Chuyên đề cấp số cộng cấp số nhân 6 trang đề

Cho các số , ,x y z theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.. Mục đíc

u u

n

u u



S

D.

40884833

Câu 8. Cho hai cấp số cộng  a n : a14; a27; ;a100 và  b n : b11; b26; ;b100. Hỏi có bao

nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên

Câu 9. Cho khai triển

9246

S 

49246

S 

Câu 13. Cho cấp số cộng  u n có các số hạng đều dương, số hạng đầu u1 và tổng của 1 100 số hạng

đầu tiên bằng 14950 Tính giá trị của tổng

Câu 17. Cho cấp số nhân u ,u ,u , ,u với công bội q (q ≠ 1) Đặt: 1 2 3 n Sn    Khi đó ta có:u u u1 2 n

A

 n 

1 n

u q 1S

u q 1S

Câu 21. Cho các số , ,x y z theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời theo thứ

tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng Biết tổng

148,9

x y z  

giá trị biểu thức T   x y z bằng

A

20

52

20

52.9

Câu 22. Cho năm số a , b , c , d , e tạo thành một cấp số nhân theo thứ tự đó và các số đều khác 0 ,

9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và

thứ tám của một cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T     a b c d

A.

10127

T 

10027

T 

10027

T  

10127

u 

và 1

13

S 

2952459049

S

2594259049

S

1243

S 

VẤN ĐỀ 3 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG ĐẠI SỐ

Mục đích : Ôn tập các bài toán đại số , số học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó Câu 27. Gọi x và 1 x là hai nghiệm của phương trình 2 x2- 4x a+ = , 0 x và 3 x là hai nghiệm của4

phương trình x2- + = Biết rằng x b 0 x , 1 x , 2 x , 3 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân4

có công bội dương Tính giá trị biểu thức P=ab.

A P=64. B.

1638481

P=

649

P=

6481

P=

Câu 28. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có

121500 con Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con

Câu 29. Đầu mùa thu hoạch cam, bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số cam thu hoạch được

và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số cam còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa sốcam còn lại và nửa quả,….Đến người thứ bảy, bác cũng bán nửa số cam còn lại và nửa quả thìhết số cam thu hoạch được Hỏi vào đầu mùa thu hoạch, bác nông dân đã thu hoạch được baonhiêu quả cam?

Câu 30 (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 ) Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm.

An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày

01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng Hỏi đến ngàysinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 )

A. 738.100 đồng B. 726.000 đồng C. 714.000 đồng D. 750.300 đồng

Câu 31 (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018

Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chínhmình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 Trong cácngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật củamình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018)?

A. 4095000 đồng B. 89000 đồng C. 4005000 đồng D. 3960000 đồng

Câu 32 (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như

sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếptục trồng như thế cho đến khi hết số cây Số hàng cây được trồng là

VẤN ĐỀ 4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG HÌNH HỌC Mục đích : Ôn tập những bài toán hình học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó Câu 33. Cho một hình tròn tâm O bán kính là R60m Dựng tam giác

đều A B C nội tiếp đường tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp1 1 1

tam giác A B C Cứ tiếp tục làm quá trình như trên Diện tích1 1 1

của tam giác A B C là9 9 9

A 0, 285m 2

B 1,14m 2

C 0,071m 2

D 145,92m 2

Câu 34. Cho hình vuông A B C D có diện tích 1 1 1 1 S Gọi1

Câu 35. Cho tam giác ABC cân tại A , có các cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự

đó lập thành một cấp số nhân Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

Câu 36. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB

theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị của q bằng2

A.

2 22



2 12



2 12



D.

2 22



Câu 37. Cho tam giác A A A vuông cân tại 1 2 3 A có cạnh 3 A A1 3  và có diện tích 1 S Lấy 1 A là trung4

điểm của A A , gọi 1 2 S là diện tích tam giác 2 A A A Lấy 2 3 4 A là trung điểm của 5 A A , gọi 2 3 S là3

diện tích tam giác A A A Tổng quát, lấy 3 4 5 A n3 là trung điểm cạnh A A n n1 và gọi S là diện n

tích tam giác A A A n n1 n2 Tính tổng S S 1   S2 S3 S2019.

