TÓM tắt lý toán 12 _ lý thuyet va cong thức )

TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ GIÂI NHANH TỐN 12 Nguyễn Chiến - Nguyễn Hồng Qn PHỈN HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đðnh nghïa x1, x  K , x  x ( K khoâng đoạn nửa khoâng)      f x   f x   y  f x  nghðch biến K đồ thð xuống tÿ trái sang phâi Chú ý: + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  đ ng bi n tr n khoâng a;b  + N u f   x   0, x   a; b   hàm s f  x  nghðch bi n khoâng a;b  + N u f  x   0, x  a;b   hàm s f  x  h ng đ i khoâng a;b  + N u f  x  đ ng bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  + Nếu f  x  nghðch bi n khoâng a;b   f  x   0, x  a;b  f x1  f x  y  f x đồng biến K đồ thð lên tÿ trái sang phâi 2 Quy tắc cơng thức tính đäo hàm   Quy tắc tính đạo hàm: Cho u  u x ; v  v x ; C : hìng số   u  v   Tích: u.v   u .v  v .u  C u   C u   Tổng, hiệu: u  v  u  u .v  v .u  C  C u   , v        v2 u2 v  u  Đạo hàm hàm hợp: Nếu y  f u , u  u x  yx  yu ux  Thương:      Bâng cơng thức tính đäo hàm: Đäo hàm hàm s cỗp C (C l hỡng s) x   .x  x   .x   1 u   u   1       (x  0) x x   x  x 0 x   Đäo hàm hàm hợp   1 u   u    u  u u   u u  u0 u        sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page |    tan x   cos1 x  tan u   cosu  cot x    sin1 x  cot u    sin e  e a   a ln a  ln x   x1 e   u.e a   u.a ln a  ln u   uu  log x   x ln1 a u  log u   u.ln a 2 x u x x a u u u u u x u a Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a    b  ax  b  ad  bc ;     cx  d  cx  d   x2  a    c x d    f  ax  bx  c  d    e     dx  ex  f  dx  ex  f   b    c e    f Đạo hàm cấp :  + Đðnh nghïa: f   x    f   x    + Ý nghïa học: Gia tốc tĀc thąi cûa chuyển động s  f t täi thąi điểm t là:     a t0  f  t0 * Một số ý:      Nếu hàm số f x g x đồng biến (nghðch biến) tr n K hàm số   f x g x cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng i vi hiệu   f x g x       K hàm số f x  g x  cüng đồng biến (nghðch biến) tr n K Tớnh chỗt ny cũ th kh ng ỳng hàm số f x  , g x kh ng l cỏc hm s dỵng trờn K Cho hàm số u  u  x  , xác đðnh vĆi x  a;b  u x   c;d  Hàm số f u  x   cüng xác đðnh vĆi x  a;b  Nếu hàm số f x g x l cỏc hm s dỵng v cựng ng bin (nghch biến) tr n Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Giâ sā hàm số f cò đäo hàm K    hàm số f đồng biến K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K    Nếu f ' x  vĆi x  K f ' x  chỵ täi số hĂu hän điểm x  K hàm số f nghðch biến K Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | Chú ý: * Đối vĆi hàm phân thĀc hĂu tỵ y  ax  b  d  x thỡ dỗu " " xột dỗu ọo cx d c hm y  không xây   Giâ sā y  f x  ax  bx  cx  d  f  x  3ax  2bx  c Hàm số đồng biến    f  x  0; x  Hàm số nghðch biến  a        a    b    c     f  x  0; x     a        a    b  c Trỵng hp thỡ h số c khác a  b  c thỡ f x d (ỵng thợng song song hoðc trùng vĆi trýc Ox kh ng đĄn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số c a đơn điệu chiều không cị độ dài l ta giâi sau: Bỵc 1: Tớnh y f  x ; m  ax  bx  c Bỵc 2: Hm s n iu trờn   a  x ; x   y  có nghiệm phân biệt * Bỵc 3: Hm s n iu không cị độ dài bìng l   x1  x  l  x1  x   4x1x  l  S2  4P  l * *    Bỵc 4: Giõi * v giao vi * * để suy giá trð m cỉn tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ Đðnh nghïa Giâ sā hàm số f xác đðnh tr n têp K x  K   + x0 điểm cực tiểu cûa hàm số f tồn täi khoâng a; b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  Khi ũ f x ỵc gi l giỏ tr cực tiểu cûa hàm số f 0   + x điểm cực đäi cûa hàm số f tồn täi khoâng a;b chĀa x cho  a; b   K f x   f x  , x  a;b  \ x  0  Khi ũ f x ỵc gi l giỏ trð cực đäi cûa hàm số f + Điểm căc đäi điểm căc tiểu gọi chung điểm cực trð + Giá trð căc đäi giá trð căc tiểu gọi chung cực trð + Điểm căc ọi v im cc tiu ỵc gi chung l im cực trð hàm số điểm căc trð phâi điểm têp hợp K Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | + Giá trð căc ọi v giỏ tr cc tiu ỵc gi chung l giá trð cực trð (hay cực trð) hàm số   + Nếu x0 điểm căc trð cûa hàm số điểm x ; f (x ) ỵc gi l im cc tr ca th hàm số f Điều kiện cæn để hàm số đät cực trð   cò đäo hàm   Đðnh lí 1: Giâ sā hàm số y  f x đät căc trð täi điểm x Khi đò, y  f x   täi điểm x f  x  Chú ý:    Đäo hàm f  x cú th bỡng tọi im x0 nhỵng hm s f kh ng đät căc trð täi điểm x0 Hàm số đät căc trð täi điểm mà täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm Hàm số chỵ đät căc trð täi điểm mà täi đị đäo hàm cûa hàm số bìng hoðc täi đò hàm