHE ( g.c.g )  AH chung   AHE = FHA = 90 Suy ra: HE = HF b, Nhận thấy rằng: Việc chứng minh: HE = HF kết hợp vớitia phân giác AH Suy tam giác AFE cân A Từ suy ra: AFE = AEF Ta có: CMF = BME ( gocdoidinh )  ACB = CFM + CMF ( gocngoai∆ = tong goctrongkhongkevoino )   ACB = AEF + BME Mà AEF = B + BME ( gocngoai∆ = tong goctrongkhongkevoino ) Suy ra: ACB = B + BME c, Kẻ CK / / AB ( K ∈ EF ) CMK = FMB ( doidinh )   Khi đó, ∆EBM ∆KCM có:  EBM = MCK ( soletrong ) ⇒ ∆EBM = ∆KCM  CM = MC ( gt ) Suy ra: BE = CF ( g c.g ) Chú ý: Nhìn vào hình vẽ ta có: ABC = BDC + BCD ( gocngoai∆ = tong goctrongkhongkevoino ) AEM = B + BME ( gocngoai∆ = tong goctrongkhongkevoino ) Bài tập 6: Cho ∆ABC vuông A, đường cao AH Gọi K,Q trung điểm BH,AH Chứng minh rằng: a, ∆ABK ∼ ∆CAQ b, AK ⊥ CQ Giải Trong ∆ABH ∆CBA có:  BAC = AHC = 900 ⇒ ∆ABH ∼ ∆CBA ( g.g )   B chung Suy tỷ số đồng dạng: AC AH BK BK = = = AB BH AQ AQ Ta lại có: ABK = CAQ (cùng phụ với HAB ) Trong ∆ABK ∆CAQ có: Ta thấy: ∆ABK ∼ ∆CAQ ( c.g.c ) b, Gọi F = CQ ∩ AK Ta có: ∆ABH ∼ ∆CBA ( g.g ) ⇒ ACB = BAH Do ∆ABK ∼ ∆CAQ nên: BAK = ACQ Nên: KAH = FCK Dễ dàng chứng minh được: ∆AHK ∼ ∆CFK ( g.g ) ⇒ CFK = AHK = 900 ⇒ CQ ⊥ AK Bài tập 7: Cho ∆ABC vuông A Vẽ AH ⊥ BC Chứng minh rằng: ∆ABC ∼ ∆HAC Từ suy tỷ số đồng dạng: AH BC = ⇔ AC = BH BC HC AC Giải Xét ∆ABC ∆HAC có:  BAC = AHC = 900 ⇒ ∆ABC ∼ ∆HAC ( g − g )  C chung  Bài tập 8: Cho ∆ABC vuông A Vẽ AH ⊥ BC Để ý rằng: ABH = HAC Giải Ta có: ABH = HAC  B1 + BAH = BHA = 900 Hiểu sau:   A1 + BAH = 90 ⇒ B1 = A1 Như vậy: ABH = HAC (vì phụ BAH ) Bài tập 9: Tổng quát góc phụ Ta có: B1 = A1 (cùng phụ A2 ) Cùng phụ tức + với A2 = 900 C1 = D1 (cùng phụ C2 ) Cùng phụ tức + với C2 = 900 Chú ý: đơi có nhìn rộng hình ví dụ tia đối tia BA lấy ddierm F góc A2 với góc HAF có vai trò gọi chung Chú ý:- Nếu tam giác đồng dạng theo trường hợp góc góc góc tương ứng lại - Trong hình oxy, ta vẽ hình, điền ký hiệu lên hình vẽ để nhận biết,ta phân tích xong ý tưởng xong đẩy ngược lời giải lên - Ta lấy thước kẻ dự đốn đoạn nhau, vng góc Từ đó, vận dụng hiểu biết, ta nhìn lời giải - Phải ký hiệu góc, tia phân giác có góc Nếu cạnh nhau, phần lớn tập xét tam giác suy góc,cạnh tương ứng - Khi chứng minh tam giác đồng dạng điểm nhấn cần ý: cạnh nhau, cạnh chung, góc chung, góc vng nhau, cạnh (theo giả thiết) đồng dạng trường hợp góc-góc đến góc tương ứng lại - Đơi chứng minh vng góc cách sử dụng véc tơ - Đơi nhìn rộng hình Chú ý: Ví dụ 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn có tính chất sau: - AIC = ABC (góc AIC lần góc ABC) - AIC = sđ AC (góc AIC số đo cung AC) - ABC = sđ AC Ví dụ 2: Góc tạo tiếp tuyến dây cung: BAx = sđ AB Ví dụ 3: Góc có đỉnh đường tròn: E1 = sđ AB + sđ CD Ví dụ 4: Hai dây cung AB CD Hai cung bị chắn hai dây song song AB / /CD ⇒ AC = BD Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100004114337323 Câu nói ưa thích: “học thầy khơng tày học bạn” “Thà phút huy hồng tắt Còn buồn le lói suốt trăm năm” _ (Xuân Diệu) Hà Nội ngày 6/12/2015 ... có: B1 = A1 (cùng phụ A2 ) Cùng phụ tức + với A2 = 900 C1 = D1 (cùng phụ C2 ) Cùng phụ tức + với C2 = 900 Chú ý: đơi có nhìn rộng hình ví dụ tia đối tia BA lấy ddierm F góc A2 với góc HAF có vai... ∆CAQ nên: BAK = ACQ Nên: KAH = FCK Dễ dàng chứng minh được: ∆AHK ∼ ∆CFK ( g.g ) ⇒ CFK = AHK = 900 ⇒ CQ ⊥ AK Bài tập 7: Cho ∆ABC vuông A Vẽ AH ⊥ BC Chứng minh rằng: ∆ABC ∼ ∆HAC Từ suy tỷ số đồng... Bài tập 4:Cho ∆ABC ( AB < AC ) M trung điểm BC Vẽ AH ⊥ BC , ME ⊥ AC ; AH,AM chia BAC thành phần Chứng minh rằng: MC = ME Giải Theo giả thiết, ta nhận thấy rằng: ∆ABM cân A Khi đó, xét ∆BAH ∆MAH