A

2019 2019

Câu 38. Một hình vuông ABCD có cạnh AB250 , diện tích S1 Nối 4 trung điểm A1, B1, C1, D1 theo

thứ tự của 4 cạnh AB , BC, CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A B C D1 1 1 1 có diện tích S2.

Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A B C D2 2 2 2có diện tích S3và cứ tiếp tục như thế, ta

A 2 B

5

Câu 40 [SGD SOC TRANG_2018] Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể

hiện như hình vẽ Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Câu 41 (Sở GD &Cần Thơ-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau:

hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tụctrồng như thế cho đến khi hết số cây Số hàng cây được trồng là

Câu 42 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10 m theo

phương thẳng đứng Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng3

4 độ cao trước đó Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn

Câu 43. (Toán học và Tuổi trẻ - Tháng 4 - 2018 ) Có hai cơ sở khoan giếng A và B Cơ sở A giá mét

khoan đầu tiên là 8000 và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 so với

giá của mét khoan ngay trước đó Cơ sở B : Giá của mét khoan đầu tiên là 6000 và kể từ mét

khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước đó Mộtcông ty giống cây trồng muốn thuê khoan hai giếng với độ sâu lần lượt là 20 và 25 để phục vụsản xuất Giả thiết chất lượng và thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau Công tý ấynên chọn cơ sở nào để tiết kiệm chi phí nhât?

A. luôn chọn A

B. luôn chọn B

C. giếng 20 chọn A còn giếng 25 chọn B

D. giếng 20 chọn B còn giếng 25 chọn A

Câu 44 (THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - Lần 1 - 2018 ) Trong thời gian liên tục 25 năm,

một người lao động luôn gửi đúng 4.000.000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân

hàng M với lại suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng Gọi A đồng

là số tiền người đó có được sau 25 năm Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3.500.000.000 A 3.550.000.000. B. 3.400.000.000 A 3.450.000.000.

C. 3.350.000.000 A 3.400.000.000. D. 3.450.000.000 A 3.500.000.000.

Câu 45 (Đoàn Trí Dũng - Lần 7 - 2017 - 2018) Cho ba số thực dương a b c, , là ba số hạng liên tiếp

của một cấp số nhân đồng thời thỏa mãn điều kiện

P

D.

14

P

Câu 46 (THPT Sơn Tây - Hà Nội - 2018 ) Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước Họ thuê

một đội khoan giếng nước Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80.000 đồng, kể từ mét khoanthứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5.000 đồng so với giá của mét khoan trước đó Biết

cần phải khoan sâu xuống 50m mới có nước Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếngđó?

logu11 2log u3logu1 5 3 2logu3logu1 5 logu1 6 0

Tổng của bao nhiêu sốhạng đầu của dãy số bằng 4882,81

nào trong các khoảng sau

51.C

LỜI GIẢI

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1 BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH , ĐỊNH LƯỢNG TRONG CẤP SỐ CỘNG Câu 1. Cho cấp số cộng  u n

có u1  và công sai 2 d 7.Công thức của số hạng tổng quát là

Câu 4. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng ?

1

1:

n

u u

n

u u

Câu 5. Cho cấp số cộng (u )n biết :

10 2

68



S

D.

40884833

2

Câu 7. Cho cấp số cộng  u n thỏa

10.26

u d n

Câu 8. Cho hai cấp số cộng  a n : a14; a27; ;a100 và  b n : b11; b26; ;b100. Hỏi có bao

nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên

Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.

Câu 9. Cho khai triển

1 2 2017

1

1 1 2 2017 2 1 2 2017 2017 1 2 20172

Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc đoạn 0;2018

S

9246

S 

49246

Ta có v n 1v n ��3n  1 2��3n2  ,3  ��n * nên  v n

là một cấp số cộng có số hạng đầu v13.1 2 1  và công sai d 3.