số kh ng cò đäo hàm Điều iện đủ để hàm số đät cực trð Đðnh lí 2: Giâ sā hàm số f đät căc trð täi điểm x Khi đò, hàm số f cò đäo hàm täi     f  x   khoâng x ; x  h  x m t i m cỵc cỷa hm s f x   N u f   x   khoâng x  h; x  f   x   khoâng  x ; x  h  x m t i m cỵc ti u cỷa hm s f  x      điểm x f ' x0  N u f  x  tr n khoâng x  h; x 0 0 0 0 Quy tắc tìm cực trð Quy tắc 1:   i  1;2;   Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm điểm x i mà täi đị đạo hàm hàm số hoðc hàm số liên tục khơng cị đạo hàm      đổi dấu Bước 3: Lêp bâng biến thiờn hoc bõng xột dỗu f x Nu f  x qua x i hàm số đät căc trð täi x i   Nếu f   x   0, f   x   hàm số Nếu f   x   0, f   x   hàm số   Đðnh lí 3: Giâ sā y  f x có đäo hàm cå p khoâng x  h; x  h vĆi h    0 f đät căc đäi täi x 0 f đät căc tiểu täi x Từ đðnh lí trên, ta cị quy tắc khác để tìm cực trð hàm số Quy tắc 2:    Bước 1: Tìm têp xác đðnh Tìm f  x  Bước 2: Tìm nghiệm x i i 1;2; cỷa phỵng trỡnh f x  Bước 3: Tính f  x tính f  x i        Nếu f   x   hàm số f Nếu f   x   hàm số f   i đät căc đäi täi điểm x i i đät căc tiểu täi điểm xi Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | MỘT SỐ DÄNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ I CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước   ài to n t ng quat: Cho hàm số y  f x ; m  ax  bx  cx  d Tìm tham số m để hàm số có căc đäi, căc tiểu täi x 1, x thóa mãn điều kiện K cho trỵc Phng phỏp: c 1: Tờp xác đðnh: D  2  Đäo hàm: y   3ax  2bx  c  Ax  Bx  C ước 2: Hàm số có căc trð (hay có hai căc trð, hai căc trð phân biệt hay có căc đäi căc tiểu)  y   có hai nghiệm phân biệt y i dỗu qua nghim ũ phỵng trình y   có hai nghiệm phân biệt   A  3a  a     m  D1  y   B  4AC  4b  12ac  b  3ac       ước 3: Gọi x 1, x hai nghim cỷa phỵng trỡnh y B 2b  x  x   A   3a Khi đò:  C c x x     A 3a ước 4: Bi n đ i u ki n K v da ng t ng S ti ch P T ú giõi tỡm ỵc m D2 ước 5: K t luån giá trð m thóa mãn: m  D1  D2   * Chú ý: Hàm số bêc ba: y  ax  bx  cx  d a  Ta có: y '  3ax  2bx  c Điều kiện Kết luận Hàm số kh ng cò căc trð Hàm số cò hai điểm căc trð b  3ac  b  3ac  Điều kiện để hàm số có cực trð dấu, trái dấu  Hàm số có cc tr trỏi du phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit trỏi dỗu ac    Hàm số có hai cực trð dấu  y     phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu C P x 1.x   A  Hàm số có hai cực trð dấu dương   y   B phỵng trỡnh y cú hai nghim dỵng phồn bit S x  x    A  C P  x x  0  A Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page |  Hàm số có hai cực trð dấu âm y ' B phỵng trình y   có hai nghiệm âm phân biệt  S  x  x    A  C P  x x  0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trð x 1, x thỏa mãn: x1    x x1  x     x1  x  Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1    x       x1   x     x1.x   x1  x      Hai căc trð x 1, x thóa mãn x1  x             x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2     Hai căc trð x 1, x thóa mãn   x1  x       x   x2    x x   x1  x      x  x  2 x  x  2    Phỵng trỡnh bờc cú nghim lờp thnh cỗp s cng cú nghim l x  b d , có nghiệm lêp thành cỗp s nhõn cú nghim l x  3a a Tìm điều kiện để đồ thð hàm số có c c điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng i tri tương đ i giưa điêm vi ng th ng: v ỵng thëng  : ax  by  c   c ax  by  c   thi hai điểm A, B nëm v Cho m A x A; yA , B x B ; yB  N u ax A  byA B B hai phớa so vi ỵng thởng N u ax A  byA  c ax B  byB  c  thi hai điểm A, B nởm cu ng phớa so vi ỵng thợng Một số trương hơp đ c biêt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hàm số có căc tr cựng dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim phõn bit cựng dỗu + Cỏc im căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Oy  hàm số có căc tr trỏi dỗu phỵng trỡnh y cú hai nghim trỏi dỗu + Cỏc im cc tr cûa đồ thð nìm phía trc Ox phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | Đặc biệt: + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y phỵng trỡnh y cú hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox y y phỵng trỡnh y   có hai nghiệm phân biệt  C Đ CT yC Đ  yCT  + Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phớa i vi trc Ox phỵng trỡnh y  có hai nghiệm phân biệt yC Đ yCT  (áp dung không nh m đươc nghiêm viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trð đồ thð hàm số) Hoðc: Các điểm căc trð cûa đồ thð nìm phía trục Ox  đồ thð cít trýc Ox tọi im phõn bit phỵng tri nh hoành đ giao