Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong dạy học tam giác đồng dạng ở trường trung học cơ sở

nghiên cứu sự chuyển hóa sƣ phạm mà đối tƣợng là tri thức, phân tích sự chuyển hóa của một thiết kế bài giảng. Từ đó thử nghiệm sự chuyển hóa sƣ phạm vào một số giáo án chƣơng tam giác đồng dạng. nghiên cứu sự chuyển hóa sƣ phạm mà đối tƣợng là tri thức, phân tích sự chuyển hóa của một thiết kế bài giảng. Từ đó thử nghiệm sự chuyển hóa sƣ phạm vào một số giáo án chƣơng tam giác đồng dạng.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGÔ THỊ HƯƠNG

VẬN DỤNG CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG

DẠY HỌC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2019

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

——————–o0o——————–

NGÔ THỊ HƯƠNG

VẬN DỤNG CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG

DẠY HỌC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌCCHUYÊN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP

DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

MÃ SỐ: 8.14.01.11

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Cường

HÀ NỘI - 2019

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắctới các thầy cô của ĐHSP Giáo Dục, đặc biệt là các thầy cô trong khoaToán đã tạo mọi điều kiện cho em về tài liệu và thủ tục để em hoànthành bản luận văn này

Luận văn đã được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của

TS Trần Cường Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắctới Thầy - người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình, chu đáo và cónhững nhận xét, góp ý quý báu giúp em trong suốt quá trình thực hiệncho đến khi luận văn được hoàn thành

Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, các anh chị emtrong khóa Cao học Toán đã quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình hoàn thành luận văn này

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn không tránh khỏi nhữngthiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Em rất mong nhận được những ýkiến, nhận xét của các thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoànthiện hơn nữa

Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2019

Tác giả

Ngô Thị Hương

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MMP Dự án Toán học cho tất cả

SMP Dự án Toán học ở trường học ở Anh

EASMP Dự án Toán học ở trường học ở Đông Phi

CIEAEM Ủy ban nghiên cứu và cải tiến về giảng dạy Toán họcCEEB Ủy bạn tuyển sinh đại học Hoa Kỳ

CIEAEM Ủy ban nghiên cứu và cải tiến về giảng dạy Toán họcUICSM7 Ủy ban Toán học của trường đại học Illinois

OEEC Tổ chức hợp tác kinh tế Châu Âu

OEED Tổ chức hợp tác kinh tế và phát triển

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1.1 Sơ đồ hệ thống dạy học tối thiểu 21

Hình 1.2 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm của Chevallard24 Hình 1.3 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm 26

Hình 1.4 Tính tích phân bằng diện tích 28

Hình 1.5 Sự chuyển đổi sư phạm trong giáo dục Toán học Vị trí bên ngoài của các nhà nghiên cứu 32

Hình 1.6 Ba đường conic 34

Hình 1.7 Elip là 1 mặt cắt của hình nón 39

Hình 1.8 Quỹ đạo các hành tinh 40

Hình 1.9 Luật phân phối 45

Hình 1.10 Luật phân phối theo phương pháp FOIL 46

Hình 2.1 Cách đo kim tự tháp 51

Hình 2.2 Định lý Thalès 53

Hình 2.3 Sơ đồ kiến thức tam giác đồng dạng 58

Hình 2.4 Hướng dẫn phần hệ quả định lí Thalès 64

Hình 2.5 Câu hỏi 1 68

Hình 2.6 Câu hỏi 2 69

Hình 2.7 Câu hỏi 3 70

Hình 2.8 Câu hỏi 4 71

Hình 2.9 Câu hỏi 5 72

Hình 2.10 Bài tập 2 73

Hình 2.11 Bài tập 3 74

Hình 2.12 Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh định lí 75

Hình 2.13 Bài tập kiểm tra bài cũ 80

Hình 2.14 Hình minh họa 81

Hình 2.15 Câu hỏi 82

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng - phạm vi nghiên cứu 2

5 Giả thiết khoa học 2

6 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một cuộc cải cách trọng đại về nội dung giáo dục toán học bắt đầu từ bậc Đại học 4

1.1.1 Nhóm Bourbaki 4

1.1.2 Toán học mới 7

1.1.3 Sự bắt đầu 9

1.1.4 Sự mở rộng 11

1.1.5 Sự phản ứng 15

1.1.6 Toán học mới thoái trào 18

1.2 Quan niệm của lý thuyết tình huống về tri thức - sự chuyển hóa sư phạm 20

1.2.1 Hệ thống dạy học tối thiểu 20

1.2.2 Chuyển hóa sư phạm 23

1.2.3 Một trường hợp điển hình: Ba đường conic 33

1.3 Một ví dụ về thể hiện chuyển hóa sư phạm trong sách giáo khoa 42 1.3.1 Chuyển hóa sư phạm và sách giáo khoa toán học 42

1.3.2 Sự công bố trong chuyển hóa sư phạm 44

1.3.3 Môi trường thay đổi trong chuyển hóa sư phạm 46

Kết luận chương 1 48

CHƯƠNG 2 CHUYỂN HÓA SƯ PHẠM TRONG NỘI DUNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (HÌNH HỌC 8) 49

2.1 Tam giác đồng dạng trong lịch sử toán 49

2.2 Các hình đồng dạng, quan hệ song song và hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa trong toán cao cấp, cấp 3 50

2.2.1 Phép đồng dạng 50

2.2.2 Định lý Thalès 52

2.2.3 Hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa 53

2.3 Từ tri thức khoa học tới Tri thức chương trình 54

2.3.1 Định lí Thalès trong tam giác 54

2.3.2 Tính chất đường phân giác của tam giác 55

2.3.3 Khái niệm tam giác đồng dạng 56

2.3.4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác 57

2.3.5 Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông 58

2.4 Một số ví dụ chuyển hóa sư phạm tới Tri thức dạy học 59

2.4.1 Định lý Thalès 59

2.4.2 Tính chất đường phân giác của tam giác 64

2.4.3 Khái niệm tam giác đồng dạng 66

2.4.4 Các trường hợp đồng dạng của tam giác 74

2.4.5 Các trường hợp của tam giác vuông 79

Kết luận chương 2 83

CHƯƠNG 3 BƯỚC ĐẦU THỬ NGHIỆM THIẾT KẾ BÀI DẠY 84

Kết luận chương 3 92

KẾT LUẬN 93

TÀI LIỆU THAM KHẢO 94

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong nhà trường phổ thông, người ta không thể dạy cho học sinhtoàn bộ kiến thức của một môn học Do vậy, tri thức được dạy cần chọnlọc, sắp xếp để đạt được mục tiêu giáo dục Trong quá trình giảng dạy,

từ tri thức khoa học người giáo viên dạy như thế nào, tổ chức hoạt độnghọc tập cho học sinh ra sao để học sinh dễ hiểu nhất, hứng thú với bàihọc và đạt được mục tiêu bài dạy? Đây là một quá trình biến đổi phứctạp mà Y Chevallard gọi là sự chuyển hóa sư phạm, "công việc chuyểnđổi những tri thức bác học thành những tri thức cần dạy thể hiện trongchương trình SGK, tiếp đó chuyển đổi từ tri thức cần dạy thành tri thứcđược dạy trên lớp học” [11]

Chuyển hóa sư phạm đã được nghiên cứu từ lâu trong Didactic toán,trường phái lý luận được hình thành từ Pháp vào cuối thập niên 70 củathế kỉ trước, hiện có rất nhiều ảnh hưởng quan trọng trong lĩnh vực Giáodục toán học, mà Chevallard là một trong những người đặt nền móng.Khi xem xét hệ thống dạy học tối thiểu gồm thầy, trò, tri thức và môitrường, các nhà nghiên cứu Didactic "luôn bắt đầu từ tri thức để xét đếnđiều kiện giảng dạy và học tập tri thức đó Những kiến thức về Didactic

sẽ giúp cho người giáo viên biết quan sát, phân tích chương trình, sáchgiáo khoa một cách hiệu quả hơn, hiểu những gì xảy ra trong lớp học đểdạy học một cách hiệu quả hơn” [1 Tr 9]

Tam giác đồng dạng là chủ đề khó, quan trọng và có ứng dụng thựctiễn cao trong chương trình hình học lớp 8 Sách giáo khoa hiện hành

đề cập tới chương này theo cách đưa ra định lý Talet sau đó đề cập tớinội dung tam giác đồng dạng Cách trình bày này giúp rèn luyện tính

tư duy, logic, sáng tạo và phát triển trí tuệ cho học sinh một cách hiệuquả Tuy nhiên, một số khái niệm, định lý, kiến thức chưa được làm rõquá trình chuyển hóa sư phạm gây nên nhiều khó khăn cho giáo viên vàhọc sinh khi dạy học

Vì những lý do trên, đề tài được chọn là

Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong dạy học Tam giác đồng dạng ởtrường trung học cơ sở

2 Mục đích

Tìm hiểu sâu sắc và toàn diện về bối cảnh và quá trình chuyển hóa

sư phạm giữa các dạng tri thức, vận dụng trong một nội dung dạy học

cụ thể ở THCS

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu và trình bày lược sử trào lưu toán học mới như một bốicảnh nền quan trọng cho những luận điểm của lý thuyết tình huống

về tri thức trong hệ thống dạy học tối thiểu;

• Nghiên cứu lý luận về khái niệm chuyển hóa sư phạm trong lýthuyết tình huống;

• Từ đó vận dụng trong chủ đề tam giác đồng dạng;

• Thiết kế một số giáo án dạy học theo hứớng vận dụng hiểu biết vềchuyển hóa sư phạm

4 Đối tượng - phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là chuyển hóa sư phạm trong giáo dục Toánhọc

Phạm vi nghiên cứu là chủ đề tam giác đồng dạng (hình học 8)

