chuyên đề 7 Dãy số

Câu Cho dãy số Tổng A 2018 ( un ) π  un = cos  ( 2n − 1)  có số hạng tổng quát 6  số hạng dãy số B − ( un ) : C D Lời giải Tác giả:Lưu Thị Thêm ; Fb: Lưu Thêm Chọn C π π π     un +6 = cos ( 2n + 11)  = cos ( 2n − 1) + 2π  = cos ( 2n − 1)  = un Có , ∀ n∈ N* 6 6     u1 = u7 = u13 = = u2011 = u2017 u = u = u = = u = u 2012 2018  14 u3 = u9 = u15 = = u2013 ⇒ u4 = u10 = u16 = = u2014 u5 = u11 = u17 = = u2015  u6 = u12 = u18 = = u2016 ⇒ u1 + u2 + + u6 = u7 + u8 + + u12 = = u2011 + u2012 + + u2016 ⇒ S2018 = ( u1 + u2 + + u6 ) + ( u7 + u8 + + u12 ) + + ( u2011 + u2012 + + u2016 ) + ( u2017 + u2018 ) = 336 ( u1 + u2 + + u6 ) + ( u1 + u2 )   3  3 3   = 336  + +  − ÷÷ +  − ÷÷ + +  +  + ÷÷ =         Câu u u1 u2 u3 un u1 = ; un+1 = n , n ³ S = + + + + un +1 Cho dãy số (un ) thỏa mãn Đặt n n Tìm giá trị nhỏ A n để 2019 Sn > B 2019 2020 2020 C 2018 D 2021 Lời giải Tác giả: Lê Xuân Hưng ; Fb: Hưng Xuân Lê Chọn B Từ hệ thức truy hồi ta có un > 0, " n ³ ổ1 ữ un 1 ỗ ữ un+1 = = +1 =2 ỗỗ ữ un +1 un+1 un Do èun ÷ ø cấp số cộng có u1 Ta có cơng sai d =1 , = +( n - 1) = n +1 suy un , "n ³ Do un = u 1 1 Þ n= = n n ( n +1) n n +1 n +1 , " n ³ 1 1 1 1 1 Sn = - + - + - + + =1Ta có 2 3 n n +1 n +1 Khi Câu Sn > 2019 2019 Û 1> Û n > 2019 Do n = 2020 2020 n +1 2020 ( bn ) thỏa mãn b2 > b1 ≥ hàm số f ( x ) = x3 − 3x f ( log ( b1 ) ) Giá trị nhỏ n để bn > 5100 bằng: Cho cấp số nhân f ( log ( b2 ) ) + = A 234 B 229 C 333 D thỏa 292 Lời giải Tác giả: Lê Cảnh Dương,Tên FB: Cảnh Dương Lê Chọn A Xét hàm số Có f ( x ) = x − 3x f ′ ( x ) = 3x − , f ′ ( x ) = ⇔ x = ± Mặt khác, ta có Nếu b1 > b2 ≥ Suy a = log b2 > log b1 = b ≥ Ta có: a3 − 3a + = b3 − 3b ( 1) b > ⇒ a > b > ⇒ a3 − 3a > b3 − 3b ⇒ ( 1) vô nghiệm ≤ b ≤ ⇒ − < b3 − 3b ≤ ⇒ a3 − 3a + ≤ ⇒ ( a − 1) ( a + ) ≤ Suy a = ⇒b=0 Nếu  b1 = 20 =  n− 100 Khi  b2 = = ⇒ bn = > ⇔ n − > 100log ⇒ n ≥ 234 Vậy giá trị nhỏ Câu n 234  u1 = 2019   2019 u = − ( u1 + u2 + u3 + + un−1 ) , n > Tính giá trị n  Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  n biểu thức A = 2.u1 + 22 u2 + + 22019.u2019 A 32019 B 2019 C D Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Chọn D ( n + 1) ! k n! 1 k +1 Cn = = = Cn+1 k + k + k ! n − k ! n + n +   k + ! n + − k + ! ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có có   k k +1 k +1 C2018 u1 = C2019 2019 = C2019 suy S = k + 2019 Từ giả thiết suy nun = − 2019 ( u1 + u2 + u3 + + un − ) − 2019un− = ( n − 1) un − − 2019un −1 = ( n − 2020 ) un− n − 2020 → un = un − n Suy u2 = u2 = − 2018 1 1 u1 = − C2018 u1 = − C2018 2019 = − C2019 2 2017.2018 u1 2.3 u3 = − = C2018 u1 = C2019 2016.2017.2018 = − C2018 u1 = − C2019 2.3.4 u2019 = Suy Câu = 2018 2019 C2018 u1 = C2019 2019 2019 = ( − 1) S = 2.C12019 − 22 C2019 + 23 C2019 − 24 C2019 + + 22019 C2019 2019 + 1= u1 = 11   Cho dãy số ( un ) xác định  un +1 = 10un + − 9n, n ≥ Tính u2018 ? A u2018 = 102018 B u2018 = 20182018 C u2018 = 2018 D u2018 = 102018 + 2018 Lời giải Tác giả : Trần Quốc Đại, FB: Trần Quốc Đại Chọn D Cách Phân tích: u1 = 11 = 10 + u2 = 10u1 + − = 10.11 − = 102 = 10 + n u3 = 10u2 + − 18 = 10.102 − 17 = 1003 = 103 + nên dự đoán un = 10 + n Chứng minh quy nạp: u1 = 11 = 10 + Giả sử với n = k ≥ ⇒ uk = 10k + k uk + = 10.uk + − 9.k = 10 ( 10k + k ) + − 9k = 10k + + k + Vậy un = 10n + n nên u2018 = 102018 + 2018 Cách 2: un+ = 10un + − 9n ⇔ un+ − ( n + 1) = 10 ( un − n )  v1 = 10  Đặt = un − n ⇒ + = un+ − ( n + 1) v1 = u1 − = 10 , ta có dãy số  +1 = 10vn , ∀ n ≥ , ( ) cấp số nhân có cơng bội Ta có cơng thức tổng qt Do Câu q = 10 v1 = 10 = v1q n− ⇔ = 10.10n − = 10n ⇔ un − n = 10n ⇔ un = 10n + n u2018 = 102018 + 2018 Cho dãy số ( xn ) Giá trị x2018  x1 =  * 2n + − xn  xn + − = , n ∈ ¥ n2 + xn xác định  xn 20182 A 2019 8144648 C 12107 8144648 B 12105 8144648 D 12103 Ta có xn n2 xn +1 2n + − xn ( n + 1) xn x x −1= ⇔ xn +1 = ⇔ n +1 = n = xn n + 3xn n + 3xn (n + 1) n + 3xn + xn n2 Đặt yn = yn = xn y 1 , n ∈ ¥ * ⇒ yn +1 = n ⇔ = +3 n + yn yn +1 yn y1 = xn yn 1 ⇒ y = ⇔ = +3 n + n2 + yn yn +1 yn un = Đặt , n ∈ ¥ * ⇒ un +1 = un + yn Suy (un ) cấp số cộng với u1 = công sai d=3 ⇒ un = + (n − 1)3 = 3n − 2 2n ,∀n∈ ¥* 6n − 8144648 ⇒ x2018 = 12103 ⇒ xn = Câu Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a , b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng Biết A C x x tan tan = 2 y với x, y ∈ ¥ y tối giản Tính giá trị A B C x+ y D Lời giải Tác giả : Nguyễn Ngọc Duy ; FB :Ngọc Duy Chọn A Ta có: a + c = 2b ⇔ sin A + sin C = 2sin B ⇔ 2sin A+ C A− C B B cos = 4sin cos 2 2 A+ C A− C A+ C A+ C cos = 4sin cos 2 2 A− C A+ C A C A C A c A C ⇔ cos = 2cos ⇔ cos cos + sin sin = 2cos cos − 2sin sin 2 2 2 2 2 ⇔ 2sin A C A C A C A C ⇔ 3sin sin = cos cos ⇔ 3tan tan = ⇔ tan tan = 2 2 2 2 Do Câu Cho x + y = 1+ = (un ) cấp số cộng với số hạng dương Sn tổng n số hạng Giả sử S2018 20182 u2018 a a = = S2019 2019 u2019 b , với b phân số tối giản a, b số nguyên dương Tính a + 2b A 6056 tổng B 6055 C 12107 D 12109 Lời giải Tác giả: Phạm Công Dũng; Fb: Phạm Công Dũng Chọn D Gọi u1 d số hạng đầu công sai cấp số cộng (un ) 2018 (2u1 + 2017 d ) S2018 20182 20182 = ⇔ = 2019 S2019 20192 2019 (2u1 + 2018 d ) Ta có ⇔ 2u1 + 2017d 2018 = 2u1 + 2018 d 2019 ⇔ 4038u1 + 2017.2019d = 4036u1 + 20182 d ⇔ d = 2u1 u2018 u1 + 2017d u1 + 2017.2u1 4035u1 4035 = = = = Khi u2019 u1 + 2018d u1 + 2018.2u1 4037u1 4037 Theo đề ta có Câu a = 4035, b = 4037 nên a + 2b = 12109  u1 =  2020 2019 Cho dãy số ( un ) xác định sau:  un +1 = un + 2018un + un , với n = 1,2,3,  u12019 u32019 un2019  u22019 lim  + + + + ÷ u + 2018 u + 2018 u + 2018 un +1 + 2018  Tính  A 2019 B 2019 C 2019 D 2019 Lời giải Tác giả :Trần Quốc An Facebook: Tran Quoc An Chọn D *) Nhận xét *) Xét un ≥ với n = 1,2,3, un+1 − un = un2020 + 2018un2019 > với n = 1,2,3, , nên dãy ( un ) tăng *) Giả sử dãy Từ hệ thức ( un ) bị chặn trên, ( un ) un +1 = un2020 + 2018un2019 + un có giới hạn Giả sử chuyển qua giới hạn có a = a 2020 + 2018a 2019 + a ⇒ a = ∨ a = − 2018 Vậy, dãy *) Ta có (vơ lý) ( un ) khơng bị chặn Suy lim un = +∞ lim un = a ≥ uk2019 ( uk + 2018 ) uk2019 uk +1 − uk 1 = = = − uk +1 + 2018 ( uk +1 + 2018 ) ( uk + 2018 ) ( uk +1 + 2018 ) ( uk + 2018 ) uk + 2018 uk +1 + 2018 u32019 un2019 u12019 u22019 1 + + + + = − un +1 + 2018 u1 + 2018 un +1 + 2018 Do : u2 + 2018 u3 + 2018 u4 + 2018  u12019   u32019 un2019  u22019 1 lim  + + + + − ÷ = lim  ÷ un +1 + 2018  Vậy :  u2 + 2018 u3 + 2018 u4 + 2018  u1 + 2018 un +1 + 2018  = 1 = u1 + 2018 2019 Câu 10 Một hình vng ABCD có cạnh , diện tích AB = thứ tự cạnh theo 50 AB , BC , CD , DA ta hình vng thứ hai A1B1C1D1 có diện