m f x  co nghi m phân bi t (áp dung nh m nghiêm) Phương trình đường thẳng qua c c điểm cực trð  2c 2b  y.y y .y  bc g  x   9ay  g x  y  g x   x  d  3y  9a  9a 3     Khoâng cách hai điểm cực trð đồ thð hàm số ậc AB  b  3ac 4e  16e vĆi e  a 9a II CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC TRÙNG PHƯƠNG y  ax  bx  c a  0 MỘT SỐ KẾT Q CỈN NHỚ  Hàm số có căc trð  ab   Hàm số có ba căc trð  ab  a  b  a   Hàm số cò căc trð căc trð căc đäi   b  a   Hàm số có hai căc tiểu căc đäi   b  a   Hàm số có căc tiểu hai căc đäi   b   Hàm số cò căc trð căc trð căc tiểu    Giâ sā hàm số y  ax  bx  c có căc trð: A(0;c), B      täo thành tam giác ABC thóa mãn dĂ kiện: ab  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | b   b  ;   ,C   ;   2a 4a   2a 4a  MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI NHANH y Tổng quát:  b cot  8a A O x B C Công thức thỏa mãn ab  Dữ kiện Tam gi{c ABC vuông c}n A b  8a b  24a 32a (S )2  b  Tam gi{c ABC Tam gi{c ABC có diện tích S ABC  S Tam gi{c ABC có diện tích max (S ) S0   Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn nội tiếp rABC  r0 Tam gi{c ABC có b{n kính đường trịn ngoại tiếp r  b5 32a b2  b3   a 1    8a    b  8a RABC  R R Tam gi{c ABC có độ d|i cạnh BC  m0 am02  2b  Tam gi{c ABC có độ d|i AB  AC  n0 16a 2n02  b  8ab  Tam gi{c ABC có cực trị B,C  Ox Tam gi{c ABC có góc nhọn b  4ac b(8a  b )  Tam gi{c ABC có trọng t}m O Tam gi{c ABC có trực t}m O b  6ac b  8a  4ac  b  2ac b  8a  4abc  b  8a  8abc  b k  8a(k  4)  Tam gi{c ABC điểm O tạo th|nh hình thoi Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn nội tiếp Tam gi{c ABC có O l| t}m đường trịn ngoại tiếp Tam gi{c ABC có cạnh BC  kAB  kAC Trục ho|nh chia tam gi{c ABC th|nh hai phần có diện tích b  ac Tam giác ABC cị điểm căc trð cách trýc hồnh b  8ac   Đồ thð hàm số C : y  ax  bx  c cít trýc Ox täi điểm phån biệt lêp thnh cỗp s cng nh tham s hỡnh phợng giĆi hän bći đồ thð C  : y  ax 8ab  bx  c trýc honh cũ din tớch phổn tr n v phổn dỵi bìng b2  100 ac b2  36 ac 2   2     c y  c   0  b 4a b 4a 2 Phỵng trỡnh ỵng trđn ngội tiếp ABC : x  y   Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | GIÁ TRỊ LỚN NHÇT - GIÁ TRỊ NHỎ NHÇT I Đðnh nghïa   Cho hàm số y  f x xác đðnh têp D  f (x )  M , x  D x  D, f (x )  M    Số M gọi giá trð lớn cûa hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: M  max f ( x) xD   f (x )  m, x  D x  D, f (x )  m      Số m gọi giá trð nhỏ cûa hàm số y  f x D nếu:  Kí hiệu: m  f (x ) x D Phương pháp tìm GTLN,GTNN * Tìm GTLN, GTNN hàm số cách khâo sát trực tiếp      Bước 1: Tính f  x tìm điểm x1, x 2, , x n  D mà täi đò f  x  hoðc hàm số kh ng cò đäo hàm + Bước 2: Lêp bâng biến thi n suy giỏ tr ln nhỗt, giỏ tr nhú nhỗt cỷa hàm số * Tìm GTLN, GTNN hàm số tr n đoän  Bước 1:    Hàm số cho y  f x xác đðnh liên týc tr n đoän a;b         Tìm điểm x1, x 2, , x n không a;b , täi đị f  x  hoðc f  x kh ng xác đðnh          Bước 2: Tính f a , f x1 , f x , , f x n , f b  Bước 3: Khi đò:              f x   f x  , f x  , , f x  , f a  , f b   max f x  max f x , f x , , f x n , f a , f b a ,b  a ,b  n * Tìm GTLN, GTNN hàm số tr n hông  Bước 1: Tính đäo hàm f (x ) Bc 2: Tỡm tỗt cõ cỏc nghim x i (a;b) cỷa phỵng trỡnh f (x ) v tỗt cõ cỏc im i (a;b) làm cho f (x ) kh ng xác đðnh  Bước Tính A  lim f (x ) , B  lim f (x ) , f (x i ) , f (i ) x a  Bước x b So sánh giá trð tính ỵc v kt luờn M max f (x ) , m  f (x ) (a ;b ) (a ;b ) Nếu giá trð lớn (nhó nhất) A B kết luận khơng cị giá trð lớn (nhó nhất)         min f x  f a  a ;b  + N u y  f x đ ng bi n a;b     f x f b max  a ;b  min f (x )  f b  a ;b  + N u y  f x nghich bi n a;b     f (x )  f a max  a ;b      Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đường tiệm cận ngang Cho hàm số y  f (x ) xác đðnh không vơ hän (là không däng a;   , ;b hoc ; ) ỵng thợng y y0 l ỵng tim cn ngang (hay tiệm cên ngang) cûa đồ thð hàm số y  f (x ) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kiện sau thóa mãn: lim f (x )  y0, lim f (x )  y0 x  x  ng tim cn ng ỵng thợng x x ỵc gi l ỵng tim cn ng (hay tim cên đĀng) cûa đồ thð hàm số y  f ( x) nu ớt nhỗt mt cỏc iu kin sau ỵc thúa món: lim f (x ) , lim f (x )  , lim f ( x)  , lim f ( x)   x x 0 x x0 x x Lưu ý: VĆi đồ thð hàm phån thĀc däng y  ngang y  ax  b cx  d x x0 c  0; ad  bc  0 lu n cò tiệm cên a d tiệm cên đĀng x   c c KHÂO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Sơ đồ hâo sát hàm số   Cho hàm số y  f