5 Giả thuyết khoa học

Nội dung tam giác đồng dạng trong sách giáo khoa Hình học 8 làkết quả của một quá trình chuyển hóa sư phạm lâu dài, phức tạp Nếungười giáo viên toán có những hiểu biết đầy đủ, toàn diện về quá trìnhchuyển hóa này sẽ có thể thiết kế và triển khai được những hoạt độngdạy học phong phú, đa dạng, phù hợp với quá trình nhận thức tự nhiên,tạo thuận lợi đáng kể cho hoạt động học tập của người học

6.Phương pháp nghiên cứu và dự kiến cấu trúc luận văn

Luận văn sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như nghiên cứu

lý luận, quan sát - điều tra, tổng kết kinh nghiệm và bước đầu tiến hành

một số thử nghiệm sư phạm.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm có 3chương:

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Vận dụng chuyển hóa sư phạm trong trong dạy học Tamgiác đồng dạng (hình học 8)

Chương 3 Bước đầu thử nghiệm thiết kế bài dạy

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chuyển hóa sư phạm là một khái niệm quan trọng thể hiện một gócnhìn nhận đặc sắc của lý thuyết tình huống khi phân tích về thành phầntri thức trong hệ thống dạy học tối thiểu Trong chương này trình bàynhững tìm hiểu về cơ sở lý luận liên quan tới chuyển hóa sư phạm đượcbắt đầu bằng trào lưu Toán học mới (NewMath) có ảnh hưởng rộng lớn,lâu dài tới những quan điểm chỉ đạo cũng như việc thiết kế, xây dựngnội dung giáo dục toán học từ nửa sau thế kỷ 10 đến nay, tất nhiên cũnglàm cơ sở quan trọng cho tìm hiểu về tri thức khoa học như nguồn vậtliệu đầu tiên của chuyển hóa sư phạm

1.1 Một cuộc cải cách trọng đại về nội dung giáo dục toán họcbắt đầu từ bậc Đại học

Bourbaki là bút danh của một nhóm các nhà toán học trẻ ở Pháp,

họ lên kế hoạch xuất bản một tác phẩm bách khoa toàn thư về hầu hếttoán học hiện đại Nhóm muốn thực hiện hóa ý tưởng mà D.Hilbert đã

đề ra là muốn xem xét các lí thuyết toán học với quan điểm của phươngpháp tiên đề Nội dung chủ yếu là toán cao cấp nhưng sau chiến tranhlạnh lại có ảnh hưởng rất lớn đến toán học phổ thông

1.1.1 Nhóm Bourbaki

JJ O’Connor và EF Robertson đã quan tâm và tìm hiểu quá trìnhhình thành, phát triển và các tác phẩm của nhóm Bourbaki [21] và [22].Nhóm bắt đầu từ hai giảng viên trẻ tại đại học Strasbourg là HenriCartan và Ardré và những người bạn của họ ở Paris Họ nói về việc sẽviết 1 cuốn sách 1000 trang sẽ được xuất bản trong vòng 6 tháng Mộtlượng lớn tiểu ban đã được hình thành, với quy mô của nhóm và baogồm các chủ đề sau: đại số, hàm giải tích, lý thuyết tích phân, phươngtrình vi phân, định lý tồn tại cho phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng, vi phân và dạng vi phân, giải tích nhiều biến, hàm đặctrưng, hình học, chuỗi Fourier, khai triển hàm số Đến mùa hè năm 1935,

nhóm đã quyết định lấy tên là Nicolas Boubaki Họ quyết định dựa trên

cơ sở trình bày toán học là phương pháp tiên đề Bourbaki không baogiờ khái quát từ các trường hợp đặc biệt mà luôn luôn suy ra các trườnghợp đặc biệt từ tổng quát nhất Kết quả của cách tiếp cận này là mộttrật tự logic mạnh mẽ trên cách xây dựng toán học

Ngay trong năm 1935, Bourbaki đã đưa ra quyết định sản xuất 1loạt sách Không có tài liệu tham khảo nào có thể được thực hiện ngoàiBourbaki, vì nhóm muốn xây dựng toán học từ đầu trong công việc của

họ Họ đặt ra kế hoạch gồm 6 cuốn sách, mỗi cuốn có vài chương Nhữngquyển sách đó là:

Quyển I: Lý thuyết tập hợp (Set theory)

Quyển II: Đại số (Algebra)

Quyển III: Hình học Topo (Topology)

Quyển IV: Hàm số biến số thực (Functions of One Real variable )Quyển V: Không gian vecto Topo (Topological Vecto Spaces)

Quyển VI: Tích phân (Integration)

Tuy nhiên phải đến năm 1939 tác phẩm đầu tiên mới được xuất bản.Tiêu đề được chọn cho toàn bộ tác phẩm là " Éléments de Mathéma-tique" được chọn năm 1938

Ấn phẩm đầu tiên là cuốn sách chứa ký hiệu của lý thuyết tập hợp

Ấn phẩm thứ hai xuất hiện năm 1940, hai ấn phẩm nữa xuất hiện năm1942

Chiến tranh thế giới thứ hai đã can thiệp vào thời điểm Bourbakichuẩn bị đẩy nhanh sản xuất và nhanh chóng hướng tới mục tiêu banđầu của nhóm là xuất bản sáu cuốn sách, mỗi cuốn có vài chương Tácđộng của chiến tranh là khiến dự án bị đình trệ Khi dự án khởi độnglại sau khi chiến tranh kết thúc, các nhà toán học trẻ mới được tuyểndụng Các kế hoạch tại thời điểm này là để thực hiện các mục tiêu màBourbaki đã đặt ra vào năm 1939, cụ thể là xuất bản 6 cuốn sách, mỗicuốn tối đa 10 chương

Sau thế chiến thứ hai, xuất bản bắt đầu lại vào năm 1947 sau khinghỉ 5 năm Một mô tả về các chương sẽ xuất hiện trong 5 năm 1947-

1952 sẽ minh họa cho tính tổng quát mà các tác giả đã đạt được cũngnhư thực tế là các chương được đưa ra theo thứ tự lộn xộn, không liêntiếp.

1947: Hình học Topo (quyển 3) chương V, VI, VII

Đại số (quyển 2) chương II, III

1948: Hình học Topo chương IX

1949: Hàm số biến số thực (quyển 4) chương I

1950: Đại số chương IV, V

1951: Hàm số biến số thực chương IV

1952: Đại số chương VI, VII

Tích phân (quyển 4) chương I, II, III, IV

“Thế hệ thứ ba” của các thành viên Bourbaki đã tham gia vào khoảngthời gian dự án xuất bản 6 cuốn đang trên đường hoàn thành Đến năm

1958 các ấn phẩm của 6 cuốn đã được hình thành

Một vấn đề đặt ra là mục đích ban đầu là tạo ra một văn bản cậpnhật cho học sinh để học cách tiếp cận mới nhất đối với toán học Nhưngđến năm 1958 khi 6 cuốn sách gốc được hoàn thành, một vài trong sốnhững cuốn sách đầu tiên này đã xuất bản được gần 20 năm và trở thànhlỗi thời Rõ ràng các tác giả của một vài chương đầu tiên không thể đềcập đến tất cả những gì cần thiết trong các tài liệu sau này vì toán học

là một môn phát triển nhanh chóng Họ dự định viết lại sáu cuốn đầutiên và xuất bản “một phiên bản cuối cùng” của chúng Họ muốn tạo

ra một bản tóm tắt dựa trên phép tính vi phân và giải tích trên đa tạptheo mô hình của phiên bản đầu tiên chương I cuốn I và quyết định sảnxuất thêm một số chủ đề nâng cao Mặc dù Bourbaki giữ lại mục tiêucuối cùng là viết ra toàn bộ toán học trong quá trình phát triển tuyếntính của họ, nhận ra rằng điều này là không khả thi, nhưng họ vẫn bắttay vào một chương trình đầy tham vọng Đến năm 1980 họ đã sản xuất

2 chương tóm tắt theo kế hoạch về vi phân và giải tích trên đa tạp, 7chương về đại số giao hoán, 8 chương về nhóm Lie và đại số Lie, 2 chương

về lý thuyết phổ Họ cũng đã tạo ra bản dịch tiếng anh của một trong

số sáu cuốn sách đầu tiên, cùng với ba trong số các chương về nhóm Lie

và đại số, bảy trong số các chương về đại số giao hoán.

Nói về nhóm Lie và đại số Lie là những thành tựu tốt nhất của Bourbaki.Đến nay có Hiệp hội cộng tác viên De Nicolas Bourbaki, tổ chức các Hộithảo Bourbaki nổi tiếng ba lần một năm – các hội nghị quốc tế thường

có hơn 200 nhà toán học tham dự Năm 2016, một tập mới về cấu trúcliên kết đại số được xuất bản

Tư tưởng của Bourbaki mặc dù xuất phát chỉ có giáo dục đại họcnhưng do ảnh hưởng của chiến tranh lạnh nên nó ảnh hưởng rất lớn đếngiáo dục phổ thông khoảng mấy chục năm thế kỉ XX

và giúp nó chuẩn bị tốt hơn cho toán học được giảng dạy trong trườngđại học Một ảnh hưởng quan trọng trong vấn đề này là công việc củanhóm Bourbaki bắt đầu từ những năm 1930 đã cố gắng khái quát hóa,chính thức hóa thống nhất tất cả toán học thuần túy

Sau khi Liên Xô đưa Sputnik (tàu không gian không người lái) đầutiên vào quỹ đạo trái đất vào tháng 10 năm 1957, các nỗ lực hiện đại hóa

đã tăng lên ở cả hai bờ Đại Tây Dương Một sự kiện đặc biệt đáng chú ý

là hội thảo kéo dài 2 tuần do tổ chức Hợp tác kinh tế Châu Âu (OEEC

tổ chức, sau đó được các quốc gia ngoài Châu Âu tham gia thành lập

Tổ chức Hợp tác kinh tế và Phát triển, OECD) và được tổ chức từ ngày23/11 đến 4/12 năm 1959 tại Cercle Culturel de Royaumont, Asnières-Sur – Oise Pháp Hội thảo đề cập đến một loạt các đề xuất để hiện đạihóa chương trình toán học của trường, giảng dạy toán học và chuẩn bịcủa giáo viên Jean Dieudonne, một cựu thành viên của nhóm Bourbaki,người đại diện cho những gì báo cáo hội thảo đã thách thức những người

tham gia loại bỏ hình học Euclide khỏi vị trí trung tâm của nó trongchương trình giảng dạy ở trường trung học Ông nói rằng sinh viên vàotrường đại học một mặt làm quen với một số môn cơ bản như đại sốtuyến tính cơ bản, lượng giác, một số tính toán Mặt khác, sinh viênnên được đào tạo khá tốt về việc sử dụng suy luận logic và có một số ýtưởng về phương pháp tiên đề.

