chuyên đề 7 dãy số

Câu � � un  cos � 2n  1 �  u  � � Cho dãy số n có số hạng tổng quát u  Tổng 2018 số hạng dãy số n : 3  A B C D Lời giải Tác giả:Lưu Thị Thêm ; Fb: Lưu Thêm Chọn C    � � � un   cos �  cos �  cos �  un  2n  11 �  2n  1  2 �  2n  1 � � � � * 6 � � � � � � Có , n �N u1  u7  u13   u2011  u2017 � � u2  u8  u14   u2012  u2018 � � u3  u9  u15   u2013 � �� u4  u10  u16   u2014 � � u  u11  u17   u2015 �5 u6  u12  u18   u2016 � � u1  u2   u6  u7  u8   u12   u2011  u2012   u2016 � S2018   u1  u2   u6    u7  u8   u12     u2011  u2012   u2016    u2017  u2018   336  u1  u2   u6    u1  u2  �3 � 3�� 3� � 3� � 3  336 �   �        � � � � � � � �� � �2 � 2 �� � �� � � � Câu u u u u u u1 = ; un+1 = n , n �1 S n = + + + + n ( u ) u + n n Tìm Cho dãy số n thỏa mãn Đặt 2019 Sn > 2020 giá trị nhỏ n để A 2019 B 2020 C 2018 D 2021 Lời giải Tác giả: Lê Xuân Hưng ; Fb: Hưng Xuân Lê Chọn B Từ hệ thức truy hồi ta có un > 0, " n �1 Ta có un+1 = un 1 � = +1 un +1 un+1 un Do �1 � � � � � =2 � � un � � �là cấp số cộng có u1 cơng sai d = , = +( n - 1) = n +1 u n suy , " n �1 Do un = u 1 1 � n= = n n ( n +1) n n +1 n +1 , " n �1 1 1 1 1 Sn = - + - + - + + = 11 2 3 n n +1 n +1 Ta có Khi Câu Sn > 2019 2019 � 1> � n > 2019 2020 n +1 2020 Do n = 2020  bn  thỏa mãn b2  b1 �1 hàm số f  x   x3  3x Cho cấp số nhân 100 f  log  b2     f  log  b1   Giá trị nhỏ n để bn  bằng: A 234 B 229 C 333 D 292 thỏa Lời giải Tác giả: Lê Cảnh Dương,Tên FB: Cảnh Dương Lê Chọn A Xét hàm số Có f  x   x3  3x f�  x   3x  , f �  x   � x  �1 3  1 Mặt khác, ta có b1  b2 �1 Suy a  log b2  log b1  b �0 Ta có: a  3a   b  3b 3 �  1 Nếu b  � a  b  � a  3a  b  3b vô nghiệm 3 � a  1 Nếu �b �1 � 2  b  3b �0 � a  3a  �0  �b 0 � b1  20  � � b  21  � bn  2n1  5100 � n   100 log Khi �2 n  a   �0 Suy a 1 234  Vậy giá trị nhỏ n 234 Câu u1  2019 � � � 2019 un    u1  u2  u3   un1  , n  � u n Cho dãy số  n  xác định bởi: � Tính giá trị 2019 A  2.u1  u2   u2019 biểu thức 2019 A B 2019 C D Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Chọn D Ta có có  n  1 ! 1 n! 1 Cnk    Cnk11 k 1 k  k !  n  k  ! n   k  1 ! � ! n 1  n  1   k  1 � � � 1 k k 1 k 1 C2018 u1  C2019 2019  C2019 2019 suy S  k  Từ giả thiết suy nun  2019  u1  u2  u3   un 2   2019un 1   n  1 un 1  2019un 1   n  2020  un 1 � un  Suy u2  n  2020 un1 n u2   2018 1 1 u1   C2018 u1   C2018 2019  C2019 2 2017.2018 u1 2.3 u3    C2018 u1  C2019 2016.2017.2018   C2018 u1  C2019 2.3.4 u2019   2018 2019 C2018 u1  C2019 2019 2019     S  2.C12019  22 C2019  23 C2019  24 C2019   2019 C2019 Suy Câu Cho dãy số  un  xác định A u2018  10 2018 1  u1  11 � � un 1  10un   9n, n �1 � B u2018  2018 2019 2018 Tính u2018 ? C u2018  2018 2018 D u2018  10  2018 Lời giải Tác giả : Trần Quốc Đại, FB: Trần Quốc Đại Chọn D Cách Phân tích: u1  11  10  u2  10u1    10.11   102  10  u3  10u2   18  10.102  17  1003  103  nên dự đoán un  10 n  n u  11  10  Giả sử với n  k �1 � uk  10k  k Chứng minh quy nạp: n uk 1  10.uk   9.k  10 10k  k   9k  10k 1  k  Vậy un  10  n nên  u2018  102018  2018  Cách 2: un 1  10un   9n � un 1   n  1  10  un  n  Đặt  un  n � vn1  un 1   n  1 v1  u1   10 , ta có dãy số cấp số nhân có cơng bội q  10 v1  10 v1  10 � � 1  10vn , n �1 � ,   n 1 n 1 n n n Ta có cơng thức tổng qt  v1q �  10.10  10 � un  n  10 � un  10  n 2018 Do u2018  10  2018 Câu Cho dãy số  xn  xác định �x1  � * 2n   xn �xn1 �x   n2  x , n �� n �n Giá trị x2018 20182 A 2019 8144648 C 12107 8144648 B 12105 8144648 D 12103 Ta có xn xn 1 2n   3xn ( n  1) xn xn 1 xn 1  � xn 1  �   n xn n  3xn n  3xn (n  1) n  3xn  xn n2 yn  Đặt yn  Đặt xn yn 1 , n ��* � yn 1  �  3 n  yn yn 1 yn y1  xn yn 1 � yn 1  �  3 n  yn yn 1 yn un  , n ��* � un 1  un  yn u1  ( u ) công sai d=3 Suy n cấp số cộng với � un  � xn  � x2018 Câu  (n  1)3  3n  2 2n , n ��* 6n  8144648  12103 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết A C x x tan tan  2 y với x, y �� y tối giản Tính giá trị x  y A B C D Lời giải Tác giả : Nguyễn Ngọc Duy ; FB :Ngọc Duy Chọn A Ta có: a  c  2b � sin A  sin C  2sin B � 2sin AC AC B B cos  4sin cos 2 2 AC AC AC AC cos  4sin cos 2 2 AC AC A C A C A c A C � cos  cos � cos cos  sin sin  cos cos  2sin sin 2 2 2 2 2 � 2sin � 3sin A C A C A C A C sin  cos cos � tan tan  � tan tan  2 2 2 2 Do x  y    Câu Cho (un ) cấp số cộng với số hạng dương Sn tổng n số hạng Giả sử S2018 20182 u2018 a a   S2019 2019 u2019 b , với b phân số tối giản a, b số nguyên dương Tính tổng a  2b A 6056 B 6055 C 12107 D 12109 Lời giải Tác giả: Phạm Công Dũng; Fb: Phạm Công Dũng Chọn D Gọi u1 d số hạng đầu công sai cấp số cộng (un ) 2018 (2u1  2017d ) S 2018 20182 20182  �  2019 S2019 20192 2019 (2u1  2018 d ) Ta có � 2u1  2017 d 2018  2u1  2018 d 2019 � 4038u1  2017.2019d  4036u1  20182 d � d  2u1 u2018 u1  2017 d u1  2017.2u1 4035u1 4035     u u  2018 d u  2018.2 u 4037 u 4037 1 1 Khi 2019 Theo đề ta có a  4035, b  4037 nên a  2b  12109 Câu Cho dãy số  un  u1  � � u  un2020  2018un2019  un xác định sau: �n 1 , với n  1, 2,3, � u12019 � u32019 un2019 u22019 lim �     � u2  2018 u3  2018 u4  2018 un 1  2018 � � Tính A 2019 B 2019 C 2019 D 2019 Lời giải Tác giả :Trần Quốc An Facebook: Tran Quoc An Chọn D *) Nhận xét un �1 với n  1, 2,3, 2020 2019 u  *) Xét un 1  un  un  2018un  với n  1, 2,3, , nên dãy n tăng *) Giả sử dãy  un  bị chặn trên,  un  có giới hạn Giả sử lim un  a �1 2020 2019 Từ hệ thức un 1  un  2018un  un chuyển qua giới hạn có a  a 2020  2018a 2019  a � a  �a  2018 (vô lý) Vậy, dãy  un  không bị chặn Suy lim un  � *) Ta có uk2019  uk  2018  