x   Tìm tập xác đðnh hàm số Sự biến thiên  Chiều biến thi n i Tớnh y ' ii Tỡm cỏc nghim cỷa phỵng trình y '  điểm täi đị y ' khụng xỏc nh iii Xột dỗu y ' suy khoâng biến thi n cûa hàm số    Tìm căc trð (nếu cị) Tìm giĆi v căc; giĆi hän täi ,   täi điểm mà hàm số kh ng xỏc nh Tỡm cỏc ỵng tim cờn cỷa hm số (nếu cò)  Lêp bâng biến thi n Đồ thð  Liệt k điểm đðc biệt ( điểm căc đäi, điểm căc tiểu, tåm đối xĀng,…)  Xác đðnh giao điểm cûa (C) vĆi Ox, Oy (nếu cò)  Vẽ đồ thð Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 10 MẶT PHẲNG n kh{c v| có gi{ vng góc mp(P) gọi l| véc tơ ph{p tuyến (P) (k  0) l| véc tơ ph{p tuyến (P) Nếu n l| véc tơ ph{p tuyến (P) kn Phương trình tổng quát mp(P): qua M (x ; y0 ; z ) có véc tơ ph{p tuyến n  (A; B;C ) l|: A(x  x )  B(y  y0 )  C (z  z )  Khai triển phương trình tổng quát: Ax  By  Cz  D  (A,B,C không đồng thời 0) Những trường hợp ri ng phương trình tổng quát:         (P) qua gốc tọa độ  D=0 (P) song song trùng (Oxy)  A=B=0 (P) song song trùng (Oyz)  B=C=0 (P) song song trùng (Ozx)  A=C=0 (P) song song chứa Ox  A=0 (P) song song chứa Oy  B=0 (P) song song chứa Oz  C=0 (P) cắt Ox A(a;0;0), cắt Oy B(0;b;0) v| cắt Oz C(0;0;c) x y z   1 a b c  (P) có phương trình Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:   Cho M x ; y0 ; z v| (P ) : Ax  By  Cz  D  ; d(M ,(P ))  Ax  By0  Cz0  D A2  B  C Chùm mặt phẳng  Tập hợp tất cc mặt phẳng qua giao tuyến hai    Gọi d  l| giao tuyến hai mặt phẳng   : A x  B y  C z  D  v|    : A x  B y  C z  D  Khi  P  l| mặt phẳng chứa d  mặt phẳng  P  có mặt phẳng  v| ( ) gọi l| chùm mặt phẳng 1 2 d  P  dạng P  : m.(A x  B y  C z  D )  n.(A x  B y  C z  D )  0, 1 1 2 2 m2  n  C[C DẠNG TO[N THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng     Để lập phương trình mặt ph ng  ta cần xác định điểm thuộc  VTPT       Dạng 1:  qua điểm M x ; y0 ; z có TPT n  A; B;C :   : A x  x   B y  y   C z  z       0 Dạng 2:  qua điểm M x ; y0 ; z có cặp TCP a , b :   Khi VTPT  n  a ,b  Dạng 3:   qua điểm  M x ; y0 ; z Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674  v| Page | 68 song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  0:   : A x  x   B y  y   C z  z   0   0 Dạng 4:  qua điểm khơng thẳng h|ng A, B,C   Khi ta xác định VTPT  là: n  AB, AC      Dạng 5:  qua điểm M v| đường thẳng d không chứa M :   – Trên d lấy điểm A VTCP u   – Một VTPT  là: n  AM , u      Dạng 6:  qua điểm M , vng góc với đường thẳng d :     VTCP u đường th ng d VTPT    Dạng 7:  qua đường thẳng cắt d1, d2 : – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2   – Một VTPT  là: n  a ,b    – Lấy điểm M thuộc d1 d2  M     Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 v| song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo ) : – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2   – Một VTPT  là: n  a ,b      – Lấy điểm M thuộc d1  M   Dạng 9:  qua điểm M v| song song với hai đường thẳng chéo d1, d2 : – Xác định VTCP a , b đường th ng d1, d2   – Một VTPT  là: n  a ,b        – Xác định VTCP u  d  VTPT n    – Một VTPT   là: n  u, n    – Lấy điểm M thuộc d  M    Dạng 11:   qua điểm M v| vng góc với hai mặt phẳng cắt     ,    : – Xác định VTPT n , n       – Một VTPT   là: n  u , n    Dạng 12:   qua đường thẳng  d  cho trước v| c{ch điểm M cho trước khoảng k Dạng 10:  qua đường thẳng d v| vuông góc với mặt phẳng  :      cho trước:    – Giả sử () có phương trình: Ax  By  Cz+D  A2  B  C     – Lấy điểm A, B  d  A, B   Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674   ( ta hai phương trình , ) Page | 69  – Từ điều kiện khoảng cách d(M,( ))  k , ta phương trình   2, 3 (bằng cách cho giá trị ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13:   l| tiếp xúc với mặt cầu  S  điểm H : – Giả sử mặt cẩu  S  có tâm I bán kính R – Một VTPT   là: n  IH – Giải hệ phương trình , VẤN ĐỀ 2: Vị tr tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng  P  : Ax  By  Cz  D  v|  P  : Ax  By  Cz  D  Khi đó:  P  cắt  P   A : B : C  A : B : C  A B C D    A B C D  P    P   P    P A B C D    A B C D  n P  n P  n P  n P   AA  BB  CC   P  //  P VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ m t điểm đến m t mặt phẳng Khoảng c{ch hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm tr n mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng    Khoảng cách từ điểm M x ; y0 ; z đến mặt ph ng ( ) : Ax  By  Cz  D  d  M 0,( )  Ax  By0  Cz  D A2  B  C  Khoảng cách hai mặt ph ng