Sau đó, những nỗ lực bắt đầu ở nhiều quốc gia OECD để cải cáchtoán học ở trường theo các đề xuất tại hội nghị Vào tháng 8 và tháng 9năm 1960 tại Dubbrovrik, Nam Tư để đáp lại nghị quyết tại Royaumont,OECD đã triệu tập một nhóm chuyên gia để chuẩn bị bản tóm tắt kếhoạch của chương trình toán học ở các trường trung học Châu Âu Kếtquả tài liệu chỉ đề cập đến một phần của chương trình giảng dạy và mộtphần của lượng lớn sinh viên nhưng nó cũng kích thích các nước OECDtiến lên phía trước với những nỗ lực cải cách của họ Dự án Toán học

ở trường học (SMP) được tổ chức để phát triển tài liệu SGK ban đầudành cho các trường trung học ở Anh Các tài liệu này sau đó đã đượcđiều chỉnh để sử dụng trên toàn cộng đồng người nói tiếng Anh Đồngthời thí nghiệm toán học Midlands, một nỗ lực song song nhưng khiêmtốn hơn cũng bắt đầu công việc tại Vương quốc Anh ở Hà Lan, một ủyban (CMLW) được thành lập năm 1961 để hiện đại hóa chương trìnhtoán học ở trường trung học Thay vì phát triển SGK hoặc các tài liệugiảng dạy khác, tuy nhiên CMLW đã thực hiện các nỗ lực đào tạo lạigiáo viên Ở Bỉ, tập đầu tiên trong sáu tập đột phá mang tên Toán họchiện đại của Georger and Fréderi-que Papy được xuất bản năm 1963.Trong báo cáo một phiên làm việc quốc tế của OECD về phương phápgiảng dạy mới cho toán học ở trường vào tháng 11 cùng năm ở Athens,

Hy Lạp, đã có báo cáo về “những đổi mới trong giáo dục toán học” từnăm 1960 từ 20 quốc gia thành lập OECD: Áo, Bỉ, Canada, Đan Mạch,Đức, Hy Lạp, Iceland, Ireland, Ý, Luxembourg, Hà Lan, Na Uy, Bồ ĐàoNha, Tây Ban Nha, Thụy Điển, Thụy Sĩ, Thổ Nhĩ Kì, Anh, Hoa Kỳ.Những đổi mới đáng chú ý đã được thực hiện ở một số quốc gia này,những nước khác vẫn chưa bắt đầu bất kì nỗ lực nào để đổi mới

Một báo cáo có ảnh hưởng từ Ủy ban Cố vấn Quốc gia về Giáo dụcToán học (1975) ở Hoa Kỳ, khảo sát các nỗ lực cải cách của Hoa Kỳ vàlập luận chống lại hai luồng ý kiến trái chiều đang được đề xuất cho toánhọc ở trường khuyến nghị “thuật ngữ ‘’ bị hạn chế trong việc sử dụng

nó để mô tả vô số mối quan tâm và sự phát triển của giáo dục toán họctrong giai đoạn 1955 – 1975” Nói cách khác, thuật ngữ này “là một cáchgọi không quá nhiều cho một tập hợp các đề xuất và hoạt động cải cáchnhư một thời đại mà một loạt các cải cách đã được thực hiện” Quan sát

đó cũng có thể được thực hiện về toán học mới khi nó được thực hiện ởcác quốc gia khác trên thế giới

1.1.3 Sự bắt đầu

Ngay cả trước những nỗ lực đã được thực hiện ở Hoa Kỳ để cải cáchtoán học trung học Gần cuối năm 1951, một ủy ban của khoa học Đạihọc Illinois về kĩ thuật toán học và giáo dục đã đưa ra một báo cáo lậpluận rằng khởi đầu sinh viên kĩ thuật tại trường đại học cần chuẩn bịtăng cường về toán học trung học Năm sau nhận ra rằng vấn đề đãvượt qua ngoài kĩ thuật và mở rộng khắp tiểu bang, một ủy ban khác(Ủy ban Toán học của đại học Illinois [UICSM]) với nhiều thành phầntương tự nhưng bao gồm đại diện của Trường trung học trực thuộc Đạihọc, phòng thí nghiệm của Đại học Sư phạm, bắt đầu phát triển chươngtrình toán cấp 2 Các tài liệu thu được một giáo trình hoàn chỉnh chocác lớp từ 9 đến 12 được hỗ trợ bởi tập đoàn Carnegie và văn phònggiáo dục Hoa Kỳ, được hướng dẫn bởi 2 nguyên tắc: ngôn ngữ được sửdụng phải chính xác và học sinh nên có cơ hội khám phá sự tổng quáthóa Ngoài UICSM, các nhóm nhà toán học và nhà giáo dục tại các tổchức khác như trường Cao đẳng Sư phạm Ball, Đại học Maryland, Đạihọc Nam Illinois và Đại học Boston đã thực hiện các dự án tương tự đểcải cách toán học trong những năm 1950

Năm 1955, Ủy ban kiểm tra tuyển sinh đại học Hoa Kỳ (CEEB) đãchỉ định một Ủy ban toán học với trách nhiệm nghiên cứu toán học cầnthiết cho sinh viên vào trường đại học Các giám khảo Hội đồng lo ngại

về một khoảng cách ngày càng lớn giữa các kì thi của họ và toán họcđược dạy trong một số chương trình dự bị đại học cũng như về mức độhiểu biết toán học thấp và thái độ kém đối với toán học của nhiều họcsinh tốt nghiệp trung học Báo cáo cuối cùng có ảnh hưởng của Ủy bankèm theo một loạt các phụ lục nêu chi tiết về chương trình toán học thứcấp được đề xuất.

Ủy ban đề nghị giới thiệu các chủ đề mới như logic, đại số hiện đại,xác xuất và thống kê để chương trình giảng dạy ở trường trung học sẽphản ánh tốt hơn các khía cạnh mới quan trọng của toán học, thuần túy

và ứng dụng Nó cũng đề xuất sự kết hợp của các khóa học riêng biệttrước đây trong mặt phẳng và hình học không gian, đại số và lượng giácnâng cao để học sinh có thể tiến nhanh hơn đến biên giới toán học vàđáp ứng nhu cầu quốc gia về lực lượng lao động khoa học tinh vi

Nhu cầu cải thiện sự chuẩn bị toán học của lực lượng lao động đó

và đặc biệt nhu cầu tuyển dụng và chuẩn bị một số lượng lớn các nhàtoán học là động lực đằng sau hai hội nghị của các nhà toán học được tổchức vào đầu năm 1958 dẫn đến việc thành lập nhóm nghiên cứu toánhọc (SMSG) được tài trợ bởi quỹ khoa học quốc gia và dưới sự lãnhđạo của Edward G.Begle SMSG cuối cùng đã trở thành lớn nhất và nổitiếng nhất trong các dự án phát triển chương trình toán học của Hoa

Kỳ Những nỗ lực tương tự để kiểm tra toán học ở trường đang đượctiến hành ở Châu Âu, mặc dù chưa có dự án chương trình giảng dạy nàođược đưa ra Ví dụ, Ủy ban quốc tế về nghiên cứu và cải tiến giảng dạytoán học (CIEAEM), được thành lập bởi Caleb Gattegno vào năm 1950,

đã tổ chức các cuộc họp định kì tập hợp các nhà sư phạm, nhà tâm líhọc, nhà nhận thức luận, nhà toán học, nhà triết học và nhà giáo trunghọc để cải thiện việc giảng dạy toán học Trong cuốn sách đầu tiên củanhững người sáng lập CIEAEM André Lichnerowicz đã lập luận “chomột số nỗ lực thử nghiệm để giới thiệu một cái gì đó của tinh thần toánhọc hiện đại vào số học, đại số, hình học cơ bản bằng cách chỉ ra cấutrúc của vành, nhóm, không gian vecto và bằng cách điều chỉnh ngônngữ” Một số nỗ lực khác ở Châu Âu xảy ra khi “ngay từ năm 1950, một

hội nghị chung giữa UNESCO và văn phòng Giáo dục quốc tế đã cânnhắc giữa các chủ để khác ‘toán học ở trường tiểu học” Moon đã đặtcâu hỏi cho rằng “một làn sóng phát triển ở Hoa Kì đã vượt qua đếnChâu Âu”, thay vào đó, lập luận rằng lời nói đầu của báo cáo hội nghịRoyaumont năm 1959 cho thấy “một mô hình song song đổi mới” sẽ làmột mô tả chính xác hơn.

