Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của tích phân

MỤC LỤC NỘI DUNG Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 12 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 13 3.1 Kết luận 13 3.2 Kiến nghị 13 1 MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong xã hội công nghệ thông tin nay, kiến thức khoa học kỹ thuật phát triển vũ bão kiến thức mà học sinh học nhà trường khơng thể đáp ứng đòi hỏi xã hội Do đổi phương pháp dạy - học cần thiết cấp bách; phải dạy học sinh để từ vốn kiến thức học nhà trường kết hợp với phương pháp tư hợp lý giải vấn đề thực tiễn đặt Một hướng quan trọng phát triển phương pháp đại dạy học Toán xây dựng phương tiện dạy học dẫn phương pháp sử dụng chúng Tốn, nhằm hình thành học sinh hình ảnh cảm tính đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh tình có vấn đề, tạo nên hứng thú học Toán Cùng với tiến khoa học kỹ thuật phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học xuất trường phổ thơng Nó khơng nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà phương tiện tổ chức điều khiển hoạt động nhận thức học sinh, phương tiện tổ chức khoa học hoạt động sư phạm giáo viên học sinh Thực tế dạy học nhà trường THPT nước ta học sinh ngại học giải tích; đặc biệt theo SGK Phân ban nay, khái niệm ngun hàm - tích phân trình bày cách giản lược Như khái niệm Tích phân xác định trình bày thơng qua ngun hàm nhờ cơng thức Newton - Leibnitz mà khơng trình bày thơng qua giới hạn tổng tích phân - độc lập với nguyên hàm Với lý giảm tải, giảm tính chất hàm lâm - kinh viện nên kiến thức Nguyên hàm - Tích phân trình bày làm cho giáo viên dạy khó giải thích việc b dùng công thức ∫ f ( x)dx, ∫ f ( x)dx để nguyên hàm, tích phân việc a vận dụng tích phân để tính diện tích, thể tích, quãng đường vật, Học sinh thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân; nhiều học sinh nhớ cơng thức, học thuộc khái niệm, khơng giải thích đầy đủ ý nghĩa chất nó, từ dẫn tới việc vận dụng cách máy móc, khơng biết hướng vận dụng Do việc sử dụng PTTQ vào trình dạy học việc làm cần thiết phù hợp với xu đổi phương pháp dạy học trường phổ thơng Để hồn thành mục đích dạy học mơn Tốn nhà trường phổ thông với thời lượng hạn chế nay, việc sử dụng phương tiện dạy học trực quan mơn Tốn nước ta cấp thiết Xu chung phương pháp dạy học môn Toán mà nhiều nước khẳng định phải sử dụng nhiều loại hình phương tiện dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, đặc biệt ứng dụng công nghệ thông tin phần mềm dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, thúc đẩy hoạt động nhận thức tích cực học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Từ thực tế tơi chọn đề tài nghiên cứu với tiêu đề: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng Tích phân, thơng qua việc sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan" 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Từ lý chọn đề tài, từ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 trường THPT, với kinh nghiệm thời gian giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác hệ thống hoá lại kiến thức thành: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng Tích phân, thơng qua việc sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan" Đề tài xác định số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết dẫn phương pháp sử dụng chúng dạy học Giải tốn phần tích phân SKG Giải tích 12 Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp em học sinh có nhìn tồn diện phương pháp giải số tốn ứng dụng tích phân thông qua sử dụng số dạng phương tiện trực quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu Hình thành yêu cầu sư phạm dạng PTTQ dạy học phần ứng dụng tích phân thể cụ thể qua số dạng PTTQ tương ứng với hoạt động chủ yếu dạy học toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp: - Nghiên