song song khoảng cách từ điểm mặt ph ng đến mặt ph ng Chú ý: Nếu hai mặt ph ng khơng song song khoảng cách chúng  MH , n cung phuong  Điểm H hình chiếu điểm M P   H  (P )        Điểm M ' đối xứng với điểm M qua P  MM   2MH VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng      có phương trình:   : A x  B y  C z  D     : A x  B y  C z  D  Góc   ,    bù với góc hai VTPT n , n Cho hai mặt ph ng  , 1 1 2 2 cos ( ),( )    Chú ý: 00  ( ),( )  900 ; n1.n2 n1 n2  A1A2  B1B2  C 1C A12  B12  C 12 A22  B22  C 22 ( )  ( )  A1A2  B1B2  C1C  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 70 VẤN ĐỀ 5: Vị tr tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu        S  khơng có điểm chung  d(I ,( ))  R    tiếp xúc với S   d(I ,( ))  R   tiếp diện Cho mặt ph ng  : Ax  By  Cz  D  mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau:     – Viết phương trình đường th ng d qua tâm I S vng góc với        – Tìm toạ độ giao điểm H d  H tiếp điểm S với        cắt S theo đường tròn  d(I ,( ))  R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau:     – Viết phương trình đường th ng d qua tâm I S vng góc với    – Tìm toạ độ giao điểm H d      H tâm đường tròn giao tuyến S với  Bán kính r đường tròn giao tuyến: r  R2  IH ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng: 1) Vect ch phương đường thẳng: Ðịnh nghĩa: Cho đường thẳng d Nếu vectơ a  v| có gi{ song song trùng với đường phẳng d vect a gọi l| vectơ phương đường phẳng d Kí hiệu: a  (a1;a2 ;a3 )  Chú : TCP d k a (k  0) l| 1) a l| TCP d ) Nếu d qua hai điểm A, B AB l| TCP d 3) Trục Ox có vectơ phương a  i  (1; 0; 0) 4) Trục Oy có vectơ phương a  j  (0;1; 0) 5) Trục Oz có vectơ phương a  k  (0; 0;1) 2.Phương trình tham số đường thẳng: Phương trình tham số đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| nhận a  (a1;a2 ;a3 ) l|m TCP l| : z  a ( ) M0 O x  x  ta M ( x, y, z ) y () : y  y  ta  z  z  ta  x Phương trình ch nh tắc đường thẳng: Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 71 t   Phương trình tắc đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| nhận a  (a1;a2 ;a3 ) l|m TCP l| : () : x  x0 a1  y  y0 a2  z  z0 II Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng : 1.Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng : PP HÌNH HỌC ( ) M  a  n a3  a  n  n M a ( ) M a a  a ( ) x  x  a t (1)  Định l : Trong Kg Oxyz cho: đường thẳng () : y  y  a2t (2) có TCP a  (a1;a2 ;a3 ) z  z  a t (3)    v| qua M (x ; y0 ; z ) v| mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  có TPT n  (A; B;C ) Khi : () cat (  )  a.n   Aa1  Ba2  Ca  a.n  Aa  Ba2  Ca     Ax  By  Cz  D  M  (P ) a.n  Aa  Ba2  Ca  ()  (  )    Ax  By  Cz  D  M  (P )  a (  )  ( )  a v| n phương () // (  ) Đặc biệt:   n a1 : a2 : a3  A : B : C a     pt() tìm x, y, z pt( ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M  v|  ta giải hệ phương trình:    Thế 1 , 2  ,   v|o phương trình mp  P  v| rút gọn dưa dạng: at  b  (*)  d cắt mp  P  điểm  Pt  * có nghiệm t  d song song với  P   Pt * vô nghiệm  d nằm  P   Pt * có vơ số nghiệm t  d vng góc  P   a v| n phương Suy ra: M x, y, z   Vị tr tương đối hai đường thẳng: PP HÌNH HỌC Vị tr tương đối hai đường thẳng không gian Cho hai đường thẳng:  qua M v| có vectơ phương u1 Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 72  qua N v| có vectơ phương u2  u1 , u2   u1 , MN      1    1 // 2     u , u    2  cắt     u , u  MN       v|  chéo  u1 , u2  MN   u , u       u , MN     pt(1 ) tìm pt(2 ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1 ) va ( 2 ) ta giải hệ phương trình :    x, y, z Suy ra: M x, y, z   3) Vị tr tương đối đường thẳng mặt cầu: x  x  a t (1)  y  y  a t (2) v| mặt cầu S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 có Cho đường thẳng d:  z  z  a t (3)  t}m I (a;b;c) , b{n kính R   PP HÌNH HỌC   B Tính khoảng c{ch từ t}m I mặt cầu S đến đường thẳng d l| h  d (I ,d )  IM a    a B So s{nh d(I , d ) với b{n kính R mặt cầu:   tiếp xúc S  cắt S  hai điểm ph}n biệt M , N ● Nếu d(I , d )  R d khơng cắt S ● Nếu d(I , d )  R d ● Nếu d(I , d )  R d v| MN vng góc với đường kính (b{n kính) mặt cầu   2, 3 v|o phương trình S  v| rút gọn đưa phương trình bậc PP ĐẠI SỐ: Thế , hai theo t *    ● Nếu phương trình  *  có nghiệm d tiếp xc S  ● Nếu phương trình  *  có hai nghiệm d cắt S  hai điểm ph}n biệt M , N ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S Chú ý: Ðể tìm tọa độ M , N ta thay gi{ trị t v|o phương