1.1.4 Sự mở rộng

a Toán tiểu học

Ngay trong các báo cáo tại phiên làm việc của OECD ở Athens năm

1963, Vương quốc Anh lưu ý rằng Quỹ Nuffield đang bắt đầu một dự áncải tổ toán học từ 5-13 tuổi Hoa kì báo cáo rằng dự án SMSG đang bắtđầu thực hiện toán học ở trường tiểu học và có “các phong trào lớn đangdiễn ra trong chương trình tiểu học mà bây giờ hứa hẹn những ngườitham gia chuẩn bị tốt hơn vào trường trung học” Năm 1965, HeinrichBauersfeld được chỉ định để chỉ đạo một dự án toán học ở trường tiểuhọc ở Frankfurt, Đức và dự án chương trình Aleft đã được đưa vào nămsau Bauerfeld muốn Alef, không giống như một số dự án ở các quốcgia khác mà ông quen thuộc, tránh xa “cải cách nội dung toán học củachương trình tiểu học để tập trung vào học tập xã hội và phát triển ngônngữ”

b Toán học cho tất cả

Ngoài việc lan rộng đến các lớp thấp hơn, những nỗ lực cải cách toánhọc ở trường cũng bắt đầu được gửi đến những học sinh có thể khôngnằm trong số những người có ý định, hoặc thậm chí đủ điều kiện đểtheo đuổi giáo dục đại học Các quốc gia như Pháp và Vương quốc Anh

đã thành lập các trường toàn diện trong những năm 1960, và các tàiliệu SGK sửa đổi là cần thiết cho các học sinh trong các trường đó TạiVương quốc Anh năm 1967, Hội đồng trường học đã thực hiện Dự ánToán học cho tất cả (MMP), nhằm vào học sinh “trung bình và dướitrung bình”, MMP Như Dự án Toán học Nufield đã phải xem xét khôngchỉ nội dung mà cả phương pháp giảng dạy, cho đối tượng mục tiêu đưa

ra các vấn đề cụ thể Ngoài ra, các giáo viên được đề cập bởi dự án, nói

chung không bao giờ chuyên về toán học và thường chỉ dạy môn toánhọc bán thời gian: những học sinh kém năng lực quá thường xuyên đượctrao cho những người dạy khả năng kém.

Cuối cùng, vào năm 1971 Hội đồng trường đã thành lập một “Dự

án mở rộng" để chuẩn bị cho học sinh các tài liệu của mình cho MMP.Nhiều nhà cải cách toán học mới tin rằng toán học được dạy cho tất cảhọc sinh Ở đỉnh cao của phong trào toán học mới, người ta thường chorằng toán học mới là một toán học dành cho tất cả Các SGK được soạnthảo từ SMSG được dự định sẽ sử dụng cho tất cả học sinh SMSG cómột hội thảo với nhiệm vụ chính là chuẩn bị các văn bản toán học phùhợp cho tất cả các học sinh không có định hướng học đại học ở 7, 8 và

9 Giả định là bằng cách giảm tải các văn bản xuống hai năm thay vìmột, tài liệu tương tự có thể được học bởi những sinh viên kém tiến bộ

và ít sự chuẩn bị hơn Ngược lại ở Anh, sự khác biệt của toán học đượcdạy theo “khả năng” nhận thức của học sinh Thảo luận về quan điểmtiến bộ của các thành viên Hiệp hội hỗ trợ giảng dạy toán học (ATAM,sau này là ATM hoặc Hiệp hội giáo viên toán học) Bary Cooper đã có

ấn tượng chung về một cam kết giữa các thành viên đối với toán họccho tất cả, trái ngược với các tiếp cận toán học đối với một số người và

số học đối với người khác, nhưng với ý nghĩa của toán học khác nhau vàmức độ cam kết dao động theo các địa điểm cụ thể của các thành viên,các vấn đề nghề nghiệp hiện tại và các nhóm tham khảo

c Những quốc gia không thuộc OECD

Năm 1978, Ủy ban hướng dẫn Toán học quốc tế (ICMI) đã xuất bảnmột báo cáo “Thay đổi trong Giáo dục Toán học từ cuối những năm1950” trong đó các nhà giáo dục toán học đã báo cáo về sự phát triển

ở 16 quốc gia của phần lớn các nước bên ngoài OECD: Úc, Bangladesh,Pháp, Anh, Hungary, Ấn Độ, Iran, Hà Lan, Nigeria, Ba Lan, Siera Leone,SriLanka, Sudan, Thái Lan, Hoa Kỳ và Tây Ấn Những nỗ lực thay đổichương trình toán học ở trường đã được thực hiện trong hai thập kỉtrước ở mọi quốc gia nơi báo cáo được thực hiện, nhưng những nỗ lực đó

đã đạt được mức độ thành công khác nhau, đi theo những hướng khácnhau và bị ảnh hưởng bởi những thay đổi khác nhau trong xã hội và hệthống giáo dục.

Ở Liên Xô, những nỗ lực cải cách chương trình giảng dạy đã bắtđầu vào những năm 1960 và được dẫn dắt bởi nhà toán học nổi tiếngAndrey Kolmogorov, người đã tạo ra một chương trình toán học mớiđược phê duyệt vào năm 1968 Nhiều cải cách giống như những cải cáchđang được các nước OECD thực hiện Ở những khối lớp đầu, số học đã

bị lọai bỏ như một môn học riêng biệt, trở thành “toán học” và bao gồmcác tài liệu chuẩn bị cho việc nghiên cứu đại số và hình học; một số chủ

đề thường được nghiên cứu sau đó, chẳng hạn như số phức và lý thuyếtxác suất cơ bản đã bị loại khỏi chương trình; các yếu tố tính toán, biếnđổi hình học, vecto và tọa độ đã được thêm vào

Học sinh cũng được giới thiệu thực chất về phương pháp tiên đề Tất

cả các chủ đề mới này phục vụ mục đích chính của chương trình giảngdạy, đó là làm phong phú thêm khóa học về toán học với những ý tưởng

đã trở nên có ý nghĩa trong thời đại thúc đẩy tiến bộ công nghệ khoahọc như là những yếu tố của một nền văn hóa chung Một mục tiêu quantrọng khác là tăng độ chân thật hợp lý của sự trình bày

Giáo trình toán học mới của Liên Xô bao gồm một số chú ý đến lýthuyết tập hợp cơ bản, nhưng gần như không mở rộng như trong cáccải cách diễn ra ở các nước OECD Kolmogorov chủ yếu quan tâm đếnviệc giới thiệu một hệ thống ký hiệu và giải thích chính xác và đầy đủhơn cho các văn bản toán học để chuẩn bị cho học sinh bắt đầu thay đổicông nghệ thông tin

Ở một số quốc gia, các nỗ lực cải cách bao gồm nhập khẩu tài liệugiảng dạy toán học mới từ các quốc gia khác Dự án Entebbe còn đượcgọi là Chương trình toán học Châu Phi, là một dự án của trung tâmphát triển giáo dục Hoa Kỳ đưa các nhà phát triển chương trình giảngdạy từ Hoa Kỳ và một số ít từ Anh hoặc người đã được giáo dục ở

đó, cùng với những người tham gia từ Ghana, Ethiopia, Liberia, Kenya,Malawi, Tanzania và Zambia để làm việc trong các nhóm viết sách ở hội

thảo mùa hè hàng năm từ 1962 đến 1968 để phát triển SGK toán họchướng dẫn giáo viên và các tài liệu giảng dạy khác Tên dự án khác đến

từ thành phố Entebbe, Ugand nơi ba hội thảo mùa hè đầu tiên được

tổ chức Đến năm 1971 dự án đã xuất bản 67 SGK và hướng dẫn giáoviên khác nhau; theo một số ước tính 2 triệu học sinh Châu Phi đã sửdụng cuốn sách “Entebbe Math” hoặc bản dịch của nó Các SGK bị ảnhhưởng nặng nề bởi quan điểm và cách tiếp cận của Hoa Kỳ và nhữngngười tham gia ở Anh Tại hội thảo đầu tiên vào tháng 7 năm 1962,người Mỹ đã có chương trình của SMSG Mười quốc gia Châu Phi bắtđầu thử nghiệm toán học mới Tiếp đó người Anh bắt đầu viết các dự

án của họ dựa trên SMP Dự án toán học chung (JMP) đã được bắt đầu

ở Tây Phi và Đông Phi Dự án toán học ở trường học (EASMP) ở ĐôngPhi

Thật không may, các giáo viên Châu Phi sẽ sử dụng những cuốnSGK đó không được trang bị tốt để dạy tài liệu mới Zimmerman đãghi nhận sự kém hiệu quả của các khóa học bồi dưỡng cho giáo viên ởGhana trong những năm 1960 được thiết kế để làm quen với nội dungđược hiện đại hóa

Một nỗ lực tương tự để nhập ý tưởng và tài liệu từ các quốc gia khác

đã được UNESCO thực hiện khi các nước Ả Rập yêu cầu vào năm 1996

để hỗ trợ cải thiện toán học Các cuộc hội thảo xác định giáo trình, cácbuổi viết SGK và các buổi đào tạo cho giáo viên đã được tổ chức, kếtquả là một khóa toán học mới cho các trường trung học đã được triểnkhai ở hầu hết các trường học ở Ả Rập Như Malaty đã lưu ý, 8 trong số

12 tác giả của SGK cho trường trung học phổ thông không phải người

Ả Rập Hoàn toàn là Hoa Kỳ và Anh, và các cuốn sách được viết trongtiếng Anh sau đó được dịch sang tiếng Ả Rập Ngoại trừ các dự án JMP

và EASMP trong đó SGK được viết bởi các giáo viên thường trú ở cácnước liên quan, các nhà cải cách ở các nước OECD chuyển những nỗ lựccủa họ sang các nước ngoài OECD nhưng không diễn ra theo kế hoạch.Ngay cả khi các nỗi lực đã được thực hiện để sản xuất các tài liệugốc dành riêng cho các quốc gia liên quan, ví dụ Dự án Entebbe và Dự