tích S2 Tiếp tục ta hình vng thứ ba diện tích S1 Nối trung điểm A1 , B1 , C1 , D1 A2 B2C2 D2 có diện tích S3 tiếp tục thế, ta S4 , S5 , Tính S = S1 + S + S3 + + S100 A C S B S = 2101 − = 2100 − D S = 2100 − S = 2101 − Lờigiải Tác giả : Phùng Văn Thân,Tên FB:Thân Phùng Chọn A Dễ thấy: S1 = 2100 ; S2 = 299 ; S3 = 298 ; ; S100 = Như S1 , S2 , S3 , , S100 cấp số nhân với công bội S = S1 + S2 + + S100 Câu 11 Xét dãy số nguyên x1 = chữ số số A 6054 q=   2100  − 100 ÷   = 2101 − = 2100 + 299 + 298 + + = 1− 34, x2 = 334, x3 = 3334,K , xn = 33 34 9x2018 ? B 6055 C 6056 (có n số 3) Hỏi có D 6057 Lời giải Tác giả : Trình Hồi Nam, FB: Trình Hồi Nam Chọn A Ta đặt un = 3xn − Khi un = 10n+ 10 x = ⇒ n Lại có ⇒ n +1 +2 ⇒ xn3 ( 10 = n +1 +2 ) 3 103n+3 − = + 2.102n+ + 4.10 n+1 + 3 ( ) 103n+ − = ( 10 − 1) 103n+ + 103n+1 + L + 10 + 103n+3 − = 103n+2 + 103n+1 + L + 10 + ( ) ( ) ⇒ xn3 = 103n+ + 103n+1 + L + 10 + + 2.102n+ + 4.10n+1 + Để ý 103n + + 103n+ + L 2.102n+ = 2000 00 + 10 + = 111 111 (có 3n +2 số 1) (có 2n +2 số 0) 4.10n+ = 400 00 (có n+1 số 0) ⇒ xn3 = 33 33533 33733 336 (trước có n số 3, có n số 3, có n số 3) ⇒ xn3 có 3n số Câu 12 Cho dãy số hạn (u n ) xác định u1 = un + = un + 2018 2019n +1 với n nguyên dương Tính giới A = lim un x → +∞ 2019 A 2018 B 2018 C 2018 2019 D Lời giải Tác giả : Lý Văn Công, FB: Hà Minh Chọn D n +1 u  2018  un + = n + → 2018n +1 un +1 = 2018n un +  n ÷ n +1 Do 2018 2019  2019  Đặt = 2018 un ta v1 = 2018 n +1  2018  +1 = +  ÷  2019  với n nguyên dương Suy = (vn − −1 ) + (vn −1 − − ) + L + (v2 − v1 ) + v1   2018  n  k  1− ÷ n 2018   2019 ÷  2018   ÷+ 2018 = ∑ ÷ + 2018 = 2018  ÷ 2019 2019  k =1   − 2019 ÷   n n   2018  n  2018   2018     2018   = 2018  −  → un = = 2− = 2− ÷ ÷ ÷ n n    2019 ÷ ÷   2019 ÷ ÷ 2018n −1   2019 ÷ ÷ 2018 2018             2018  n   lim un = lim  un = 2− ÷ ÷÷÷÷ = → xlim * x → +∞ x → +∞  2018n −1  → +∞ 2019   u > 0, ∀ n ∈ ¥ Vì n mà    Câu 13 Cho dãy số hạn (u n ) u xác định n u1 = un+1 = 2018 + 2019n+1 với n nguyên dương Tính giới A = lim ( u1 + u2 + L un ) x → +∞ 2018 A 2019 2017 B 2019 2017 C 2018 2019 D 2017 Lời giải Tác giả : Lý Văn Công, FB: Hà Minh Chọn D n +1 u  2018  un + = n + → 2018n +1 un +1 = 2018n un +  n ÷ n +1 Do 2018 2019  2019  Đặt = 2018 un ta v1 = 2018 n +1  2018  +1 = +  ÷  2019  với n nguyên dương Suy = (vn − vn−1 ) + (vn −1 − −2 ) + L + (v2 − v1 ) + v1   2018 n  k  1− ÷ n 2018   2019 ÷  2018   ÷+ 2018 = ∑ ÷ + 2018 = 2018  ÷ 2019 2019  k =1   − 2019 ÷   n n   2018  n  2018   2018     2018   = 2018  −  → un = = 2− = 2− n n    2019 ÷ ÷÷   2019 ÷ ÷÷ 2018n−1   2019 ÷ ÷÷ 2018 2018       k n n   2018   1 u = − = 4036 − 2018  ÷ ∑ ∑ ∑ ∑ k  ÷ k −1  k k ÷ k =1 2018 k =1 2018 k =1 2019 Do k =1   2019   n n Áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn ta 1 4036 2019 A = lim ( u1 + u2 + L un ) = 4036 × 2018 − 2018 × 2019 = −1= x → +∞ 1 2017 2017 1− 1− 2018 2019  x1 = ;n∈ N*  Câu 14 Cho dãy số ( xn ) có  xn +1 = xn ( xn + 1)( xn + 2)( xn + 3) + n yn = ∑ a a lim yn = xi + Biết b với b phân số tối giản a, b nguyên dương Khi tọa Đặt i =1 độ M(b; a) nằm đường tròn A ( x + 1) C ( x − 1) + ( y − 2) = + ( y + 1)2 = 10 ( x − 1)2 + ( y + 1)2 = B D ( x + 1) + y = 10 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Huệ Fb: Nguyễn Thị Huệ Chọn D xn +1 = ( xn + 3xn )( xn + 3xn + 2) + = ( xn + 3xn + 1)2 = xn + xn + Từ giả thiết Lại có xn+1 − xn = xn + xn + = ( xn + 1)2 > 0; ∀ n ∈ N * Suy ( xn ) dãy số tăng Giả sử ( xn ) dãy bị chặn ⇒ lim xn = a ⇒ a + 3a + = a ⇔ a = − Vô lý Vậy limx n = + ∞ Mặt khác ⇔ xn+1 + = xn + 3xn + ⇔ xn+1 + = ( xn + 1)( xn + 2) 1 1 1 1 = ⇔ − = ⇔ = − ( xn + 2)( xn + 1) xn +1 + xn + xn + xn+1 + xn + xn + xn +1 + 1 yn = − lim yn = xn +1 + ⇒ Vậy ⇒ M (2;1) Chọn đáp án D Câu 15 Cho dãy số ( un )   u1 = 16  ∗  xác định  un +1 = 9un + + 3un + 4, ∀ n ∈ ¥ Tìm số ngun dương A n nhỏ thỏa mãn un > 10 B 10 C 12 D 13 Tác giả: Trần Tố Nga, FB: Tố Nga Trần Lời giải Đặt xn = + 3un , ∀ n ∈ ¥ ∗ xn2 − xn ≥ x = + 3un , ∀ n ∈ ¥ ⇒ un = Ta có n ∗ xn2+1 − xn2 − =9 + xn + 3 Thay vào giả thiết ta ⇔ xn2+ = ( 3xn + ) Suy xn+ = 3xn + ∀ n ∈ ¥ ∗ Giả sử xn+ − α = ( xn − α ) α = − Câu 30 Cho (un ) dãy un = với n − 5n 2n + n Giả sử : a ( )100 − c 1 1 S= + + + = b u1 − u2 − u3 − u100 − b− a ( a, b c số nguyên dương a, b hai số dương nguyên tố nhau) Khi đó: a+c=? A 151 B 153 C 152 D 154 Lời giải Tác giả : Lê Thị Nguyên,Tên FB: Ngọc Giang Nguyên Chọn B n − 5n − 2.5n n + 5n − 2n un − = n n − = n n ⇒ = = [1 + ( )] +5 +5 un − − 2.5n Ta có : Do đó: S= 1 1 −1 2 + + + + = [100+( )1 +( ) + +( )100 ] u1 − u2 − u3 − u100 − 5 − ( )100 −1 ] = [100+ 1− −1 2 = [100+ (1 − ( )100 )] ( )100 − 151 = Từ đó: a = 2, b=5, c=151 nên : a + c = 153  a1 = 2008  Câu 31 Cho dãy số thực a1 ; a2 ; ; an xác định  a1 + a2 + + an = n an , ∀ n > Tính a2008 2 A 2009 B 2007 C 2007 D 2009 Lời giải Sưu tầm : Nguyễn Minh Cường, FB: yen nguyen Chọn D Ta có a1 + a2 + + an− = ( n − 1) an− Do a1 + a2 + + an = ( a1 + a2 + + an− ) + an = ( n − 1) an− + an ( n − 1) Ta có phương trình 2 an −1 + an = n an ⇔ an = n−1 an−1 n+1 Suy Cho an = n−1 n− n− 2a1 a1 = n+1 n n −1 n ( n + 1) n = 2008 Câu 32 Cho dãy số cho A 11 ta ( un ) un < a2008 = 2.2008 = 2008.2009 2009 u1 =   n  1 *  un + = u n + ữ , n Ơ xỏc nh bi  Có số nguyên dương  2 n 1999 1000 B 10 C 15 D Vô số Lời giải Tác giả: Trần Đức Phương,Tên FB: Trần Đức Phương Chọn B Ta có ü ïï ïï ïï u2 = u1 + ïï ïï 1- n ïï ỉư 1 1 1ư ïý Þ u = + + + + = 2ổ ữ ữ ỗ u3 = u2 +ỗ = = ữ ữ ỗ ỗ n n n ữ ù ữ ỗ ỗ ø è2 ø è 2 2n- ïï 1ïï ïï n- ỉư ữ ùùù ỗ u n = u n- + ỗ ữ ỗ ố2 ữ ứ ùùùỵ u1 = un < ỉ1 1999 1999 1 ÷ Û - n- < Þ n- > ị n - < log ỗỗ ữ ữ 2019, ∀ n ≥ + Vì un > 2, ∀ n ≥ nên un2 > un + 1, ∀ n ≥ 2019un +1 = un2 + 2018un ⇔ 2019 ( un +1 − un ) = un ( un − 1) ⇒ Theo đề ⇒ un u −u = n +1 n 2019 un −  un un + − un un  = ⇒ = 2019  − ÷ 2019 ( un+1 − 1) ( un − 1) ( un +1 − 1) un+1 −  un − un +1 −   1  ⇒ Sn = 2019  − ÷  u1 − un +1 −  Để tính + Từ lim un +1 − , ta chứng minh mệnh đề (*) : 2019un + ≥ 4036 + n, ∀ n ≥ quy nạp 2019u2 = + 4036 = 4040 ≥ 4037 + Giả sử suy mệnh đề (*) n = 2019uk + ≥ 4036 + k , ∀ k ≥ Khi 2019uk + = uk2+ + 2018uk + > uk + + + 2018uk + = + 2019uk + > + 4036 + k Suy (*) n = k + Hay 2019un+ ≥ 4036 + n, ∀ n ≥ Do 2019 un +1 − n + 2019 2019 ( un +1 − 1) ≥ 2019 + n ⇔ Ta lại có lim ≤ 2019 lim =0 =0 un +1 − n + 2019 nên  1  lim Sn = 2019  − lim ÷ = 2019 un +1 −  Vậy  u1 − Câu 35 Cho dãy số ( un ) xác định bởi: lim u1 = 1, un +1 = 2018 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2019n 2018 C 2019 B A un , n = 1, 2,3, un + Tính: 2018 D 4038 Tác giả: Đỗ Thế Nhất Face: Đỗ Thế Lời giải Chọn C Do u1 > ⇒ un > 0, ∀ n ∈ ¥ * Ta có un+1 = un 1 ⇔ − = ⇒ un = un + un +1 un n , n = 1,2,     n+1 + 1÷ + 1÷  + 1÷ = = n+1 1    n  n ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) =  Suy  1 2018 1 + ÷ 2018 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2018 ( n + 1)  n  = 2018 lim = lim = lim 2019n 2019n 2019 2019 Vậy lim 2018 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) 2018 = 2019n 2019 Câu 36 Cho số a1 , a2 , a3 , a4 , a5 > lập thành cấp số cộng với công sai d thành cấp số nhân với công bội q Biết khẳng định sau? i) A a2 ≥ b2 B ii) a3 ≥ b3 a1 = b1 iii) a4 C a5 = b5 ≥ b4 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 > lập Hỏi có khẳng định iv) d≥q D Lời giải Đề xuất: Nguyễn Minh Tuấn ; Fb: Minh Tuấn Chọn C a1 = b1 = x, a5 = b5 = y , mà a5 = a1 + 4d Đặt ta tính a3 = nên a2 = a4 + 3a1 3x + y = 4 Tương tự x+ y x + 3y a4 = Lập luận tương tự với CSN, ta có si a3 = a2 = a1 + d b2 = x3 y , b3 = xy , b4 = xy3 Theo bất đẳng thức Cô- x+ y 3x + y x + 3y ≥ xy = b3 , a2 = ≥ x y = b2 , a4 = ≥ xy = b4 4 Do đó, i), ii) iii) Tuy nhiên, điều kiện iv) không đúng, chẳng hạn x= y d=0 Câu 37 Cho số q = a1 , a2 , a3 , a4 , a5 > lập thành cấp số cộng với công sai d thành cấp số nhân với công bội q Biết khẳng định sau? i) A a2 ≥ b2 ii) B a3 ≥ b3 a1 = b1 iii) a4 C a5 = b5 ≥ b4 b1 , b2 , b3 , b4 , b5 > lập Hỏi có khẳng định iv) d≥q D Lời giải Đề xuất: Nguyễn Minh Tuấn ; Fb: Minh Tuấn Chọn C a1 = b1 = x, a5 = b5 = y , mà a5 = a1 + 4d Đặt ta tính a3 = a2 = a1 + d nên a4 + 3a1 3x + y = 4 Tương tự x+ y x + 3y a4 = Lập luận tương tự với CSN, ta có si a3 = a2 = b2 = x3 y , b3 = xy , b4 = xy3 Theo bất đẳng thức Cô- x+ y 3x + y x + 3y ≥ xy = b3 , a2 = ≥ x y = b2 , a4 = ≥ xy = b4 4 Do đó, i), ii) iii) Tuy nhiên, điều kiện iv) không đúng, chẳng hạn x= y d=0 Câu 38 Cho dãy số A ( un ) q = u = biết : u1 = , n+ 3(n + 1) un + 2n3 − 3n − (n ∈ n N *) Giá trị nhỏ 2018 n để un + n > n.3 : n = 2019 B n = 2018 C n = 2017 D n = 2020 Lời giải Tác giả:Nguyễn Quang Nam ; Fb: quangnam Chọn A un+1 = u u u u 3(n + 1) un + 2n3 − 3n − ⇔ n +1 = n + 2n − 2n − ⇔ n+1 + (n + 1) = 3( n + n2 ) n n+1 n n+1 n un * +n Ta có Sn +1 = 3Sn ,∀ n ∈ N n Đặt Sn = ⇒ Dãy số (Sn ) cấp số nhân với công bội q = S1 = ⇒ Sn = 2.3n−1 , ∀ n ∈ N * un 2018 + n > ⇔ 2.3n −1 > 32018 ⇔ 3n − 2019 > Theo ra, n 1 ⇔ n − 2019 > log3 ⇔ n > log + 2019 ≈ 2018,369 2 un + n3 > n.32018 ⇔ Vậy giá trị nhỏ Câu 39 Cho dãy số không âm n : n = 2019 ( un ) , ( n ∈ N* ) xác định bởi: u2 = 1, um2 + n +1 + um2 − n +1 = Khi tổng 2019 (2 u2m+1 + u22n+1 ) , ∀ m, n ∈ N , m≥ n số hạng dãy viết dạng thập phân có chữ số hàng đơn vị bao nhiêu? A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Trung Thành; Fb: Thanh Nguyen Chọn A Cho Cho Vì n = m ta có: n = ta có: u22m +1 + u12 = (2 u2m+1 + u22m+1 ) ⇒ u1 = ( 1) um2 +1 + um2 + = (2 u2m+1 + u12 ) ⇒ u22m+1 = 4um2 +1 ⇒ u2m+1 = 2um+1 u2 = nên u3 = u2.1+1 = 2.u1+1 = 2u2 = u5 = u2.2+1 = 2u2+1 = 2u3 = Do u22+1+ + u22−1+1 = Ta chứng minh Thật vậy, với Giả sử ( 5) (2 u4+1 + u22+1 ) ⇒ u42 = ⇒ u4 = un+ = n, ∀ n ∈ N ( 3) n = 0, n = 1, n = 2, n = ( 3) đến uk2+1+1 + uk2−1+1 = n = k , k ∈ N, k ≥ , tức uk + = k u2 k +1 + u32 ) = ( 4uk2+1 + ) ( 2 ⇒ uk2+ = 2k + − ( k − 1) = k + 2k + = ( k + 1) ⇒ uk + = k + uk = k − Khi đó: ( 2) Vậy