Kiến thức THCS phần 1 liên quan đến chứng minh oxy

Kiến thức THCS phần Nhận biết: góc so le, cộng góc,đồng vị,tam giác đồng dạng(suy tỷ số rút cạnh tính độ dài cạnh oxy, góc kề bù tổng 180 độ ,chứng minh điểm cố định,, chứng minh véc tơ…) Kiến thức cần nhớ: Nếu tam giác góc, cạnh tương ứng Bài tập 1: Cho ∆ABC vuông A M trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MK = MB Chứng minh rằng: KC ⊥ AC AK / / BC Giải - Xét ∆MCK ∆MAB có:  MK = MB  ⇒ ∆MCK = ∆MAB ( c − g − c )  MA = MC   KMC = AMB (doi dinh) Suy ra: MCK = MAB ⇒ KC ⊥ AC - Chứng minh tương tự, ta có: ∆AMK = ∆CMB ( c − g − c ) Suy ra: MKA = MBC Mà MKA = MBC (so le trong) Nên AK / / BC Bài tập 2: Cho ∆ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA , CE = CA Tính DAE Giải: Nhận thấy rằng: ∆ABD cân B nên: ADB = 1800 − B ∆AEC cân C nên: AEC = 1800 − C ⇒ ADB + AEC = ( 3600 − B + C ) = 135 ⇒ DAE = 1800 − 1350 = 450 Bài tập 3: Cho ∆ABC vng A có AB = AC qua A vẽ đường thẳng d cho B C nằm phía đường thẳng d Kẻ BH CK vng góc với d Chứng minh rằng: AH = CK HK = BH + CK Giải  BHA = 900 Ta có: ∆BHA :   HBA + HAB = 90  AKC = 900 Ta có: ∆AKC :  CAK + KCA = 90 ⇒ CAK = 900 − KCA Suy ra: HAB + BAC + CAK = 1800 HAB + CAK = 1800 − BAC = 1800 − 900 = 900 Suy ra: CAK + HAB = CAK + KCA (t/c bán cầu) ( ) ( ) ⇔ 900 − KCA + HAB = 900 − KCA + KCA ⇒ HAB = KCA Xét ∆HAB ∆KAC có:  BA = CA ( gt )   BAH = KCA ⇒ ∆HBA = ∆KAC (cạnh huyền – góc nhọn)   H = K = 90 ⇒ AH = CK ⇒ BH = AK Ta có: HK = AH + AK ⇔ HK = CK + BH ⇒ dpcm Nhận xét: Bài tập 4: Cho ∆ABC M trung điểm BC thỏa mãn: AM = BC Chứng minh rằng: A = 900 Giải Ta có: AM = BC ⇒ AM = BM ⇒ ∆ABM cân tạ M 1800 − AMB ⇒ MAB = Tương tự, ta có: MAC = 1800 − AMC Mà : AMB + AMC = 1800 Ta có: BAC = MAB + MAC = 1800 − AMB 1800 − AMC + = 900 2 Suy ra: BAC = 900 Bài tập 5: Cho ∆ABC , cạnh BC lấy hai điểm D,E cho BD = CE qua D E vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC F,G Chứng minh rằng: DF + EG = AB Giải Qua D vẽ DH / / AC ( H ∈ AB ) Xét ∆AHF ∆DFH có:  AFH = DHF ( soletrong )   HF chung   AHF = DFH ( soletrong ) ⇒ ∆AHF = ∆DFH (g −c − g) ⇒ AH = DF Xét ∆HDB ∆GCE có:  HDB = GCE ( dongvi )  ⇒ ∆HDB = ∆GCE ( g − c − g ) ⇒ HB = EG  BD = EC ( gt )   HBD = GEC ( dongvi ) Ta có: AB = AH + HB ⇔ AB = DF + EG Bài tập 6: Cho ∆ABC Gọi M,N trung điểm AC,AB Trên tia đối tia MB MC lượt lấy hai điểm D E cho MB = MD , NC = NE Chứng minh rằng: A trung điểm DE ba điểm A,E,D thẳng hàng Giải * Xét ∆MAD ∆MCB có:  MB = MD ( gt )   AMD = CMB ( gocdoidinh )   MA = MC ( gt ) Suy ra: ∆MAD = ∆MCB ( c − g − c ) ⇒ AD = AB (1) Xét ∆NAE ∆NCB có:  NA = NB ( gt )   ENA = CNB ( gocdoidinh )   NE = NC ( gt ) Suy ra: ∆NAE = ∆NCB ( c − g − c ) ⇒ AE = BC ( ) (1) ⇒ AD = AE ( ) Từ  * Vì ∆MAD = ∆MCB nên MAD = MCB (cmt) Hai góc vị trí so le nên: AD / / BC Qua điểm A có hai đường thẳng AD AE song song với BC Theo tiên đề Ơcơlit hai đường thẳng trùng Hay ba điểm A,E,D thẳng hàng Bài tập 7: Cho ∆ABC vng B có AC = AB Phân giác AE (E thuộc BC) Chứng minh: AE = CE tính