trình đường thẳng d Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 73 III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng:   n1  ( A1 ; B1 ; C1 )   n2  ( A2 ; B2 ; C ) Định l : Trong Kg Oxyz cho hai mặt phẳng ,  x{c định phương trình : ( ) : A1x  B1y  C 1z  D1  ( ) : A2x  B2y  C 2z  D2  Gọi  l| góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: a 0    90 b cos   A1A2  B1B2  C 1C ( ) A  B C A  B C 2 2 2 2  a  (a; b; c)  n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng () : x  x0  y  y0  z  z0 a b c a v| mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  Gọi  l| góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có công thức: sin   0    90 Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c 3.Góc hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng : (1 ) : (2 ) : x  x0 a x  x0 a'   y  y0 b y  y0 b'    a1  (a; b; c) z  z0 1 c z  z0 2 c'  a  ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 Gọi  l| góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: cos   aa '  bb '  cc' a  b  c a '2  b '2  c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ m t điểm đến m t mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  v| điểm M (x ; y0 ; z ) Khoảng c{ch từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính : M ( x0 ; y ; z ) d(M ; )  a H Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Ax  By0  Cz  D A2  B  C Page | 74 Khoảng cách từ m t điểm đến m t đường thẳng: Cho đường thẳng () qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| có TCP u  (a;b;c) Khi khoảng c{ch từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1  u ( ) d(M 1, )  M M ; u    M ( x0 ; y ; z ) H u Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau:   Định l : Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng chéo : (1 ) co VTCP u  (a;b; c) va qua M0 (x ; y ; z ) (2 ) co VTCP u '  (a ' ;b ' ; c ' ) va qua M0' (x 0' ; y 0' ; z 0' ) u, u '  M M '   0 Khi khoảng c{ch (1 ) va ( 2 ) tính cơng thức d (1, 2 )  u; u '   1 u   M0 M '  u' 2 C[C DẠNG THƯỜNG GẶP VẤN ĐỀ 1: L p phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường th ng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| có TCP a  (a1;a2 ;a3 ) : x  x  a t o  (d ) : y  yo  a2t z  z  a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP  VTCP d   cho trước: Vì d  P  Dạng 4: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| vng góc với mặt phẳng P   nên VTPT P VTCP d   Q : Dạng 5: d l| giao tuyến hai mặt phẳng P ,  Cách 1: Tìm điểm VTCP (P ) (với việc chọn giá (Q ) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  trị cho ẩn) – Tìm VTCP d : a  nP , nQ   Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường th ng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| vng góc với hai đường thẳng d1, d2 : Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 75 Vì d  d1, d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad    Dạng 7: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) , vng góc v| cắt đường thẳng   Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường th ng  H    M 0H  u  Khi đường th ng d đường th ng qua M 0, H    P   Q     Cách 2: Gọi P mặt ph ng qua A vng góc với d ; Q mặt ph ng qua A chứa d Khi d Dạng 8: d qua điểm M (x ; y0 ; z ) v| cắt hai đường thẳng d1, d2 :  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện M , M1, M th ng hàng ta tìm M1, M Từ suy phương trình đường th ng d          Cách 2: Gọi P  (M 0, d1 ) , Q  (M 0, d2 ) Khi d  P  Q Do đó, VTCP d chọn a  nP , nQ      Dạng 9: d nằm mặt phẳng P     v| cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm A  d1  P , B  d2  P Khi đód đường th ng AB Dạng 10: d song song với  v| cắt hai đường thẳng d1, d2 :   Viết phương trình mặt ph ng P       chứa  d1, mặt ph ng Q chứa  d2 Khi d P  Q Dạng 11: d l| đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN  d1  Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d MN  d2 đường th ng MN  Cách 2: – Vì d  d1 d  d2 nên VTCP d là: a  ad , ad   2   – Lập phương trình mặt ph ng P chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1   + Một VTPT P là: nP  a , ad      – Tương tự lập phương trình mặt ph ng Q chứa d d2     Khi d  P  Q   Dạng 12: d l| hình chiếu đường thẳng  l n mặt phẳng P :      Lập phương trình mặt ph ng Q chứa  vng góc với mặt ph ng P cách: – Lấy M       – Vì Q chứa  vng góc với P nên nQ  a  , nP      Khi d  P  Q Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 