tổng 2019 số hạng dãy S2019 = + + + + 2018 = 2037171 Do chữ số hàng đơn vị Câu 40 Cho dãy số ( xn ) nguyên dương xác định bởi: x1 n , đặt = 2019, xn+ = xn2 − xn + 1, n = 1,2,3, Với số 1 1 yn = 2019  + + + ÷ xn   x1 x2 2018 A 2019 2019 B 2018 lim yn bằng? C 2018 D 2019 Tác giả: Nguyễn Văn Tỉnh FP: Duongtinhnguyen Lời giải Ta có xn + − xn = xn2 − xn + = ( xn − 1) ≥ ⇒ xn +1 ≥ xn , ∀ n ≥ Do ( xn ) Giả sử dãy ( xn ) có giới hạn hữu hạn A tăng ⇒ lim xn = lim xn+ = A > 2019 Chuyển qua giới xn+1 = xn2 − xn + ta A = A2 − A + ⇔ A = < 2019 hạn hai vế phương trình vơ lý Vậy lim xn = +∞ 1 1 = = - Ta có xn+1 - = xn ( xn - 1) Suy xn+1 - xn ( xn - 1) xn - xn 1 = Từ xn xn - xn+1 - 1   1   yn = 2019  + + + ÷ = 2019  − − ÷ = 2019  ÷ xn  Do  x1 x2  x1 − xn +1 −   2018 xn+1 −  Từ lim xn = +∞ ⇒ lim 2019 =0 lim yn = xn Vậy 2018  u1 = 2020  2 Câu 41 Cho dãy số (un) xác định  ( 4n + 16n ) un +1 = ( n + 6n + ) un , n ≥ Gọi  4n  k = lim  un ÷ n  A k = 1616 k có giá trị là? B k = 808 C k = 404 D k = 1212 Lời giải Tác giả: Nguyễn Trí Chính; Fb: Nguyễn Trí Chính Chọn A ( )  ( n + 1) + 4( n + 1)  u ⇔ n + n u = n+  Ta có 4n + 16n un + = n + 6n + un   n ( ) ( ) un +1 (n + 1) + 4(n + 1) un ⇔ un +1 = u ⇔ = n n + 4n ( n + 1)2 + 4(n + 1) n2 + 4n Đặt ⇒ un ⇔ v = n+1 n + 4n = (vn) cấp số nhân có cơng bội n −1 q= n −1 1  1 ⇒ = 404  ÷ ⇒ un = 404  ÷  4  4 u 1 v1 = = 2020 = 404 số hạng đầu 5 (n + 4n ) n −1  4n   4n   n + 4n   1 lim  un ÷ = lim  404  ÷ ( n + 4n ) ÷÷ = lim  4.404 ÷  4 Ta có n   n  n   4 = lim  + ÷.1616 = 1616  n  u1 =  (u n ) :  u n −1 u = , n≥2 n n  + u Câu 42 Cho dãy số: Tìm lim u n n −1  lim u = n A lim un = B C lim un = D lim un = Lời giải Tác giả : Nguyễn Khắc Sâm,Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm Chọn A Từ hệ thức truy hồi ta có: Đặt = un = un −1 1 ⇔ = + 5n n + u n −1 un un −1 n n un ⇒ = vn−1 + ⇔ − −1 = 5 21 ⇒ = ( − −1 ) + ( −1 − − ) + + ( v2 − v1 ) + v1 ⇔ = 5n + 5n −1 + + 52 + = 5n − 4 ⇒ un = n 21 − 4 Câu 43 Cho dãy số ( un ) ⇒ limu n = Vậy, chọn A u1 = 1, u2 =  * xác định sau: un + = 2un +1 − un + 1, ∀n ∈ ¥ un Tính n→ +∞ n lim A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Anh Quân; Fb: Nguyễn Quân Chọn D Ta có un+ − un+ = un+ − un + 1, n = 1,2, suy ra: un+ − un+ = un+ − un + = un − un− + = = u2 − u1 + n ⇒ un+ − un+ = n + Do un − u1 = ( un − un− ) + ( un− − un − ) + + ( u2 − u1 ) = ( n ) + ( n − 1) + + ( ) n ( n + 1) ⇒ un = + + + n = n ( n + 1) un u = lim = lim n2 = 2 n → +∞ n n→ +∞ 2n Vậy n→ +∞ n lim Câu 44 Khối tứ diện D1 ABCD tích V , khối tứ diện A1B1C1D1 tích V1 , đỉnh A1 , B1 , C1 , trọng tâm tam giác thể tích V2 , đỉnh BCD , CDA , DAB , ABC Khối tứ diện A2 B2C2 D2 A2 , B2 , C2 , D2 trọng tâm tam giác D1 A1B1 , A1B1C1 Cứ tiếp tục ta khối tứ diện An BnCn Dn , Bn , Cn , Dn trọng tâm tam giác An− 1Bn− 1Cn− Tính S = V1 + V2 + + V2018 (3 S= 2018 A − 1) V 2.32018 B ( 27 S= 2019 − 1) V 26.27 2019 C Lời giải có B1C1D1 , C1D1 A1 , tích Vn , đỉnh An Bn−1Cn−1Dn −1 , Cn −1Dn−1 An−1 , Dn −1 An −1Bn−1 , ( 27 S= 2018 − 1) V 26.272018 D (3 S= 2019 − 1) V 2.32019 Tác giả:Nguyễn Thị Thanh Thảo ; Fb: Nguyễn Thanh Thảo Chọn C d A , B C D = d D , BCD = d ( A, ( BCD ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 Ta có ( B1C1D1 ) // ( BCD ) nên Lại có ∆ B1C1D1 : ∆ BCD Do V1 = k= với tỉ số đồng