Vận dụng một số yếu tố lịch sử phát triển các tri thức toán học trong dạy học đại số 9

Qua quá trình nghiên cứu luận văn đã thu được một số kết quả: trình bày được vai trò của lịch sử toán học trong giáo dục toán học; đưa ra được các ví dụ vận dụng lịch sử phát triển tri thức toán học trong dạy học đại số 9.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỂN THỊ THANH LÝ VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THANH LÝ VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TỐN HỌC CHUN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mà SỐ: 8.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Cường HÀ NỘI - 2019 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tri ân sâu sắc tới thầy cô Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy Khoa Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Trần Cường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy - người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình, chu đáo có nhận xét, góp ý q báu giúp tơi suốt q trình thực luận văn hồn thành Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, anh chị Tơi khóa Cao học Toán quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi q trình hồn thành luận văn Dù có nhiều cố gắng, nhiên Luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Tôi mong nhận ý kiến, nhận xét thầy cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 16 tháng 08 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Lý i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV Giáo viên GD - ĐT Giáo dục đào tạo HS Học sinh ICME International Congress on Mathematical Education ICMI International Commission on Mathematical Instruction NCTM National Council of Teachers of Mathematics PPDH Phương pháp dạy học SGK Sách giáo khoa RME Realistic Mathematics Education THPT Trung học phổ thông TSGs Topic Study Groups Ws Working Groups ii DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 1.1 Albert Einstein (1879-1955) 16 Hình Hình Hình Hình Hình Định lý Pythagoras Cách Plato Chia đơi hình vng Chia ba hình vng √ Dựng hai đoạn thẳng tỉ lệ √ AC Chứng minh = 32 CB Minh họa cấp độ Minh họa câp độ Biểu diễn phương trình thành hình Chia hình chữ nhật Ghép hai hình chữ nhật vào hình vng Biểu diễn phương trình Parabol phần hình nón Vẽ Parabol dây, thước eke Nhân đôi khối lập phương Parabol 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Hình 2.6 Hình Hình Hình Hình Hình Hình Hình Hình Hình 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 iii 32 38 40 40 40 42 52 52 55 55 55 56 70 71 72 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ii DANH MỤC CÁC HÌNH iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích - nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng - phạm vi nghiên cứu Giả thiết khoa học Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Hiểu biết giáo viên Toán 1.1.1 Tri thức nội dung 1.1.2 Tri thức sư phạm 4 1.2 Vai trò yếu tố lịch sử dạy học mơn tốn 1.2.1 Gợi động hoạt động 1.2.2 Tổ chức hoạt động dạy học 17 1.3 Tìm hiểu tình hình nghiên cứu lịch sử tốn giáo dục 1.3.1 Một số nghiên cứu quốc tế 1.3.2 Tình hình nghiên cứu Việt Nam 23 23 25 Kết luận chương 27 CHƯƠNG VẬN DỤNG MỘT SỐ YẾU TỐ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CÁC TRI THỨC TOÁN HỌC TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ 28 2.1 Căn bậc hai Căn bậc ba 28 2.2 Hệ hai phương trình bậc hai ẩn 43 2.3 Phương trình bậc hai ẩn 49 2.4 Hàm số 64 iv Kết luận chương 73 CHƯƠNG BƯỚC ĐẦU THỬ NGHIỆM THIẾT KẾ BÀI DẠY 74 Kết luận chương 82 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vận