76 Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 v| cắt d2 :  Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN  d1, ta tìm N Khi đó, d đường th ng MN  Cách 2:   – Viết phương trình mặt ph ng Q  chứa M Khi d  P   Q  – Viết phương trình mặt ph ng P qua M vng góc với d1 d2 VẤN ĐỀ 2: Vị tr tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường th ng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường th ng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng VẤN ĐỀ 3: Vị tr tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường th ng mặt ph ng, ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường th ng VTPT mặt ph ng  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng mặt ph ng VẤN ĐỀ 4: Vị tr tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường th ng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau:  Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường th ng bán kính  Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường th ng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ m M đến đường thẳng d  Cách 1: Cho đường th ng d qua M có VTCP a M M , a    d(M , d )  a  Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường th ng d   – d M , d  MH  Cách 3:   – Gọi N x ; y; z  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường th ng d) – Tìm t để MN nhỏ   – Khi N  H Do d M , d  MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường th ng chéo d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M có VTCP a d(d1, d2 )  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 a1, a2  M1M a1, a2  Page | 77 Chú ý: Khoảng cách hai đường th ng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt ph ng   chứa d song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường th ng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường th ng đến đường th ng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song   song song với khoảng cách từ Khoảng cách đường th ng d với mặt ph ng    điểm M d đến mặt ph ng  VẤN ĐỀ 6: Góc G c hai đường thẳng Cho hai đường th ng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos a1, a2   a1.a2 a1 a2 G c đường thẳng mặt phẳng   Cho đường th ng d có VTCP a  (a1;a2 ;a3 ) mặt ph ng    có VTPT n  (A; B;C ) Góc   đường th ng d mặt ph ng  góc đường th ng d với hình chiếu d '   Aa1  Ba2  Ca  sin d,( )  A2  B  C a12  a22  a 32 MẶT CẦU I Phương trình mặt cầu: Phương trình ch nh tắc: S  t}m I a;b;c  , b{n kính R  (z  c)  R 1 Phương trình mặt cầu l|: (S ) : (x  a )2  (y  b)2  2 Phương trình gọi l| phương trình tắc mặt cầu 2 2 Đặc biệt: Khi I  O (C ) : x  y  z  R Phương trình tổng quát: 2 Phương trình : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  với a  b2  c  d  l| phương     trình mặt cầu S có t}m I a;b; c , b{n kính R  a  b  c  d 2 II Giao mặt cầu mặt phẳng:   Cho mặt phẳng ( ) v| mặt cầu S có phương trình : ( ) : Ax  By  Cz  D  (S ) : (x  a )2  (y  b )2  (z  c )2  R2   Gọi d(I ;  ) l| khoảng c{ch từ t}m mặt cầu S đến mặt phẳng Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 78   Cho mặt cầu S I ; R  v| mặt phẳng P Gọi H l| hình chiếu vng góc I l n  P   d  IH  d  I ,  P  dR dR dR Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu  P  l| mặt phẳng tiếp diện Mặt cầu v| mặt phẳng không Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện l| đường trịn có mặt cầu v| có điểm chung t}m I  v| b{n kính H: tiếp điểm r  R2  IH       Dạng 2: S  có t}m I a;b;c  v| qua điểm A : Dạng 1: S có t}m I a;b;c v| b{n kính R : S : (x  a )2  (y  b)2  (z  c)2  R2 Phương pháp: Khi b{n kính R  IA   Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước l|m đường kính: Phương pháp:  T}m I l| trung điểm đoạn thẳng AB : x I  xA  xB ; yI  y A  yB ; zI  zA  zB AB Dạng 4: S qua bốn điểm A, B,C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện)  B{n kính R  IA    Phương pháp:     Giả sử S có dạng: x  y  z  2ax  2by  2cz  d  *  Thay toạ độ c{c điểm A, B,C , D v|o * , ta phương trình  Giải hệ phương trình đó, ta tìm a,b, c, d  Phương trình mặt cầu S        Dạng 5: S qua ba điểm A, B,C v| có t}m I nằm tr n mặt phẳng P cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng     Dạng 6: S có t}m I v| tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: Phương pháp:     {c định t}m I v| b{n kính R ' mặt cầu T Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính b{n kính R   mặt cầu S ( ét hai trường hợp tiếp xúc v| ngo|i)   Chú : ới phương trình