án các quốc gia Ả Rập của UNESCO, các nhóm viết bị chi phối về mặttoán học và chuyên môn, nếu không phải là số lượng, bởi các tác giảphương Tây không hiểu hệ thống giáo dục của các quốc gia liên quan vàquan trọng hơn là đạo đức xã hội được thể hiện trong các trường học.Begle đã tóm tắt sự công nhận đang nổi lên trong số các nhà cải cáchtoán học mới rằng ý tưởng và tài liệu của họ không thể được ghép dễdàng qua các quốc gia, nhiều quốc gia đang yêu cầu không chỉ Hoa Kỳ

mà các quốc gia giàu có khác có thể hỗ trợ cải thiên các chương trìnhgiáo dục toán học của họ Đã xem xét một số nỗ lực để tôn vinh nhữngyêu cầu này, tôi tin rằng việc không nghiên cứu môi trường văn hóa củacác cải cách được đề xuất thường dẫn đến lãng phí nghiêm trọng thờigian, công sức và tiền bạc

1.1.5 Sự phản ứng

Sự phản đối phong trào toán học mới ở Hoa Kỳ đã bắt đầu ngay cảtrước khi hầu hết các dự án chương trình giảng dạy bắt đầu công việccủa họ Morris Kline là người phản đối nhất các nỗ lực toán học mớicủa Hoa Kỳ, đã xuất bản một bài báo trong Giáo viên Toán học tháng

10 năm 1958 dựa trên bài thuyết trình mà ông đã thực hiện trước Hộiđồng Giáo viên toán học Quốc gia Ông cho rằng toán học truyền thống

đã lỗi thời và trừu tượng nên được dạy trước cái cụ thể Trả lời Kilne,Albert Meder người phục vụ trong Ủy ban lập luận rằng Kline đã giảithích sai vị trí của Ủy ban và nên đợi cho đến khi báo cáo cuối cùngxuất hiện trước khi phản bác nó Không nản lòng, Kine đã phát độngcuộc đấu tranh dưới tiêu đề “Cải cách giảng dạy toán học được coi lànguy hiểm đối với tiến bộ khoa học của Hoa Kỳ”

Năm 1962, một biên bản “Về chương trình giảng dạy toán học củatrường trung học văn hóa đã được tác giả Kilne và Lipman Bers củaĐại học Stanford có chữ ký của 4 tác giả và 61 nhà toán học Hoa Kỳ

và Canada, biên bản đã được xuất bản đồng thời trên Tạp chí Toán họcHoa Kỳ và Giáo viên Toán học Nó nhắc lại nhiều điểm mà Kline đã đưa

ra trong các bài viết trước đó, cho rằng chương trình giảng dạy phải đáp

ứng nhu cầu của tất cả các học sinh và không chỉ những người có thể trởthành nhà toán học, mà học sinh không nên được giới thiệu sớm về trừutượng, họ nên xem liên kết giữa toán học và các ngành khoa học khác,rằng trực giác và phỏng đoán nên được đưa ra trước bằng chứng chínhthức, rằng bất cứ nơi nào có thể nên đưa ra ý tưởng toán học khi chúngphát sinh về mặt di truyền, và toán học truyền thống không nên đượcthay thế hoàn toàn bằng cái gọi là toán học hiện đại Biên bản đượctheo dõi 3 năm sau đó bằng một tập sự làm thử và chống lại toán họcmới và 11 năm sau đó là bằng chứng nào cho thấy phát súng cuối cùngtrong cuộc chiến toán học ở Mỹ: Kline cuốn sách “Tại sao Johny khôngthể thêm: Sự thất bại của Toán học mới” Mặc dù có tiêu đề tham khảo

về số học, cuốn sách thực sự nhằm vào các nỗ lực cải cách toán học ởtrường trung học Như Malaty đã lưu ý, những lời chỉ trích về toán họcmới của Kline và những người khác ở Hoa Kỳ tương tự như những gì sẽxuất hiện ở các nước phương Tây khác, cũng như kết quả dư luận Sựkhác biệt là những lời chỉ trích của Hoa Kỳ đã xuất hiện đầu tiên và rõràng hơn

Không phải tất cả các phản ứng chống lại những nỗ lực toán học mớicủa Hoa Kỳ phát sinh từ bên ngoài hội các nhà cải cách Max Beberman,người đứng đầu dự án UICSM đã thấy sự chuyển động của toán học mới

từ tiểu học đến cấp hai ở Hoa Kỳ là “vội vàng và không khôn ngoan”,

‘chúng tôi đang gặp nguy hiển nuôi dạy một thế hệ những đứa trẻ khôngthể làm tính toán số học’ Ông tuyên bố rằng các giáo viên tiểu học đãhoảng sợ trước môn toán khó hiểu mà họ dự kiến sẽ dạy “Những thayđổi trong chương trình tiểu học phải được thực hiện rất cẩn thận vàchậm rãi, bởi vì một số lượng lớn giáo viên phải được đào tạo lại” Chorằng họ phải dạy nhiều môn học, giáo viên tiểu học không thể kỳ vọngthay đổi toán học họ dạy nhanh như giáo viên chuyên môn

Ở Pháp, các cải cách toán học mới của chương trình giảng dạy

ở trường đã được bắt đầu vào năm 1966 với việc bổ nhiệm Ủy banLicherowicz (đứng đầu là nhà toán học nổi tiếng Andre Muff Licnerow-icz) để lên kế hoạch cho những thay đổi Gispert lưu ý rằng ủy ban đã

tuyên bố rằng toán học là “một khoa học suy diễn chứ không phải làmột thí nghiệm” và học sinh được dạy hình học affine trước hình họcEuclide mặc dù hình học affine là “mô hình không liên quan nhất đếnthế giới thực và cuộc sống hàng ngày Khi Ủy ban bắt đầu công việc đã

có cuộc tranh luận nhưng ít sự phản đối để cải cách Tuy nhiên, khi bộgiáo dục cam kết thực hiện một chương trình toán học hiện đại vào đầunăm 1970, mức độ tranh luận tăng lên và sự phản đối xuất hiện Năm

1971, René Thom nổi tiếng không kém đã công bố trong các nhà khoahọc Mỹ một bài báo đặt câu hỏi về nỗ lực cập nhật chương trình giảngdạy tiếng Pháp, chỉ ra dự nhầm lẫn và lo lắng của nhiều phụ huynh vàgiáo viên về thuật ngữ mới Dieudonné đã trả lời “chúng ta không thể

để cho các nhà quản lý và kĩ thuật viên tương lai dành phần lớn nhữngnăm tháng quý giá của cuộc sống học đường tiếp thu những kiến thức

vô dụng được dạy bởi phương pháp lỗi thời”

Ở Liên Xô, mặc dù cuộc cải cách Kolmogorov vẫn đang được tiếnhành, một cuộc cải cách chống lại bắt đầu vào năm 1978 được dẫn dắtbởi các nhà toán học từ Học viện Khoa học Liên Xô Điểm mâu thuẫnlớn như là các kì thi tuyển sinh đại học về toán đã không được hiện đạihóa cùng với chương trình giảng dạy, và một số nhà toán học đã chốnglại ý tưởng thay đổi các kỳ thi Thay vì giải quyết một số sai sót đượcthừa nhận trong chương trình và SGK lấy cảm hứng từ Kolmogorov, cácnhà cải cách đã cố gắng thuyết phục chính quyền phát triển một chươngtrình giảng dạy mới và SGK mới Cuối cùng tranh chấp đã vướng vào hệ

tư tưởng của Đảng Cộng Sản, trong đó giải quyết việc ủng hộ các nhàphê bình cải cách

Một số quốc gia dường như bỏ lỡ phần lớn phong trào toán học mớingay cả khi liên hệ quốc tế tăng lên giữa các quốc gia Ví dụ, Hiệp hộiGiáo dục Toán học Nhật bản đã tổ chức khoảng 15 chuyến thăm nướcngoài trong khoảng từ 1966 đến 1981; Nhật Bản đã tham gia vào cácnghiên cứu quốc tế về toán học do Hiệp Hội quốc tế đánh giá thànhtựu giáo dục bắt đầu vào năm 1964; và nó tham gia vào chuỗi các Đạihội giáo dục toán học quốc tế bắt đầu từ năm 1969 Mặc dù triển vọng

quốc tế ngày càng tăng, tuy nhiên sự tham gia lớn nhất của Nhật Bảnvào các hoạt động toán học mới, theo Sekiguchi, dường như là một hộithảo nghiên cứu năm 1964 tại Tokyo và Kyoto trong đó hai nhà toánhọc từ dự án SMSG đã thông báo cho hơn 100 nhà giáo dục toán họcNhật Bản về công việc của họ và một cuộc hội thảo năm 1971 Mỹ - Nhật

để thảo luận về các mục tiêu, chương trình toán học mới, phương phápgiảng dạy Ngược lại một số tác giả đã tuyên bố rằng vào giữa nhữngnăm 1960 và đầu những năm 1970, Bộ Giáo dục Nhật Bản đã thử mộtphiên bản toán học mới từ trên xuống Dù bằng cách nào, tác động dẫnđến thực hành toán học ở Nhật Bản dường như rất nhỏ

Một ví dụ khác về ít hay không có ảnh hưởng là Hà Lan, ở cấp trunghọc, toán học mới “không bao giờ trở thành một vấn đề chung cũngkhông phải là mục tiêu cho các giáo viên hay phụ huynh chống đối”, vàgiáo dục ở cấp tiểu học “không bao giờ trở thành nạn nhân của khẩuhiệu và xu thế” của toán học mới Freudenthal đã mô tả toán học mới

là một cuộc cạnh tranh khốc liệt giữa cả các chuyên gia và những ngườibất tài mà hay ba hoa, nói chung kết quả đau buồn Những người khôngthể bắt kịp là những người nghèo trong lớp, những người hy vọng đượcdạy và học toán học mới, điều thường gặp nhất là không thể giảng dạy,không thể học được, không có tính toán học

1.1.6 Toán học mới thoái trào

Tại sao toán học mới không thành công?