uk2019 uk 1  uk 1     uk 1  2018  uk 1  2018   uk  2018   uk 1  2018   uk  2018  uk  2018 uk 1  2018 u32019 un2019 u12019 u22019 1       un 1  2018 u1  2018 un 1  2018 Do : u2  2018 u3  2018 u4  2018 � u 2019 � � � u32019 un2019 u22019 lim �      � lim � � un 1  2018 � �u2  2018 u3  2018 u4  2018 �u1  2018 un 1  2018 � Vậy :  1  u1  2018 2019 50 Câu 10 Một hình vng ABCD có cạnh AB  , diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 theo thứ tự cạnh AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1 B1C1 D1 có diện tích S Tiếp tục ta hình vng thứ ba A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta diện tích S4 , S5 , Tính S  S1  S  S3   S100 101 101 100 A S   B S   C S   100 D S   Lờigiải Tác giả : Phùng Văn Thân,Tên FB:Thân Phùng Chọn A Dễ thấy: S1  2100 ; S2  299 ; S3  298 ; ; S100  q S , S , S , , S 100 cấp số nhân với công bội Như S  S1  S   S100  2100 � � 2100 �  100 � � 101 � 99 98       2 1 Câu 11 Xét dãy số nguyên x1  34, x2  334, x3  3334,K , xn  33 34 (có n số 3) Hỏi có chữ số số 9x2018 ? A 6054 B 6055 C 6056 D 6057 Lời giải Tác giả : Trình Hồi Nam, FB: Trình Hồi Nam Chọn A n 1 Ta đặt un  3xn  Khi un  10  10n1  10n 1  xn  � xn  3  Lại có �   103n3   2.10 2n  4.10n1  3   103n3    10  1 103n 2  103n1  L  10  103n 3   103n 2  103n1  L  10      � xn3  103n   103n 1  L  10   2.102 n  4.10n1  Để ý 10 3n   103n1  L  10   111 111 (có 3n +2 số 1) 2.102n  2000 00 (có 2n +2 số 0) 4.10n1  400 00 (có n+1 số 0) � xn3  33 33533 33733 336 (trước có n số 3, có n số 3, có n số 3) � xn3 có 3n số u un 1  n  (u ) u  2018 2019n 1 với n nguyên dương Tính giới Câu 12 Cho dãy số n xác định A  lim un x � � hạn 2019 2018 A 2018 B 2018 C 2019 D Lời giải Tác giả : Lý Văn Công, FB: Hà Minh Chọn D n 1 un 1  un �2018 �  � 2018n 1 un 1  2018n un  � n � n 1 2018 2019 �2019 � Đặt  2018 un ta Do v1  2018 n 1 �2018 � 1   � � �2019 � với n nguyên dương Suy  (vn  1 )  (vn 1   )  L  (v2  v1 )  v1 n � �2018 � �  k � �� n 2018 � � 2019 �� �2018 � �  ��  2018 � 2018  2019 � 2019 �  2018 � k 1 � � 2019 � � � n n n � �2018 � � 2018 � �2018 �� � �2018 ��  2018 � 2 �u   2  2 �� �� �� � � � n 2018n 2018n � � � � 2018n 1 � � � 2019 2019 2019 � � � � � �� � � � � � � n � � �2018 � � � lim un  lim �  � � lim un  � � �� n 1 � � * x �� x ��� x �� � 2018 2019 � � u  0,  n �� � � � � Vì n mà Câu 13 Cho dãy số (u n ) xác định u1  A  lim  u1  u2 L un  x �� hạn 2018 2017 A 2019 B 2019 un 1  un  2018 2019n 1 với n nguyên dương Tính giới 2017 C 2018 2019 D 2017 Lời giải Tác giả : Lý Văn Công, FB: Hà Minh Chọn D n 1 u �2018 � un 1  n  � 2018n 1 un 1  2018n un  � n � n 1 2018 2019 �2019 � Đặt  2018 un ta Do v1  2018 n 1 �2018 � 1   � � �2019 � với n nguyên dương Suy  (vn  1 )  (vn 1   )  L  (v2  v1 )  v1 n � �2018 � � 1 � k � � � n 2018 � �2019 �� �2018 �  ��  2018 � 2018  2019 � 2019 �  2018 � k 1 � � 2019 � � � n n n � �2018 � � 2018 � �2018 �� � �2018 ��  2018 � 2� � u      � n � � �� �� n 1 � � �2019 � � � � � 2018n 2018n � �� � � � �2019 �� 2018 � �2019 �� k n n � �2018 �� 1 u    4036  2018 � � � � � � k �� k 1 � � k k k 1 k 1 2018 k 1 2018 k 1 2019 � �2019 �� n Do n Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta A  lim  u1  u2  L un  x �� 1 4036 2019  4036 � 2018  2018 � 2019  1  1 2017 2017 1 1 2018 2019 � �x1  ; n �N * � x  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  Câu 14 Cho dãy số ( xn ) có �n 1 n a a yn  � lim yn  i 1 xi  b với b phân số tối giản a, b nguyên dương Khi tọa Đặt Biết độ M(b; a) nằm đường tròn 2 2 A ( x  1)  ( y  2)  B ( x  1)  ( y  1)  2 C ( x  1)  ( y  1)  10 2 D ( x  1)  y  10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huệ Fb: Nguyễn Thị Huệ Chọn D xn 1  ( xn  xn )( xn  3xn  2)   ( xn  xn  1)  xn  3xn  Từ giả thiết 2 * Lại có xn 1  xn  xn  xn   ( xn  1)  0; n �N Suy ( xn ) dãy số tăng Giả sử ( xn ) dãy bị chặn � lim xn  a � a  3a   a � a  1 Vô lý Vậy limx n  � Mặt khác xn 1   xn  xn  � xn 1   ( xn  1)( xn  2) 1 1 1 1 �  �   �   ( xn  2)( xn  1) xn 1  xn  xn  xn 1  xn  xn  xn 1  Vậy yn  1  lim yn  xn 1  � � M (2;1) Chọn đáp án D Câu 15 Cho dãy số  un  xác định � u1  � � 16 � un 1  9un   3un  4, n �� � Tìm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn un  10 A B 10 C 12 D 13 Tác giả: Trần Tố Nga, FB: Tố Nga Trần Lời giải Đặt xn   3un , n �� Ta có xn �0 xn2   3un , n �� � un  Thay vào giả thiết ta � xn21   3xn   xn2  xn21  xn2  9  xn  3  x     xn    Suy xn 1  3xn  n �� Giả sử n 1   1 y  Xét dãy n xác định q  yn  xn  Khi  yn  cấp số nhân với y1  x1   , công bội 9 � yn  3n 1 � xn  3n 1  4 �9 n 1 � �  1� � � un  � �9 � un  10 � � 3n 1  1� 3.108  �4 � Có � n1 n 1   3.108    n �� (do )   � 4� � � � n  log3 � � 3.10   � � 9� � � � � n  9,14 Vậy n nhỏ 10 � Chọn B Tác giả: Trần Tố Nga, FB: Tố Nga Trần Câu 16 Xét cấp số nhân có 2n  số hạng dương ( n số nguyên dương) thỏa tổng tất số hạng 400 tổng tất nghịch đảo số hạng Giá trị lớn n A 17 B 18 C 19 D 20 Lời giải Tác giả : Ngô Lê Tạo, FB: Ngô Lê Tạo Chọn C a a a a , n 1 , n , , , a, aq, , aq n 1 , aq n n q q Đặt số hạng cấp số nhân q q với a, q số dương Ta có � �1 a �a n 1 n� n 1 n �q n  q n 1   a   aq  aq  400 �a �q n  q n 1     q  q � 400 � �� � �� �n n 1 �q  q       �1 �q n  q n 1      � n 1 n � � �� a a aq aq q n 1 q n � �a �a � � �1 n 1 n� �a � n  n 1     q  q � 400 � � �q q � �2 �a  100 1 �1 n n 1 � n  q  n 1  q    q   40 (*) q q � �q �a  10 � Muốn tồn cấp số nhân điều kiện cần đủ phương trình Xét hàm số f  x  f  x   * phải có nghiêm dương 1  x n  n1  x n 1    x  n D   0; � x x x liên tục Ta có 1  x n  n 1  x