VnTeach Com; Chương 1 Mệnh đề toán học – Tập hợp Bài 1 Mệnh đề toán học I Mệnh đề toán học Ví dụ 1 Phát biểu nào sau đây là một mệnh đề toán học? a) Hà Nội là Thủ đô của Việt Nam; b) Số là một số hữ[.]
Chương Mệnh đề toán học – Tập hợp Bài Mệnh đề toán học I Mệnh đề toán học Ví dụ Phát biểu sau mệnh đề tốn học? a) Hà Nội Thủ Việt Nam; b) Số số hữu tỉ; c) x 1 có phải nghiệm phương trình x 0 khơng? Giải Câu a) khơng phải mệnh đề tốn học Câu b) mệnh đề toán học Câu c) câu hỏi nên khơng phải mệnh đề tốn học Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc sai Một mệnh đề tốn học khơng thể vừa đúng, vừa sai Khi mệnh đề toán học đúng, ta gọi mệnh đề mệnh đề Khi mệnh đề toán học sai, ta gọi mệnh đề mệnh đề sai Ví dụ Tìm mệnh đề mệnh đề sau: A: "Tam giác có ba cạnh"; B: "1 số nguyên tố" Giải Mệnh đề A mệnh đề đúng; mệnh đề B mệnh đề sai khơng số nguyên tố II Mệnh đề chứa biến Câu “ n chia hết cho 3” mệnh đề chứa biến P n P x, y Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n ; mệnh đề chứa biến x, y ;… Ví dụ Trong câu sau, câu mệnh đề chứa biến? a) 18 chia hết cho ; b) 3n chia hết cho Giải a) Câu " 18 chia hết cho " mệnh đề mệnh đề chứa biến b) Câu " 3n chia hết cho 9" mệnh đề chứa biến, kí hiệu P (n) :" 3n chia hết cho 9" III Phủ định mệnh đề Cho mệnh đề P Mệnh đề “ P ” gọi mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề P P sai Mệnh đề P sai P Ví dụ Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau nhận xét tính sai mệnh đề phủ định đó: A: "16 bình phương số nguyên"; B: "Số 25 không chia hết cho " Giải Mệnh đề A :"16 bình phương số nguyên" A sai Mệnh đề B :" Số 25 chia hết cho 5" B Chú ý: Để phủ định mệnh đề (có dạng phát biểu trên), ta cần thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ mệnh đề IV Mệnh đề kéo theo Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề "Nếu P Q " gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P Q Mệnh đề P Q sai P đúng, Q sai trường hợp lại Nhận xét: Tuỳ theo nội dung cụ thể, người ta phát biểu mệnh đề P Q " P kéo theo Q " hay " P suy Q " hay "Vì P nên Q " Ví dụ Cho tam giác ABC Xét hai mệnh đề: P :"Tam giác ABC có hai góc 60 "; Q :"Tam giác ABC đều" Hãy phát biểu mệnh đề P Q nhận xét tính sai mệnh đề Giải P Q : "Nếu tam giác ABC có hai góc 60 tam giác ABC đều" Mệnh đề Nhận xét: Các định lí tốn học mệnh đề thường phát biểu dạng mệnh đề kéo theo P Q Khi ta nói P giả thiết, Q kết luận định lí, hay P điều kiện đủ để có Q , Q điều kiện cần để có P V Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương - Mệnh đề Q P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P Q - Nếu hai mệnh đề P Q Q P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương, kí hiệu P Q Nhận xét: Mệnh đề P Q phát biểu dạng sau: - " P tương đương Q "; - " P điều kiện cần đủ để có Q "; - " P Q "; - " P