cứu lý luận chung - Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học - Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm Cách thực hiện: - Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên môn - Liên hệ thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua trình giảng dạy - Thông qua việc giảng dạy trực tiếp lớp khối 12 năm học từ 2008 đến 2019 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Trong thực tiễn dạy học, HS thường gặp khó khăn chuyển từ cụ thể lên trừu tượng từ trừu tượng lên cụ thể tư Khó khăn nằm chủ yếu chỗ: tri giác cụ thể thực HS phát chung chất chủ yếu ẩn nấp bị che lấp muôn vàn riêng không chất thứ yếu cụ thể; ngược lại, vận dụng khái niệm, định lý vào trường hợp cụ thể HS lại lúng túng việc tìm riêng biệt đơn nhất, độc đáo chúng chúng có chung chất Mặt khác, khơng phải cụ thể thực mang đến cho HS tri giác trực tiếp Vì nhà trường phải nghiên cứu dạng phương tiện dạy học là: “Phương tiện dạy học trực quan" để giúp HS dễ dàng chuyển tư từ diện cụ thể cảm tính sang diện trừu tượng, khái quát hóa từ lên cụ thể ý thức Phương tiện dạy học trực quan tạo điều kiện thuận lợi cho việc tổ chức q trình học tập Chúng tiếp nối, mở rộng giác quan người, hình thành mơi trường có dụng ý sư phạm, mơ tượng, trình phức tạp khắc phục hạn chế mặt thời gian, khơng gian kinh phí Trong dạy học nói chung PTTQ cần thiết, từ trực quan HS có cảm nhận vấn đề cần tiếp thu Điều giúp cho HS sau gặp vấn đề cần phải có liên tưởng tới kiến thức học HS có tư tốt Trong dạy học Tốn nói riêng việc sử dụng hợp lý PTTQ đóng vai trò quan trọng Phương tiện trực quan không giúp cho việc minh họa tập trung ý HS vào thuộc tính đặc điểm bên đối tượng PTTQ giúp HS nhanh chóng phát thuộc tính bên trong, mối quan hệ chất đối tượng cho phép nhận toàn thống Phương tiện trực quan khơng tham gia vào q trình hình thành khái niệm mà hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải tập toán Phương tiện trực quan cầu nối, khâu trung gian giai đoạn trừu tượng hóa (từ cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) giai đoạn cụ thể hóa (tái tạo cụ thể tư Khẳng định V.I Lênin mối quan hệ biện chứng nhận thức sâu sắc cho nhận thức phát triển tác động lẫn ba yếu tố: Trực quan sinh động, tư trừu tượng thực tiễn Mỗi yếu tố cần thiết mang lại mà yếu tố khác đem lại Sự tác động lẫn qn xuyến tồn q trình nhận thức từ đầu chí cuối "Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ trừu tượng đến thực tiễn Đó đường biện chứng nhận thức chân lý, nhận thức thực khách quan" Vai trò PTTQ trình dạy học quan trọng Do đặc điểm Tốn học, hình thức trực quan sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa mơn tốn trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, cơng thức, kí hiệu ) Phương tiện trực quan tượng trưng hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất tính chất khác đối tượng tượng 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Học sinh trường THPT Thạch Thành nói riêng số học sinh trường miền núi nói chung, đa số học sinh vùng nông thôn, khu vực đặc biệt khó khăn, thiếu thốn mặt- vật chất, thiết bị dạy học kiến thức THCS non yếu, tiếp thu chậm, chưa tự hệ thống kiến thức Khi gặp tốn tích phân tốn vận dụng tích phân vào thực tế khiến học sinh chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng phân chia trường hợp cách tính diện tích, thể tích vật thể thường xun mắc sai lầm Nhưng bên cạnh chương trình Giải tích 12 khơng nêu cách giải tổng qt cho dạng, thời lượng dành cho phần ít.Trong năm lại gần cấu trúc đề thi THPT quốc gia câu hỏi vận dụng tích phân vào tốn thực tế gặp nhiều câu lấy điểm điểm 9, điểm 10 đòi hỏi mức độ tư cao học học sinh Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua không giải gặp sai lầm lớn giải dạng toán phần 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Một số