dạng 1 S B1C1D1 = SBCD nên V 27 V2 = Tương tự: ta có 1 1 V1 = V V3 = V2 = V V2018 = 2018 V 27 27 , 27 27 , …, 27 1 27 2018 V = 272018 − V 1  1 27 S =  + + + 2018 ÷V = 1− Khi đó: 27   27 27 26.27 2018 27 1− Câu 45 Cho dãy (un ) thỏa số mãn: ( un + = u1 = ; lim ( u12 + u22 + + un2 − 2n ) = b Giá trị biểu thức T = ab − A B −1 ) 2 un + a , ∀ n ∈ ¥ * Biết C Lời giải D Tác giả:Nguyễn Thị Thanh Thảo ; Fb: Nguyễn Thanh Thảo Chọn A Ta có un + = Đặt ∀ n ∈ ¥ *, 2 un + a ⇒ un2+1 − 3a = ( un2 − 3a ) 3 = u − 3a n n −1  2 =  ÷ Do  3 ( ) cấp số nhân với v1 = − 3a n −1 ( − 3a ) ⇒ u = + 3a =  ÷  3 n cơng bội ( − 3a ) + 3a q= n 2 1−  ÷   n  3  2 u1 + u2 + + un − 2n = ( − 3a ) − 2n + 3na = ( − 3a )  −  ÷ ÷ − n ( 3a − )   3 ÷   1− Suy Vì lim ( u12 + u22 + + un2 − 2n ) = b nên     n  lim  ( − 3a )  −  ÷ ÷ − n ( 3a − ) ÷ = b ⇔   3 ÷  ÷     suy T = ab = −2   3a − = a = ⇔   b = ( − 3a )  b = − ,   u1 =   + un2−1 − ; ∀ n ≥ 2, n ∈ ¥  un = un −1 xác định  , đặt ( ) Câu 46 Cho dãy un Hãy chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: ( un ) C ( un ) A Sn = u1 + u2 + + un n −1 π  1  Sn ≤ + 1 −  ÷      B dãy bị chặn D S n Lời giải dãy giảm ≤ n, ∀ n ∈ ¥ ∗ Chọn B Cách 1: Ta có π u1 = = tan ; u2 = Từ ta dự đoán: Thật uk +1 = ( 1) un = tan vậy, π n −1 giả π π − 1 − cos 4 = tan π = π π 2.4 tan sin 4 + tan , ∀n ∈ N∗ ( 1) sử uk = tan π k −1 ,∀k ≥ , π π − 1 − cos k −1 4 = tan π = π π 2k.4 tan k −1 sin k −1 Theo nguyên lý quy nạp suy công thức 4 + tan k −1 0< π π ⇒ < un ≤ nên ( un ) dãy bị chặn 4 n −1 ≤ Vì  π  0; Vì tan x hàm số đồng biến   suy ( un ) dãy giảm Ta có Sn = u1 + u2 + + un ≤ nu1 = n  π f ( x) = tan x − x; x ∈  0;  Xét hàm   , có  π f ′( x) = − = tan x ≥ 0, ∀x ∈ 0;  cos x  4  π tan x ≥ x, ∀x ∈ 0;  Suy   đẳng thức xảy Vậy chọn B x = Do đó: n −1 π π π π  1  Sn ≥ + + + K + n −1 = + 1 −  ÷  2.4 22.4 4     Cách 2: (Theo thầy Nguyễn Việt Hải) Từ giả thiết suy Ta có: un = un > 0, ∀n ∈¥ ∗ + un2−1 − un −1 = u n −1 1+ u n −1 +1 < u n −1 ( un ) Suy giảm (C đúng) un ∈ ( 0;1] , ∀ n ∈ ¥ ∗ hay A Và Sn ≤ n tức D Vậy chọn B Nhận xét: Đối với toán dùng cách thực ngắn gọn, dễ hiểu chưa rõ B sai Nhưng ta đổi yêu cầu tốn thành “tìm số mệnh đề đúng” cách rõ B sai Đặc biệt cách tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy, dùng cho Lời giải toán tự luận đề thi HSG  u1 =  n−1 n−1 n n−1 Câu 47 Cho dãy số (un) dược xác định sau:  un = un−1 + 3.2 + 2.3 , ∀ n = 2;3 Tìm u2018? A u2018 = 2018 3.22018 + 2.32018 B u2018 = 2018 9+ 3.22018 + 2.32018 C u2018 = 2018 3.22017 + 2.32017 D u2018 = 2018 3.22018 + 32018 Lời giải Tác giả : Đỗ Thị Hồng Anh, FB: Hong Anh Chọn D Ta có: unn = unn−−11 + 3.2n−1 + 2.3n−1 unn−−11 = unn−−22 + 3.2n−2 + 2.3n−2 unn−−22 = unn−−33 + 3.2n−3 + 2.3n−3 u33 = u22 + 3.22 + 2.32 u22 = u11 + 3.21 + 2.31 Suy ra: unn = u11 + 3.(21 + 22 + + 2n−1) + 2.(31 + 32 + + 3n−1) 1− 2n−1 1− 3n−1 = 9+ 3.2 + 2.3 1− 1− n n = 3.2 + Vậy: u2018 = 2018 3.22018 + 32018  u1 =  n−1 n−1 n n−1 Câu 48 Cho dãy số (un ) dược xác định sau:  un = un−1 + 3.2 + 2.3 , ∀ n = 2;3 Tìm u2018 ? A u2018 = 2018 3.22018 + 2.32018 B u2018 = 2018 9+ 3.22018 + 2.32018 C u2018 = 2018 3.22017 + 2.32017 D u2018 = 2018 3.22018 + 32018 Lời giải Tác giả : Đỗ Thị Hồng Anh, FB: Hong Anh Chọn D Ta có: unn = unn−−11 + 3.2n−1 + 2.3n−1 unn−−11 = unn−−22 + 3.2n−2 + 2.3n−2 unn−−22 = unn−−33 + 3.2n−3 + 2.3n−3 u = u22 + 3.22 + 2.32 3 u22 = u11 + 3.21 + 2.31 Cộng vế theo vế đẳng thức trên, ta có: unn = u11 + 3.