dụng yếu tố lịch sử phát triển tri thức mơn tốn nhánh nghiên cứu quan trọng lĩnh vực Giáo dục toán học Hiểu biết lịch sử phát triển tri thức tốn học giúp người giáo viên gợi động học tập tích cực; học tốn trở lên sinh động, lơi cuốn; học sinh hiểu thêm ý nghĩa phát triển kiến thức mơn học từ thực tế Vận dụng thích hợp thông tin lịch sử phát triển tri thức tốn học học mơn tốn hướng tới mục tiêu quan trọng giáo dục toán học hình thành phẩm chất nhân cách, giới quan, lý tưởng, niềm tin vào thân cho người học Ngoài gợi động giáo dục nhân cách, tri thức lịch sử toán học, quan trọng cung cấp cho người giáo viên gợi ý phong phú để tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh Những tri thức toán học di sản tinh thần đồ sộ nhân loại, hình thành phát triển hàng ngàn năm lại trình bày cách hình thức giáo trình, thể q trình phát minh trải qua nhiều trở ngại, khó khăn lịch sử Nếu tìm hiểu, nắm tiến trình nói trên, người giáo viên cân nhắc tái – mơ lớp học cách thích hợp để hướng dẫn người học học toán theo hướng khám phá lại – phát minh lại (RME) Mặc dù có tiềm to lớn trên, nghiên cứu nước vận dụng yếu tố lịch sử phát triển tri thức tốn học dạy học chưa phong phú, giáo viên phổ thơng dường quan tâm khai thác, vận dụng lớp học Với yêu cầu trên, đề tài đặc biệt quan tâm tới nội dung Đại số Theo quan điểm đổi nội dung mơn Tốn chương trình phổ thơng: "Số Đại số sở cho tất nghiên cứu sâu Toán học, nhằm mục đích hình thành cơng cụ tốn học để giải vấn đề toán học, lĩnh vực khoa học khác có liên quan đạt kĩ thực hành cần thiết cho sống hàng ngày Hàm số công cụ quan trọng cho việc xây dựng mơ hình tốn học trình tượng giới thực Một mục tiêu quan trọng việc học Số Đại số tạo cho học sinh khả suy luận suy diễn, góp phần vào phát triển tư logic, khả sáng tạo toán học hình thành khả sử dụng thuật tốn" [1] Là giáo viên dạy tốn tơi ý thức rõ việc tích lũy kiến thức lịch sử phát triển tri thức toán học cho thân yêu cầu khơng thể thiếu Với lí lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụng số yếu tố lịch sử phát triển tri thức toán học dạy học đại số 9” Mục đích - nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích Mục đích luận văn từ tìm hiểu sở lý luận thực tiễn việc vận dụng tri thức lịch sử toán - tri thức luận dạy học Đại số Từ đó, đề xuất số phương án cụ thể vận dụng lịch sử toán dạy học Đại số nhằm gợi động học tập tích cực cho học sinh Nhiệm vụ Trình bày vai trò yếu tố lịch sử tốn học dạy học Toán Xác định tri thức lịch sử tốn học có liên quan đến môn Đại số Trường THCS Lựa chọn yếu tố lịch sử tốn học (khơng có sách giáo khoa) phù hợp với nội dung chương trình môn Đại số Đề xuất số phương án dạy học cụ thể có sử dụng yếu tố lịch sử toán Đối tượng - phạm vi nghiên cứu • Lịch sử phát triển tri thức tốn học có liên quan đến chương trình mơn Tốn trường THCS • Chương trình mơn Đại số cải cách hành Giả thuyết khoa học Các tri thức đại số dạy lớp có lịch sử hình thành lâu dài thường xuất phát từ nhu cầu tự nhiên nảy sinh thực tiễn lao động sản xuất Nếu xác định số yếu tố lịch sử toán – tri thức luận phù hợp để sử dụng với phương án hợp lý gợi động học tập tích cực cho học sinh, từ góp phần cải thiện chất lượng dạy học mơn tốn lớp Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Luận văn sử dụng số phương pháp phổ biến nghiên cứu lý luận, quan sát - điều tra, tổng kết kinh nghiệm bước đầu tiến hành số thử nghiệm sư phạm Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Vận dụng số yếu tố lịch sử phát triển tri thức toán học dạy học Đại số Chương 3: Bước đầu thử nghiệm thiết kế dạy biết đến