dạng phương pháp giải: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh Khái niệm tích phân có nhiều ứng dụng Tốn học thực tiễn, khn khổ chương trình Giải tích 12 Nâng cao, tích phân có ứng dụng như: Tính quãng đường vật biết phương trình vận tốc, tính diện tích hình giới hạn đồ thị hàm số đường x = a, x = b (a < b) , tính thể tích vật thể giới hạn mặt x = a, x = b (a < b) với giả thiết biết diện tích thiết diện vật thể với mặt x = c,(a ≤ c ≤ b) hàm biến c; toán tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng D quay quanh trục Ox Oy Trong phần này, vào việc xác định xây dựng số PTTQ sau: 2.3.1 Sử dụng phương tiện trực quan dạy học ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng Đây ứng dụng quan trọng tích phân, có nhiều ý nghĩa thực tiễn Sử dụng PTTQ không giúp HS học tốt nội dung mà làm cho HS nhận thức sâu chất phép tính tích phân để vận dụng kiến thức học vào thực tiễn sống Phương tiện trực quan chủ yếu hình vẽ minh họa thiết lập nhờ phần mềm máy tính Sử dụng cơng cụ Maple để tạo hình ảnh trực quan thơng số tính tốn cần thiết để hình thành cơng thức tính diện tích hình giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) không âm [a; b], trục hoành b đường x = a, x = b S = ∫ f ( x )dx a Sau xét số hình ảnh tương tự với hàm f(x) liên tục [a; b], từ trực quan để HS nhận thức thấy thay hàm f(x) hàm f ( x) diện tích khơng thay đổi Từ nhận diện tích hình giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành đường x = a, x = b tính cơng thức b S = ∫ f ( x) dx Sau dùng trực quan để HS nhận thấy cách tính tích a phân hàm dấu tích phân nằm giá trị tuyệt đối Từ công thức, sử dụng trực quan đồ thị hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x) hệ trục tọa độ hình ảnh diện tích tương ứng hai hình giới hạn đồ thị hàm y = f ( x ) y = g ( x) với trục Ox, x = a, x = b Giáo viên nên cho HS nhận hình ảnh với trường hợp sau: Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm hai phía trục hồnh (Hình 2.1.a) Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm phía trục hồnh (Hình 2.1.b) Hình 2.1.a Hình 2.1.b Trên [a;b] có đồ thị cắt trục hồnh.(Hình 2.1.c) Trên [a;b] hai đồ thị cắt trục hồnh (Hình 2.1.d) Hình 2.1.d Hình 2.1.c Hình 2.2 Sau quan sát hình tượng trưng với phân tích GV; HS nhận thấy diện tích hình giới đồ thị hai hàm số y = f ( x ), y = g ( x ), x = a, x = b trục hồnh tính cơng thức b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a Sau nêu công thức, GV cho HS nhắc lại phương pháp tính tích phân mà hàm dấu tích phân nằm giá trị tuyệt đối Và xét tốn mà diện tích hình giới hạn đồ thị hai hàm số hình 2.2 Cho HS nhận dạng thể toán sau: Bài toán 2.1 (Bài tập 27,tr 167 Giải tích 12 Nâng cao) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos x , trục hoành, trục tung đường thẳng x = π Diện tích cần tính là: Từ hình minh họa cho HS xây dựng quy trình giải tốn tính diện tích hình thang 1 + cos x S = ∫ cos x.dx = ∫ dx 0  x sin x  + sin Hình 2.3 = + (dvdt ) ÷0 =  2 Bài tốn 2.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parbol y = x đường thẳng x = Với toán HS gặp khó khăn vận dụng cơng thức Là HS không phát hai hàm số f(x) g(x) công thức Dựa vào trực quan, giúp HS phát hình giới hạn đồ thị hàm số y = 2 x , y = −2 x đường thẳng x = ; tính chất đối xứng hình Suy diện tích tính công thức: 2 32 (đvdt) 16 S = ∫ 2 xdx = ∫ xdx = x = Hình 2.4 3 0 Tuy nhiên, với HS nhận diện hình tính xem x hàm biến y tính tương tự biến x  y2 y2  S=∫ − dy = ∫  − ÷dy  −4 −4   y3  32 =  2x − ÷ = (đvdt) 24  −4  Bài tốn 2.3 Tính diện tích hình phẳng giới đồ thị hàm số sau: x2 y = x , y = , y = , y = (Hình 2.5) Hình 2.5 x x Hình giới hạn bốn đường cong nên việc áp dụng công thức phức tạp hơn, sử dụng công cụ trực quan áp dụng cơng thức xác đơn giản 2.3.2 Sử dụng phương tiện trực quan dạy học ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể Với tính minh họa trực quan Maple 12 nhờ gói cơng cụ Volume of Revolution Tutor, GV thực việc chia vật thể thành nhiều khối nhỏ Khi quan sát trực tiếp, GV thay đổi linh hoạt số hình phân chia; quan sát hình nguyên bản, hình thay đồng thời Ngồi HS thấy kết thể tích vật thể tổng thể tích hình phân chia Qua HS liên tưởng lại tốn tính diện tích hình thang cong, với tương ứng chiều cao hình phẳng với diện tích mặt đáy vật thể Từ đó, nhận thức b HS tiếp nhận công thức tính thể tích V = ∫ S ( x) dx cách tự nhiên a Cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay hình thành từ việc kết hợp trực quan với suy luận Cho HS quan sát hình 2.6 trả lời câu hỏi sau: Câu hỏi 1: Để áp dụng công thức vào tính thể tích vật thể cần xác định yếu tố nào? V = 193, 256 (đvtt) V = 193,496 (đvtt) Hình 2.6 Câu hỏi Khi cắt vật thể tròn xoay mặt phẳng vng góc với trục thiết diện hình gì? Câu hỏi 3: Khi diện tích thiết diện S(x) tính cơng thức nào? Câu hỏi 4: Vậy thể tích có cơng thức tính nào? Hoạt động nhận dạng thể ví dụ tính thể tích khối chỏm cầu Hoạt động tư khơng cần trực quan, ta thay đổi vai trò x y kết cơng thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung đường y = a, y = b quay quanh trục tung Trên sở kiến thức trên, GV nên cho HS phát triển thêm với toán tổng quát sau: Bài toán 2.4 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = c ( f ( x) c dấu) đường thẳng x = a, x = b (a, b c số) Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh hình D quay quanh trục Ox, Oy (Hình 2.7) Hình 2.7 Bài tốn 2.5 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x) ( f ( x), g ( x) dấu [a; b] ) đường thẳng x = a, x = b (a, b số) Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh hình D quay quanh trục Ox, Oy (Hình 2.8, 2.9) Hình 2.8 Hình 2.9 2.3.2.1 Một số ứng dụng thực tế tích phân Ngồi hai ứng dụng nêu mục tích phân có nhiều ứng dụng Các ứng dụng khác tích phân phân thành hai nhóm, ứng dụng trực tiếp vào nội dụng khác toán - ứng dụng toán; ứng dụng mơn học khác, thực tiễn - ứng dụng ngồi toán Trong ứng dụng ta xét tới số ví dụ cụ thể Nội dung có ý nghĩa, làm cho khái niệm tích phân trở nên gần gũi Nội dung mục xét ứng dụng tích phân mơn Đại số chương trình Tốn phổ thơng a Tính giá trị biểu thức Với chương trình Tốn nay, phần Đại số Tổ hợp học lớp 11 nên số tập mối liên hệ số Pn , Ank Cnk giảm bớt để phù hợp với kiến thức chương trình Nhưng sau học tích phân, GV nên nêu lên số ví dụ để em làm quen Ví dụ 2.3.1 Tính giá trị biểu thức sau theo n: 1 1 S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + Cnk + + Cnn k +1 n +1 Phân tích: Biểu thức S có chứa số Cnk với số k tăng dần, tương tự khai triển theo công thức nhị thức Newton; từ số hạng k +1 k k k k x Cn giúp ta liên hệ tới ∫ Cn x dx = Cn + C Từ giúp ta xác định cần k +1 k +1 lấy tích phân với cận từ đến 1 (1 + x) n+1 2n +1 − n (1) ∫ (1 + x) dx = n + = n + ∫ (1 + x) n dx = ∫ ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + + Cnn x n ) dx 1 1  1 = Cn0 x + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k +1 + + Cnn x n +1  k +1 n +1  0 1 1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnk + + Cnn (2) k +1 n +1 Từ (1) (2) suy ra: 1 1 2n+1 − k n Cn + Cn + Cn + + Cn + + Cn = k +1 n +1 n +1 Ví dụ 2.3.2 Tính giá trị biểu thức sau theo n: 2 − 1 23 − 2 n+1 − n P = Cn + Cn + Cn + + Cn n +1 b Chứng minh tồn nghiệm phương trình Để giải tập phần này, ta bổ sung số định lý sau: Định lý 2.1 Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [a; b] giả sử F(x) nguyên hàm Khi tồn số thực x1 , x2 ∈ [a; b] với x1 < x2 , cho F ( x1 ) = F ( x2 ) phương trình f ( x) = có nghiệm đoạn [ x1; x2 ] Chứng minh Giả sử phương trình f ( x) = khơng có nghiệm thực thuộc [ x1; x2 ] Vì f ( x) liên tục, nên suy f ( x) > 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] f ( x) < 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] Nếu f ( x) > 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] F ( x) đồng biến đoạn [ x1; x2 ] Suy F ( x1 ) < F ( x2 ) , mâu thuẫn với giả thiết 10 Nếu f ( x) < 0, ∀x ∈ [ x1; x2 ] F ( x) nghịch biến đoạn [ x1; x2 ] Suy F ( x1 ) > F ( x2 ) , mâu thuẫn với giả thiết Cả hai trường hợp cho F ( x1 ) ≠ F ( x2 ) Vậy phương trình có nghiệm [ x1; x2 ] Định lý phát biểu sau: Nếu hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [a; b] tồn x2 số thực x1 , x2 ∈ [a; b] cho ∫ f ( x)dx = phương trình f ( x) = có nghiệm x1 đoạn [ x1; x2 ] Định lý 2.2 Cho hai số thực a, b trái dấu ( a < < b ) f(x) hàm số liên tục, khơng âm (có thể số hữu hạn điểm) [a; b] Khi đó, [a; b] phương trình x F ( x) := ∫ f (t ) dt = Có nghiệm x = Chứng minh: x Ta thấy F ( x) = ∫ f (t )dt nguyên hàm f(x) [a; b] 0 Nếu x = F (0) = ∫ f (t )dt = Suy x = nghiệm phương trình F ( x) = Nếu x ≠ x ∈ [a; b] , từ giả thiết f ( x) ≥ , suy F ( x) đồng biến [a; b] F ( x) ≠ F (0) = , tức phương trình F ( x) = khơng thể có nghiệm x ≠ [a; b] Vậy phương trình F ( x) = có nghiệm x = [a; b] Bằng cách chứng minh tương tự, ta có: Định lý 2.3 Cho hai số thực a, b trái dấu f(x) hàm số liên tục, khơng dương (có thể số hữu hạn điểm) [a; b] Khi đó, [a; b] phương trình x F ( x) := ∫ f (t ) dt = Có nghiệm x = Định lý 2.4 Cho hai số thực a, b trái dấu ( a ≤ c ≤ b, a < b ) f(x) hàm số liên tục, khơng dương (khơng âm, số hữu hạn điểm [a; b] ) [a; b] Khi đó, [a; b] phương trình x F ( x) := ∫ f (t ) dt = Có nghiệm x = c thuộc [a; b] c (a ≠ 0) Ví dụ 2.5 Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c, a b c + + = 0, m > Thỏa mãn điều kiện m + m +1 m Chứng minh phương trình f ( x) = có nghiệm (0;1) 11 Nhận xét: Học sinh nói tới tam thức bậc hai liên tưởng tới định lý đảo dấu tam thức bậc hai; xét điều kiện f (0) f (1) < từ điều a b c + + = khó khăn kiện để tới giả thiết m + m +1 m m +1 m m −1 m −1 Xét hàm số g ( x) = a.x + b.x + c.x = x ( ax + bx + c ) , (a ≠ 0) Ta thấy, g ( x) hàm liên tục ¡ có nguyên hàm a b m +1 c m G ( x) = x m+2 + x + x m+2 m +1 m a b c + + = , nên theo định lý 2.1 phương Và G (0) = 0, G (1) = m + m +1 m m +1 m trình g ( x) = a.x + b.x + c.x m−1 = có nghiệm (0;1) Suy phương trình f ( x) = có nghiệm (0;1) (Vì x ∈ (0;1) ⇒ x m−1 ≠ ) Ví dụ 2.6 Chứng minh , hệ số phương trình an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 = a a a Thỏa mãn điều kiện: n + n−1 + + + a0 = Thì phương trình có n +1 n nghiệm (0; 1) Nhận xét: Đây phương trình có hệ số chưa xác định, thực biến đổi tương đương để giải phức tạp Ta áp dụng định lý trên: Xét hàm số f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a2 x + a1 x + a0 hàm số xác định liên tục ¡ , có nguyên hàm a a a a F ( x) = n x n +1 + n−1 x n + + x + x + a0 x n +1 n a a a Ta có: F (0) = F (1) = n + n−1 + + + a0 = n +1 n Vậy theo định lý phương trình có nghiệm thuộc (0; 1) Ví dụ 2.7 Chứng minh phương trình e − x − sin ( e − x ) cos ( e − x ) − π = Có nghiệm x = − ln π Nhận xét: Khi gặp toán chứng minh phương trình có nghiệm nhất, HS thường liên tưởng tới cách giải: biến đổi phương trình thành dạng f ( x) = g ( x) , f ( x) hàm số đồng biến g ( x) hàm nghịch biến Với toán này, HS kiểm tra x = − ln π nghiệm f ( x) = e − x − π phương trình biến đổi g ( x) = sin ( e − x ) cos ( e − x ) = sin ( 2.e − x ) ; hàm số f ( x) nghịch biến hàm số g ( x) không đơn điệu nên không kết luận nghiệm Nhưng sử dụng phần mềm dạy học Maple hay Geometer’s Sketchpad ta HS nhận thấy đồ thị hai hàm số có điểm chung 12 Áp dụng định lý 2.4 sau: −x −x −x Xét hàm số F ( x) = e − sin ( e ) cos ( e ) Ta có F (− ln π ) = π Phương trình cho tương đương với F ( x) − F ( − ln π ) = x ∫ x F '(t )dt = hay − ln π x Suy ∫ − ln π ∫ − ln π e− t − sin ( e− t ) cos ( e− t )  dt =   '  −2e− t sin ( e− t )  dt =   −t −t Hàm số f (t ) = −2e sin ( e ) hàm liên tục, không dương ¡ , nên x theo định lý 2.4 phương trình ∫ − ln π  −2e− t sin ( e− t )  dt = có nghiệm   −x hay phương trình e − sin ( e ) cos ( e ) − π = có nghiệm x = − ln π Bài tập tương tự: 1) Chứng minh phương trình ( x − x − ) cos x = (1 − x).sin x có ba nghiệm (−1;2) −x −x ( 2 2) Giải phương trình x x + = ln x + x + ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường: Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải tốn tích phân ứng dụng Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 12 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra thử sau:năm học 20182019, lớp thực dạy áp dụng theo sáng kiến kinh nghiệm lớp 12A2, lớp học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 12A6, sau làm kiểm tra thu kết sau: Năm học Lớp Tổng số 2018-2019 12A6 12A2 42 44 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 20 4% 45% Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng 15 20 36% 45% Điểm Số Tỷ lệ lượng 25 60% 9% Như vậy, thấy phương pháp có hiệu cao Theo tơi dạy phần giải dạng tốn ứng dụng tích phân nên sử dụng phương tiện trực quan để giúp học sinh hiểu vận dụng cách tối đa KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ: 13 3.1 Kết luận: Trên giải pháp mà tơi đúc rút suốt q trình giảng dạy trường THPT Thạch Thành Tích phân ứng dụng nội dung quan trọng chương trình mơn Tốn lớp 12 nói riêng bậc THPT nói chung- kì thi THPTQG Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm Qua thực tế giảng dạy, thấy phương pháp giải nêu áp dụng tốt vào việc dạy học nhà trường Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn ! 3.2 Kiến nghị: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu, thiết bị hỗ trợ dạy học trực quan, sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 21 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Giáo viên Trương Thị Tuyến 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách giáo khoa Đại số 12 (NXB Giáo dục) - Sách hướng dẫn giảng dạy (NXB Giáo dục) - Tài liệu tập huấn sách giáo khoa (NXB Giáo dục) - Các giảng luyện thi mơn tốn (NXB Giáo dục - Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất) - Toán nâng cao Đại số 12 (Phan Huy Khải) - Báo Toán học tuổi trẻ (NXB Giáo dục) - Các đề thi đại học năm trước -Các đề thi thpt quốc gia năm trước đề thi thử thpt quốc gia trường thpt,đh 15 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trương Thị Tuyến Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên TT Tên đề tài SKKN Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ cấu trúc đề thi THPT quốc gia Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Sở GD ĐT Thanh Hóa Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B Năm học đánh giá xếp loại 2015-2016 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC PHẦN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN THƠNG QUA VIỆC SỬ DỤNG MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUAN Người thực hiện: Trương Thị Tuyến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ, NĂM 2019 17 QUY ƯỚC VỀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TT Viết Tắt GV HS Nxb PTTQ SGK Viết đầy đủ Giáo viên Học sinh Nhà xuất Phương tiện trực quan Sách giáo khoa 18 ... học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn Từ thực tế tơi chọn đề tài nghiên cứu với tiêu đề: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng Tích phân, thông... thành: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng Tích phân, thông qua việc sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan" Đề tài xác định số dạng phương tiện dạy học. .. 2.3.2.1 Một số ứng dụng thực tế tích phân Ngồi hai ứng dụng nêu mục tích phân có nhiều ứng dụng Các ứng dụng khác tích phân phân thành hai nhóm, ứng dụng trực tiếp vào nội dụng khác toán - ứng dụng