(21 + 22 + + 2n−1) + 2.(31 + 32 + + 3n−1) 1− 2n−1 1− 3n−1 = 9+ 3.2 + 2.3 1− 1− n n = 3.2 + Vậy: u2018 = 2018 3.22018 + 32018 Câu 49 Cho dãy số ( un ) u1 = thỏa mãn : Tìm giới hạn dãy số lim ( sn ) = +∞ ( sn ) B với un = ( n + 1) un+1 2− n + , ∀ n ∈ ¥ * n ( n2 + n + 1) + sn = n3un , ∀ n∈ ¥ * lim ( sn ) = C lim ( sn ) = D A lim ( sn ) = Lời giải Tác giả: Vũ Huỳnh Đức Tên facebook: Huỳnh Đức Chọn C n Ta có ( un = ( ) + n + 1) + = ( n + 1) + 2n ( n + 1) + n + = ( n + 1) ( n + 1) + 2 2 ( n + 1) un +1 2− n 2n − n + ⇔ nu = n + u + ( ) n+1 n n ( n + 1) ( n + 1) + ( n2 + n + 1) + ( ⇔ nun = ( n + 1) un +1 + 21 − n + ( n + 1) + ⇔ ( n + 1) un+1 − =  nun − 21 ÷ n +  (1) ( n + 1) +  ) Đặt = nun − 21 , ∀ n ∈ ¥ * vn+ = , ∀ n ∈ ¥ * ⇒ ( ) cấp số nhân (1) trở thành n +1 () () 1, v = u − = ⇒ v = v q = n với công bội 2 1 2 n −1 n = ⇒ un = + 1n n +n n n n ⇒ sn = n u n = + n n +n 3 lim 3n = lim = n +n + 12 +) ; n +) Với số nguyên dương n ≥ , ta có 3 n n + n + n = C + C + C + C + + C ≥ C + C + C + C = ⇒ ≥ + 5n + (2) 6 n n n n n n n n n n n n ≥ + 5n + , ∀ n ∈ ¥ * Mặt khác (2) n∈ { 1;2} Do nên n n = n ≤ 6n , ∀n ∈ ¥ * ; lim 6n n = n = lim = ⇒ lim n n n + 5n + n + 5n + 2n + 52 + 63 n n lim sn = lim  3n + nn ÷ = Vậy n +n  u0 =  2018 2un +  u = S = ∑ ui n +1 un + Tìm phần nguyên Câu 50 Cho dãy ( un ) :  i =1 B 2017 A 2020 C 2019 D 2018 Lời giải Tác giả: Nguyễn Bá Đại; Fb: DaiNB Chọn D Ta có un + − = un − 1 ⇒ = 1+ an = ⇒ a0 = un + un + − un − Đặt un − an + = 3an + 3n+1 − ⇒ an = ⇒ un = + n+1 −1 2018 2018 i =1 i =1 Phần nguyên S 2018 ⇒S= ∑ ui = 2018 + ∑ 2018 ⇒ 2018 < S < 2018 + ∑ < 2019 3i +1 − i =1 3i Câu 51 Cho dãy giá trị A (u n )  u n +1 + 4u n2 − 4u n =  (∀ n ∈ ¥ * )  u = thỏa:  2018 Khi 22017 22018 B C u1 nhận tất 22019 D Lời giải 22018 − Tác giả : Phạm Thành Trung,Tên FB: Phạm Thành Trung Chọn A + Xét hàm số: Do từ: f (x) = 4x − 4x với x ∈ (0;1) ta có f (x) ∈ (0;1) u 2018 = f (u 2017 ) = ∈ (0;1) ⇒ u 2017 ∈ (0;1) ⇒ ⇒ u1 ∈ (0;1) + Ta chứng minh quy nạp Theo có u1 ∈ điều chứng minh + Vì (0;1);u ∈ (0;1) Giả sử u k ∈ (0;1) < u1 < nên tồn số Dùng quy nạp ta có: Từ giả thiết có: cho: u k + = f (u k ) ∈ (0;1) u1 = sin ϕ u n = sin (2n −1 ϕ ) 1 1 u 2018 = ⇔ sin (22017 ϕ ) = ⇔ − cos(22018 ϕ ) = 2 2 cos(22018 ϕ) = ⇔ ϕ = π ϕ∈ (0; ) Vì Vậy π ϕ∈ (0; ) u = 4u1 (1 − u1 ) = 4sin ϕ (1 − sin ϕ ) = sin(2 ϕ ) Khi có: Do có: < un < nên 0< π 22019 +k π 2019 π +k π 2018 (k ∈ ¢ ) 22018 π 1 < ⇔ − < k < 22017 − 2 +k 2018 k ∈ {0;1;2; ;22017 − 1} Do có 2017 giá trị u1 = π 2019 π với k ∈ {0;1;2; ;22017 − 1} thỏa yêu cầu nên có ... + = 111 111 (có 3n +2 số 1) (có 2n +2 số 0) 4.10n+ = 400 00 (có n+1 số 0) ⇒ xn3 = 33 33533 3 373 3 336 (trước có n số 3, có n số 3, có n số 3) ⇒ xn3 có 3n số Câu 12 Cho dãy số hạn (u n ) xác định... Do V1 = k= với tỉ số đồng dạng 1 S B1C1D1 = SBCD nên V 27 V2 = Tương tự: ta có 1 1 V1 = V V3 = V2 = V V2018 = 2018 V 27 27 , 27 27 , …, 27 1 27 2018 V = 272 018 − V 1  1 27 S =  + + + 2018... 20192 − 2019 + ) = 20 371 72 u2018 = un = 2 (n (n 2 −n+2 ) ) − n + , ∀n ≥ S = + + + 20 17 − u2018 + u2019 = + + + 20 17 − 2035154 + 20 371 72 = + + + 20 17 + 2018 = 2018.2019 = 20 371 71 Cách 2: un+ = 2un