nhiều với tám sách có chứa 487 đề xuất mang tên Phần hình nón Bốn sách phát gốc tiếng Hy Lạp, năm đến bảy tìm thấy dịch tiếng Ả Rập thứ tám chưa phục hồi (Phần Conic, nd) Khi giới thiệu hình nón, ông không cần thiết cho mặt phẳng cắt hình nón vng góc với Hơn nữa, ơng hình nón quyền, xiên tỷ lệ Ông bác bỏ ý tưởng phần hình nón đến từ hình nón khác chứng minh chúng xác định từ hình nón Apollonius đưa thuật ngữ parabola, hyperbola ellipse có nguồn gốc từ từ Hy Lạp cho ellipsis, paraboli hyperboli Hoạt động thiết kế dựa tìm hiểu lịch sử parabol Ví dụ 2.32 Hoạt động củng cố tích chất đồ thị hàm y = ax2 ; a = Giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động vẽ đồ thị hàm y = ax2 ; a = dây thước eke Hình 2.14 Vẽ Parabol dây, thước eke Dụng cụ cần chuẩn bị: thước eke; đoạn dây khơng giãn có chiều dài cạnh thước; ghim; bút chì Các bước vẽ: • Xác định điểm F mặt phẳng đường thẳng l • Cố định đầu đoạn dây với đỉnh eke, gọi tên điểm điểm A 71 • Đặt thước eke cho cạnh tam giác bên trùng với đường thẳng l • Lấy bút giữ chặt vào thước, di chuyển thước dọc theo đường thẳng l Đường bút vạch đường parabol (đồ thị hàm số y = ax2 ; a = 0) Ví dụ 2.33 [Bài tốn nhân đơi khối lập phương parabol ] Menaechmus - nhà toán học ngượi Hy Lạp (khoảng 380 - khoảng 320 trước Công nguyên)[7] thực khám phá ba đường conic hình nón ông giải vấn đề nhân đôi khối lập phương Ông giải vấn đề cách dùng giao điểm hai parabol Nếu chọn y = 2x y = x2 , giao điểm tìm có √ hồnh độ x = Hình 2.15 Nhân đơi khối lập phương Parabol Giới thiệu thêm cho học sinh việc dùng đồ thị để tính tốn Hệ toạ độ Descartes giúp ta tính giá trị hàm số thống qua vẽ đồ thị Nhà toán học Gaspart Monge người Pháp đặt móng từ mơn hình học họa hình 72 Kết luận chương Nội dung chương đề tài trình bày số yếu tố lịch sử phát triển tri thức toán học phù hợp đưa vào dạy học mộn Đại số Các yếu tố lịch sử toán học như: tiểu sử nhà toán học, câu chuyện gắn với trình nghiên cứu của, đời ý tưởng toán học, ứng dụng toán học thực tiễn ngành khoa học khác Đề tài đề xuất vấn đề vận dụng số yếu tố lịch sử tốn học q trình lịch sử tri thức toán học vào dạy học Đại số theo nội dung cụ thể chương trình Trong nội dung đưa ví dụ minh họa cụ thể để gợi ý cho giáo viên vận dụng lịch sử dạy học như: gợi động học tập, thiết kế hoạt động dạy học dựa vào hoạt động lịch sử, hoạt động củng cố, hoạt động trải nghiệm, mở rộng kiến thức Giới thiệu đại số, bên cạnh khái quát số học quy tắc hoạt động với số khái quát thành quy tắc chữ cái, nên có thành phần trực quan đưa giải thích hình học cơng thức đại số Với mơ hình này, tùy thuộc vào tình huống, tuyến tính biểu thức hiểu khu vực độ dài phân đoạn, bậc hai biểu thức hiểu khu vực Tất hoạt động quy tắc để hoạt động với chữ có giải thích họ mơ hình hình học Các hình thức sử dụng lịch sử tốn học ví dụ đảm bảo yêu cầu lí luận phù hợp với chương trình, học sinh cấp trung học sở Các kết chương hai góp phần làm phong phú tư liệu dạy học, giúp giáo viên có thêm số kiến thức lịch sử tốn liên quan đến chương trình Đại số 73 CHƯƠNG BƯỚC ĐẦU THỬ NGHIỆM THIẾT KẾ BÀI DẠY Bài chọn để thiết kế: "Căn bậc hai" , chương trình đại số Căn bậc hai Mục tiêu: Qua giúp học sinh 1.1 Kiến thức - Trình bày đời bậc hai lịch sử - Phát biểu định nghĩa biết ký hiệu bậc hai số học số không âm -Phát liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự dùng liên hệ để so sánh số 1.2 Kĩ - Tính bậc hai số không âm thuật tốn máy tính, tìm số khơng âm biết bậc hai - Biểu diễn bậc hai số không âm dạng đoạn thẳng - Giải toán so sánh bậc hai, so sánh hai số biết bậc hai 1.3 Thái