Đây là một cải cách từ trên xuống, được khởi xướng bởi cộng đồngtoán học, mà không tham khảo từ giáo viên hoặc cộng đồng Một nguyênnhân thất bại của toán học mới, đó là vì nó đại diện cho một triết lýchuyên ngành

Những thay đổi trong chương trình giảng dạy “toán học mới” không

đi kèm với những thay đổi hệ thống lớn hơn và do đó được đánh giá làthất bại

Như Damerow và Westbury đã quan sát “toán học mới” đã cho thấymột cách dứt khoát sự thay đổi lớn có vấn đề trong một môn học: trongkhi có một số thử nghiệm tuyệt vời cho thấy những gì đã làm được ở

các trường tiểu học dưới tên toán học mới.

Tuy nhiên, sự thất bại của toán học mới dường như quá nhiều suyđoán đơn giản Robert B.Davis đã quan sát thấy rằng những tuyên bốsau đây về toán học mới thường được đưa ra: đã từng có một điều tương

tự như “toán học mới”; nó đã được áp dụng rộng rãi trên khắp Hoa Kỳ;thật không may, nó đã thất bại

Trong thực tế, những lí do trên không hoàn toàn đúng

Thay vào đó, Davis đưa ra những tuyên bố sau: nhiều chương trìnhtoán học thay thế đã được tạo ra và thực hiện; không có chương trìnhthay thế duy nhất nào có thể được dán nhãn toán học mới, như thể đó

là một điều xác định rõ; hầu hết các trường bị ảnh hưởng tương đối ít; ởnhững nơi mà một số chương trình mới được triển khai rất cẩn thận bởinhững người hiểu chúng, kết quả thường rất ấn tượng, không có cáchnào nên được mô tả là “thất bại”

Cần lưu ý rằng điểm thứ hai của Davis ở trên, mặc dù đúng với Hoa

Kỳ và Anh, không áp dụng cho các quốc gia có chương trình giảng dạyquốc gia như Pháp và Nga Ở những nước đó, mọi giáo viên, người học

và nhà trường nhất thiết phải tham gia vào các nỗ lực cải cách

Không ở quốc gia nào toán học ở trường trở lại nơi trước khi phongtrào toán học mới bắt đầu Chắc chắn các điểm đặc trưng không có kếtquả của toán học mới đã không tồn tại lâu Mặt khác, nhiều ý tưởngđược đưa vào trường bằng toán học mới vẫn còn

Trước kỉ nguyên toán học mới, không ai nghĩ toán học ở trường làthứ cần cải cách hay cập nhật, nó chỉ đơn giản là những gì nó có được.Các nhà cải cách toán học mới hầu như không biết gì về chương trìnhtoán học ở các nước khác, hoặc trong một số trường hợp, ở chính đấtnước của họ Vào thời điểm toán học mới kết thúc, ngược lại, mọi ngườiquan tâm đến toán học ở trường học với ý thức tốt hơn nhiều về những

gì đang diễn ra trên khắp thế giới

Nhiều nhà cải cách toán học mới bắt đầu nỗ lực của họ với quanđiểm rằng chương trình giảng dạy sẽ được cập nhật về mặt toán học nếu

họ có thể đơn giản nhận các giáo trình và SGK mới của họ vào tay học

sinh và giáo viên Đến cuối thời đại, họ đã thấy rằng cần nhiều hơn nữa.

Ở mấu chốt của bất kì thay đổi chương trình giảng dạy là giáo viên.Giáo viên cần hiểu sự thay đổi được đề xuất, đồng ý với nó là có thểban hành nó với học sinh của mình, tất cả đều nằm trong một bối cảnhgiáo dục và văn hóa cụ thể

Nhìn từ xa, toán học ở trường trông giống nhau ở mọi nơi Các quốcgia bao gồm nhiều chủ đề giống nhau trong giáo trình của họ và mongmuốn học sinh giải quyết nhiều vấn đề tương tự Các nghiên cứu so sánhquốc tế được khẳng định dựa trên việc có một khuôn khổ chung để đánhgiá thành tích toán học Tuy nhiên, mỗi quốc gia có một trường học toánhọc độc đáo, một sản phẩm của lịch sử, văn hóa và truyền thống, phùhơp với các hệ thống xã hội, chính trị và giáo dục Tài liệu giảng dạy vàthực hành trong toán học ở trường không thể được vận chuyển qua biêngiới như một loại tiền tệ chung Kỷ nguyên toán học mới dạy chúng tanghịch lý của việc thay đổi chương trình giảng dạy: Toán học ở trườngcàng được quốc tế hóa, nét đặc sắc quốc gia càng được bộc lộ rõ ràng.Trong xu hướng khắc phục toán học mới thì Y Chevallard và một sốnhà toán học khác nghĩ ra Lý thuyết tình huống, trong Lý thuyết tìnhhuống riêng về tri thức, quan điểm rất đặc sắc là Chuyển hóa sư phạm

Lý thuyết tình huống có thể xem như nỗ lực khá thành công của cáctrường phái giáo dục toán học nhằm khắc phục những vấn đề được cho

là nhược điểm của giáo dục toán học phổ thông kiểu toán học mới.1.2 Quan niệm của lý thuyết tình huống về tri thức - sự chuyểnhóa sư phạm

Khi phân tích về quá trình dạy học thì Lí thuyết tình huống quantâm đến tri thức Trong hệ thống dạy học diễn ra hoạt động dạy học,

mà mục đích của nó trước hết là dạy tri thức xác định

1.2.1 Hệ thống dạy học tối thiểu

Theo lí thuyết tình huống, hệ thống dạy học tối thiểu gồm các thànhphần thầy giáo, học trò, tri thức, môi trường được biểu diễn như sơ đồ(hình 1.1)[8]

Hình 1.1 Sơ đồ hệ thống dạy học tối thiểu

a Tri thức

Về thành phần tri thức, trong lí luận dạy học, Yves Chevallard đãphân tích quá trình tổng quát biến đổi giữa các dạng tri thức từ tri thứckhoa học thành tri thức chương trình và tri thức dạy học và được gọi làquá trình chuyển hóa sư phạm

Tri thức khoa học thể hiện tri thức đúng đắn cuối cùng nhà khoa họcđạt được, dưới một dạng tổng quát nhất, theo quy tắc trong cộng đồngkhoa học Khi thông báo một tri thức nào đó, nhà nghiên cứu thườngxóa đi quá trình lịch sử đã dẫn mình đến tri thức này

Tri thức chương trình phải được các nhà giáo dục chọn lọc, sắp xếplại, có cách thức diễn đạt phù hợp với mục tiêu và điều kiện xã hội đểđảm bảo sự tương hợp của hệ thống với môi trường của nó Tri thứcchương trình là đối tượng dạy học, đồng thời là mục tiêu dạy của thầy

và mục tiêu học của trò Tri thức dạy học được người thầy giáo biến đổilại từ tri thức chương trình, sách giáo khoa theo khả năng sư phạm củamình, phù hợp với lớp học, trình độ học sinh và những điều kiện khác

để đạt được mục tiêu dạy học Sự chuyển hóa sư phạm của hệ thống dạyhọc tối thiểu bao gồm hai khâu:

• Tri thức khoa học ⇒ tri thức chương trình

• Tri thức khoa học ⇒ tri thức chương trình

b Thầy giáo

Theo lí thuyết tình huống, trong quá trình dạy học, người học tròphải hoạt động tích cực, chủ động, sáng tạo nhưng vai trò của ngườithầy vẫn rất quan trọng, thể hiện đặc biệt ở hai chức năng ủy thác vàthể chế hóa

Ủy thác không phải là bắt học trò học tập theo ý thầy mà phải gợi

ra vấn đề để học sinh giải quyết, biến ý đồ dạy của thầy thành nhiệm vụhọc của mình và đảm nhiệm quá trình hoạt động để kiến tạo tri thức,hoạt động này nhất thời gần giống với hoạt động của nhà nghiên cứu

Để đạt được điều này, người thầy làm công việc ngược lại với nhà nghiêncứu: hoàn cảnh hóa, thời gian hóa và cá nhân hóa lại tri thức chươngtrình từ đó có thể chuyển hóa thành tri thức của học sinh

Việc chuyển hóa kiến thức mà học trò kiến tạo được thành tri thứccủa xã hội chính là thể thức hóa Trong quá trình này cần có vai tròcủa người thầy, qua đó người học chính thức chấp nhận kiến thức mìnhtìm ra chính là tri thức chung của xã hội và người thầy chính thức chấpnhận kiến thức tìm ra của trò Vì đôi khi, học trò đã tìm ra lời giải chonhững vấn đề được đặt ra, nhưng không biết rằng mình đã tạo ra mộtkiến thức có thể sẽ được dùng trong những trường hợp khác Đối tượngcủa thể thức hóa chính là sự chấp nhận kép này

Dưới góc độ sư phạm, để thể thức hóa một kiến thức người thầy phảigiúp trò:

• Chỉ ra vị thế của tri thức trong chương trình để học trò nắm đượctri thức đó theo đúng mục tiêu, yêu cầu, cách thức diễn đạt và

mức độ được quy định trong chương trình, hướng dẫn ghi nhớ vàvận dụng tri thức đó.

c Học trò và môi trường

Sự hiểu biết hệ thống dạy học và đặc biệt là hiểu việc học của tròđòi hỏi phải bổ sung một yếu tố nữa là Môi trường vào tam giác Thầygiáo – Học trò – Tri thức Môi trường là hệ thống đối mặt với người học

và nó cho phép tạo ra những tác động phản hồi quá trình người học vậndụng hoặc điều chỉnh những tri thức hay quan niệm sẵn có

Nhiệm vụ của học trò là học thông qua sự tương tác với môi trường

và trong quá trình làm việc với môi trường để thích nghi với môi trườnghọc trò gặp hai trường hợp đó là đồng hóa và thích nghi Đồng hóa làngười học có thể vận dụng những tri thức và quan niệm sẵn có vào đốitượng mới, còn điều tiết là khi trò phải điều chỉnh những tri thức hoặcquan niệm sẵn có để giải quyết vấn đề nảy sinh khi những đối tượng mớitác động trở lại chủ thể