Q " Ví dụ Cho tam giác ABC Xét mệnh đề dạng P Q sau: 2 "Nếu tam giác ABC vuông A tam giác ABC có AB AC BC " Phát biểu mệnh đề Q P xác định tính sai hai mệnh đề P Q Q P Giải Mệnh đề P : "Tam giác ABC vuông A " 2 Mệnh đề Q :"Tam giác ABC có AB AC BC " Theo định lí Pythagore, hai mệnh đề P Q Q P Do đó, hai mệnh đề P Q tương đương 2 phát biểu sau: "Tam giác ABC vuông A tam giác ABC có AB AC BC " Chú ý: Trong toán học, câu khẳng định phát biểu dạng " P Q " coi mệnh đề toán học, gọi mệnh đề tương đương VI Kí hiệu ∀ , ∃ Ví dụ Sử dụng kí hiệu " " để viết mệnh đề sau xét xem mệnh đề hay sai, giải thích a) P :"Với số thực x, x " b) Q :"Với số tự nhiên n, n n chia hết cho 6" Giải a) Mệnh đề viết P :"x , x " Để chứng minh mệnh đề P đúng, ta làm sau: 2 Xét số thực x tuỳ ý, ta phải chứng tỏ x Thật vậy, ta có: x 1 Vậy mệnh đề P mệnh đề b) Mệnh đề viết Q : "n , n n 6" Để chứng minh mệnh đề Q sai, ta cần giá trị cụ thể n để nhận mệnh đề sai Thật vậy, chọn n 1 , ta thấy n n 2 không chia hết cho Vậy mệnh đề Q mệnh đề sai Ví dụ Sử dụng kí hiệu " " để viết mệnh đề sau xét xem mệnh đề hay sai, giải thích a) M :"Tồn số thực x cho x " b) N :"Tồn số nguyên x cho x 1 0 " Giải a) Mệnh đề viết M : "x , x " Để chứng tỏ mệnh đề M đúng, ta cần giá trị cụ thể x để nhận mệnh đề Thật vậy, chọn x , ta thấy ( 2) Vậy mệnh đề M mệnh đề b) Mệnh đề đượcc viết N : "x , x 0 " Để chứng minh mệnh đề N sai, ta phải chứng tỏ với số nguyên x tuỳ ý x 0 Thật vậy, xét số nguyên x tuỳ ý, ta có x không chia hết x 0 Vì mệnh đề N mệnh đề sai Chú ý: Cách làm Ví dụ 7, Ví dụ cho phương pháp chứng minh mệnh đề có kí hiệu " ", có kí hiệu " ", sai Cho mệnh đề " P( x), x X " - Phủ định mệnh đề " x X , P( x) " mệnh đề " x X , P( x) " - Phủ định mệnh đề " x X , P( x) " mệnh đề " x X , P ( x) " Ví dụ Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) x ,| x | x b) x , x 0 Giải a) Phủ định mệnh đề " x ,| x |x " mệnh đề " x ,| x | x " 2 b) Phủ định mệnh đề " x , x 0 " mệnh đề "x , x 0" Bài TẬP HỢP CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP I Tập hợp Ví dụ Cho tập hợp B gồm số tự nhiên có chữ số chia hết cho a) Viết tập hợp B theo hai cách: liệt kê phần tử tập hợp; tính chất đặc trưng cho phẩn tử tập hợp b) Minh họa tập hợp B biểu đồ Ven Giải a) Tập hợp B viết theo cách liệt kê phẩn tử là: B {0;3;6;9} Tập hợp B viết theo cách tính chất đặc trưng cho phần tử là: B {x x 9 x : 3} b) Tập hợp B minh hoạ biểu đồ Ven Nhận xét - Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu - Một tập hợp khơng có phần tử nào, có phần tử, có nhiều phần tử, có vơ số phần tử Chú ý: Khi tập hợp C tập hợp rỗng, ta viết C không viết C {} II Tập tập hợp Tập Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B ta nói A tập tập hợp B viết A B Ta đọc A chứa B Quy ước: Tập hợp rỗng coi tập tập hợp Chú ý: A B (x, x