độ - Thấy liên hệ toán học thực tiễn - Chủ động chiếm lĩnh tri thức - Mối quan hệ mật thiết đại số hình học 1.4 Định hướng phát triển lực - Giúp học sinh phát huy lực tính tốn, lực giải vấn đề, lực hợp tác, lực ngôn ngữ, lực tự học - Phầm chất: Tự tin, tự chủ Chuẩn bị: GV: Các hoạt động học tập, giáo án, phiếu học tập, bảng nhóm HS: Đồ dùng học tập, đọc trước Phương tiện đồ dùng dạy học - Thước, bút dạ, bảng phụ, bảng nhóm Tiến trình dạy học: 4.1 Ổn định: (1 phút) 74 4.2 Kiểm tra dụng cụ: GV kiểm tra đồ dùng, sách học sinh 4.3 Bài Hoạt động giáo viên Hoạt động Nội dung học sinh Hoạt động 1: Khởi động GV giới thiệu sơ lược Học sinh thực yêu nội dung chương trình cầu: mơn tốn a) Diện tích hình GV đưa u cầu: vng là: a) Hãy tính diện tích 7.7 = 49(cm2 ) hình vng cạnh b) Cạnh√ hình 7cm? vng là: 15 cm b) Hãy tìm cạnh hình vng, biêt diện tích 15 cm2 ? Hoạt động 2: Hình thành kiến thức + Mục tiêu: - HS trình bày định nghĩa bậc hai số học số không âm - Tính bậc hai số khơng âm thuận tốn (khơng tính trường hợp dùng máy tính bỏ túi) - Biểu diễn bậc hai số dạng đoạn thẳng + Nhiệm vụ học tập HS: làm tập HĐTP 1: Định nghĩa Căn bậc hai cách tính bậc hai - GV nhận xét: Bài toán a) toán lũy thừa học sinh học lớp 7, tốn b) tốn tìm bậc hai của 15 - Yêu cầu HS nhắc lại - HS trả lời kiến thức bậc hai học lớp - GV nhận xét, chuẩn - HS tiếp thu kiến thức 75 - GV yêu cầu học sinh - HS đọc yêu cầu ?1, làm ?1 SGK làm GV lưu ý có hai cách trả lời: Cách 1: Dùng định nghĩa bậc hai Cách 2: Dùng nhận xét bậc hai Ví dụ: Mỗi số dương có hai bậc hai đối nên −3 bậc hai 32 = (−3)2 = gọi bậc √ hai số học 9; gọi bậc hai số học 6; số a có bậc hai số học gì? - Gv yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa bậc hai số học số - GV nhận xét, chuẩn kiến thức, đánh giá mứa độ hiểu học sinh - GV cho HS tự lấy ví dụ ? Ngược với phép tính bậc hai số khơng âm - GV giới thiệu ý SGK a) Định nghĩa: √ Với a > 0, số a gọi bậc hai số học a Số gọi bậc hai số học √ HS: a bậc hai số học a - HS phát biểu theo ý hiểu b) Chú ý √ x= a x≥0 ⇔ x2 = a 76 GV cho học làm ví dụ theo nhóm ? Tại khơng có bậc hai số âm c) Ví dụ Tìm bậc hai số học (CBHSH) bậc hai số sau đây? a) 16 b) 81 c) 1.44 d) 135247 - Sau HS báo cáo kết quả, GV nhận xét việc hoạt động nhóm giới thiệu phương pháp tìm bậc hai Babylon BakhShali (xem ví dụ 2.3) - Yêu cầu học sinh tìm bậc hai số hai phương pháp ? Hãy so sánh hai phương pháp với cách tính ban đâu so sánh hai phương pháp với - GV giới thiệu thuật ngữ phép khai phương Yêu cầu HS nhà tìm hiểu HĐTP 2: So sánh bậc hai số học c) Ví dụ Căn bậc hai số học bậc hai số cần tìm là: a) b) c) 1.2 d) 367.76 HS lấy ví dụ bậc hai số học - Phép tính ngược phép tính bậc hai lũy thừa - Vì bình phương số khơng âm - HS hoạt động nhóm làm ví dụ Đại diện nhóm báo cáo cách tìm kết - HS thực độc lập - Thực hai phương pháp giúp tiết kiện thời gian độ xác cao So sánh bậc hai số học 77 - GV yêu cầu học sinh biểu bậc hai số 2, 3, dạng đoạn thẳng, thước eke bút (VD4) - GV gợi ý: dựng đoạn thẳng có độ dài √ dựa vào định lí Pyta-go ? So sánh độ dài√đoạn thẳng diễn √ √ biểu √ 3; Rút nhận xét - HS suy nghĩ, thảo a) Định lí luận đưa cách làm Với hai số a, b không âm, ta có √ √ a3 ⇒ 4> √ ⇔√ 2> b) √ 11 3 = 9√ mà √ 11√> √ ⇒ 11 > ⇔ √ 11 > - GV nhận xét, đánh gia, chỉnh sửa cách trình bày có làm học sinh - GV cho HS làm Ví dụ Tìm x khơng âm biết? √ a) x > √ b) x < - HS nhận xét làm bạn - Tiếp thu nhận xét giáo viên c) Ví dụ Tìm x khơng âm biết? √ a) x > √ Ta có = 1, nên √ √x >√ có nghĩa x > Vì x ≥ 0, suy √ x√> √ ⇔ x> ⇔ x > Vậy x > √ b) x < √ Ta có = 9, nên √ √x