Trường hợp tri thức cũ không còn đáp ứng được yêu cầu trước mộtvấn đề mới, ta nói có một sự mất cân bằng Ta nói chủ thể đã thiết lậplại được sự cân bằng khi điều chỉnh được tri thức cũ, hình thành tri thứcmới và giải quyết được vấn đề Như vậy, người thầy giáo phải lựa chọnđúng những vấn đề đặt ra cho người học thì mới gợi cho học trò đượcnhững sự thích nghi mong muốn

1.2.2 Chuyển hóa sư phạm

Trong lí thuyết tình huống có một điều khác biệt là quan niệm vềkiến thức, tri thức Những thuyết khác ít khi phân tích về tri thức trong

đó lí thuyết tình huống phân tích sâu về cái gọi là chuyển hóa sư phạm

a Định nghĩa

Chuyến hóa sư phạm là quá trình chuyển đổi giữa các dạng tri thức

từ tri thức khoa học, thành tri thức chương trình, cuối cùng là tri thứcdạy học Tri thức khoa học trong toán học là sản phẩm của văn minhnhân loại, kết quả tích lũy lâu dài với đóng góp của nhiều thế hệ các nhàkhoa học, được trình bày một cách chặt chẽ, logic, có hệ thống trong các

giáo trình – sách chuyên khảo về toán Một phần – chủ yếu là những kiếnthức toán sơ cấp – được lựa chọn, chỉnh sửa, sắp xếp đưa vào chươngtrình giáo dục phổ thông môn toán, trở thành tri thức chương trình.Mỗi giáo viên có cách "chế biến" tri thức chương trình theo dụng ý củamình, thể hiện trong kế hoạch bài dạy, như giá mang các hoạt động họctập cho người học, đó là dạng tri thức dạy học Các bước chuyển hóadiễn ra ở quá trình biến đổi tri thức Theo Y Chevallard [13]quá trìnhchuyển đổi từ: tri thức khoa học, tri thức chương trình, tri thức đượcdạy đến tri thức đã học, sẵn có như dưới đây (hình 1.2)

Hình 1.2 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm của Chevallard

Các tác nhân khác tham gia trong trong công việc chuyển đổi này: nhàkhoa học, giáo viên, nhà thiết kế chương trình giảng dạy, ect Chúngthuộc về cái được gọi là noosphere, một trung gian giữa hệ thống giảngdạy và xã hội Vai trò chính là đàm phán và đáp ứng yêu cầu của xãhội về hệ thống giảng dạy Quá trình chuyển hóa sư phạm gồm có 3 mắtxích [1]:

• Mắt xích thứ nhất: thể chế tạo tri thức có đối tượng là tri thứcMột nhà nghiên cứu khi thông báo cái mà ông ấy đã tìm thấy chocác nhà nghiên cứu khác thì ông ấy đã biến đổi nó bằng cách phi

cá nhân hóa và phi hoàn cảnh hóa

• Mắt xích thứ hai: thể chế chuyển hóa

Đối tượng tri thức ⇒ đối tượng dạy học

Thầy giáo không phải là người trực tiếp biến đổi một tri thức khoahọc thành đối tượng dạy học theo sáng kiến của riêng mình.Theo Chevallard để một tri thức trở thành một đối tượng dạy học

hay chính là có thể đưa vào giảng dạy trong trường học thì tri thức

đó phải chịu một số ràng buộc như:

– Tính đơn nhất của tri thức (nghĩa là những tri thức bộ phận

• Mắt xích thứ ba: thể chế giảng dạy

Đối tượng cần dạy học ⇔ đối tượng được giảng dạy

Ở bước này người giáo viên thực hiện việc chuyển hóa tri thức

Theo [11] quá trình chuyển hóa sư phạm bắt đầu từ: Tri thức khoa họckết hợp với thực hành quy chiếu xã hội ⇒ Tri thức chương trình ⇒ Trithức được dạy ⇒ Tri thức đồng hóa

Trong quá trình chuyển hóa được chia thành hai giai đoạn là chuyểnhóa bên trong và chuyển hóa bên ngoài

• Chuyển hóa bên ngoài là giai đoạn chuyển hóa từ tri thức khoahọc đến tri thức chương trình (tri thức trong SGK) Trong đó, việcxác định tri thức chương trình dựa trên tri thức khoa học và thựchành xã hội quy chiếu

• Chuyển hóa bên trong là giai đoạn chuyển hóa từ tri thức chươngtrình đến tri thức được dạy trên lớp Giáo viên dựa trên tri thứcchương trình, đặc điểm người học và điều kiện dạy học để lựa chọncon đường hình thành tri thức phù hợp cho người học

Ngoài ra trong chuỗi chuyển hóa này còn có thêm giai đoạn từ trithức được dạy đến tri thức đồng hóa (tri thức người học học được)

Trong quá trình nghiên cứu, tìm hiểu cùng thầy hướng dẫn, tôi cho rằngquá trình chuyển hóa như sau (hình 1.3):

Hình 1.3 Sơ đồ quá trình của sự chuyển đổi sư phạm

Sự chuyển hóa diễn ra khi biến đổi tri thức này thành tri thức kia.Nguồn gốc lịch sử là quá trình tìm ra tri thức Một tri thức có thểđược tìm ra bởi một nhà khoa học, một nhóm các nhà khoa học hoặc làkết quả của một quá trình lâu dài với sự đóng góp của nhiều thế hệ cácnhà khoa học

Một tri thức ra đời có thể bắt nguồn từ yêu cầu thực tiễn, từ nội bộtoán học hoặc từ sự hứng thú của các nhà toán học

Ví dụ 1.1 Số hữu tỉ ra đời từ yêu cầu thực tiễn [10]

Theo sự phát triển của nhu cầu cuộc sống, số nguyên không thể đáp ứngnhững phép tính không nguyên Việc đưa phân số vào là để đo các đạilượng như đo độ dài, diện tích thời gian, Việc nghiên cứu phân số có

từ thời Ai Cập và Babylon cổ đại

Ví dụ 1.2 Số phức ra đời từ nội bộ toán học [10]

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỷ XVI Số phức xuất hiện khi các nhàtoán học mở rộng phép khai căn bậc hai đối với các số tùy ý Tên "ảo"dịch từ tiếng Pháp được D.Descates đề xuất năm 1637 Thuật ngữ "sốphức" do Lazare Carnot (1753 - 1823) đưa vào năm 1803 và được Gauss

điều này cho đến trước khi chết mới nói cho học trò là Antonio Fiore.Vào đầu năm 1530 Tartaglia (1500 - 1557) đã nhận được 2 câu đó từZuanne da Coi mà thực chất là giải phương trình bậc 3 Ông tuyên bốgiải được chúng Sau đó Fiore đã thách thức Tartaglia, mỗi bên đưa ra

30 đề cho bên kia giải Tartaglia đã tìm ra phương pháp mới để giảiphương trình bậc 3, ông ra đề mà chỉ có phương pháp mới của ông mớigiải được Tarraglia nhận câu hỏi dạng x3+ mx = n, Fiore nhận câu hỏidạng x3 + mx2 = n Kết quả Tartaglia chiến thắng

Ngoài ra chuyển hóa sư phạm còn có thể rút ngắn quá trình từ Tri thứckhoa học đến Tri thức dạy học

Ví dụ 1.4 Quá trình dạy Tích phân của GS TS Nguyễn Tiến Dũngcho con gái Mirella đang học lớp 9 [5] Cách giải thích của ông nhẹ nhàng,gần gũi chứ không quá trừu tượng để Mirella có thể hiểu được

Z b a

f (x)dx thành

Z b a

f (x) không có dx ở cuối

Hình 1.4 Tính tích phân bằng diện tích

Viết thêm dx ở cuối tích phân để nói tích phân được lấy theo x chạy từ

a đến b Chữ d đặt trước x để chỉ "đi theo x"

- Tích phân là tổng

Làm sao để tính tích phân hình ?

Một cách tính là chia hình thành các hình con rất hẹp bằng cách chiađoạn thẳng [a, b] của biến x trên trục hoành thành nhiều đoạn thẳngnhỏ Mỗi hình hẹp như vậy sẽ có diện tích xấp xỉ bằng diện tích của mộthình chữ nhật cùng đáy và chiều cao bằng chiều cao của một trong cácđiểm phía trên của hình hẹp này Nếu chia thật nhỏ thì sai số sẽ rất nhỏđến mức có thể bỏ qua được và ta có thể coi diện tích hình xấp xỉ bằngtổng diện tích các hình chữ nhật như vậy

Phương pháp chia nhỏ để tính trên cho ta thấy có thể coi một tích phânnhư một tổng của rất nhiều số nhỏ cộng lại với nhau

Một tích phân có thể coi là một tổng của các số hạng được chia nhỏ

ra nên kí hiệu của tích phân do nhà toán học Leibniz nghĩ ra, nó là chữ

S kéo dài ra để chỉ 1 tổng

Mirella thực hành là ví dụ

Z 1 0

x2dx

- Tích phân là thể tích

Nguyên tắc chung là cái gì có thể chia nhỏ thành nhiều phần cộngvào với nhau được thì có thể viết được như là một tích phân Vì thể tíchcủa một hình có thể chia nhỏ thành tổng thể tích của các hình con hợplại nên thể tích cũng viết được dưới dạng tích phân