Ta có cos3xsin3xsin 2xsinxcosx

sinxcosx 1 sin cos x x 2sin cosx xsinxcosx

�

sinxcosx 1 sin cos x x 1 2sin cosx x

� �sinxcosx sin cosx x 2sin cosx x

 sin cosx x 2 sin xcosx 0

sin cos 0sin cos 2

, suy ra các nghiệm của phương trình đã cho trong

0;2018 tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai 0 d 2





và có 4037 số hạng

Vậy tổng cần tìm là

40372.0 4036 8146666

- Ôn tập Bài toán định lượng : thiên về tính toán , sử dụng nhiều phép biến đổi

Câu 17. Cho cấp số nhân u ,u ,u , ,u với công bội q (q ≠ 1) Đặt: 1 2 3 n Sn    Khi đó ta có:u u u1 2 n

A

 n 

1 n

u q 1S

u q 1S

Chọn A

Dãy 1, -3 , 9 , -27 , 81 là cấp số nhân với công bội q = -3

Dãy 1 , -3 , -6 , -9 , -12 không phải là cấp số nhân vì

Dãy 0 , 3 , 9 , 27 , 81 không phải là cấp số nhân vì u = 0 , u1 2 �0

Câu 19 Dãy số nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A 1; 2; 3; 4; 5 B 1; 2; 4; 8; 16 C 1; 1; 1; 1; 1  . D 1; 2; 4; 8; 16  .

Lời giải

Tác giả: Trần Tiến Đạt; FB: Tien Dat Tran

Chọn A

Dãy 1; 2; 4; 8; 16 là cấp số nhân với công bội q2.

Dãy 1; 1; 1; 1; 1  là cấp số nhân với công bội q 1.

Dãy 1; 2; 4; 8; 16  là cấp số nhân với công bội q 2.

Dãy 1; 2; 3; 4; 5 là không là cấp số nhân.

Câu 20. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân?

u u

n n

2

1

n n

n u

n n

Câu 21. Cho các số , ,x y z theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác 1; đồng thời theo thứ

tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng Biết tổng

148,9

x y z  

giá trị biểu thức T   x y z bằng

A

20

52

20

52.9

q a q

q a

9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và

thứ tám của một cấp số cộng Tính giá trị biểu thức T     a b c d

A.

10127

T 

10027

T 

10027

T  

10127

1 2148 39

Và cấp số cộng có u1 , a u4  , b u8  Gọi c x là công sai của cấp số cộng Vì cấp số nhân

có công bội khác 1 nên x� 0

Ta có :

37

a x

u 

và 1

13

S 

2952459049

S

2594259049

S

1243

q

phương trình x2- + = Biết rằng x b 0 x , 1 x , 2 x , 3 x theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân4

có công bội dương Tính giá trị biểu thức P=ab.

A P=64. B.

1638481

P=

649

P=

6481

32 2 64.

9 9 81

P=ab= =

Câu 28. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp ba biết rằng sau 4 phút người ta đếm được có

121500 con Hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 3280500 con

Câu 29. Đầu mùa thu hoạch cam, bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số cam thu hoạch được

và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số cam còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa sốcam còn lại và nửa quả,….Đến người thứ bảy, bác cũng bán nửa số cam còn lại và nửa quả thìhết số cam thu hoạch được Hỏi vào đầu mùa thu hoạch, bác nông dân đã thu hoạch được baonhiêu quả cam?

Người thứ bảy đã mua: 7

12

x quả

Sau khi người thứ bảy mua thì hết số cam thu hoạch được nên ta có phương trình:

Câu 30 (Lương Văn Chánh - Phú Yên – 2017 - 2018 ) Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm.

An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày

01 tháng 01 năm 2016 , sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng Hỏi đến ngàysinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền ? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016 )

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là: u1100.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là: u2 100 1.100 .

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là: u3 100 2.100 .