mặt cầu S : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 79     Cho hai mặt cầu S I , R  v| S I , R   I I  R R  S  , S   I I R R  S  , S  ngo|i  I I  R R  S  , S  tiếp xúc  I I R R  S  , S  tiếp xúc ngo|i  R R  I I  R R  S  , S  cắt theo đường trịn Dạng 7: iết phương trình mặt cầu S  có t}m I a;b;c  , tiếp xúc với mặt phẳng  P  cho trước Phương pháp: B{n kính mặt cầu R  d I ; P   Dạng 8: iết phương trình mặt cầu S  có t}m I a;b;c  , cắt mặt phẳng  P  cho trước theo với a  b2  c  d  S có t}m I –a; –b; –c v| b{n kính R  a  b  c  d 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 giao tuyến l| đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có b{n kính cho trước Phương pháp:  Từ cơng thức diện tích đường tròn S   r chu vi đường trịn P  2 r ta tìm b{n kính đường trịn giao tuyến r  Tính d  d I , P   Tính b{n kính mặt cầu R  d  r Kết luận phương trình mặt cầu    2   có t}m I a;b;c  , cắt mặt phẳng P  iết phương trình mặt cầu S Dạng 8: cho trước theo giao tuyến l| đường tròn thoả điều kiện Phương pháp:     Ta có b{n kính mặt cầu R  d I ; P  Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10:    tiếp xúc với đường thẳng  cho trước v| có t}m iết phương trình mặt cầu S  I a;b;c cho trước Phương pháp     iết phương trình mặt cầu S  tiếp xúc với đường thẳng  thuộc  v| có t}m I thuộc đường thẳng d cho trước Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu S ta có R  d I,  Dạng 11:  M xo , yo , zo Phương pháp     tiếp điểm iết phương trình mặt phẳng P qua điểm M v| vng góc với đường thẳng     Toạ độ t}m I  P   l| nghiệm phương trình  B{n kính mặt cầu R  IM  d I,    Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 80    Kết luận phương trình mặt cầu S Dạng 12:   có t}m I a;b;c  v| cắt đường thẳng  iết phương trình mặt cầu S hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ d|i AB l| số b Tam gi{c IAB l| tam gi{c vuông c Tam gi{c IAB l| tam gi{c Phương pháp   {c định d I ,   IH , IAB c}n I n n HB  AB a B{n kính mặt cầu R  IH  HB IH b B{n kính mặt cầu R  sin 45o IH c B{n kính mặt cầu R  sin 60o MỘT SỐ DẠNG GIẢI NHANH CỰC TRỊ KHÔNG GIAN     Cho P hai điểm A, B    Tìm M  P để MA  MB + Nếu A B trái phía so vĆi P  ?    M , A, B thỵng hàng  M  AB  P   Tìm B ' đối xĀng cûa B qua  P  + Nếu A B phía so vĆi P    M , A, B ' thỵng hàng  M  AB ' P     Cho P hai điểm A, B   Tìm M  P để MA  MB + Nếu A B phía so vĆi P max ?   Tìm B ' đối xĀng cûa B qua  P  + Nếu A B trái phía so vĆi P  MA  MB '  AB '  Cho điểm M x M ; yM ; z M  kh ng thuộc P  : 3xx trýc mðt phỵng tọa độ Viết phỵng trỡnh P qua M v cớt tia M  y z  1 3yM 3z M Ox,Oy,Oz lổn lỵt tọi A, B,C cho VO ABC nhú nhỗt? Vit phỵng trỡnh mt phợng P cha ỵng thợng d , cho khoõng cỏch t   Qua  A  d  P :    n P    u d , AM  , u d    điểm M d n P l ln nhỗt? Qua  A P : n  AM   P Vit phỵng trỡnh mt phợng P qua A v cỏch M mt khõng ln nhỗt Nguyn Chin - Hồng Quân: 0973.514.674    M , A, B thỵng hàng  M  AB  P Page | 81 Vit phỵng trỡnh mt phợng P cha ỵng thợng d , cho P täo vĆi  Qua  A  d  P :    n P    u d , u   u d    (  kh ng song song vĆi d ) gòc ln nhỗt l ln nhỗt ? Cho / / P Vit phỵng trỡnh Lỗy A  gọi A hình chiếu vu ng gịc cûa ỵng thợng d song song vi v cỏch mt khoõng nhú nhỗt ? A trờn P Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm mt phợng P cho trỵc cho Qua A d: u d u  Qua  A  d  d:   u d  n P  , AM  khoâng cỏch t im M cho trỵc n d l ln nhỗt ( AM khụng vuụng gúc vi P ) ? Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i qua im A cho trỵc v nỡm mt phợng P cho trỵc cho Qua A d  d:    u d   n P  , AM  , n P   khoõng cỏch t im M cho trỵc n d l nhú nhỗt ( AM khụng vuụng gúc vi P ) ? Vit phỵng trỡnh ỵng thợng d i   cho  P  qua điểm A P trỵc , cho d nỡm tọo vi ỵng Qua A d d:  u d   n P  , AM  , n P   thỵng  gịc nhú nhỗt vi cớt nhỵng kh ng vu ng gòc vĆi P ? Nguyễn Chiến - Hồng Quân: 0973.514.674 Page | 82 ... Q(x )  (x   )2 (x   )3 vĆi    đðt P(x ) A B C D E      (x   )2 (x   )3 (x   )2 (x   ) (x   )3 (x   )2 x   Tích phân hàm vơ tỵ b  R(x, f (x )) dx Trong đị R(x, f(x )) có... Nếu 1) Hàm x  u(t ) cị đäo hàm li n týc tr n độn  ;   ,   2) Hàm hợp f (u(t )) ỵc xỏc nh tr n ;   ,   3) u( )  a, u( )  b , Khi đò: I   b  f (x )dx   f (u(t )) u (t )dt ... b  f (x )  g(x ) dx a (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )  x  a x  b  (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 b x S   f (x )  f (x ) dx a - Nếu tr n đoän [a;b] , hàm số f (x ) kh ng i