Ví dụ áp dụng: Tính thể tích hình cầu với bán kính R nào đó (Chứngminh V (R) = 4

độ rơi của vật tăng một cách đều đặn Đó chính là chuyển động nhanhdần đều." [16]

b Phạm vi

Bên cạnh toán học, nghiên cứu quy trình chuyển đổi sư phạm đượcthực hiện ở nhiều lĩnh vực giáo dục khác nhau, như khoa học tự nhiên,triết học, âm nhạc, ngoại ngữ, công nghệ và giáo dục thể chất Nhữngcuộc điều tra lan rộng nhanh hơn bằng tiếng Pháp và cộng đồng tiếngTây Ban Nha hơn là những người nói tiếng Anh, mặc dù một số nhânvật nổi bật sớm cống hiến để phát triển sự phân tích chuyển đổi lần đầutiên Khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm là tổng quát hóa để chuyểnđổi thể chế khi tri thức được chuyển đổi từ một tổ chức xã hội sang dạngkhác Bởi vì nhu cầu của xã hội, tri thức cơ bản được hình thành và pháttriển trong các lĩnh vực khác hoặc tổ chức của xã hội cần để sống trongcác tổ chức khác nơi mà họ được chuyển đổi Chúng được biến đổi, pháhủy, và xây dựng lại để thích nghi với những quy định của thể chế mới

Ví dụ, môn toán được sử dụng bởi nhà kinh tế, nhà địa lí, hoặc nhạc sĩcần được tích hợp trong các hoạt động khác thường bị bỏ qua bởi cácnhà toán học người tạo ra chúng Rõ ràng từ lịch sử khoa học rằng sự

chuyển đổi thể chế Một số công việc chuyển đổi cải thiện tổ chức củatri thức và làm cho nó dễ hiểu hơn, có cấu trúc và chính xác đến mức trithức khoa học được tự chuyển đổi tốt hơn Việc tổ chức thông tin trongcác lĩnh vực và môn học như nó tồn tại hôm nay là thành quả của cácquá trình tương tác lịch sử phức tạp và thay đổi thể chế và sự chuyểnđổi sư phạm chưa được biết đến.

và cơ sở giảng dạy về kiến thức khó hiểu trong quy trình giáo dục Bất

kì lĩnh vực giảng dạy hay môn học nào đều là sản phẩm của một quátrình phức tạp, sự đặc biệt trong đó không bao giờ bị đánh giá thấp.Xem xét tri thức khoa học như là một phần của đối tượng nghiên cứuchuyển hóa sư phạm là một phần của phong trào giải phóng Mặc dùgiảng dạy ở trường phải được hợp pháp hóa bởi các thực thể bên ngoàiđảm bảo sự liên tục điều này đảm bảo sự nhận thức của tri thức đượcgiảng dạy, các nhà nghiên cứu không phải xem xét những quan điểm thểchế như quan điểm đúng hay quan điểm sai; chúng cần được biết đến vàtích hợp trong phân tích hiện tượng giáo dục

d Mở rộng đối tượng nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu lần thứ hai của sự tách rời quá trình giới thiệubằng khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm là sự tiến triển của đối tượngnghiên cứu sư phạm cũng như nghiên cứu môn học Bên cạnh việc nghiêncứu quá trình học tập của học sinh và cách để cải thiện chúng thông quachiến lược dạy học mới, khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm tại đốitượng của việc dạy và tự học, chủ đề, cũng như những cách sống khácnhau – sự đa dạng sinh thái học của nó – trong các tổ chức liên quancủa quá trình chuyển đổi

Chúng ta hãy lấy ví dụ về các số âm Lưu ý quá trình chuyển đổi,vấn đề đầu tiên để xem xét những kiến thức được dạy là gì (hoạt động

cụ thể nào được đề xuất tới sinh viên, tổ chức của họ, lĩnh vực haykhối nội dung thuộc về họ, v.v ) và cách hướng dẫn chính thức vàcác bài thuyết trình về hiện tại và chứng minh những lựa chọn đó (kiếnthức để dạy) Ngày nay, hầu hết các trường học, số âm chính thức liênquan đến số lượng của đo lường với hướng ngược lại và được giới thiệutrong bối cảnh tình huống thực tế Tổ chức trường học này đến từđâu? Kết quả của nó từ các học giả khác nhau (toán học mới) haysức ép xã hội (trở lại căn bản), được đào tạo bởi noophere, điều nàykhông được trình bày ở đây nhưng điều đó phân loại thực hành toánhọc học sinh của chúng ta học (hay không học) về kiến thưc cơ bảnnày Nếu chúng ta nhìn vào tri thức khoa học, môi trường sẽ khác: số

âm được định nghĩa như phần mở rộng của bộ số tự nhiên N và tạothành vòng tròn số nguyên Z, mà không có bất kì cuộc thảo luận cụthể nào (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integer) Điềunày không phải lúc nào cũng như vậy: nó được biết đến rất nhiều chođến giữa thế kỉ 19, khả năng có con số nhỏ hơn 0 vẫn bị bác bỏ bởi cáchọc giả Chấp nhận cuối cùng của họ chặt chẽ và liên quan đến nhu cầucủa bài toán đại số, điều đó giải thích tại sao, trong một thời gian dài sốnguyên được gọi là “số đại số” Nó cũng giải thích tại sao việc giới thiệu

số âm được coi là số khác biệt chính giữa số học và đại số Mối quan hệnày với bài toán đại số sơ cấp hiện nay hoàn toàn biến mất từ các họcgiả và quan niệm của nhà trường về số âm, mặc dù thực tế 1 số thựchành tính toán – ví dụ, bao gồm những kết quả của số nguyên có được

ý nghĩa đầy đủ khi được giải thích trong ngữ cảnh này Nhiều sự phântích khác đã mang lại kết quả tương tự liên quan đến quá trình chuyểnđổi như thế nào có ảnh hưởng đến nội dung toán học khác (trường đại

số, đại số tuyến tính, giới hạn của hàm số, tỉ lệ, hình học, số vô tỉ, hàm

số, số học, thống kê, chứng mình, mô hình hóa, v.v ): nói một cáchđơn giản hơn, không có gì là vĩnh hằng, bối cảnh khái niệm tự do của

kĩ thuật, vấn đề được dạy luôn được định hình bởi lực lượng thể chế cái

mà có thể thay đổi tùy theo địa điểm và thời gian Những cuộc điều tranày nhấn mạnh tính tương đối về thể chế của kiến thức và chương trìnhnhững gì mở rộng hầu hết các hiện tượng có liên quan đến việc dạy vàhọc môn toán là ảnh hưởng nghiêm trọng bởi những khó khăn sắp tới,

từ các bước khác của quá trình sự chuyển đổi sư phạm Do đó, theo kinhnghiệm đơn vị phân tích nghiên cứu sư phạm trở nên rõ ràng, vượt xanhững mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh và các đặc điểm cá nhâncủa họ

Hình 1.5 Sự chuyển đổi sư phạm trong giáo dục Toán học Vị trí bên ngoài của các nhà nghiên cứu

e Sự cần thiết cho các mô hình nhận thức luận riêng của nhà nghiêncứu

Tham gia vào sự xem xét hiện tượng chuyển đổi có nghĩa cách dichuyển từ lớp học và được cung cấp với các khái niệm và yếu tố để mô

tả kiến thức căn bản và hành động liên quan đến các tổ chức khác nhautại những thời điểm khác nhau Để làm như vậy, sự giải phóng nhận thứcluận của người học và tổ chức trường học yêu cầu nhà nghiên cứu tạo ranhững quan điểm của chính họ về những loại kiến thức khác nhau canthiệp trong quá trình chuyển đổi sư phạm, bao gồm cả những cách thức

của họ mô tả kiến thức và nhận thức thực hành, nhận thức luận của họ.Trong một nghĩa nào đó, không có hệ thống tham chiếu đặc quyền nào

để từ đó để quan sát các hiện tượng xảy ra trong các thể chế khác nhauliên quan đến quá trình dạy học: người học, the noosphere, trường, vàlớp Nhà nghiên cứu nên xây dựng mô hình nhận thức luận tham khảocủa họ liên quan đến tri thức căn bản, liên quan đến thực tế họ muốntiếp cận (xem hình 1.5) Thuật ngữ: “mô hình” được sử dụng để nhấnmạnh thực tế rằng bấy kì quan điểm được cung cấp bởi nhà nghiên cứu(toán học là gì, đại số là gì, đo lường là gì, số âm là gì, v.v ) luôn luôncấu thành 1 hệ phương pháp đề xuất cho phân tích; như vậy, nó nên liêntục được hỏi và kiểm tra để đối chiếu kinh nghiệm

f Từ sự chuyển đổi sư phạm sang phương pháp tiếp cận nhân chủng họcKhi tri thức được coi là một sự thay đổi thực tế được thể hiện trongthực hành của con người đặt trong các thể chế xã hội, người ta khôngthể nghĩ về việc dạy và học trong điều kiện cá nhân Sự phát triển củaquan điểm nghiên cứu hướng tới một hệ thống phân tích nhận thức luậncủa tri thức hoạt động một cách rõ ràng xuất hiện trên nền tảng của họcthuyết nhân chủng học của Didactic Nó tiếp cận thông qua sự nghiêncứu các điều kiện cho phép và sự hạn chế cản trở sản xuất, phát triển, vàlan tỏa tri thức và, nói chung, bất kì loại hoạt động nào của con ngườitrong các tổ chức xã hội

1.2.3 Một trường hợp điển hình: Ba đường conic

a Nguồn gốc lịch sử

Các đường Conic là một chủ đề toán học được nghiên cứu một cách có

hệ thống và triệt để Những đường Conic được phát hiện bởi Menaechmus(người Hy Lạp, 375-325 năm trước công nguyên), từng là giám hộ choAlexander The Great, ông cho rằng các đường Conic được sinh ra từ cácmặt nón khác nhau

Tuy nhiên sau đó Apollonius (262-190 trước công nguyên) đã chứng minhrằng các đường Conic đều được sinh ra từ cùng một mặt nón Ông đãviết 8 cuốn sách "chuyên đề về các đường Conic" và đặt tên cho cácđường là Elip, Parabol và HyPerbol [14]