A , C ∆ABC Giải * Từ E kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC O Xét ∆CEO ∆AEO có:  EO chung   EOC = EOA = 90 ( theo cach ve )  OA = OC ( theo cach ve ) ⇒ ∆CEO = ∆AEO ( c − g − c ) Suy ra: AE = CE (cặp cạnh tương ứng) * Vì: ∆CEO = ∆AEO nên EAO = ECO (cặp góc tương ứng) Xét ∆ABC có:  B = 900   A = A1 + A2 ⇒ A + B + C = 1800 ⇒ 2C + 900 + C = 1800 ⇒ 3C = 900 ⇒ C = 300   A2 = C ; A1 = C   A = 2C Mà A = 2C ⇒ A = 600 Bài tập 8: Cho ∆ABC vuông C nội tiếp đường tròn tâm I Vẽ CH ⊥ AB ,vẽ hai tiếp tuyến A C cắt M BM ∩ CH = N Chứng minh N trung điểm CH Giải Nhận diện toán: Nếu tam giác ABC vuông Ta lấy I trung điểm AB Khi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K = AC ∩ IM Khi K trung điểm AC Suy ra: AK ⊥ MK Gọi E = BM ∩ ( C ) Khi đó: AE ⊥ ME Như vậy: Tứ giác MEKA nội tiếp đường tròn Suy ra: KEN = MAC Mặt khác: MA / / CH (vì ⊥ AB ) Do đó: MAC = KCN Suy ra: Tứ giác CEKN nội tiếp ⇒ CKN = CEN = CEB = CAB ⇒ KN / / AB ⇒ N trung điểm CH Bài tập 9: Cho hình thang cân ABCD có AD = 3BC Hai đường chéo vng góc cắt H Gọi M thuộc AB cho AB = AM Gọi N trung điểm HC Chứng minh rằng: HM ⊥ DN Giải Do ABCD hình thang cân nên:  HA = HD ⇒  HB = HC  HB = HC = x > Khi đó:  HA = HD = y > Đặt  HM = MB 1 MA HA + HB = HA + HB.DN = DH + HC AB AB 3 Lấy tích vơ hướng khai triển tích, ta có: HM DN = 1 1 HA.DH + HA.HC + HB.DH + HB.HC = − xy + xy + = 3 3 Do đó: HM ⊥ DN ( dpcm ) Cách khác: Với tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, nên dễ có ∆HAB đồng dạng với ∆HDC Suy ra: Ta có: HA HB = ⇒ HA.HC = HB.HD (1) HD HC HM DN = 1 1 HA.DH + HA.HC + HB.DH + HB.HC = − HA.HC + HB.HD ( ) 3 3 Từ (1) ( ) ,ta có: HM DN = ⇒ HM ⊥ DN Bài tập 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = BC Gọi M trung điểm AB, N trung điểm DM, E điểm đối xứng với D qua A Chứng minh rằng: NE ⊥ NB Giải Đặt AB = BC = 2a Ta có: ( NE.NB = ND + DE )( NM + MB ) = ND.NM + ND.MB + DE.NM + DE.MB a  a  a.cos1350 + 2a .cos 450 = −  + 2  2 =− a2 a2 − + a2 = 2 Suy ra: NE ⊥ NB Bài tập 11: Cho ∆ABC phân giác AD Gọi E,F hình chiếu vng góc B,C AD Chứng minh ∆ABE ∼ ∆ACF AE.DF = DE ∆BDE ∼ ∆CDF rằng:  Giải * Xét ∆ABE ∆ACF có:  AEB = AFC = 900 ⇒ ∆ABE ∼ ∆ACF  = F BAE CA  ⇒ AE BE = AF CF * Xét ∆BDE ∆CDF có:  BEB = DFC = 900 ⇒ ∆BDE ∼ ∆CDF ( g − g )   BDE = CDF ( doidinh ) ⇒ DE BE = ⇔ AE.DE = AF DE DF CF Bài tập 12: Cho ∆ABC cân A, vẽ đường cao BM , CN cắt H Chứng minh rằng: BN = CM ; MN / / BC Gọi AH ∩ BC = K Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với ta giác BMC Giải * Chứng minh BN = CM Xét ∆BCM va ∆CBN co :  BMC = CNB = 900  ⇒ CM = BN  BC chung  CBM = CBN * Chứng minh MN / / BC Nhận thấy rằng: BN CM = ⇒ MN / / BC (Talet đảo) AB AC * Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với ta giác BMC Xét ∆AKC ∆BMC có: AKC = BMC = 900 (vì BM, CN đường cao cắt H Suy ra: AK (AH) đường cao) ACB chung ⇒ ∆AKC ∼ ∆BMC Bài tập 13: Cho ∆ABC vuông A có AB > AC M thuộc BC Qua M kẻ Mx vng góc BC Mx cắt AB I cắt AC D Chứng minh rằng: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC BI BA = BM BC Giải * Chứng minh: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MDC Xét ∆ABC ∆MDC có:  BAC = DMC = 900 ⇒ ∆ABC ∼ ∆MDC   ACM chung * Chứng minh: BI BA = BM BC Xét ∆ABC ∆MBI có:  BAC = BMI = 900 BA BC ⇒ ∆ABC ∼ ∆MBI ⇒ =  BM BI  ABC chung Bài tập 14: Cho tam giác ABC O trung điểm BC Gọi M,N điểm AB,AC cho MON = 600 Chứng minh rằng: ∆OBM ∼ ∆NCO Giải * Chứng minh: ∆OBM ∼ ∆NCO Vì: MON = 600 nên O1 + O3 = 1200 (1) Xét OMB có: B = 600 nên O1 + OMB = 1200 ( ) Từ (1) ( ) ⇒ OMB = O3 Mà ABC = ACB ( gt ) Suy ra: ∆OBM ∼ ∆NCO (g − g) Cách khác: Trong ∆ONC có: OCN + O3 + ONC = 1800 Mà 600 + O3 + MOB = 1800 (các góc bù nhau) ⇒ MOB = ONC Xét ∆OBM NCO có:  ABC = ACB =600 ( gt ) ⇒ ∆OBM ∼ ∆NCO ( g − g )   MOB = ONC ( cmt ) Bài tập 15: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh ∆OAB ∼ ∆OCD Từ suy tỷ số: OA.OD = OB.OC Giải Xét ∆OAB ∆OCD có: AB / /CD (gt) Nên:  BAC = ACD ( soletrong ) ⇒ ∆OAB ∼ ∆OCD ( g − g )   ABD = BDC ( soletrong ) ⇒ OA OB = ⇒ OA.OD = OB.OC OC OD Bài tập 16: Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Chứng minh rằng: ∆ADE cân Từ suy ra: ∆ADB = ∆ACE Giải Vì ∆ABC cân A nên: ABC = ACB Mà: ABC + ABD = ACB + ACE = 1800 (2 góc kề bù) ⇒ ABD = ACE Xét ∆ABD ∆ACE có:  AB = AC ( ∆ABC can tai A )   ABD = ACE ( cmt )   BD = CE ( gt ) ⇒ ∆ABD = ∆ACE ( c − g − c ) ⇒ AD = AE Suy tam giác ADE cân A suy ra: ∆ADB = ∆ACE  ABC + ABD = 1800 Nhận xét tốn: Ta tách sau:  mà ABC = ACB ⇒ ABD = ACE  ACB + ACE = 180 Bài tập 17: Cho tam giác ABC Dọi D trung điểm AB, đường thẳng qua D song song với BC cắt AC E Đường thẳng qua E song song với AB cắt BC F a, Chứng minh: AD = EF b, ∆ADE = ∆EFC Giải a, Nối D với F, ta có: Xét ∆DBF ∆FED có:  DE / / BC → EDF = DFB ( so le )   DF chung   FE / / AB → EFD = FDB ( so le ) ⇒ ∆DBF = ∆FED ( g − c − g ) ⇒ EF = DB Lại có: DA = DB ⇒ DA = EF b, Xét ∆ADE ∆EFD có:  DA = EF ( cmt )   EF / / AB → FED = EDA ( so le )  DE chung  ⇒ ∆ADE = ∆EFD ( c − g − c ) (1) ⇒ FDE = DEA ( so le ) Mà hai góc vị trí so le ⇒ DF / / AC Xét ∆FDE ∆ECF có:  DE / / BC → DEF = EFC ( so le )   DF chung   DF / / AC → DFE = FEC ( so le ) ⇒ ∆FDE = ∆ECF ( 2) Từ (1) va ( ) ⇒ ∆ADE = ∆EFC Biên soạn bởi: Gió Facebook: https://www.facebook.com/profile.php?id=100004114337323 Câu nói ưa thích: “học thầy khơng tày học bạn” “Thà phút huy hồng tắt Còn buồn le lói suốt trăm năm” _ (Xuân Diệu) Hà Nội ngày 6/12/2015 ... AB,AC cho MON = 600 Chứng minh rằng: ∆OBM ∼ ∆NCO Giải * Chứng minh: ∆OBM ∼ ∆NCO Vì: MON = 600 nên O1 + O3 = 12 00 (1) Xét OMB có: B = 600 nên O1 + OMB = 12 00 ( ) Từ (1) ( ) ⇒ OMB = O3 Mà ABC =... DF CF Bài tập 12 : Cho ∆ABC cân A, vẽ đường cao BM , CN cắt H Chứng minh rằng: BN = CM ; MN / / BC Gọi AH ∩ BC = K Chứng minh tam giác AKC đồng dạng với ta giác BMC Giải * Chứng minh BN = CM Xét... = BC Chứng minh rằng: A = 900 Giải Ta có: AM = BC ⇒ AM = BM ⇒ ∆ABM cân tạ M 18 00 − AMB ⇒ MAB = Tương tự, ta có: MAC = 18 00 − AMC Mà : AMB + AMC = 18 00 Ta có: BAC = MAB + MAC = 18 00 − AMB 18 00