A x B ) Khi A B , ta viết B A (đọc B chứa A ) B Nếu A tập B , ta viết A Ví dụ Cho hai tập hợp: E x x 1 , F x x 2 Chứng tỏ E F Giải Với số thực x , ta có: x 1 x nên x E x F Do E F Ta có tính chất sau: - A A với tập hợp A ; - Nếu A B B C A C Tập hợp Khi A B B A ta nói hai tập hợp A B nhau, viết A B Ví dụ Cho tập hợp C gồm tam giác có ba cạnh tập hợp D gồm tam giác có ba góc Hai tập hợp C D có hay khơng? Giải Do tam giác có ba cạnh tam giác có ba góc nên hai tập họp̣ C D III Giao hai tập hợp Tập hợp gồm tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B gọi giao A B , kí hiệu A B Tập hợp A B minh hoạ phần gạch chéo hình bên x A B x A x B A B {x x Avà x B} Vậy Ví dụ Tìm giao hai tập hợp trường hợp sau: a) b) A {x x C {x x ước 16 bội }, B {x x }, D {x x ước 20 } bội } Giải a) A {1; 2; 4;8;16}, B {1; 2; 4;5;10; 20} Vậy A B {1; 2; 4} Chú ý: A tập hợp ước tự nhiên 16, B tập hợp ước tự nhiên 20 nên A B tập hợp ước chung tự nhiên 16 20 b) C D {x x {x x bội x bội } bội chung } IV Hợp hai tập hợp Tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc Tập hợp A B minh hoạ phần gạch B gọi hợp A B , kí hiệu chéo hình bên AB x A B x A x B A B {x x A Vậy x B} Ví dụ Cho tập hợp số hữu tỉ tập hợp I số vơ tỉ Tìm I , I Giải Ta có I , I V Phần bù Hiệu hai tập hợp Cho tập hợp A tập tập hợp B Tập Tập hợp CB A mô tả phần gạch hợp phần tử B mà chéo phần tử A gọi phần bù A B , kí hiệu CB A Ví dụ Các học sinh lốp 10 A đăng kí tham quan hai địa điểm: Hoàng thành Thăng Long Văn Miếu - Quốc Tử Giám Mỗi học sinh đăng kí địa điểm Gọi A tập hợp học sinh đăng kí tham quan Hồng thành Thăng Long, B tập hợp học sinh đăng kí tham quan Văn Miếu - Quốc Tử Giám, T tập hợp học sinh lớp 10 A Tìm phần bù tập hợp A tập hợp T Giải Phần bù tập hợp A tập hợp T bao gồm học sinh lớp khơng đăng kí tham quan Hồng thành Thăng Long nên CT A B Tập hợp gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B , kí hiệu A \ B x A \ B x A x B Tập hợp A \ B minh hoạ phẩn gạch chéo A \ B {x x A x B} Chú ý: Nếu B A A \ B C A B Vậy B 2; 4;6;8;10;12 Ví dụ Cho hai tập hợp: A {3; 6;9;12} , Tìm A \ B, B \ A Giải - Tập hợp A \ B gồm phần tử thuộc A mà không thuộc B Vậy A \ B {3;9} - Tập hợp B \ A gồm phần tử thuộc B mà không thuộc A Vậy B \ A {2; 4;8;10} Ví dụ Cho hai tập hợp: A {x x 11 0} B x x 14 x 11 0 , Tìm A B, A B, A \ B, B \ A Giải Ta có: A {0;1; 2;3}, B {1} Vậy A B {1}, A B {0;1; 2;3}, A \ B {0; 2;3}, B \ A VI Các tập hợp số Các tập hợp số học Ta biết , , , tập hợp số tự nhiên, tập hợp số nguyên, tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực Ta có quan hệ sau: Một số tập thường dùng tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Tập số thực ( - ¥ ;+¥ ) ¡ éa;bù Đoạn ë û {x Ỵ ¡ | a £ x £ b} ( a;b) {x Ỵ ¡ | a < x < b} Khong Khong (- Ơ ;a) {x ẻ Ă | x < a} Khong (a; +Ơ ) {x ẻ Ă | a