n 1    x  �2      n  n x4 43 x 43 x { Dấu xảy x  lim f  x   �, lim f  x   � x �0  x �� 2n  1; � Suy tập giá trị hàm số f D  Phương trình  * có nghiêm dương 40 �+ +2n 1 n 19,5 Vậy giá trị lớn n 19 (bất đẳng thức Cauchy) u n  u n1  n  Cộng n đẳng thức theo vế ta   un       n     n  1 n  Vậy số hạng tổng quát dãy số cho u2018   20182  2018    2035154 u2019   20192  2019    2037172 2 un  n n 2 n2    n  , n �1 S     2017  u2018  u2019     2017  2035154  2037172     2017  2018  2018.2019  2037171 Cách 2: un 1  2un  un 1  1; n �2 � un1  un  un  un1  1; n �2  * Đặt  un 1  un , n �2 v1  u2  u1   * �  vn1  1, n �2 cấp số cộng có v1  cơng sai    n  1  n, n �1 d  nên S     2017  u2018  u2019     2017   u2019  u2018      2017  v2018     2017  2018  Câu 29 Cho dãy số 2018.2019  2037171  un  xác định A lim un  � u1  � , n �1 � 2 �  n   un   n  1 unun 1  n un1 � B lim un  4 lim un  C Tìm lim un D lim un  3 Lời giải Tác giả :Cao Văn Tùng, Fb: Cao Tung Chọn B * Dễ thấy un �0, n �� Từ giả thiết ta có * Với n �� , đặt  n  2   n  2 un 1  n2   n  1 un 1  un ta có v1  1� 2� 1� n2 � v   n v   n  � n  v  n v � v  v     n 1 n n 1 �n 1 � �n � n 4� � 4� �  n  2 2 2 2 4 �n  ��n  ��n  � �3 ��2 ��1 �  � �� v  �� � � �� �� �v1  2 �n  �� n ��n  � �5 ��4 ��3 �  n  1 n  n  1 n Do � lim  �1 � 1 1 lim  lim �  � lim   � lim   � lim un  4 un un �un � Ta có Câu 30 Cho (un ) dãy n  5n un  n n  Giả với sử : a ( )100  c 1 1 S     b u1  u2  u3  u100  ba ( a, b c số nguyên dương a, b hai số dương nguyên tố nhau) Khi đó: a+c=? A 151 B 153 C 152 D 154 Lời giải Tác giả : Lê Thị Nguyên,Tên FB: Ngọc Giang Nguyên Chọn B 2n  5n 2.5n 2n  5n 1 un   n 1  n �   [1  ( ) n ] n n n 5 5 un  2.5 Ta có : Do đó: S 1 1 1 2      [100+( )1 +( ) + +( )100 ] u1  u2  u3  u100  5  ( )100 1 = [100+ ] 1 1 2 = [100+ (1  ( )100 )] ( )100  151 = Từ đó: a  2, b=5, c=151 nên : a  c  153 �a1  2008 � �a1  a2   an  n an , n  Câu 31 Cho dãy số thực a1 ; a2 ; ; an xác định A 2009 B 2007 C 2007 Tính a2008 D 2009 Lời giải Sưu tầm : Nguyễn Minh Cường, FB: yen nguyen Chọn D Ta có a1  a2   an 1   n  1 an 1 Do a1  a2   an   a1  a2   an 1   an   n  1 an1  an Ta có phương trình  n  1 an 1  an  n an � an  n 1 an 1 n 1 an  Suy n 1 n  n  2a1 a1  n 1 n n 1 n  n  1 Cho n  2008 ta a2008  2.2008  2008.2009 2009 u1  � � n � �1 � un 1  un  � �, n ��* � (u ) �2 � Câu 32 Cho dãy số n xác định � Có số nguyên dương n 1999 un < 1000 cho A 11 B 10 C 15 D Vô số Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương,Tên FB: Trần Đức Phương Chọn B Ta có � � � � � � u2 = u1 + � � � � 1- n � �� 1� � 1 1� = 2� � � u3 = u2 +� � u = + + + + = = - n- � � � � n n- n� � � � � � �� � � 2 2 � 1� � � � � n- �� 1� � � � u n = u n- + � � � � � � �� � � u1 = un < �1 � 1999 1999 1 � � - n- < � n- > � n - < log �