…

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ n là: u n   u1 n 1d 100 n 1 100 100n.

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là: u121100.12112100.

Sau 121 ngày thì số tiền An tích lũy được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu u1 100, công sai d 100.

Vậy số tiền An tích lũy được là 121  1 121

1212

Câu 31 (Sở GD Cần Thơ-Đề 302-2018) Sinh nhật lần thứ 17 của An vào ngày 01 tháng 5 năm 2018

Bạn An muốn mua một chiếc máy ảnh giá 3850000 đồng để làm quà sinh nhật cho chínhmình nên An quyết định bỏ ống heo 1000 đồng vào ngày 01 tháng 02 năm 2018 Trong cácngày tiếp theo, ngày sau bỏ ống nhiều hơn ngày trước 1000 đồng Hỏi đến ngày sinh nhật củamình, An có bao nhiêu tiền (tính đến ngày 30 tháng 4 năm 2018)?

đồng

Câu 32 (Sở GD Cần Thơ-Đề 324-2018) Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như

sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 2 cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếptục trồng như thế cho đến khi hết số cây Số hàng cây được trồng là

30032

n��  n �� �n n  1 6006�n2 n 6006 0

7778

n n



�

� � � � n77(vì n��).

Vậy số hàng cây được trồng là 77.

VẤN ĐỀ 4 CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TRONG HÌNH HỌC Mục đích : Ôn tập những bài toán hình học ẩn chứa cấp số cộng , cấp số nhân vào trong đó Câu 33. Cho một hình tròn tâm O bán kính là R60m Dựng tam giác đều A B C nội tiếp đường1 1 1

tròn, sau đó lấy đường tròn nội tiếp tam giác A B C Cứ tiếp tục làm quá trình như trên Diện1 1 1

tích của tam giác A B C là9 9 9

S S � �� � m

� �

Câu 34. Cho hình vuông A B C D có diện tích 1 1 1 1 S Gọi 1 A B C D n n, n, n, n   �,n 2 lần lượt là trung

điểm của A B n1 n1,B C n1 n1,C D n1 n1,D A n1 n1 Hình vuông A B C D có diện tích n n n n S Tính giới n

hạn tổng diện tích n hình vuông đầu tiên

Câu 35. Cho tam giác ABC cân tại A , có các cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự

đó lập thành một cấp số nhân Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó.

Câu 36. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , biết độ dài cạnh đáy BC , đường cao AH và cạnh bên AB

theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q Giá trị của q bằng2

A.

2 22



2 12



2 12



D.

2 22





Câu 37. Cho tam giác A A A vuông cân tại 1 2 3 A có cạnh 3 A A1 3  và có diện tích 1 S Lấy 1 A là trung4

điểm của A A , gọi 1 2 S là diện tích tam giác 2 A A A Lấy 2 3 4 A là trung điểm của 5 A A , gọi 2 3 S là3

diện tích tam giác A A A Tổng quát, lấy 3 4 5 A n3 là trung điểm cạnh A A n n1 và gọi S là diện n

tích tam giác A A A n n1 n2 Tính tổng SS1 S2 S3 S2019.

A

2019 2019

Giả sử điều phải chứng minh đúng đến n k (k� ) Tức là ta có 1 A A A k k1 k2 vuông cân tại

S   

.Thật vậy, do tam giác A A A k k1 k2 vuông cân tại A k2 và A k3 là trung điểm của A A k k1 nên

Ta có

2019 2019

11

Câu 38. Một hình vuông ABCD có cạnh AB250 , diện tích S1 Nối 4 trung điểm A1, B1, C1, D1 theo

thứ tự của 4 cạnh AB , BC, CD , DA ta được hình vuông thứ hai là A B C D1 1 1 1 có diện tích S2.

Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba A B C D2 2 2 2có diện tích S3và cứ tiếp tục như thế, ta

Giả sử (*) đúng với n k � , ta có 1 2

12

S  AC

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n k  Tức là chứng minh 1 1 1 2

12